La simulation de fluide fait l’objet de recherches actives en infographie. Largement utilisée dans le domaine des jeux vidéos ou de l’animation, elle permet de simuler le comportement des liquides, des gaz et autres phénomènes pouvant être apparentés à un fluide. Pour cela, la simulation de fluide dispose d’outils de calcul numériques adaptés, permettant de produire des animations visuellement réalistes pour un temps de calcul raisonnable. Ce mémoire décrit les deux principales approches utilisées en simulation de fluide : l’approche eulérienne et l’approche lagrangienne, ainsi que certains outils numériques associés, que sont les différences finies et les fonctions de lissage. Chaque approche et chaque outil numérique possède ses avantages et ses inconvénients. Les noyaux constants par morceaux constituent un nouvel outil de calcul numérique et ouvrent de nouvelles possibilités à la simulation de fluide. Ils seront étudiés en détails puis intégrés dans une simulation de fluide eulérienne. L’atout notable qu’apportent les noyaux constants par morceaux est la possibilité d’augmenter la précision des calculs là où cela est jugé nécessaire dans la simulation. En augmentant la précision des calculs aux endroits clés, où sont susceptibles d’apparaitre des effets visuellement attrayants comme les tourbillons ou les remous, nous améliorons la qualité des animations.

La Géométrie de Descartes peut être lue comme un traité consacré à la résolution (graphique) de toutes les équations polynomiales grâce à un outil forgé pour la circonstance, qui permettra à l'homme de créer les sciences quantitatives et d'atteindre - presque - le but fixé au Premier Chapitre de la Genèse : dominer le monde. Cet outil est le calcul des coordonnées, invention exceptionnelle dont cependant il n'avait pas vu toute la puissance.Ce qu'il savait, c'était simplement que, outre la possibilité de définir et de construire un stock infini de courbes, il lui permettait - croyait-il - de donner une réponse définitive au problème de la recherche des racines des équations, mais aussi, grâce à cette technique, de ramener toute question de géométrie à un calcul, bref à mécaniser en quelque sorte les dernières questions ouvertes des mathématiques de son temps.Cette grille de lecture est à confronter à l'attitude plus conservatrice pour laquelle c'était là une mise en œuvre de la Méthode, voire de la Mathesis, fondée autour de l'algébrisation de la géométrie classique, plutôt qu'une arrivée de la géométrie venant à la rescousse de l'algèbre. / La Géométrie of Descartes can be read as a treatise on (graphic) resolution of all polynomial equations, by means of a tool made up on purpose, and by which man will be able to build up the quantitative sciences and to - almost - fulfil the object as stated in Genesis, 1: to rule over the world. That tool is the coordinates system, an extraordinary discovery, more powerful even than what Descartes had imagined.He only saw a means of defining and keeping in stock an endless number of curves and, beyond that, of finding a final answer to the question of the research of the equation roots; and, through that technical medium, he knew also he could reduce any geometrical problem to algebraic calculation; in a word, solve mechanically the last open questions in the mathematics of his time.This reading of the book must be confronted with a more usual posture according to which there is nothing else here than an application of the Method, or even of the Mathesis, grounded on the algebraization of the classical geometry, more than an advent of geometry used to help algebra.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

La présente thèse comporte trois parties indépendantes.<br>La première partie présente une preuve d'existence de solutions faibles globales pour un modèle de sprays de type Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec densité variable. Ce modèle est obtenu par une limite formelle à partir d'un modèle Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec fragmentation, où seules deux valeurs de rayons de particules sont considérées : un rayon r1 pour les particules avant fragmentation, et un rayon r2<<r1 pour les particules obtenues par fragmentation. Le modèle asymptotique est obtenu dans la limite r2 tendant vers zéro. La démonstration s'appuie sur des techniques de régularisation et de troncature en vitesse, sur le théorème de Schauder et enfin sur une méthode de compacité de Lions-Di-Perna pour l'élimination des régularisations introduites dans le système initial.La deuxième partie concerne la modélisation de l'impact d'une vague de liquide sur une paroi. L'objectif de cette partie est d'obtenir un modèle pour la fuite du gaz environnant sur les "côtés" de la vague. Un modèle numérique est réalisé en remplaçant la vague liquide par une masse solide indéformable et un schéma VFFC-ALE est conçu pour la simulation numérique du modèle. La mise sans dimension des équations permet de montrer les nombres sans dimension qui régissent le phénomène de fuite. La vitesse moyenne de fuite est comparée à la vitesse dans le cas d'un fluide incompressible (pour lequel on a une expression exacte). Enfin, via la simulation numérique, une étude paramétrique est réalisée en fonction des nombres sans dimensions.Dans la troisième partie on présente une méthode numérique pour la simulation d'un modèle