Les modèles mathématiques et plus spécifiquement les modèles basés sur l'équation de réaction-diffusion ont été utilisés largement dans la littérature pour modéliser la croissance des gliomes cérébraux et des tumeurs en général. De plus la grande littérature de recherche qui concentre sur les expériences biologiques et microscopiques, récemment les modèles ont commencé intégrer l'imagerie médicale dans ses formulations. Incluant la géométrie du cerveau et celle de la tumeur, les structures des différentes tissues et la direction de diffusion, ils ont montré qu'il est possible de simuler la croissance de la tumeur comme c'est observé dans les images médicales. Bien que des modèles génériques ont été proposés, les méthodes pour adapter ces modèles aux images d'un patient reste un domaine inexploré. Dans cette thèse nous nous adressons au problème de 'personnalisation de modèle mathématique de la croissance de tumeurs'. Nous nous focalisons sur les modèles de réaction-diffusion et leurs applications sur la croissance des gliomes cérébrales. Dans la première étape, nous proposons une méthode pour l'identification automatique des paramètres 'patient-spécifiques' du modèle à partir d'une série d'images. En observant la divergence entre la visualisation des gliomes dans les IRMs et les modèles réaction-diffusion, nous déduisons une nouvelle formulation pour expliquer l'évolution de la délinéation de la tumeur. Ce modèle 'Eikonal anistropique modifié' est utilisé plus tard pour l'estimation des paramètres à partir des images. Nous avons théoriquement analysé la méthode proposée à l'aide d'un base donne synthétique et nous avons montré la capacité de la méthode et aussi sa limitation. En plus, les résultats préliminaires, sur les cas réels montrent des potentiels prometteurs de la méthode d'estimation des paramètres et du modèle de réaction-diffusion pour la quantification de la croissance de tumeur et aussi pour la prédiction de l'évolution futur de la tumeur. En suivant la personnalisation, nous nous concentrons sur les applications cliniques des modèles 'patient-spécifiques'. Spécifiquement, nous nous attaquons au problème de la visualisation limitée d'infiltration de gliome dans l'IRM. En effet, les images ne montrent qu'une partie de la tumeur et masquent l'infiltration basse-densité. Cette information absente est cruciale pour la radiothérapie et aussi pour d'autre type de traitements. Dans ce travail, nous proposons pour ce problème une formulation basée sur les modèles 'patient-spécifiques'. Dans l'analyse de cette méthode nous montrons également les bénéfices potentiels pour la planification de la radiothérapie. La dernière étape de cette thèse se concentre sur les méthodes numériques de l'équation 'Eikonal anisotropique'. Ce type d'équation est utilisé dans beaucoup de problèmes différents tel que la modélisation, le traitement d'image, la vision par ordinateur et l'optique géométrique. Ici nous proposons une méthode numérique rapide et efficace pour résoudre l'équation Eikonal anisotropique. En la comparant avec une autre méthode état-de-l'art nous démontrons les avantages de la technique proposée.

Dans une première partie, nous présentons des équations de Saint-Venant. Sur le modèle proprement dit, nous remarquons tout d'abord que, suivant le lien entre la viscosité et le rapport des échelles caractéristiques, il est indispensable de conserver l'expression complète de la force de Coriolis : nous obtenons ainsi un nouveau modèle, avec un "effet cosinus". Nous montrons alors que les preuves d'existence de solutions faibles peuvent être adaptées à ce nouveau système. Des simulations numériques de certaines ondes soulignent l'importance de ce terme. Nous étudions ensuite l'influence des conditions limites (surface, fond) sur des modèles de type Saint-Venant. Nous présentons également des modèles obtenus en utilisant des échelles multiples en espace et en temps. Enfin, nous analysons théoriquement et numériquement un nouveau modèle de sédimentation puis nous donnons certains résultats pour les fluides visco-plastiques.<br />Dans une deuxième partie, nous nous intéressons aux équations limites que sont les équations quasi-géostrophiques (QG) et les équations des lacs. L'étude numérique des équations QG 2d nous permet de voir le rôle de l'effet cosinus de la force de Coriolis. En fonction de la topographie considérée, nous montrons que celui-ci peut être non négligeable. Toujours sur les équations QG, nous donnons un schéma, basé sur des développements asymptotiques, qui permet de bien capter la couche limite mais aussi d'ajouter le terme de topographie à la solution obtenue avec fond plat, sans refaire tous les calculs. Enfin, nous expliquons l'obtention des équations des lacs avec effet cosinus, et nous prouvons que les propriétés d'existence de solutions restent valables.

