L'équation intégrale du champ électrique (EFIE) et l'équation intégrale du champ combiné (CFIE) souffrent d'un mauvais conditionnement à haute discrétisation et à bassefréquence : si la taille moyenne des arrêtes du maillage est réduite ou si la fréquence est diminuée le conditionnement du système se dégrade rapidement. Cela provoque le ralentissement ou la non convergence des solveurs itératifs. Cette dissertation présente de nouveaux paradigmes permettant l'obtention de solveurs à convergence rapide pour équations intégrales; pour prévenir la dégradation du conditionnement nous avançons l'état de l'art des techniques de préconditionnement dites de Calderon et de celles reposant sur l'utilisation des bases hiérarchiques. Pour traiter l'EFIE, nous introduisons une base hiérarchique pour maillages structurés et non-structurés dérivant des pré-ondelettes primaires et duales de Haar. De plus, nous introduisons un nouveau cadre permettant de préconditionner efficacement l'EFIE dans le cas d'objets à connexion multiples. L'applicabilité à la CFIE des préconditionneurs à bases hiérarchiques fait l'objet d'une étude aboutissant à la formalisation d'une technique de préconditionnement. Nous présentons aussi un préconditionneur multiplicatif de type Calderon (RF-CMP) qui permet l'obtention d'une matrice système Hermitienne, définie positive (HDP) et bien conditionnée, sans avoir recours, contrairement aux préconditionneurs existants, au raffinement du maillage ni à l'utilisation de fonction duales. Puisque la matrice est HPD, la méthode du gradient conjugué peut servir de solveur itératif avec une convergence garantie. / The electric field integral equation (EFIE) and the combined field integral equation(CFIE) suffer from the dense-discretization and the low-frequency breakdown: if the average edgelength of the mesh is reduced, or if the frequency is decreased, then the condition number of the system matrix grows. This leads to slowly or non-converging iterative solvers. This dissertation presents new paradigms for rapidly converging integral equation solvers: to overcome the illconditioning, we advance and extend the state of the art both in hierarchical basis and in Calderón preconditioning techniques. For the EFIE, we introduce a hierarchical basis for structured and unstructured meshes based on generalized primal and dual Haar prewavelets. Furthermore, a framework is introduced which renders the hierarchical basis able to efficiently precondition the EFIE in the case that the scatterer is multiply connected. The applicability of hierarchical basis preconditioners to the CFIE is analyzed and an efficient preconditioning scheme is derived. In addition, we present a refinement-free Calderón multiplicative preconditioner (RF-CMP) that yields a system matrix which is Hermitian, positive definite (HPD), and well-conditioned. Different from existing Calderón preconditioners, no dual basis functions and thus no refinement of the mesh is required. Since the matrix is HPD—in contrast to standard discretizations of the EFIE—we can apply the conjugate gradient (CG) method as iterative solver, which guarantees convergence. Eventually, the RF-CMP is extended to the CFIE.

Le fonctionnement d'un neurone, cellule fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement afin d'en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de Hindmarsh-Rose (1984), qui présente une dynamique lente-rapide. C'est sur l'étude numérique mais également théorique de la dynamique asymptotique et transitoire de ce dernier modèle, que se concentre la seconde partie de cette thèse. Dans une troisième partie, des réseaux d'interactions sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation complète au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par des lois de puissance. Enfin, un algorithme de détection de la synchronisation de bursts est proposé.

Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal dans l'espace euclidien et dans l'espace de Minkowski de dimension trois. Il s'appuie sur la méthode de résolution proposée par René Garnier dans le cas euclidien dans un article publié en 1928 et qui a été oublié depuis, voire ignoré à l'époque. Plus géométrique et constructive que la méthode variationnelle, l'approche de Garnier est cependant parfois très compliquée, voire obscure et incomplète. On retranscrit sa démonstration dans un formalisme moderne, tout en proposant de nouvelles preuves plus simples, et en en complétant certaines lacunes. Ce travail repose principalement sur l'utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité de ces systèmes et leur monodromie. Ceci nous permet d'étendre le résultat de Garnier dans l'espace de Minkowski. La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation fuchsienne réelle du second ordre définie sur la sphère de Riemann à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions orientées des côtés du bord. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : on construit d'abord, par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on montre, en étudiant les longueurs des côtés des bords polygonaux, qu'on obtient ainsi tout polygone comme bord d'un disque minimal.

