Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-06-19T20:12:30Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Kátia Rúbia Silva Carneiro Fonseca - 2017.pdf: 11467998 bytes, checksum: 200d35d6b74e35c019617b7c5dbaa31e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Cláudia Bueno (claudiamoura18@gmail.com) on 2017-07-07T19:42:43Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Kátia Rúbia Silva Carneiro Fonseca - 2017.pdf: 11467998 bytes, checksum: 200d35d6b74e35c019617b7c5dbaa31e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-07T19:42:43Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Kátia Rúbia Silva Carneiro Fonseca - 2017.pdf: 11467998 bytes, checksum: 200d35d6b74e35c019617b7c5dbaa31e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-05-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Mathematics is one of the most lagging disciplines in teaching, and there are many factors involved in such a failure. Among them is the relation between learning di culty and school failure; Lack of student interest; Social issues (family, nancial situation, etc.); The lack of basic knowledge; Lack of teacher training; The way it is taught, among other reasons. Therefore, this work intends to present a possible solution for the reduction of this failure, with the use of Mathematical Modeling in Basic Education. Mathematical Modeling is nothing more than the translation of everyday problems, in its various areas, in mathematical language. For a long time, modeling was used to solve problems. In this work will be presented proposals of mathematical models to be applied in high school or fundamental that is the Model of Ornaments and Modeling of the Golden Number. The activities proposed for the Ornaments Model include: two activities involving the construction of an ornament and a third activity with a token with gures to perform an analysis of the isometries involved. Already for the Model of the Golden Number an activity was elaborated so that the students themselves collected and analyzed the data on golden reasons in the human body. Activities like these will be applied in the unit of education in which I work, as they will facilitate a greater and better understanding on the subject addressed. / A Matemática é uma das disciplinas com maior defasagem de ensino, e são muitos os fatores envolvidos para tal fracasso. Entre eles estão a relação entre a di culdade de aprendizagem e o insucesso escolar; a falta de interesse dos alunos; questões sociais (família, situação nanceira, etc); a falta de conhecimentos básicos; falta de capacitação dos professores; da forma como é ensinada, dentre outras razões. Diante disso, este trabalho pretende apresentar uma possível solução para a diminuição de tal fracasso, com o uso da Modelagem Matemática no Ensino Básico. A Modelagem Matemática nada mais é do que a tradução de problemas do cotidiano, nas suas diversas áreas, em linguagem Matemática. Há muito tempo já se fazia o uso da modelagem para resolver problemas. Neste trabalho serão apresentadas propostas de modelos matemáticos para serem aplicadas no Ensino Médio ou Fundamental que é o Modelo de Ornamentos e Modelagem do Número Áureo. As atividades propostas para o Modelo de Ornamentos incluem: duas atividades envolvendo a construção de um ornamento e uma terceira atividade com uma cha com guras para ser realizada uma análise das isometrias envolvidas. Já para o Modelo do Número Áureo foi elaborada uma atividade para que os próprios alunos coletassem e analisassem os dados sobre razões áureas no corpo humano. Atividades como essas serão aplicadas na unidade de ensino em que trabalho, pois facilitarão uma maior e melhor compreensão sobre o assunto abordado.

A pair of commuting bounded operators (S, P) for which the set r = {(z 1 +z 2,z 1z 2) : |z 1| ≤1, |z 2| ≤1} C2 is a spectral set, is called a r-contraction in the literature. For a contraction P and a bounded commutant S of P, we seek a solution of the operator equation S –S*P = (I –P*P)½ X(I –P*P)½ where X is a bounded operator on Ran(I – P*P)½ with numerical radius of X being not greater than 1. We show the existence and uniqueness of solution to the operator equation above when (S,P) is a r-contraction. We call the unique solution, the fundamental operator of the r-contraction (S,P). As the title indicates, there are three parts of this thesis and the main role in all three parts is played by the fundamental operator. The existence of the fundamental operator allows us to explicitly construct a r-isometric dilation of a r-contraction (S,P), whereas its uniqueness guarantees the uniqueness of the minimal r-isometric dilation. The fundamental operator helps us to produce a genuine functional model for pure r-contractions. Also it leads us to a complete unitary invariant for pure r-contractions. We decipher the structures of r-isometries and r-unitaries by characterizing them in several different ways. We establish the fact that for every pure r-contraction (S,P), there is a bounded operator C with numerical radius being not greater than 1 such that S = C + C* P. When (S,P) is a r-isometry, S has the same form where P is an isometry commuting with C and C*. Also when (S,P) is a r-unitary, S has the same form too with P and C being commuting unitaries. Examples of r-contractions on reproducing kernel Hilbert spaces and their dilations are discussed.

