Orientador: Lourdes de la Rosa Onuchic / Banca: Miriam Godoy Penteado / Banca: Norma Suely Gomes Allevato / Resumo: Este trabalho de pesquisa se refere ao ensino e à aprendizagem do conceito de função, no Ensino Fundamental e Médio, fazendo uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas e, também, fazendo uso de análise de erros e concepções errôneas. Duas questões básicas que podem resumir o propósito deste trabalho são as seguintes: (1) É possível antecipar a introdução do conceito de função para as diversas séries do Ensino Fundamental II, com o uso da metodologia acima mencionada? (2) Como o estudo dos erros cometidos pelos alunos pode ajudar no processo de ensino-aprendizagem? Procuramos respostas para essas questões ao analisarmos trabalhos de alunos das diferentes séries dos ensinos Fundamental e Médio, realizados em sala de aula, sob nossa orientação como professora-pesquisadora. As respostas a essas questões se apoiaram em pontos-chave desta pesquisa, referentes a diferentes concepções da álgebra, a princípios da aprendizagem, e a estudo de erros. A análise desses trabalhos nos leva a pensar que é possível antecipar o ensino do conceito de função para a 5a série /6° ano do Ensino Fundamental, de forma intuitiva, ao invés de, como o usual, introduzi-lo formalmente na 1ª série do Ensino Médio. Para o desenvolvimento desta pesquisa utilizamos a Metodologia de Pesquisa de Thomas A. Romberg / Abstract: This research refers to the teaching and learning of the function concept in elementary school and school, making use of the Mathematics Teaching - Learning - Assessment through Problem Solving Methodology and also making use of error analysis and misconceptions. Two basic questions that can summarize the purpose of this study are: (1) Is it possible to anticipate the introduction of the concept of function for the various grades, II, using the methodology mentioned above? (2) How to study the mistakes made by students can help in the teaching-learning process? We seek answers to these questions by analyzing the works of students of different grades of elementary and high schools, conducted in the classroom, under our guidance as a teacher-researcher. The answers to these questions were supported by key points of this research, referring to different concepts of algebra, to principles of learning and study of errors. The analysis of these students works leads us to think that we can anticipate the teaching of the concept of function to the 5th grade / 6th grade of elementary school, intuitively, rather than, as usual, introduce it formally in first grade of High School. This research was developed following the Research Methodology presented by Thomas A. Romberg / Mestre

O espectro vibracional do monofluoracetileno (HCCF) e do monocloroacetileno (HCCCl) são calculados por meio de técnicas algébricas sob a hipótese de que eles resultam de uma simetria u(4) dada pela cadeia u(4) ⊃ so(4) ⊃ so(3). Os resultados são comparados com as 170 linhas vibracionais experimentais disponíveis para o HCCF e com as 23 disponíveis para o HCCCL. Os desvios médios encontrados de 7 cm-1 e 4 cm-1, respectivamente, estabelecem estes sistemas como os melhores exemplos de simetria dinâmica em Física Molecular até o momento. Numa outra aplicação de técnicas algébricas, tendo em mente aplicações que requerem a manipulação de diferentes representações irredutíveis, nós calculamos fórmulas fechadas e analíticas para os elementos de matriz dos geradores da álgebra simplética sp(4,C) atuando numa representação irredutível arbitrária da cadeia sp(4,C) ⊃ sp(2,C) ⊕sp(2, C), a qual está sendo utilizada no estudo do código genético. A base utilizada é ortogonal e é análoga à base de Gel\'fand- Tsetlin para as álgebras unitárias. / The vibrational spectrum of monofluoroacetylene (HCCF) and of monochloroacetylene (HCCCl) are calculated by means of algebraic techniques under the hypothesis that they result from a U(4) symmetry through the chain U(4) symmetry through the chain U(4) ⊃ O(4) ⊃ O(3). The results are compared with the 170 experimentally available vibrational lines for the HCCF and with the 23 experimentally available vibrational lines for the HCCCl. The mean square deviation is founded to be 7 cm-1 and 4 cm-1, respectivelly, establishing these spectra as the best examples of a dynamical symmetry reported in Molecular Physics so far. In another application of algebraic techniques, having in mind applications in which the algebraic handling of several different irreducible representations are necessary, we provide closed formulas for the matrix elements of the symplectic sp(4,C) Lie algebra on an arbitrary irreducible representation on the chain sp(4,C) ⊃ sp(2,C) ⊕ sp(2,C), which is being used in the study of the genetic code by Lie algebras. The used basis is orthogonal and analogous to the Gel\'fand- Tsetlin basis of unitary algebras.