Vlasov-Boltzmann-Euler pour les sprays. Cette méthode couple le schéma VFFC à la méthode PIC (Particle In Cell). Les résultats présentés concernent l'écoulement d'un spray dans un pipeline courbe qu'on modélise par un système Vlasov-Boltzmann-Euler quasi-1D. / This thesis contains three independent parts.The first part presents a proof of existence of weak global solutions to a Vlasov-incompressible-Navier-Stokes system with variable density. This system is obtained formally from a classical Vlasov-incompressible-Navier-Stokes model with fragmentation for which only two values for the particules radii are considered: a radius r1 for non fragmented particules and a radius r2<<r1 for particules created by fragmentation. The asymptotic model is obtained in the limit r2 vanishing.The second part deals with the modeling of a wave impact on a rigid wall. The purpose of our work is to study and model the escape of the gas between the liquid and the wall. In the numerical model we have replaced the liquid wave with a solid mass, and developed an ALE-VFFC code for the numerical simulation of the system. Scaling the system of equations allows us to obtain the dimensionless numbers governing the escape phenomena. The mean escape velocity is compared to the velocity in the case of incompressible gas. Finally, a parametric study with respect to the dimensionless numbers is carried out.We present in the third part the principles of the coupling between an efficient numerical method for hyperbolic systems (and non conservative equations arising in multiphase flows), namely the FVCF scheme, on the one hand; and a particle method for the Vlasov-Boltzmann equation (of PIC-DSMC type), on the other hand. Numerical results illustrating this coupling are shown for a problem involving a spray (droplets inside an underlying gas) in a pipe which is mcdeled by a 1D fluid-kinetic system.

Une part importante de l’activité en calcul scientifique et analyse numérique est consacrée aux problèmes de transport d’une quantité par un champ donné (ou lui-même calculé numériquement). Les questions de conservations étant essentielles dans ce domaine, on formule en général le problème de façon eulérienne sous la forme d’un bilan au niveau de chaque cellule élémentaire du maillage, et l’on gère l’évolution en suivant les valeurs moyennes dans ces cellules au cours du temps. Une autre approche consiste à suivre les caractéristiques du champ et à transporter les valeurs ponctuelles le long de ces caractéristiques. Cette approche est délicate à mettre en oeuvre, n’assure pas en général une parfaite conservation de la matière transportée, mais peut permettre dans certaines situations de transporter des quantités non régulières avec une grande précision, et sur des temps très longs (sans conditions restrictives sur le pas de temps comme dans le cas des méthodes eulériennes). Les travaux de thèse présentés ici partent de l’idée suivante : dans le cadre des méthodes utilisant un suivi de caractéristiques, transporter une quantité supplémentaire géométrique apportant plus d’informations sur le problème (on peut penser à un tenseur des contraintes dans le contexte de la mécanique des fluides, une métrique sous-jacente lors de l’adaptation de maillage, etc. ). Un premier pan du travail est la formulation théorique d’une méthode de transport de telles quantités. Elle repose sur le principe suivant : utiliser la différentielle du champ de transport pour calculer la différentielle du flot, nous donnant une information sur la déformation locale du domaine nous permettant de modifier nos quantités géométriques. Cette une approche a été explorée dans dans le contexte des méthodes particulaires plus particulièrement dans le domaine de la physique des plasmas. Ces premiers travaux amènent à travailler sur des densités paramétrées par un couple point/tenseur, comme les gaussiennes par exemple, qui sont un contexte d’applications assez naturelles de la méthode. En effet, on peut par la formulation établie transporter le point et le tenseur. La question qui se pose alors et qui constitue le second axe de notre travail est celle du choix d’une distance sur des espaces de densités, permettant par exemple d’étudier l’erreur commise entre la densité transportée et son approximation en fonction de la « concentration » au voisinage du point. On verra que les distances Lp montrent des limites par rapport au phénomène que nous souhaitons étudier. Cette étude repose principalement sur deux outils, les distances de Wasserstein, tirées de la théorie du transport optimal, et la distance de Fisher, au carrefour des statistiques et de la géométrie différentielle. / In applied mathematics, question of moving quantities by vector is an important question : fluid mechanics, kinetic theory… Using particle methods, we're going to move an additional quantity giving more information on the problem. First part of the work is the theorical formulation for this kind of transport. It's going to use the differential in space of the vector field to compute the differential of the flow. An immediate and natural application is density who are parametrized by and point and a tensor, like gaussians. We're going to move such densities by moving point and tensor. Natural question is now the accuracy of such approximation. It's second part of our work , which discuss of distance to estimate such type of densities.

