Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2015. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-27T17:35:56Z No. of bitstreams: 1 2015_EmersonFerreiradeMelo.pdf: 515370 bytes, checksum: b3c615afef88d765a8724c97dcc2b7e7 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-05-27T20:48:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_EmersonFerreiradeMelo.pdf: 515370 bytes, checksum: b3c615afef88d765a8724c97dcc2b7e7 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T20:48:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_EmersonFerreiradeMelo.pdf: 515370 bytes, checksum: b3c615afef88d765a8724c97dcc2b7e7 (MD5) / Seja M = FH um grupo finito o qual é um produto de dois subgrupos cíclicos F e H, onde F é um subgrupo normal e todos os elementos de M n F possuem ordem prima p. Suponha que M age por automorfismos sobre um grupo finito G de tal maneira que CG(F) = 1. Neste trabalho mostramos que propriedades de G tais como comprimento de Fitting, nilpotência, expoente e leis positivas estão relacionadas com as respectivas propriedades dos subgrupos de pontos fixos dos elementos de M n F. / Let M = FH be a finite group which is a product of two cyclic subgroups F and H, where F is a normal subgroup and all elements of M n F have prime order p. Suppose that M acts as a group of automorphisms on a finite group G in such a manner that CG(F) = 1. In the present work we show that some properties of G such as Fitting height, nilpotency, exponent and positive laws are related to the respective properties of the subgroups of fixed-points of elements in M n F.

A Teoria de Códigos lida com um problema crítico do processo de comunicação: o controle eficiente do ruído em um canal de comunicação. Este trabalho tem por objetivo descrever algumas relações entre as necessidades da Teoria de Códigos e sua a modelagem matemática, utilizando-se, para isso, conceitos de álgebra e geometria sobre corpos finitos. Apresentaremos motivações para diferentes códigos, dando Ênfase a aspectos geométricoprojetivos do código Hamming e conceitos geométrico-algébricos subjacentes aos de Reed-Solomon e Goppa. / The Coding Theory deals with a critical communication problem: the eficient noise control. This work aims to describe some relationships between the needs of the Coding Theory and its Mathematical Models throught concepts of algebra and geometry over finite fields. We present some motivation for different codes, searching for projective geometric aspects of Hamming codes and algebraic geometric aspects of Reed-Solomon and Goppa codes.

Esta dissertação de mestrado tem foco no ensino introdutório de álgebra na 6ª série do Ensino Fundamental. A partir de estudo de características do ensino vigente registrados na literatura e nos livros didáticos, das dificuldades apresentadas pelos alunos e de seus desempenhos nas avaliações do SAEB / MEC, avançamos na discussão sobre perspectivas que poderiam ser trabalhadas na escola de forma a melhorar a introdução ao ensino de álgebra, e fizemos nossas escolhas didáticas para construção de uma proposta de ensino. A metodologia de investigação, a Engenharia Didática, definiu o processo de concepção da situação didática acompanhada de análise a priori, de experimentação e de análise a posteriori. Desta forma foi possível validar a proposta e o produto que se constituem, como parte desta dissertação, na nossa contribuição para melhorias no ensino de Matemática. Como proposta trazemos a possibilidade de se fazer uma introdução ao pensamento algébrico através do estudo de relações funcionais, nisso usando diferentes situações-problema, incluindo-se entre elas situações de modelagem matemática. Na viabilização da proposta, considerando a faixa etária de nosso público alvo, de grande importância foi a utilização do objeto de aprendizagem “Máquinas Algébricas” nas suas possibilidades de concretizar as relações funcionais a serem estabelecidas pelos alunos. Como produto resultante deste trabalho temos, de forma organizada, uma seqüência de atividades, organizada em grau crescente de complexidade, sempre contemplando os importantes momentos de exploração no objeto “Máquinas Algébricas”. Foi com este produto que constatamos a evolução dos alunos no uso da linguagem algébrica: de início raciocínios de natureza aritmética estavam presentes, mas aos poucos, raciocínios algébricos foram se fazendo cada vez mais presentes. Ao final da experimentação com nossa turma de 