Orientador: Prof. Dr. Armando Caputi / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Santo André, 2018. / Este estudo apresenta as obras do artista holandês M.C.Escher como subsídio ao ensino das isometrias. Suas obras são repletas de movimento, padrões e regularidades, onde as figuras se transformam, se repetem e refletem, fazendo com que o observador seja invariavelmente atraído para descobrir suas particularidades, ou seja, suas simetrias, tornando assim o processo de aprendizagem em algo diferente, concreto e atraente. Após uma breve apresentação das simetrias, conheceremos um pouco sobre Escher e suas obras, abordaremos o conceito de grupo com destaque ao grupo das isometrias com a proposição que identifica a reflexão como unidade básica, afirmando que qualquer que seja a isometria no plano, esta poderá ser obtida pelo produto de, no máximo, três reflexões. Complementando este estudo apresentaremos uma aplicação da teoria das isometrias, através do grupo dos ornamentos, onde podemos observar uma bela relação da matemática à arte. Ao final, algumas sugestões de atividades. / This study presents the works of the Dutch artist M.C.Escher as a subsidy for the learning of isometries. His works are full of movement, patterns and regularities, where the figures are transformed, repeated and reflected, making the observer invariably attracted to discover their particularities, that is, their symmetries, thus making the process of learning in something different, concrete and attractive. After a brief presentation of the symmetries, we will know a little more about Escher¿s works, we will approach the concept of group with emphasis on the group of isometries with the proposition that identifies reflection as basic unit, stating that every isometry in the plane can represented as a product of at most three reflections. Complementing this study we present an application of the isometries theory through the group of ornaments, where we can observe a beautiful connection of mathematics and art. At the end it is presented some suggestions for activities.

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[pt] O Grupo de Cremona é o grupo das Transformações birracionais do plano projetivo e tem um papel muito importante em Geometria Birracional. Pelo Teorema de Nöether-Castelnuovo (final do século XIX), o Grupo de Cremona é gerado pelos automorfismos do plano projetivo e pela Transformação Quadrática Padrão. Apesar de compreendermos bem o grupo de automorfismos do Plano Projetivo e a Transformação Quadrática Padrão, o estudo do Grupo de Cremona é bastante desafiador, e sua estrutura ainda não é totalmente conhecida. Somente em 2013, Cantat e Lamy provaram que o Grupo de Cremona não é simples no caso de um corpo algebricamente fechado. Em 2016, Anne Lonjou provou o mesmo para qualquer corpo. Ambas as provas se baseiam em uma ação por isometrias do Grupo de Cremona em um espaço hiperbólico de dimensão infinita. Nosso objetivo será entender essa ação e como ela pode ser usada no estudo do Grupo de Cremona. / [en] The Cremona Group is the group of Birrational Transformations of the projective plane and has a very important role in Birrational Geometry. By the Nöether-Castelnuovo Theorem (late 19th century), the Cremona Group is generated by the automorphisms of the projective plane and by the Standard Quadratic Transformation. Although we understand well the group of automorphisms of the projective plane and the Standard Quadratic Transformation, the study of the Cremona Group is quite challenging, and its structure is not yet fully known. Only in 2013, Cantat and Lamy proved that the Cremona Group is not simple in the case of an algebraically closed field. In 2016, Anne Lonjou proved the same for any field. Both proofs are based on an action by isometries of the Cremona Group in a hyperbolic space of infinite dimension. Our goal will be to understand this action and how it can be used in the study of the Cremona Group.