A tecnologia de virtualização de redes é um novo paradigma de redes que permite a múltiplas redes virtuais (VNs) compartilharem de uma forma eficiente e eficaz a mesma rede de infraestrutura denominada rede de substrato (SN). A implementação e o desenvolvimento de novos protocolos, testes de novas soluções e arquiteturas para a Internet atual e do futuro podem ser tratadas por meio da virtualização de redes. Com a virtualização de redes surge um desafio denominado problema VNE. O problema de virtualização de redes embutidas (VNE) consiste em realizar o mapeamento dos nós virtuais e o mapeamento dos enlaces virtuais sobre uma rede de substrato (SN). O problema é conhecido como NP-Hard e a sua solução é realizada por meio de algoritmos heurísticos e aproximados que realizam o mapeamento de nós e enlaces virtuais em dois estágios de forma independente ou coordenada. A presente tese tem o objetivo de resolver o mapeamento dos enlaces virtuais do problema VNE com a utilização da álgebra de caminhos. A solução apresentada fornece o melhor desempenho quando comparada com as demais soluções de virtualização de redes encontradas na literatura. Os resultados obtidos nas simulações para o problema VNE foram avaliados e analisados com a utilização do algoritmo desenvolvido nesta tese denominado Path Algebra for Virtual Link Mapping (PAViLiM), que utiliza a álgebra de caminhos para realizar o mapeamento de enlaces virtuais para caminhos na rede de substrato. A álgebra de caminhos é poderosa e flexível. Tal flexibilidade permite que ocorra uma exploração detalhada do espaço de soluções e a identificação do melhor critério e política que devem ser utilizados para a virtualização de redes. / The network virtualization technology is a new paradigm of network that allows multiple virtual networks (VNs) share in an efficient and effective way the same network infrastructure called substrate network (SN). The implementation and the development of new protocols, testing of new solutions and architectures for current and future Internet can be addressed through network virtualization. With the network virtualization arises a challenge called VNE problem. The problem of virtual network embedded (VNE) is to conduct the mapping of the virtual nodes and mapping of the virtual links over a substrate network (SN).The problem is known as NP-Hard and its solution is accomplished by means of approximate and heuristic algorithms that perform the mapping of virtual nodes and links in two stages independently or coordinated. This thesis aims to solve the mapping of virtual links for VNE problem using the paths algebra. The solution presented provides the best performance when compared with other networks virtualization solutions from the literature. The results of simulation for the VNE problem were evaluated and analyzed using the algorithm developed in this thesis called Path Algebra for Virtual Link Mapping (PAViLiM), which uses the paths algebra to perform the mapping of virtual links to paths in substrate network. The paths algebra is powerful and flexible. This flexibility allows the occurrence of a detailed exploration for identifying the best solutions and political criteria to be used for network virtualization.

Devido à grande diversidade de microrganismos desconhecidos no meio ambiente, 99% deles não podem ser cultivados nos meios de cultura tradicionais dos laboratórios. Para isso, projetos metagenômicos são propostos para estudar comunidades microbianas presentes no meio ambiente, a partir de técnicas moleculares, em especial o seqüenciamento. Dessa forma, para os próximos anos é esperado um acúmulo de seqüências produzidas por esses projetos. As seqüências produzidas pelos projetos genomas e metagenomas apresentam vários desafios para o tratamento, armazenamento e análise, como exemplo: a busca de clones contendo genes de interesse. Este trabalho apresenta uma abordagem algébrica que define e gerencia de forma dinâmica as regras para a seleção de clones em bibliotecas genômicas e metagenômicas, que se baseiam em álgebra de processos. Além disso, uma interface web foi desenvolvida para permitir que os pesquisadores criem e executem facilmente suas próprias regras de seleção de clones em bancos de dados de seqüências genômicas e metagenômicas. Este software foi testado em bibliotecas genômicas e metagenômicas e foi capaz de selecionar clones contendo genes de interesse. / Due to the wide diversity of unknown organisms in the environment, 99% of them cannot be grown in traditional culture medium in laboratories. Therefore, metagenomics projects are proposed to study microbial communities present in the environment, from molecular techniques, especially the sequencing. Thereby, for the coming years it is expected an accumulation of sequences produced by these projects. Thus, the sequences produced by genomics and metagenomics projects present several challenges for the treatment, storing and analysis such as: the search for clones containing genes of interest. This work presents an algebraic approach that defines it dynamically and manages the rules of the selection of clones in genomic and metagenomic libraries, which are based on process algebra. Furthermore, a web interface was developed to allow researchers to easily create and execute their own rules to select clones in genomic and metagenomic sequence database. This software was tested in genomics and metagenomics libraries and it was able to select clones containing genes of interest.