Dans cette thèse, on s'intéresse au caractère bien posé et à la contrôlabilité de quelques systèmes d'interaction fluide-structure. Plus précisément, on considère le système constitué de structures déformables ou indéformables et d'un fluide visqueux incompressible. On suppose que le fluide satisfait les équations non linéaires de Navier-Stokes en dimension 2 ou 3 et de Burgers visqueux en dimension 1. Les équations du mouvement des structures sont obtenues en minimisant une énergie du système (principe de D'Alembert) ou en appliquant le principe fondamental de la dynamique (lois de Newton). Les principaux résultats de cette thèse concernent l?existence des solutions (faibles ou fortes) dans le cas déformable, et la contrôlabilité à zéro dans le cas indéformable / In this thesis, we consider the well-posedness and controllability of some systems of fluid-structure interaction. More precisely, we consider the system consisted of deformable or non-deformable structure and of a viscous incompressible fluid. We suppose that the fluid satisfy the Navier-Stokes equation in 2 or 3 dimensions and the viscous Burger equation in 1-d. The equations for the structures are obtained by minimizing certain energy of the system (D?Alembert principle) or by applying the fundamental principle of dynamics (Newton?s laws). The principal results of this thesis are: the existence of solutions (strong or weak) in the deformable case and the null-controllability in the non-deformable case

Dans un grand nombre d'applications modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Un champ d'applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problème d'identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs par tomographie thermo-acoustique peut se ramener à des problèmes de reconstruction de données initiales. D'autres méthodes nécessitent l'identification d'un terme source, qui, sous certaines hypothèses, peut également se réécrire sous la forme d'un problème de reconstruction de données initiales. On s'intéresse dans cette thèse à la reconstruction de la donnée initiale d'un système d'évolution, en travaillant autant que possible sur le système infini-dimensionnel, à l'aide du nouvel algorithme développé par Ramdani, Tucsnak et Weiss (Automatica 2010). Nous abordons en particulier l'analyse numérique de l'algorithme dans le cadre des équations de Schrödinger et des ondes avec observation interne. Nous étudions les espaces fonctionnels adéquats pour son utilisation dans les équations de Maxwell, avec observations interne et frontière. Enfin, nous tentons d'étendre le cadre d'application de cet algorithme lorsque le système initial est perturbé ou que le problème inverse n'est plus bien posé, avec application à la tomographie thermo-acoustique / In a large class of modern applications, we have to estimate the initial (or final) state of an infinite-dimensional system (typically a system governed by a Partial Differential Equation) from its partial measurement over some finite time interval. This kind of identification problems arises in medical imaging. For instance, the detection of sick cells (tumor) by thermoacoustic tomography can be viewed as an initial data reconstruction problem. Some other methods need the identification of a source term, which can be rewritten, under some assumptions, under the form of an initial data reconstruction problem. In this thesis, we are dealing with the reconstruction of the initial state of a system of evolution, working as much as possible on the infinite-dimensional system, using the new algorithm developed by Ramdani, Tucsnak and Weiss (Automatica 2010). We perform in particular the numerical analysis of the algorithm in the case of Schrödinger and wave equations, with internal observation. We study the suitable functional spaces for its use in Maxwell?s equations, with internal and boundary observation. In the last chapter, we try to extend the framework of this algorithm when the initial system is perturbed or when the inverse problem is ill-posed, with application to thermoacoustic tomography

De nos jours, les centrales nucléaires produisent de l'énergie par des réactions de fission (division d'un noyau atomique lourd en plusieurs noyaux atomiques légers et neutrons). Une alternative serait d'utiliser plutôt la réaction de fusion de noyaux légers de deutérium et de tritium, isotopes de l'hydrogène. Toutefois, cette technique reste encore du domaine de la recherche en physique des plasmas. Les expériences effectuées dans ce domaine ont révélé que les réacteurs à configuration magnétique toroïdale, dite tokamak, sont les plus efficaces. Un mélange gazeux d'isotopes de l'hydrogène appelé plasma est confiné grâce à un champ magnétique produit par des bobines. Ce plasma doit être chauffé à une température très élevée afin que les réactions de fusion aboutissent. De même, un courant intense doit être maintenu dans le plasma afin d'obtenir une configuration magnétique qui permet de le confiner. Une des méthodes les plus attrayantes parmi