[pt] Este trabalho traz uma proposta de ensino de transformações geométricas, mais especificamente, isometrias de translação, de rotação e de reflexão. Começamos tecendo considerações sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula e sobre as possibilidades de explorar a arte como ferramenta de enriquecimento dos processos de ensino e de aprendizagem matemáticos. Passamos pelos aspectos teóricos das isometrias no plano e, em seguida, explicamos a atividade na qual baseia-se o presente estudo, realizada com 101 alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola particular do Rio de Janeiro, RJ. Apresentamos, ainda, o feedback de parte dos(as) alunos(as) participantes, nossas impressões sobre esse feedback e a descrição detalhada das etapas da atividade, que pode ser aplicada tanto em turmas de Fundamental II quanto de Ensino Médio. / [en] This work presents a proposal for teaching geometric transformations, more specifically, translation, rotation and reflection isometries. We start by considering the use of digital technologies in the classroom, and the possibilities of exploring art as a tool to enhance mathematical teaching and learning processes. Next, we describe the theoretical aspects of isometries in the plane, and then explain the activity on which the present study was based. The activity was carried out with 101 1st grade high school students in a private school in Rio de Janeiro, RJ. We also present the feedback from part of the participating students, our impressions of this feedback, and the detailed description of the stages of the activity, which can be applied both in elementary and high school classes.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_regina_vaz.pdf: 13662771 bytes, checksum: 4a684bcd2f203660704a00783a912e57 (MD5) Previous issue date: 2004-05-07 / This work aims to investigate an approach to the teaching and learning of proof using the geometrical transformation tools of the software Cabri-Géomètre. Previous research related suggests that neither approaches emphasising predominately inductive aspects nor those privileging the deductive, are sufficient to enable learners to construct robust meaning for the notions involved in constructing valid proofs. With this in mind, the approach developed in this study seeks to engage students in activities that favour spontaneous movement between induction and deduction in a computer-based environment Cabri-Géomètre in which action and its formalisation can occur simultaneously (Healy, 2000). To this end, a teaching experiment was conducted with students of the 7th and 8th grades of a private school in the city of São Paulo. This experiment comprised two phases, design and analysis. During the design phase, three activity sets were developed and piloted. In the analysis phase, theoretical support was drawn from the theory of Piaget and Garcia (1987) concerning the development of geometrical notions, the classification of proofs in Balacheff (1988) and the distinctions figure/drawing and robust/soft in relation to constructions in Cabri-Géomètre. Through the interactions of the students with the research situations, the role of the transformation tools in different aspects of the proof process was explored, from the appropriation of notions of geometrical dependency to the construction of formally-presented proofs. Analysis of the results indicated that the dynamism of the software had an important role in encouraging figures to be seen as general rather than specific cases. It was also found that that students were incorporating some facts, especially those of an intrafigural nature, established in the first activities sets in the proofs written during the final set, although the justifications they elaborated were locally but not globally valid / Este trabalho tem como objetivo a investigação de uma abordagem sobre o ensino e a aprendizagem da prova, baseada no uso das ferramentas de transformação geométrica do software Cabri-Géomètre. Pesquisas já realizadas sobre este tema verificaram que, tanto a ênfase predominantemente nos aspectos indutivos, quanto nos dedutivos, não são suficientes para que os aprendizes construam significados robustos para as noções envolvidas. Por esta razão, nesta pesquisa, pretendeu-se engajar os estudantes em atividades que favorecem os movimentos espontâneos entre as abordagens dedutiva e indutiva num ambiente informatizado Cabri-Géomètre no qual a ação e sua formalização podem ocorrer simultaneamente (Healy, 2000). Para esse fim foi elaborado um experimento de ensino envolvendo estudantes de 7a e 8ª séries de uma escola particular da cidade de São Paulo. Tal experimento foi composto de duas fases, o design e a análise. Na fase de design, três conjuntos de atividades foram elaborados