On s'intéresse dans ce mémoire aux équations de la magnétohydrodynamique (MHD) dans des milieux hétérogènes, i.e. dans des milieux pouvant présenter des variations (éventuellement brutales) de propriétés physiques. En particulier, on met ici l'accent sur la résolution des équations de Maxwell dans des milieux avec des propriétés magnétiques inhomogènes. On présentera une méthode non standard pour résoudre ce problème à l'aide d'éléments finis de Lagrange. On évoquera ensuite l'implémentation dans le code SFEMaNS, développé depuis 2002 par J.-L. Guermond, C. Nore, J. Léorat, R. Laguerre et A. Ribeiro, ainsi que les premiers résultats obtenus dans les simulations de dynamo. Nous nous intéresserons par exemple au cas de la dynamo dite de Von Kármán, afin de comprendre l'expérience VKS2. En outre, nous aborderons des cas de dynamo en précession, ou encore le problème de la dynamo au sein d'un écoulement de Taylor-Couette.

L'objectif de cette thèse est d'étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L'étude de ces classes d'exemples s'est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l'étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l'une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l'étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L'approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d'existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l'utilisation de cette méthode.

Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.

Cette thèse est consacrée à l'étude de phénomènes de propagation dans des modèles d’EDP venant de la biologie. On étudie des équations cinétiques inspirées par le déplacement de colonies de bactéries ainsi que des équations de réaction-diffusion importantes en écologie afin de reproduire plusieurs phénomènes de dynamique et d'évolution des populations. La première partie étudie des phénomènes de propagation pour des équations cinétiques. Nous étudions l'existence et la stabilité d'ondes progressives pour des modèles ou la dispersion est donnée par un opérateur hyperbolique et non par une diffusion. Cela fait entrer en jeu un ensemble de vitesses admissibles, et selon cet ensemble, divers résultats sont obtenus. Dans le cas d'un ensemble de vitesses borné, nous construisons des fronts qui se propagent à une vitesse déterminée par une relation de dispersion. Dans le cas d'un ensemble de vitesses non borné, on prouve un phénomène de propagation accélérée dont on précise la loi d'échelle. On adapte ensuite à des équations cinétiques une méthode basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour décrire des phénomènes de propagation. On montre alors comment déterminer un Hamiltonien effectif à partir de l'équation cinétique initiale, et prouvons des théorèmes de convergence.La seconde partie concerne l'étude de modèles de populations structurées en espace et en phénotype. Ces modèles sont importants pour comprendre l'interaction entre invasion et évolution. On y construit d'abord des ondes progressives que l'on étudie qualitativement pour montrer l'impact de la variabilité phénotypique sur la vitesse et la distribution des phénotypes à l'avant du front. On met aussi en place le formalisme Hamilton-Jacobi pour l'étude de la propagation dans ces équations de réaction-diffusion non locales.Deux annexes complètent le travail, l'une étant un travail en cours sur la dispersion cinétique en domaine non-borné, l'autre étant plus numérique et illustre l’introduction. / This thesis is devoted to the study of propagation phenomena in PDE models arising from biology. We study kinetic equations coming from the modeling of the movement of colonies of bacteria, but also reaction-diffusion equations which are of great interest in ecology to reproduce several features of dynamics and evolution of populations. The first part studies propagation phenomena for kinetic equations. We study existence and stability of travelling wave solutions for models where the dispersal part is given by an hyperbolic operator rather than by a diffusion. A set of admissible velocities comes into the game and we obtain various types of results depending on this set. In the case of a bounded set of velocities, we construct travelling fronts that propagate according to a speed given by a dispersion relation. When the velocity set is unbounded, we prove an accelerating propagation phenomena, for which we give the spreading rate. Then, we adapt to kinetic equations the Hamilton-Jacobi approach to front propagation. We show how to derive an effective Hamiltonian from the original kinetic equation, and prove some convergence results.The second part is devoted to studying models for populations structured by space and phenotypical trait. These models are important to understand interactions between invasion and evolution. We first construct travelling waves that we study qualitatively to show the influence of the genetical variability on the speed and the distribution of phenotypes at the edge of the front. We also perform the Hamilton-Jacobi approach for these non-local reaction-diffusion equations.Two appendices complete this work, one deals with the study of kinetic dispersal in unbounded domains, the other one being numerical aspects of competition models.