les techniques connues pour générer du courant est basée sur l'injection d'ondes électromagnétiques dans le plasma à la fréquence proche de la résonance hybride. Cette méthode offre la possibilité de contrôler le profil de densité dans le plasma. Une analyse de type Full-Wave permet alors de modéliser la propagation et l'absorption de l'onde hybride à partir des équations de Maxwell. Le but de cette thèse est de développer une méthode numérique pour cette simulation Full-Wave. Le chapitre 2 présente les équations de propagation d'ondes en mettant en évidence les caractères physiques du plasma. Une approche variationnelle de type mixte augmentée est développée et une analyse mathématique de cette dernière est effectuée dans le chapitre 3. Dans le contexte de la géométrie d'un tokamak, le problème Full-Wave dépendant de trois paramètres peut être réduit en une série de problèmes à deux variables à l'aide de la transformation de Fourier, ce sera l'objet du chapitre 4. Dans le chapitre 5, la formulation variationnelle obtenue à partir du problème mode par mode est discrétisée en utilisant des éléments finis nodaux de type Taylor-Hood. Le chapitre 6 concerne les méthodes de résolution du système linéaire après discrétisation. À l'aide de différents diagnostics physiques présentés dans le chapitre 7, des résultats de la simulation Full-Wave obtenues à partir d'un code MATLAB sont présentées dans le chapitre 8. Enfin, dans le but de développer une version parallèle de la simulation, le chapitre 9 est consacré à une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement associé au système Full-Wave. / In order to generate current in tokamak, we look at plasma heating by electromagnetic waves at the lower hybrid (LH) frequency. For this type of description, one use a ray tracing code but we consider a full-wave one, where dielectric properties are local.Our aim is to develop a finite element numerical method for the full-wave modeling and to apply a domain decomposition method. In this thesis, we have developped a finite element method in a cross section of the tokamak for Maxwell equations solving the time harmonic electric field and a nonoverlapping domain decom- position method for the mixed augmented variational formulation by taking continuity accross the interfaces as constraints

Les équations différentielles constituent un important outil pour l'étude des variétés algébriques et analytiques, sur les nombres complexes et $p$-adiques. Dans le cas $p$-adique, elles présentent des phénomènes qui n'apparaissent pas dans le cas complexe. En effet, le rayon de convergence des solutions d'une équation différentielle linéaire peut être fini, et cela même en l'absence des pôles.La connaissance de ce rayon permet d’obtenir de nombreuses informations intéressantes sur l’équation. Plus précisément, depuis les travaux de F. Baldassarri, on sait associer un rayon de convergence à tout point d’une courbe p-adique au sens de Berkovich munie d’une connexion. Des travaux récents de F. Baldassarri, K. Kedlaya, J. Poineauet A. Pulita ont révélé que ce rayon se comporte de manière très contrainte. Afin de pousser l'étude, on introduit un objet géométrique qui raffine ce rayon, le spectre au sens de Berekovich d'une équation différentielle.Dans ce mémoire de thèse, nous définissons le spectre d'un module différentiel et donnons ses premières propriétés. Nous calculons aussi les spectres de quelques classes de modules différentiels: modules différentiels d'une équations différentielles à coefficients constants, modules différentiels singuliers réguliers et enfin modules différentiels sur un corps des séries de Laurent. / Differential equations constitute an important tool for theinvestigation of algebraic and analytic varieties, over thecomplex and the $p$-adic numbers. In the $p$-adic setting, theypresent phenomena that do not appear in the complex case. Indeed, theradius of convergence of the solutions of a linear differential equation,even without presence of poles.The knowledge of that radius permits to obtain several interestinginformations about the equation. More precisely, since the works ofF. Baldassarri, we know how to associate a radius of convergece to allpoint of a p-adic curve in the sense of Berkovich endowed with aconnexion. Recent works of F. Baldassarri, K.S. Kedlaya, J. Poineau, etA. Pulita have proved that this radius behave in a very controlledway. The radius of convergence can be refined using subsidiary radii,that are known to have similar properties. In order to push forward the study, we introduce a geometric object that refine this radius, thespectrum in the sense of Berkovich of a differential equation.In the present thesis, we define the spectrum of a differentialequation and provide its first properties. We also compute the spectraof some classes of differential modules: differential modules ofa differential équation with constant coefficients, singular regulardifferential modules and at last differential modules over the field ofLaurent power series.