e testados. A fase de análise foi apoiada na teoria de Piaget & Garcia (1987) sobre o desenvolvimento das noções geométricas, na classificação de prova de Balacheff (1988), na distinção entre figura/desenho e construção mole/robusta no software Cabri-Géomètre. Através das interações dos estudantes nestas situações, explorou-se o papel das ferramentas de transformação nos diferentes aspectos do processo de prova, desde a apropriação das noções de dependência geométrica até a construção de provas formalmente apresentadas. Como resultados, obteve-se a importância do dinamismo do software para que seja dado um tratamento geral ao diagrama, a incorporação de fatos advindos de atividades anteriores nas provas construídas pelos alunos, em especial, aqueles que enfatizam os aspectos intrafigurais e a elaboração de justificativas válidas apenas localmente nas provas construídas

Nesta dissertação apresentamos uma sequência de atividades não tradicionais, com foco no ensino e na aprendizagem de Geometria, em particular no que se refere às Isometrias no Plano, elaboradas para alunos de Ensino Fundamental, e o resultado de sua aplicação a oito turmas de 9o ano, como forma de desenvolver habilidades de raciocínio desses alunos. Utilizamos para esse experimento o Design Experiment, experimento de ensino fundamentado no aprimoramento contínuo, e a teoria de Van Hiele baseada na tese de doutorado de Adela Jaime-Pastor (1993), com uma série de atividades elaboradas e aplicadas pela professora/pesquisadora envolvendo as translações e as reflexões, através das fases de aprendizagem e níveis de raciocínio que os alunos desenvolvem com a aplicação dessa teoria. Esse experimento foi dividido em dois momentos, aplicação com quatro turmas de 9o ano em 2015 e aplicação com outras quatro turmas de 9o ano em 2016, subdivididos em outras duas situações, atividades sobre translações e atividades sobre reflexões. Os dados desse experimento foram obtidos através das produções dos alunos, que trabalharam em duplas, em sala de aula, registrados por meio de fotos, vídeos e áudios gravados pela própria pesquisadora. Também utilizamos as bonecas de papel de Brigitte Servatius (1997), com as quais foram trabalhadas translações e reflexões. Os alunos participantes do experimento finalizaram-no com noções sólidas das características das isometrias e um visível progresso em seu nível de conhecimento. A forma como as atividades foram realizadas trouxeram reflexos na rotina desses estudantes em sala de aula, tornando evidente que a busca por situações que despertem o interesse dos alunos de forma inovadora pode gerar melhores resultados e a motivação de uma contínua aprendizagem. / In this dissertation we present a sequence of non-traditional activities, focusing on the teaching and learning of Geometry, in particular regarding the Isometrics in the Plan, elaborated for elementary school students, and the result of its application to eight classes of 9th grade , As a way to develop students\' reasoning skills. We used for this experiment the Design Experiment, a teaching experiment based on continuous improvement, and Van Hiele\'s theory based on Adela Jaime-Pastor\'s (1993) doctoral thesis, with a series of activities elaborated and applied by the teacher/researcher involving the translations and the reflections, through the phases of learning and levels of reasoning that the students develop with the application of this theory. This experiment was divided in two moments, application with four classes of 9th grade in 2015 and application with four other groups of 9th grade in 2016, subdivided into two other situations, activities on translations and activities on reflections. The data of this experiment were obtained through the productions of the students, who worked in doubles, in the classroom, recorded through photos, videos and audios recorded by the researcher herself. We also used the paper dolls of Brigitte Servatius (1997), with which we worked on translations and reflections. The students participating in the experiment finalized it with solid notions of the characteristics of the isometries and a visible progress in their level of knowledge. The way the activities were carried out brought reflexes to the routine of these students in the classroom, making it evident that the search for situations that arouse the students\' interest in an innovative way can generate better results and the motivation of continuous learning.