Este trabajo tiene por objetivo describir y analizar las organizaciones matemáticas en torno a la función cuadrática en los libros de texto de enseñanza universitaria en la escuela de Economía de una universidad publica de Lima. Para dicho trabajo tomamos en cuenta investigaciones relacionadas a la función cuadrática según las dificultades presentadas por los estudiantes y al tratamiento que se daba a la organización matemática del objeto en estudio. En base a la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Chevallard (1999) presentamos una organización matemática de referencia donde definimos los elementos de una praxeologıa: tareas, técnicas y tecnologías con respecto a nuestro objeto de estudio; apoyados en los criterios que hemos definido presentamos la descripción y análisis de los libros de texto seleccionados donde presentamos como los autores muestran las organizaciones matemáticas en torno a la función cuadrática y como estas organizaciones matematicas contribuyen para enfrentar las dificultades que tienen los estudiantes en su aprendizaje de una funcion cuadratica, encontradas en los trabajos previos. Finalmente, se evaluaron las praxeologıas de la organización matemática y se hicieron sugerencias para la reorganización didáctica del tema función cuadrática en los libros de texto analizados, teniendo como base los resultados de la descripción y el análisis de dichas praxeologıas.

El presente trabajo de investigación tiene como objetivo identificar el conocimiento didáctico matemático que debe manifestar un profesor en la secundaria para reconocer la complejidad o la progresión de características algebraicas en tareas sobre ecuaciones que se presentan en textos escolares. Para ello, señalaremos cuáles son los conocimientos matemáticos referidos a cada objeto primario asociado a las ecuaciones de primer y segundo grado que emergen de las prácticas matemáticas, en una propuesta para el significado institucional de referencia de las ecuaciones. A partir de dicha propuesta y de las consignas que se describen para la faceta epistémica y ecológica del Modelo del Conocimiento Didáctico Matemático propuesto por Godino (2009), hemos llegado a determinar que un profesor debe ser capaz de identificar los conocimientos que se requieren para abordar un contenido, así como los lenguajes, conceptos, tipos de situaciones, diferentes procedimientos y propiedades que se ponen en juego para el estudio de las ecuaciones. También las conexiones de las ecuaciones de primer y segundo grado con temas y tópicos más avanzados según el currículo nacional. Además, debe identificar los conocimientos que marquen la evolución del razonamiento algebraico elemental, tales como el reconocimiento de los procesos algebraicos de generalización, unitarización, simbolización que son rasgos característicos de los niveles de algebrización (0, 1, 2 y 3) que se definen desde el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS) para que genere o modifique tareas en mejora de su práctica profesional. Finalmente, en nuestras consideraciones finales, destacamos que con la identificación de estos conocimientos y el insumo del significado institucional de referencia será posible dar cuentas en futuras investigaciones de las ausencias, presencias, debilidades y fortalezas de nuestro diseño curricular; así como de implementar una propuesta para formación de profesores. / The present research aims to identify the mathematical didactic knowledge that must be demonstrated by a teacher in the secondary to recognize the complexity or progression of algebraic characteristics in tasks on equations that are presented in school texts. To do this, we will point out the mathematical knowledge related to each primary object associated to the first and second degree equations that emerge from the mathematical practices, in a proposal for the institutional meaning of reference of the equations. Based on this proposal and the slogans that are described for the epistemic and ecological facet of the Mathematical Didactic Knowledge Model proposed by Godino (2009), we have come to determine that a teacher must be able to identify the knowledge required to approach A content, as well as the languages, concepts, types of situations, different procedures and properties that are put into play for the study of the equations. Also the connections of the first and second degree equations with topics and more advanced topics according to the national curriculum. In addition, it must identify the knowledge that marks the evolution of elementary algebraic reasoning, such as the recognition of the algebraic processes of generalization, unitarization, symbolization that are characteristic features of algebrization levels (0, 1, 2 and 3) that are defined from the ontosemiotic approach of cognition and mathematical instruction (EOS) to generate or modify tasks in improving their professional practice. Finally, in our final considerations, we emphasize that with the identification of this knowledge and the input of the institutional meaning of reference, it will be possible to account for future investigations of the absences, presences, weaknesses and strengths of our curricular design; As well as to implement a proposal for teacher training.