6ª série, os alunos mostraram entendimento sobre as relações funcionais, sabendo expressá-las via “leis”, tabelas e gráficos. / This dissertation is focused in the early teaching of Algebra, in the 6th grade of the Elementary School. From the study of characteristics of the teaching recorded in the literature and textbooks, and the difficulties faced by the students and their performance in the evaluations of SAEB, we move in the discussion of prospects that could be worked at the school in order to improve the introduction of the teaching of algebra, and made our didactic choices to construct a teaching proposal. The research methodology, “Didactic Engineering”, defined the process of designing the didactic situation accompanied by a priori analysis, experimentation and analysis afterwards. In this way, it was possible to validate the proposal and the product which are, as part of this dissertation, our contribution to the improvement in the teaching of Mathematics. As a proposal we brought the possibility of developing an introduction to algebraic thinking through the study of functional relationships, using different problemsituations, including situations with mathematical modeling. To make this proposal feasible, considering the age range of our target audience, the use of the object of learning “Algebraic Trees” was very important, since it helped the students to understand functional relations in a more concrete way. As a product resulting from this work, we have organized a sequence of activities, in an increasing degree of complexity, always contemplating the important moments of exploration in the object "Algebraic Trees." It was with this product we saw the evolution of the students in the use of algebraic language: in the beginning, arguments of arithmetic nature were present but gradually, algebraic reasoning was increasingly present. At the end of the experiment on our 6th grade class the students showed understanding of the functional relationships, being able to express them via "laws", charts and graphs.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2017-06-22T18:33:37Z No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2017-06-26T17:08:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-26T17:08:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_AlexandreMatosdaSilvaPiresdeMoraes.pdf: 599951 bytes, checksum: 929371aa8d7be29ac30492aa6cd831f5 (MD5) Previous issue date: 2017-06-26 / No presente trabalho, estuda-se a probabilidade de dois elementos comutarem quando são aleatoriamente selecionados em um grupo finito. Para obter os resultados principais, que são os teoremas 9 e 14 constantes do artigo On the commuting probability in finite groups (R.M. Guralnick e G. R. Robinson, 2006), são adotadas duas abordagens complementares: uma que recorre à análise das classes de conjugação de um grupo e outra que se apóia não só na teoria de representações lineares de grupos mas também na informação que pode ser obtida a partir dos caracteres que lhes são associados. O primeiro teorema fornece uma cota superior para o valor da probabilidade de comutação. Já o segundo, estabelece uma cota inferior para tal probabilidade, usando informações sobre grau dos caracteres irredutíveis. Um resultado adicional, sob a forma de corolário, garante a existência, em um grupo G de ordem par (superior a 2), de um subgrupo próprio H, cujo cubo da ordem é maior do que a ordem de G. / In the current work, we study the commuting probability of two randomly selected elements of a finite group. In order to obtain the main results, which are theorems 9 and 14 of the article On the commuting probability in finite groups (R.M. Guralnick e G. R. Robinson, 2006), two complementary approaches are considered: one that takes into account the analysis of conjugacy classes in a group and another that relies not only upon the theory behind the linear representations of groups but also on the information that can be extracted from the associated characters. The first theorem allows an upper bound to be obtained for the value of the commuting probability. The second, on the other hand, establishes a lower bound for this probability, using information about the degree of the irreducible characters. An additional result, under the form of a corollary, ensures the existence, in a finite group of even order (greater than 2), of a proper subgroup H, whose cube of the order is greater than the order of G.