Résumé / Abstract

L’objectif de cette thèse est d’étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L’étude de ces classes d’exemples s’est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l’étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l’une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l’étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L’approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d’existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l’utilisation de cette méthode. / In this thesis we aim to give tools to understand singular perturbations in epidemic model sand population dynamic models. We study some singularly perturbed delay differential equation which does not enter into the class frame work of geometric singular perturbation for delay differential equations. An example of singularly perturbed age structured model is also studied. The study of these examples allowed us to understand and highlight some complexities of these problems. One of the main tools in understanding such questions is the normally hyperbolic manifolds theory which is our central focus in this thesis. The approach used here is the Lyapunov-Perron method. Therefore the problems of persistence and existence of exponential trichotomy (dichotomy) are also stressed since there are one of the mainingredients of this method.

On considère des germes de champs de vecteurs holomorphes singuliers trimimensionnels, appelés noeud-cols doublement résonants. Ces champs de vecteurs correspondent à des systèmes différentiels bidimensionnels à singularité irrégulière, et dont la partie linéaire possède deux valeurs propres non-nulles opposées. Ce type de singularité apparait par exemple à l'infini dans les équations de Painlevé PI,...,PV après compactification à poids de l'espace, pour des valeurs génériques des paramètres. Depuis Boutroux, l'étude de ces singularités a générè de nombreux travaux de recherche. Récemment, plusieurs auteurs ont fournis des informations nouvelles, en étudiant notamment les phénomènes de Stokes non-linéaires et quasi-linéaires associés, en donnant des formules de connexion. Les coefficients de Stokes quasi-linéaires sont invariants sous l'action de changement de coordonnées analytiques locaux, mais ne forment pas un système complet d'invariants analytiques. L'objectif de ce travail de thèse est de fournir une classification analytique générale et complète des noeud-cols doublement résonants. L'idée pour cela est d'adapter les travaux de Martinet et Ramis, généralisés ensuite par Stolovitch. Dans une première partie on fournit une classification formelle, i.e. sous l'action de changements de coordonnées formels, en exhibant des formes normales formelles. Dans un second temps, on étudiera l'existence de normalisations sectorielles (analytiques sur des secteurs), généralisant ainsi un théorème de Hukuhara-Kimura-Matuda. Enfin, on étudiera les recollements entre ces applications normalisantes dans les domaines d'intersections: c'est ce que l'on appellera les difféomorphismes de Stokes. Il s'agira là d'étudier des isotropies sectorielles de la forme normale. On verra que la donnée d'une forme normale formelle et d'un couple de difféomorphismes de Stokes fournira un système complet d'invariants analytiques. Enfin, dans une quatrième et dernière partie, nous calculerons certains de ces invariants pour la singularité irrégulière à l'infini de la première équation de Painlevé. / We consider germs of analytic singular vector fields in dimension three, called doubly-resonant saddle-nodes. These vector fields correspond to irregular two-dimensional systems with a pair of two opposite non-zero eigenvalues. This king of singularity appears for instance at infinity in Painlevé equations PI,...,PV, after a weighted compactifcation, for generic values of the parameters. Since Boutroux, the study of these singularities has generated many researches. Recently, several authors provided new informations, by studying for instance the associated non-linear and quasi-lineair Stokes phenomenas and by giving connection formulas. Quasi-linéaire Stokes coefficients are invariant under local analytic change of coordinates, but do not form a complete set of invariants for analytic classification. The goal of this work is to provide a complete analytic classification of doubly-resonant saddle-nodes. The idea for this is to adapt the works of Martinet and Ramis, generalized then by Stolovitch. In the first part, we give a formal classification, based on the existence on unique formal normal forms. In the second part, we prove the existence of sectorial nomalizing maps (analytic over sectors), generalizing a theorem by Hukuhara-Kimura-Matuda. In the third part, we study the Stokes diffeomorphisms, and more generaly the sectorials isotropies of the normal form. We obtain a complet set of analytic invariants. Finally, in the fourth part, we compute some of these invariants in the case of the first Painlevé equation.