In Relational Algebra, the operator Division (÷) is an intuitive tool used to write queries with the concept of for all, and thus, it is constantly required in real applications. However, as we demonstrate in this MSc work, the division does not support many of the needs common to modern applications, particularly those that involve complex data analysis, such as processing images, audio, genetic data, large graphs, fingerprints, and many other non-traditional data types. The main issue is the existence of intrinsic comparisons of attribute values in the operator, which, by definition, are always performed by identity (=), despite the fact that complex data must be compared by similarity. Recent works focus on supporting similarity comparison in relational operators, but no one treats the division. MSc work proposes the new Similarity-aware Division (÷) operator. Our novel operator is naturally well suited to answer queries with an idea of candidate elements and exigencies to be performed on complex data from real applications of high-impact. For example, it is potentially useful to support agriculture, genetic analyses, digital library search, and even to help controlling the quality of manufactured products and identifying new clients in industry. We validate our proposal by studying the first two of these applications. / O operador de Divisão (÷) da Álgebra Relacional permite representar de forma simples consultas com o conceito de para todos, e por isso é requerido em diversas aplicações reais. Entretanto, evidencia-se neste trabalho de mestrado que a divisão não atende às necessidades de diversas aplicações atuais, principalmente quando estas analisam dados complexos, como imagens, áudio, textos longos, impressões digitais, entre outros. Analisando o problema verifica-se que a principal limitação é a existência de comparações de valores de atributos intrínsecas à Divisão Relacional, que, por definição, são efetuadas sempre por identidade (=), enquanto objetos complexos devem geralmente ser comparados por similaridade. Hoje, encontram-se na literatura propostas de operadores relacionais com suporte à similaridade de objetos complexos, entretanto, nenhuma trata a Divisão Relacional. Este trabalho de mestrado propõe investigar e estender o operador de Divisão da Álgebra Relacional para melhor adequá-lo às demandas de aplicações atuais, por meio de suporte a comparações de valores de atributos por similaridade. Mostra-se aqui que a Divisão por Similaridade é naturalmente adequada a responder consultas diversas com um conceito de elementos candidatos e exigências descrito na monografia, envolvendo dados complexos de aplicações reais de alto impacto, com potencial por exemplo, para apoiar a agricultura, análises de dados genéticos, buscas em bibliotecas digitais, e até mesmo para controlar a qualidade de produtos manufaturados e a identificação de novos clientes em indústrias. Para validar a proposta, propõe-se estudar as duas primeiras aplicações citadas.