Seja K um corpo de característica zero e seja An(K) a n-ésima Álgebra de Weyl sobre K. Neste trabalho, discutimos a existência de ideais maximais à esquerda de An (K) gerados por operadores de ordem 1. Primeiramente, estabelecemos uma relação entre derivações simples de K[X1: ..., Xn] e ideais principais maximais à esquerda de Ân(K). Para n> 2, caracterizamos as derivações de Shamsuddin de K[X1, ..., Xn] que são simples. Depois, mostrámos que se d é uma derivação de Shamsuddin simples de K[X1, ..., Xn], então existe 9 E K[X1, ..., Xn] tal que Ân.(d+g) é um ideal maximal principal à esquerda.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, Programa de Pós-Graduação em Física, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-08-19T17:32:34Z No. of bitstreams: 1 2016_CarlosCésardaSilvaJúnior.pdf: 406403 bytes, checksum: dd360fb49ecc7658d0ec18c72c90019b (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-09-05T18:52:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_CarlosCésardaSilvaJúnior.pdf: 406403 bytes, checksum: dd360fb49ecc7658d0ec18c72c90019b (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-05T18:52:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_CarlosCésardaSilvaJúnior.pdf: 406403 bytes, checksum: dd360fb49ecc7658d0ec18c72c90019b (MD5) / Nesta dissertação, são discutidos alguns modelos para encontrar geradores de simetrias de Lie. Essas simetrias são importantes para mapear soluções (embora a princípio esse ponto não seja o foco desse trabalho). Os modelos classícos da simetria de Lie são apresentados, e com eles, modelos para encontrar simetrias de equações íntegro-diferenciais e fracionarias são construídos. Geradores de uma mesma equação são encontrados usando dois modelos diferentes, com o objetivo de demonstrar a equivalência entre esses modelos. _________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / This dissertation will discuss about some methods to find Lie’ssymmetry generators. These symmetries are important to map solutions (although it will not be considered the focus of this work). Classic Lie’ssymmetry methods are presented, and alongside with them, other methods of Integro-differential and fractional equations are built to find symmetries. Generators from the same equation are found by using two different models, aiming to demonstrate equivalence between these methods.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-09-01T16:59:17Z No. of bitstreams: 1 2016_EduardoAntoniodaSilva.pdf: 1162162 bytes, checksum: 887586e0c400186ae54917d61bc23236 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-09-19T16:05:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_EduardoAntoniodaSilva.pdf: 1162162 bytes, checksum: 887586e0c400186ae54917d61bc23236 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-19T16:05:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_EduardoAntoniodaSilva.pdf: 1162162 bytes, checksum: 887586e0c400186ae54917d61bc23236 (MD5) / Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro do CNPq. / Recentemente o Teorema de Perron Fröbenius foi provado para potenciais Hölder definidos no espaço simbólico, onde o alfabeto é um espaço métrico compacto qualquer. Nesta tese estendemos este teorema para potenciais definidos no espaço de Walters , em alfabetos similares. No resultado acima seguimos de perto o trabalho original [48], as diferenças principais da demonstração moram em argumentos a respeito do suporte da medida a priori. Descrevemos em detalhes um procedimento abstrato para obter a analiticidade no sentido de Fréchet do operador de Ruelle sob condições bastantes gerais e usamos isso para obter a dependência analítica desse operador em ambos os espaços e. Este resultado é importante pois está intrinsecamente relacionado com a analiticidade da pressão. Para este fim foi necessário estabelecer em uma estrutura de álgebra de Banach, bem como sua invariância pelo operador de Ruelle. Esses resultados são novos tanto no contexto de espaço de estados compactos quanto no contexto de espaços de estados finitos. A regularidade do funcional pressão é de grande interesse pois tem relação indissociável com transição de fase. Neste trabalho estabelecemos a analiticidade do funcional pressão no espaço dos potenciais Hölder. Nesta demonstração é usado de modo fundamental que para potenciais Hölder o operador de Ruelle possui a propriedade do buraco espectral. Um decaimento exponencial de correlações é provado quando o operador de Ruelle tem a propriedade do buraco espectral. Uma nova (e natural) família de potenciais na classe de Walters (em um alfabeto finito derivada do modelo de Ising) não possuindo um