La présente thèse traite de deux questions de stabilité en mécanique des fluides. Les deux premiers résultats de la thèse sont consacrés au problème de la limite non-visqueuse pour les équations de Navier-Stokes. Il s'agit de déterminer si une famille de solutions de Navier-Stokes dans un demi-espace avec une condition de Navier au bord converge vers une solution du modèle non visqueux, l'équation d'Euler, lorsque les paramètres de viscosité tendent vers zéro. Dans un premier temps, on considère le modèle incompressible 2D. Nous obtenons la convergence dans L2 des solutions faibles de Navier-Stokes vers une solution forte d'Euler, et une instabilité dans L∞ en temps très court pour certaines données initiales qui sont des solutions stationnaires de l'équation d'Euler. Ces résultats ne sont pas contradictoires, et on construit un exemple de donnée initiale permettant de voir se réaliser les deux phénomènes simultanément dans le cadre périodique. Dans un second temps, on s'intéresse au modèle compressible isentropique (température constante) en 3D. On démontre l'existence de solutions dans des espaces de Sobolev conormaux sur un temps qui ne dépend pas de la viscosité lorsque celle-ci devient très petite, et on obtient la convergence forte de ces solutions vers une solution de l'équation d'Euler sur ce temps uniforme par des arguments de compacité. Le troisième résultat de cette thèse traite d'un problème de stabilité d'ondes solitaires. Précisément, on considère un fluide isentropique et non visqueux avec capillarité interne, régi par le modèle d'Euler-Korteweg, et on montre l'instabilité transverse non-linéaire de solitons, c'est-à-dire que des perturbations 2D initialement petites d'une solution sous forme d'onde progressive 1D peuvent s'éloigner de manière importante de celle-ci. / This thesis deals with a couple of stability problems in fluid mechanics. In the first two parts, we work on the inviscid limit problem for Navier-Stokes equations. We look to show whether or not a sequence of solutions to Navier-Stokes in a half-space with a Navier slip condition on the boundary converges towards a solution of the inviscid model, the Euler equation, when the viscosity parameters vanish. First, we consider the 2D incompressible model. We obtain convergence in L2 of weak solutions of Navier-Stokes towards a strong solution of Euler, as well as the instability in L∞ in a very short time of some initial data chosen as stationary solutions to the Euler equation. These results are not contradictory, and we construct initial data that allows both phenomena to occur simultaneously in the periodic setting. Second, we look at the 3D isentropic (constant temperature) compressible equations. We show that solutions exist in conormal Sobolev spaces for a time that does not depend on the viscosity when this is small, and we get strong convergence towards a solution of the Euler equation on this uniform time of existence by compactness arguments. In the third part of the thesis, we work on a solitary wave stability problem. To be precise, we consider an isentropic, compressible, inviscid fluid with internal capillarity, governed by the Euler-Korteweg equations, and we show the transverse nonlinear instability of solitons, that is that initially small 2D perturbations of a 1D travelling wave solution can end up far from it.