El presente trabajo emplea algunas herramientas teóricas y metodológicas del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática (EOS), para identificar los diferentes significados asociados a la tareas estructurales, es decir, aquellas tareas que involucran las operaciones y propiedades de las estructuras numéricas de los números naturales , fraccionarios y decimales positivos . Para ello, se han analizado algunos textos de matemática superior, textos didácticos e investigaciones que son un referente importante en el estudio de las tareas estructurales. La noción de significado se concretiza haciendo uso de la herramienta configuración epistémica que brinda el EOS. Permite reconocer las definiciones y propiedades, mientras se resuelven problemas con procedimientos y argumentos que los justifican. Por otro lado, los niveles de algebrización permiten otorgar grado según sean los procesos de generalización desarrollados en la soluciones de las tareas. Se han identificado significados como: comparación, cambio, igualación, combinación, proporcionalidad simple, producto de medidas, densidad orden, producto y conjeturas validación. A continuación, se ha analizado los libros de texto del V ciclo de educación primaria del Perú, los cuales comprenden los grados de 5to y 6to, realizando un análisis epistémico de las tareas estructurales e identificando los niveles de algebrización. Encontrándose que predomina el lenguaje verbal y simbólico, se enfatiza en el uso de propiedades y operaciones fundamentales de los números naturales, fracciones y decimales positivos. Además, se consideran situaciones en su gran mayoría extramatemáticas, esto es, situaciones relacionadas con el mundo real, aunque no se establecen conexiones con otras áreas de conocimiento; esto ocurre pese a que el currículo nacional en la educación primaria establece que las áreas deben propiciar la integración de diversos campos del conocimiento, acorde con las etapas del desarrollo del estudiante. Por otro lado, podemos resaltar que los argumentos empleados corresponden al método deductivo y empírico. Finalmente, con respecto a los niveles de algebrización la solución de solo una tarea corresponde a un nivel 2, es decir, se plantea una ecuación de primer grado y se entiende la división como operación inversa de la multiplicación.

Nuestro trabajo tiene como objetivo analizar los posibles conflictos semióticos cuando se desarrollan problemas de función cuadrática de un texto universitario. Los conflictos semióticos que aparecieron se analizaron teniendo como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica. Para la realización de este trabajo se usó un texto universitario y una actividad sobre función cuadrática planteada a estudiantes de primeros ciclos de universidad. Finalmente la metodología que se utilizó en el presente trabajo es el de análisis de contenido. En el primer capítulo se describió los antecedentes, la justificación, los objetivos y la metodología que usamos en nuestro trabajo. En el segundo capítulo, se describió al objeto matemático función cuadrática tomando aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica tales como los registros de representación, lengua natural, algebraico y gráfico de coordenadas cartesianas. También se estudió los tratamientos y las conversiones que realizan entre representaciones para los registros de representación mencionados. En el tercer capítulo, se analizó un texto universitario y una actividad sobre función cuadrática. Del análisis se concluyó que el texto no permite que se hagan los tratamientos y las conversiones de forma espontánea, sino que los declara como parte de la pregunta. En el cuarto capítulo, se detalló y analizó los posibles conflictos semióticos al resolver problemas sobre la función cuadrática en un texto y una actividad. Finalmente, en el quinto capítulo, se procedió a detallar las conclusiones y recomendaciones acerca de nuestro trabajo. También se mencionó algunas recomendaciones para futuras investigaciones. / Our work has as objective to analyze the possible semiotic conflicts when they develop problems of quadratic function of a university text. The semiotic conflicts that appeared were analyzed having as theoretical framework the Theory of Records of Semiotic Representation. For the accomplishment of this work a university text was used and an activity on quadratic function raised to students of first cycles of university. Finally the methodology that was used in the present work is the one of content analysis. The first chapter described the background, justification, objectives and methodology that we use in our work. In the second chapter, the mathematical object quadratic function was described taking aspects of the Theory of Semiotic Representation Registers such as the registers of representation, natural language, algebraic and chart of cartesian coordinates. We also studied the treatments and the conversions that they perform between representations for the representation registers mentioned. In the third chapter, a university text and an activity on a quadratic function were analyzed. The analysis concluded that the text does not allow treatments and conversions to be made spontaneously, but rather declares them as part of the question. In the fourth chapter, it was detailed and analyzed the possible semiotic conflicts when solving problems on the quadratic function in a text and an activity. Finally, in the fifth chapter, we proceeded to detail the conclusions and recommendations about our work. Some recommendations for future research were also mentioned.