decaimento exponencial de correlações é apresentada. A idéia por trás desse resultado é usar o dicionário estabelecido em [9] entre o formalismo termodinâmico e o modelo de Ising para usar fortemente as desigualdades de Griffiths-Kelly- Sherman, já estabelecidas no contexto da mecânica estatística para mostrar um exemplo, também conhecido pela comunidade da mecânica estatística, com decaimento superpolinomial de correlações. Devido à ausência de decaimento de exponencial de correlações temos por conseguinte a ausência do buraco espectral para o operador de Ruelle. A sistemática acima também fornece uma nova abordagem para a obtenção de exemplo de decaimento de correlações, que não pode ser recuperado pelos resultados apresentados em [42] a respeito de decaimentos de correlações subexponenciais nem do trabalho de Gouëzel em [25], que generaliza o anterior. ________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Recently the Ruelle-Perron- Fröbenius theorem was proved for Hölder potentials defined on the symbolic space , where (the alphabet) M is any compact metric space. In this thesis, we extend this theorem to the Walters space , in similar general alphabets. In the above result we follow closely [48], the main differences of the proof are in the argument respecting the support of the a priori measure. We also describe in detail an abstract procedure to obtain the Fréchet-analyticity of the Ruelle operator under quite general conditions and we apply this result to prove the analytic dependenceof this operator on both Walters and Hölder spaces. This result is important, because is closely related with the regularity of the pressure. To this end it was necessary establish in a Banach algebra structure, as well as its invariance by the Ruelle operator. These results are new in both contexts, finite or general compact space of states. The regularity of the pressure functional is of great interest since it is closely related with the phase transition. In this work we establish the analiticity of the pressure functional on the Holder spaces. In the proof it is used in a fundamental way the presence of the spectral gap. An exponential decay of the correlations is shown when the Ruelle operator has the spectral gap property. A new (and natural) family of Walters potentials (on a finite alphabet derived from the Ising model) not having an exponential decay of the correlations is presented. The idea behind this result is to use the dictionary established in [9] between the termodinamic formalism and the Ising model in order to apply the Griffiths-Kelly- Sherman inequalities to obtain a superpolynomial decai correlation.Because of the lack of exponential decay, for such potentials we have the absence of the spectral gap for the Ruelle operator.

Orientador: Marcus Vinicius Maltempi / Banca: Ana Paula dos Santos Malheiros / Banca: Miriam cardoso Utsumi / Resumo: Pesquisas têm utilizado e discutido com frequência o ensino da álgebra por meio do trabalho com padrões. Além disso, programas governamentais buscam inserir computadores nas escolas públicas, objetivando melhorar a qualidade do ensino. Nesse contexto, apresento esta pesquisa norteada pela questão "quais são as estratégias utilizadas por alunos do 7° ano do Ensino Fundamental para generalizar padrões com o software MiGen?". Buscando compreender as estratégias que estudantes desse ano escolar utilizam para generalizar padrões com o uso de um software denominado MiGen, que trabalha com padrões que se movimentam na tela do computador, uma investigação de caráter qualitativo foi realizada em uma escola pública da cidade de Rio Claro, interior do estado de São Paulo, Brasil. Seis atividades foram elaboradas e aplicadas a oito alunos, que responderam, em duplas, às questões dadas e interagiram com o computador ao mesmo tempo. A análise dos dados se deu com base em cinco estratégias de generalização, a saber: tentativa e erro, contagem, termo unidade, diferença e explícita. A partir dos resultados e do referencial teórico adotado, concluímos que as estratégias usadas pelos alunos foram a explícita, a termo unidade e a contagem, e que o MiGen influenciou na escolha delas para se determinar uma expressão geral de um padrão, principalmente porque este é apresentado de forma dinâmica na tela do computador. Assim, as estratégias utilizadas pelos alunos para generalizar os padrões visaram a busca pela expressão geral do padrão ao invés do trabalho com casos particulares, contribuindo para o desenvolvimento do processo de generalização algébrica dos alunos participantes da pesquisa / Abstract: Research has frequently used and discussed