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:59:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ana Lucia Viveiros de Freitas.pdf: 7508140 bytes, checksum: c3be62a7bc0d9ef704133597c8662940 (MD5) Previous issue date: 2010-05-11 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This present work has as aim to build, discuss and evaluate the construction of a HLT related to the theme Isometries. We elected as questions of research: investigate through researches in the field of Mathematical Education, how could contribute for learning organization of Isometries and also analyse the performance of teachers of Mathematics related to activities of learning planning of Isometries in a compatible way with constructivist perspective of learning. It´s been based on Simon´s researches (1995) about elaborating Hypothetical Learning Trajectories (HLT). It´s been a qualitative research that involves two teachers of Mathematics in two public schools in São Paulo State and their work close to 58 students from High School second grade. Among the found results we selected: (a) the elaboration of a HLT is a task that is more suitable to researchers than teachers; (b) the usage of researches in Mathematical Education allows teachers to elaborate activities in order to face their difficulties, however it is necessary to think about how the teachers could access them; (c) the elaboration of activities which have constructivist perspectives aren´t enough in order to make it happen according to this aspect once the performance of the teacher has a decisive role in that process; (d) the usage of new technologies reinforce the understanding of concepts but it´s been a strategy still little used for the teachers / O presente trabalho tem por objetivo construir, discutir e avaliar a construção de uma THA a respeito do tema Isometrias. Elegemos como questões de pesquisa: investigar como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com o planejamento do ensino das Isometrias, investigar como as pesquisas, na área da Educação Matemática, contribuem para a organização do ensino deste tema e analisar a atuação de professores de Matemática, no que se refere às atividades de planejamento, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Fundamenta-se nos trabalhos de Simon (1995) sobre a elaboração de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA). Trata-se de uma pesquisa qualitativa que envolve dois professores de Matemática de duas escolas públicas do Estado de São Paulo e sua atuação junto a 58 alunos da 2ª série do Ensino Médio. Dentre os resultados encontrados destacamos: (a) a elaboração de uma THA é uma tarefa mais condizente aos pesquisadores que aos professores; (b) a utilização de pesquisas em Educação Matemática permite aos professores elaborar atividades que possibilitem aos alunos enfrentar suas dificuldades, porém é preciso pensar em maneiras para que os professores tenham acesso a elas; (c) a elaboração de atividades que tenham perspectivas construtivistas não é suficiente para que a aprendizagem ocorra segundo esse aspecto, pois a atuação do professor tem papel decisivo neste processo; (d) o uso de novas tecnologias potencializa a compreensão de conceitos, mas é, ainda, uma estratégia pouco utilizada pelos professores

La these s'integre dans la theorie des representations d'un groupe reductif fini. Un tel groupe est defini comme <b>G</b>^F, ou <b>G</b> est un groupe reductif connexe sur un corps algebriquement clos de caracteristique p>0 et F est un endomorphisme tel que l'ensemble des points fixes <b>G</b>^F est fini.<br />Dans cette situation, on obtient une famille de groupes finis en remplacant F par une puissance F^m. Cette idee joue un role important dans la theorie generale des groupes reductifs finis; elle est notamment developpee par Lusztig.<br />Dans le cas ou m=2, F agit comme un automorphisme sur <b>G</b>^F². On peut donc former le produit semi-direct de <b>G</b>^F² par F; la descente de Shintani definit alors une isometrie de l'espace des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F dans l'espace des fonctions centrales sur <b>G</b>^F. Le but de la these est d'etudier cette isometrie dans le cas des groupes de Suzuki et de Ree de type B₂ et G₂, definis par un endomorphisme F "tres tordu" (dans le sens que F n'est pas un endomorphisme de Frobenius). Ce dernier fait entraine un certain nombre de problemes au niveau de la theorie generale. Nous determinons donc explicitement la table des valeurs des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F.<br />Comme applications, nous pouvons explicitement determiner les valeurs propres associees par Lusztig aux representations unipotentes cuspidales du groupe de Suzuki et de Ree. Nous pouvons aussi verifier un certain nombre de conjectures dans la theorie des representations modulaires: conjecture de Broue, existence des ensembles basiques. Plus generalement, la determination des tables des caracteres des extensions cycliques rentre dans le projet de determiner les tables des caracteres de toutes les extensions des groupes finis simples.