As pointed out by I. Moerdijk and G. Reyes in [63], C&#8734-rings have been studied specially for their use in Singularity Theory and in order to construct topos models for Synthetic Differential Geometry. In this work, we follow a complementary trail, deepening our knowledge about them through a more pure bias, making use of Category Theory and accounting them from a logical-categorial viewpoint. We begin by giving a comprehensive systematization of the fundamental facts of the (equational) theory of C&#8734-rings, widespread here and there in the current literature - mostly without proof - which underly the theory of C&#8734-rings. Next we develop some topics of what we call a &#8734Commutative Algebra, expanding some partial results of [66] and [67]. We make a systematic study of von Neumann-regular C&#8734-rings (following [2]) and we present some interesting results about them, together with their (functorial) relationship with Boolean spaces. We study some sheaf theoretic notions on C&#8734-rings, such as &#8734(locally)-ringed spaces and the smooth Zariski site. Finally we describe classifying toposes for the (algebraic) theory of &#8734 rings, the (coherent) theory of local C&#8734-rings and the (algebraic) theory of von Neumann regular C&#8734-rings. / Conforme observado por I. Moerdijk e G. Reyes em [63], os anéis C&#8734 têm sido estudados especialmente tendo em vista suas aplicações em Teoria de Singularidades e para construir toposes que sirvam de modelos para a Geometria Diferencial Sintética. Neste trabalho, seguimos um caminho complementar, aprofundando nosso conhecimento sobre eles por um viés mais puro, fazendo uso da Teoria das Categorias e os analisando a partir de pontos de vista algébrico e lógico-categorial. Iniciamos o trabalho apresentando uma sistematização abrangente dos fatos fundamentais da teoria (equacional) dos anéis C&#8734, distribuídos aqui e ali na literatura atual - a maioria sem demonstrações - mas que servem de base para a teoria. Na sequência, desenvolvemos alguns tópicos do que denominamos Álgebra Comutativa C&#8734, expandindo resultados parciais de [66] e [67]. Realizamos um estudo sistemático dos anéis C&#8734 von Neumann-regulares - na linha do estudo algébrico realizado em [2]- e apresentamos alguns resultados interessantes a seu respeito, juntamente com sua relação (funtorial) com os espaços booleanos. Estudamos algumas noções pertinentes à Teoria de Feixes para anéis &#8734, tais como espaços (localmente) &#8734anelados e o sítio de Zariski liso. Finalmente, descrevemos toposes classicantes para a teoria (algébrica) dos anéis C&#8734, a teoria (coerente) dos anéis locais C&#8734 e a teoria (algébrica) dos anéis C&#8734 von Neumann regulares.

Esta tese apresenta os resultados da pesquisa desenvolvida com o objetivo de investigar as relações entre o movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos e o objeto de ensino da álgebra. A partir de categorias do materialismo dialético e dos fundamentos da teoria histórico-cultural, foram analisadas formas de pensamento, linguagem e formação de conceitos em registros de história da álgebra. Essa primeira análise permitiu destacar e explicar os nexos conceituais e caracterizar o que se considerou como a essência da álgebra: estabelecer a relação entre grandezas variáveis de forma geral. A essência da álgebra foi considerada como categoria para outro movimento de análise, sobre a constituição do objeto de ensino da álgebra. Este objeto foi reconhecido em propostas curriculares, no discurso de professores e em situações de ensino. Assim, os dados para análise foram apreendidos tanto do desenvolvimento histórico e lógico dos conceitos algébricos (que se apresentaram como objeto de estudo em um primeiro momento e posteriormente assumiram o papel de instrumento e categoria de análise), quanto do processo de preparação e desenvolvimento de um curso de atualização para professores que objetivava concretizar e colocar em movimento as relações entre o movimento histórico e lógico dos conceitos e o objeto de ensino da álgebra. Os tópicos sequências, equações e funções, que perpassam o ensino de álgebra na educação básica, foram as manifestações que possibilitaram evidenciar a análise do movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos como princípio para a organização do ensino. Esses processos de análise permitiram reconhecer a importância do processo de generalização para o conhecimento algébrico, o que gerou a elaboração de um modelo de análise da generalização em situações de ensino. A partir do que se reconheceu como a essência do conhecimento algébrico também se analisou as ações de planejamento para o ensino de equações, estabelecidas entre a pesquisadora e uma professora. Nessa pesquisa, se reconheceu que, a essência e os nexos conceituais do conhecimento algébrico revelados no seu movimento histórico e lógico constituem-se em elementos centrais a serem considerados para constituição do objeto de ensino da álgebra. Essa é a principal relação entre o estudo do movimento histórico e lógico dos conceitos e o objeto de ensino da álgebra. O reconhecimento dessa relação gera implicações diretas no processo de elaboração de programas curriculares, na medida em que apresenta os fundamentos para rever as concepções sobre o objeto de ensino da álgebra. Dessa forma, gera também consequências para o processo de formação de professores, de modo que estes considerem, além das orientações didáticas e metodológicas, a especificidade da forma de conhecimento a ser ensinada para formação do pensamento teórico dos estudantes. / This thesis presents the results of the research carried out to investigate the relationship between the historical and logical movement of algebraic concepts and the teachings object of algebra. Based on categories of dialectical materialism and on the theoretical framework of cultural-historical theory, modes of thinking, language and concept formation were analyzed through algebra history records. This first analysis allowed to highlight and to explain the conceptual connections and to characterize what was considered as the essence of algebra: to establish the relationship between variable magnitudes in a general way. The essence of algebra was considered as a category for another movement of analysis on the constitution of the teachings object of algebra. This object was recognized in curriculum proposals, in teachers speech and in teaching situations. Thus, data for analysis were seized from both: the logical and historical development of algebraic concepts (which present themselves as an object of study in a first moment and subsequently they assumed the role of an instrument and an analytical category), and the process of constructing and developing a course for teachers, which aim was to put in movement the relationships between the historical and logical movement of concepts and the teachings object of algebra. The topics \"sequences\", \"equations\" and \"functions\" that pervade algebra teaching in elementary education were the manifestations that allowed to evidence the analysis of the historical and logical movement of algebraic concepts as a principle for teaching organization. These processes of analysis allowed to recognize the importance of the generalization process for the algebraic knowledge, which led to the development of a \"model of analysis of generalization in teaching situations. From what was recognized as the essence of algebraic knowledge, planning actions for teaching equations established between the researcher and a teacher were also analyzed. In this research, it was recognized that the essence and the conceptual connections of algebraic knowledge revealed in its historical and logical movement are the central elements to be considered for the constitution of the teaching object of algebra. This is the main relation between the study of the historical and logical movement of concepts and the teaching object of algebra. The recognition of this relationship generates implications in the development of curricula, once it presents the fundamentals to review the concepts on the subject of teaching algebra process. Thus, it also generates consequences for the process of teacher training, so that they may consider, in addition to didactic and methodological guidelines, the specificity of the form of knowledge to be taught for students theoretical thinking development.