Le chapitre 1 rappelle la théorie de Tikhonov pour les systèmes lents-rapides quand la dynamique rapide est stationnaire. Le chapitre 2 examine le théorème de Pontryagin-Rodygin dans lequel la dynamique rapide est périodique. Ce résultat est redémontré en marquant son caractère topologique. Ces résultats concernent les temps finis. Nous indiquons dans le chapitre 3 comment la théorie géométrique des perturbations étudie le cas de la dynamique rapide oscillante. Dans le chapitre 4, des résultats d'approximations pour des temps infinis sont établis quand la dynamique lente converge vers un compact positivement invariant et sont interprétés en termes de stabilité pratique. Le chapitre 5 est consacré au cas où l'équation rapide admet des cycles avec relaxation. Un résultat rigoureux décrit le mouvement lent, la preuve étant basée sur la méthode de stroboscopie. Les résultats sont énoncés dans le cadre des mathématiques classiques mais démontrés à l'aide des outils de l'analyse non standard. Le chapitre 6 est une étude d'un modèle de compétition de dimension 4. Le point de départ se trouve dans des exposés du Pr. C. Lobry qui a construit un modèle où trois espèces x1, x2 et x3 sont en compétition sur une seule proie s, la coexistence de x2 et x3 semblant possible au travers de simulations numériques, pendant que s et x1 oscillent. Nous déterminons le système moyennisé qui décrit l'évolution lente du couple (x2,x3). Nous établissons des conditions suffisantes de persistance et illustrons les résultats par des exemples et des simulations numériques.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'entreprise de longue haleine d'édition critique et commentée des Oeuvres complètes de D'Alembert. Ce savant est indiscutablement le pionnier des équations aux dérivées partielles et de leur application aux sciences physiques. Toutefois, seule une partie de ses écrits sur le sujet a vraiment été examinée jusqu'ici par les historiens des sciences. Une étude approfondie de ses mémoires tardifs permet de modifier de nombreuses perspectives, notamment sur les points suivants: intégration et résolution des équations avec ou sans ce que nous appellerions des "conditions aux limites", problèmes de définition et de régularité des fonctions, convergence et divergence des séries, développement des fonctions en séries entières ou trigonométriques. Nous montrons ici la pertinence et le fécondité des résultats de D'Alembert, mais aussi de ses doutes et des pistes qu'il propose pour les éclairer.

Ce travail porte sur un problème inverse de sources dipolaires et son application à l'identification des sources de l'activité cérébrale telle qu'elle peut être mesurée par l'Electro-Encéphalo-Graphie (EEG). Des résultats d'identifiabilité et de stabilité ont été établis. Par ailleurs, une étude du problème de Cauchy en 3D, motivée par l'application de la méthode d'identification dite "algébrique", a été faite à l'aide de la méthode itérative introduite par Kozlov, Maz'ya et Fomin et au moyen des équations intégrales de frontières. En outre, une autre méthode basée sur une fonctionnelle coût de type Kohn et Vogelius a été considérée pour l'identification des sources et dont les résultats numériques sont avérés plus performants que ceux donnés par la méthode des moindres carrés.

Ce travail constitue une première étape dans la compréhension et la modélisation du comportement de contacts en frottement dans un environnement corrosif. On s'intéresse plus particulièrement à des stsructures évoluant en milieu marin.<br /><br />La première partie fait une large part à l'expérimentation, avec le développement d'un moyen d'essai original, et précise l'importance relative des phénomènes électrochimiques et mécaniques pour un contact ponctuel acier inoxydable / alumine en milieu neutre chloruré (NaCl 30 g/l). Le deuxième volet s'est attaché au développement d'une modélisation par équations intégrales des problèmes de contacts ponctuels entre des structures élastoplastiques homogènes ou revêtues en frottement continu.

Cette thèse porte sur la résolution numérique de systèmes d'équations non-linéaires. Elle présente des contributions dans trois sous-domaines utilisant le calcul par intervalles : l'analyse par intervalles, les intervalles modaux et la programmation par contraintes. Le traitement des systèmes linéaires est au centre de plusieurs des travaux. Il sert notamment de base à la résolution dans le cas non-linéaire. En analyse par intervalles, nous proposons une extension de la méthode de Hansen-Bliek pour l'approximation extérieure optimale de l'ensemble des solutions d'un système linéaire dont les coefficients varient dans des intervalles. L'extension proposée prend en compte la possibilité de choisir le quanticateur (existentiel ou universel) associé à certains coefficients du système. Cette liberté permet de modéliser un plus large éventail de problèmes linéaires, notamment ceux obtenus itérativement à partir de l'opérateur de Newton (intervalle) généralisé. Une généralisation de la décomposition LU exploitant l'arithmétique de Kaucher est également proposée. Sur les intervalles modaux, nous proposons une construction originale de la théorie qui s'articule autour de la notion d'image quantiée, généralisation naturelle de la notion d'image d'une fonction. La construction proposée présente certains avantages, comme celui de pouvoir donner un sens plus concret à l'arithmétique de Kaucher. En programmation par contraintes, nous étudions de nouvelles cohérences partielles reposant sur la structure d'unions d'intervalles. Cette structure peut être utilisée pour représenter plus nement le domaine des variables dans des systèmes de contraintes numériques. Nous montrons notamment dans quelle mesure, et à quel coût, la propriété d'arc-cohérence peut ainsi être obtenue grâce à cette nouvelle représentation.

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