L'objet de cette thèse est la construction de schémas numériques pour les équations cinétiques dans différents régimes de diffusion anormale. Comme le modèle devient raide en s'approchant du modèle asymptotique, les méthodes numériques standard deviennent coûteuses dans ce régime. Les schémas Asymptotic Preserving ont été introduits pour pallier à cette difficulté. Ils sont en effet stables le long de la transition du régime mésoscopique au régime microscopique. Dans le premier chapitre, nous considérons le cas d'une distribution d'équilibre qui est une fonction à queue lourde et dont le moment d'ordre 2 est infini. Le poids important des grandes vitesses de l'équilibre fait tomber la limite de diffusion usuelle en défaut, et on montre que le modèle asymptotique est une équation de diffusion fractionnaire. En nous basant sur une analyse asymptotique formelle de la convergence vers le modèle limite, nous construisons trois schémas AP pour le problème. La discrétisation en vitesse est discutée afin de prendre en compte correctement les grandes vitesses, et nous montrons que le troisième schéma est en outre uniformément précis au cours de la transition vers le régime microscopique. Dans le chapitre 2, nous étendons ces résultats au cas d'une fréquence de collision dégénérée en 0 qui mène aussi à une équation de diffusion fractionnaire. Nous adaptons ensuite ces méthodes numériques au cas d'une limite de diffusion normale avec scaling en temps anormal dans l'équation cinétique dans le chapitre 3. Dans ce cadre, la lenteur de la convergence vers le modèle asymptotique rend nécessaire une adaptation de l'approche AP des chapitres précédents. Enfin, le chapitre 4 présente un schéma AP pour l'équation cinétique dans le cas heavy-tail du chapitre 1 lorsque l'opérateur de collision est non-local. / In this thesis, we construct numerical schemes for kinetic equations in some anomalous diffusion regimes. As the model becomes stiff when reaching the asymptotic model, the standard numerical methods become costly in this regime. Asymptotic Preserving (AP) schemes have been designed to overcome this difficulty. Indeed, they are uniformly stable along the transition from the mesoscopic regime to the microscopic one. In the first chapter, we study the case of a heavy-tailed equilibrium distribution, with infinite second order moment. The importance of the high velocities in the equilibrium makes the classical diffusion limit fail, and one can prove that the asymptotic model is a fractional diffusion equation. We construct three AP schemes for this problem, based on a formal asymptotic analysis of the convergence towards the limit model. The discretization of the velocities is then discussed to take into account the high velocities. Moreover, we prove that the third scheme enjoys the stronger property of being uniformly accurate along the convergence towards the microscopic regime. In chapter 2, we extend these results to the case of a degenerated collision frequency, also leading to a fractional diffusion limit. In chapter 3, these methods are then adapted to the case of a classical diffusion limit with anomalous time scale in the kinetic equation. In this case, an adaptation of the AP approach of the previous chapter is needed, because of the slow convergence rate of the kinetic equation towards the limit model. Eventually, a AP scheme for kinetic equation with heavy-tailed equilibria and non local collision operator is presented in chapter 4.