O principal objetivo deste trabalho é o estudo de certas álgebras de funções complexas infinitamente deriváveis. Denomidas Álgebras de Dales-Davie, apresentamos a construção dessas álgebras que foram definidas por Dales e Davie em 1973, como também apresentamos os principais resultados envolvendo sua completude e naturalidade, tópicos que foram estudados por diversos autores, e.g. Abtahi, Honary, et al. Por fim, apresentamos os resultados obtidos por Lourenço e Vieira a respeito do estudo da diferença das álgebras de Dales-Davie com a Álgebra de Disco. / The main purpose of this work is to study the Dales-Davie algebras . We shall present the construction of this algebras defined by Dales and Davie in 1973. Following, the main results about its completeness and naturality as an normed algebra, this topics were studied by some authors, e.g. Abtahi, Honary, et al. Furthermore, we study the results found by Lourenço e Vieira about the difference of Dales-Davie algebras and Disk algebra.

The objective of this work is the study of phase transitions on the context of Groupoids and their C*-Algebras. The main result of this dissertation is due to Klaus Thomsen in [Tho17], which investigates the connection between conformal measures in the classical formalism and KMS-states in the quantum formalism. The phase transition in the quantum setting is a consequence of this connection between both formalisms and the fact that on the classical setting it was known examples of continuous potentials that show the phenomena of phase transition. The potential used was introduced by Hofbauer [Hof77], an example that shows, dierently from potential of summable variations, potentials only continuous can exhibit phase transition. / O objetivo deste trabalho é o estudo do fenômeno de transição de fase no contexto de Grupóides e suas C*-álgebras. O resultado principal é devido a Klaus Thomsen em [Tho17], que explora a conexão entre medidas conformes no formalismo clássico e estados KMS do contexto quântico. A transição de fase no caso quântico é consequência desta ligação entre os dois formalismos e do fato de que no setting clássico eram conhecidos exemplos de potenciais contínuos que apresentam o fenômeno de transição de fase. O potencial utilizado é aquele introduzido por Hofbauer [Hof77], um exemplo que mostra que, diferentemente de potenciais de variação somável, potenciais apenas contínuos podem apresentar transição de fase.

CCS (Communicating and Concurrent Systems) is the process algebra to specify and verify concurrent and communicating systems. This work proposes a transformation guide of the CCS equations into to the UML-RT (Unified Modeling Language for Real-Time) model and a transformation guide of the UML-RT model into a set of CCS equations. The UML-RT model is a software design language, which supports code generation and the construction of executable systems. The UML-RT is an UML extension, and it does not have a formal semantics; therefore it is not possible to verify UMLRT models. The transformation guide of UML-RT models into CCS equations allows verifying the models. We argue that the transformation of CCS models into UML-RT models allows an alternative way of correctly building systems. This work details the transformation guides from CCS equations to UML-RT models and from UML-RT models to CSS equations and it discusses the limitations and benefits.