Esta tesis estudia la clasificación de los productos tensoriales torcidos de dos álgebras asociativas con unidad A y B, es decir, las estructuras de álgebra que puede adoptar el producto tensorial de espacios vectoriales subyacentes A B, compatibles con las estructuras de A y B. En primer lugar desarrollamos la teoría básica que se encuentra dispersa en varios artículos de investigación y establecemos como primer resultado propio, la dualidad que existe entre las aplicaciones de torcimiento de un producto tensorial torcido y su álgebra opuesta. Este resultado parece haber sido conocido entre los expertos del área sin embargo no se encuentra ninguna prueba en la literatura. Luego estudiamos el caso en que uno de los factores del producto tensorial torcido tiene dimensión finita. Por ejemplo si A tiene dimensión finita, se establece que bajo estas condiciones definir una aplicación de torcimiento de A con B es equivalente a definir un par de representaciones matriciales (p , ph), una de B y otra de Aop. La primera tiene coeficientes en A y la segunda tiene coeficientes en Endk(B). Además, obtenemos una representación matricial el del producto tensorial torcidos en Mn(B). Estas representaciones constituyen el resultado principal propio en el segundo capítulo. Como aplicación describimos los productos tensoriales torcidos estudiados por Cibils, Jara et al. y Guccione et al. en términos del par de representaciones (p , ph) y deducimos las condiciones que permiten a los autores en cada uno de los casos lograr una clasificación (parcial o total). A continuación nos enfocamos en las aplicaciones de torcimiento de Kn con Km. Establecemos una caracterización de estas aplicaciones de torcimiento en términos de matrices con coeficientes en K, la cual se debe a que ambas álgebras son conmutativas y de dimensión finita. Tal caracterización nos permite clasificar completamente las aplicaciones de torcimiento de rango reducido 1 que en nuestro lenguaje se ve muy diferente de la clasificación alcanzada por Jara et al.. Luego desarrollamos herramientas para el estudio de dos familias de productos tensoriales torcidos: las estándar y las casi-estándar. Estas herramientas permiten estudiar la relación entre las aplicaciones de torcimiento estándar, y casi-estándar, con las álgebras de camino de Quivers, y establecen una generalización del resultado obtenido por Cibils para n = 2. Para analizar utilizamos todos de los resultados obtenidos para clasificar los productos tensoriales torcidos en el caso de dimensiones bajas, incluyendo todas las aplicaciones de torcimiento de K3 con K3.

En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial. / Tesis

En esta tesis desarrollaremos los funtores extensión ExtiR(-;M) y ExtR(M;-) como los i-ésimos funtores derivados derechos de los funtores HomR(-;M) y HomR(M;-), respectivamente, y demostraremos que estos dos enfoques producen la misma noción, es decir, ExtiR es un bifuntor balanceado. Asimismo, obtendremos el funtor torsión TorRi (-;N) como el i-ésimo funtor derivado izquierdo del funtor -R N. Construiremos las Ext-sucesiones y Tor-sucesiones exactas largas y por medio de estas sucesiones estableceremos algunos criterios que nos permitirán determinar la inyectividad, proyectividad y planitud de un R-módulo dado.

El objetivo central de nuestro trabajo es la descripción detallada de la re-presentación de grupos simétricos (o de permutaciones). Para tal efecto estructuramos la exposición en tres capítulos. En el primero se efectúa un estudio detallado de los grupos simétricos en cuanto a propiedades algebraicas, con énfasis en describir cómo opera en dichos grupos la relación de conjugación. En el capítulo 2 se desarrolla una teoría general de la representación lineal de grupos en espacios vectoriales. Cobran importancia las representaciones irreducibles como instrumentos que permiten construir estructuras más generales. Finalmente en el capítulo3 se desarrollan los vínculos existentes entre representaciones irreducibles de grupos simétricos y los diagramas de Young y se llega identificar cada representación irreducible con un objeto algebraico abstracto denominado módulo de Specht. / Themain objective of ourwork is the detailed description of the representation of symmetric groups (known also as permutations). For this purpose we organize the work in three chapters. In the first, a study is carried out of the symmetric groups in terms of algebraic properties, with emphasis in describing how conjugation operates within. In Chapter 2 a general theory of linear representation of groups in vector spaces is developed. Irreducible representations are important as instruments that allow us to build more general structures. Finally, in Chapter 3, the existing links between irreducible representations and Young diagrams are exposed, and it get to identify each irreducible representationwith an abstract algebraic object called the Specht module. / Tesis