the teaching of algebra by working with patterns. Moreover, educational policies seek to put computers in public schools, aiming to improve the quality of teaching. In this context, I present this research guided by the question "what are the strategies used by grade-7 students to generalize patterns with software MiGen?". A qualitative study conducted with elementary school students in a public school in Rio Claro, at state of São Paulo, Brazil. Trying to understand the strategies that these students used to generalize patterns using software called MiGen, which works with patterns that move on the computer screen. Six activities were developed based on activities available in the software tutorial. Eight students participated in the study, conducting the activities in pairs, completing the tasks on sheets and interacting with the computer at the same time. The analysis of data was based on five strategies of generalization, namely guess-and-check, counting, whole-object, difference and explicit. From the results and the theoretical approach, I conclude that the strategies used by the students were explicit, whole-object and counting, and that MiGen influenced the choices of these strategies to determine a general expression of a pattern, mainly because this is displayed dynamically on the computer screen. Thus, the strategies used by students to generalize patterns aimed the search for the general expressions of the patterns instead of working with individual or singular cases. It contributed to the development of the process of algebraic generalization of the students / Mestre

Orientador: Marcos Vieira Teixeira / Banca: Henrique Lazari / Banca: Ires Dias / Resumo: O problema de encontrar as raízes de uma equação algébrica motiva os matemáticos desde a antigüidade. Somente resolvido por completo no início do século XIX, tal problema foi abordado de diferentes modos ao longo da História da Matemática, os quais edificaram o desenvolvimento da teoria que hoje denominamos Álgebra. Nesta dissertação propomos uma reconstrução histórica de uma parte desse desenvolvimento; mais precisamente, do período entre as descobertas, meados do século XVI, das fórmulas para exibir as soluções das equações de 3° e 4° graus e a publicação dos artigos de Evariste Galois em 1846. Em nossa reconstrução destacamos as relações entre as principais idéias de Cardano, Lagrange e Galois, que aparecem em suas tentativas de resolução de uma equação algébrica por radicais. Esta narrativa ainda tem a pretensão de que o material compilado sirva de apoio para um primeiro curso de Álgebra. / Abstract: Finding the roots of an algebraic equation has challenged mathematicians since the beginning of the Mathematics knowledge, and the problem was solved only at the beginning of the 19th century. Different approaches in the search gave rise to development of what is nowadays named Algebra. Here we review a single moment in history that was precisely the middle of the 16th century, when ways to show the solutions of equations of 3rd and 4rd degrees were discovered, and the year 1846 of the publishing of Galois' works. We also point out relations among the main ideas of Cardano, Lagrange and Galois appearing in their attempt to the question. We believe that our material may be helpful in a first course of Algebra. / Mestre

O presente trabalho tem por objetivo apresentar a prova de um teorema de James Ax e Simon B. Kochen relacionada com uma conjectura de Artin. A demonstração apresentada usa essencialmente Teoria de Modelos e Teoria de Valorizações. O teorema nos diz que para cada grau dεn* existe uma cota nd tal que, para todo primo p>=nd, cada polinômio homogêneo sobre Qp de grau d em mais de d² variáveis possui uma raiz não trivial no corpo de números p-ádicos Qp. A solução encontrada por Ax e Kochen para a conjectura de Artin é um dos mais importantes exemplos de aplicação de Teoria de Modelos - um ramo da Lógica Matemática - à Álgebra, neste caso, à Teoria de Números. / The present work has objective to present a proof of a theorem due to James Ax and Simon B. Kochen related to an Artin's conjecture. The demonstration shown uses essencially Model Theory and Valuation Theory. The theorem tell us that for each degree dεn* exists a bound nd such that, for all prime p>=nd, each homogeneous polynomial over Qp of degree d in more than d² variables has a non-trivial root in the field of p-adic numbers Qp. The solution found by Ax and Kochen for the Artin's conjecture is one of the most important examples of application of Model Theory - a branche of Mathematical Logic - to Algebra, in this case, to Number Theory.