El presente trabajo tiene por objetivo analizar las tareas desarrolladas y propuestas en el texto oficial de matemática de cuarto año de secundaria de 2012, en relación con el objeto matemático fracciones algebraicas, objeto de estudio establecido en el Diseño Curricular Nacional (2009), que se enseñó en el nivel VII de educación secundaria en las instituciones públicas del país y es usado en diversos contenidos matemáticos a nivel superior. Para hacer el análisis de nuestro objeto de estudio, fracciones algebraicas, es necesario trabajar con las herramientas de análisis que ofrece la teoría Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática, más conocido como EOS, las cuales, ayudan a identificar los objetos activados en la práctica matemática de nuestro estudio. El análisis de las configuraciones epistémicas elaboradas, en las cuales se presentan los objetos matemáticos primarios: conceptos, lenguajes, problemas, proposiciones, procedimientos y argumentos; sirven tanto para determinar los significados institucionales, como para identificar los conceptos y procedimientos usados al resolver tareas sobre fracciones algebraicas. Además, al identificar los procesos y conceptos de las tareas propuestas y desarrolladas en el material de texto, se realiza la categoría de tareas simples y complejas de acuerdo a la demanda cognitiva propuesta por Stein. Asimismo, es necesario apoyarnos en los descriptores del sentido estructural, enfoque procedimental y estructural, para determinar el nivel de exigencia cognitiva que presentan las tareas del texto oficial de matemática 2012. Finalmente, después del análisis respectivo, hemos concluido que las tareas matemáticas de fracciones algebraicas que se propusieron a los alumnos de educación secundaria pública, tienen baja idoneidad epistémica, lo cual nos permite reflexionar acerca de cómo se vienen proponiendo las tareas en el texto oficial de matemática de cuarto año de secundaria. / The objective of this paper is to analyze the tasks developed and proposed in the official text of mathematics in the fourth year of secondary school in 2012, related to the mathematical object algebraic fractions, object of study established in the National Curricular Design (2009), which was taught in the level VII of secondary education in the public institutions of the country and is used in diverse mathematical contents at a superior level. To make the analysis of our object of study, algebraic fractions, it is necessary to work with the analysis tools offered by the Ontosemiótico Approach of Cognition and Mathematical Instruction, better known as EOS, which help to identify the objects activated in the mathematical practice of our study. The analysis of elaborate epistemic configurations, in which the primary mathematical objects are presented: concepts, languages, problems, propositions, procedures and arguments; they serve both to determine institutional meanings, and to identify the concepts and procedures used in solving tasks on algebraic fractions. In addition, by identifying the processes and concepts of the tasks proposed and developed in the text material, the category of simple and complex tasks is performed according to the cognitive demand proposed by Stein. Likewise, it is necessary to rely on the descriptors of the structural sense, procedural and structural approach, to determine the level of cognitive requirement presented by the tasks of the official text of mathematics 2012. Finally, after the respective analysis, we have concluded that the mathematical tasks of algebraic fractions that were proposed to students of public secondary education, have low epistemic suitability, which allows us to reflect on how the tasks are being proposed in the official text of Mathematics of fourth year of secondary school.

En este trabajo, se estudia fundamentalmente diversas relaciones aritméticas que hay en los semigrupos numéricos, como por ejemplo, obtener el conjunto de lagunas, teniendo solamente el conjunto Apery; también, dado un conjunto de elementos generadores, se asociará a cada uno de ellos, un propio semigrupo numérico. Se analiza, haciendo una descripción de diversos conceptos de la Geometría Algebraica, los cuales se relacionan con los semigrupos numéricos, mediante los semigrupos de Weierstrass, que tienen fundamento, en el teorema de Riemann-Roch. / Tesis