Certains dispositifs électrotechniques présentent une couche de faible conductivité et de faible épaisseur qui modifie considérablement les répartitions des potentiels et des champs électriques. Cette situation se rencontre, par exemple, dans l'étude des isolateurs pollués ou des traversées comportant un revêtement semi-conducteur. La zone conductrice a une épaisseur très faible devant les autres dimensions du système et il est difficile d'en tenir compte, telle quelle, dans une méthode numérique. Ce travail est consacré à la modélisation (2D et 3D axisymétrique) d'une couche conductrice présente à l'interface de deux diélectriques. Celle-ci est simulée par une surface munie d'une conductivité surfacique qui peut dépendre ou non du champ électrique. Les équations qui caractérisent le modèle ont été implantées dans un logiciel de calcul de champ basé sur la méthode des équations intégrales de frontière. Le premier chapitre décrit les divers phénomènes physiques liés à la présence d'une couche conductrice entre deux isolants. Le second chapitre rappelle d'abord les résultats très classiques sur les équations de Maxwell. Ensuite, il établit une équation de conservation de l'électricité au niveau de la zone conductrice. Le troisième chapitre passe en revue les différentes méthodes numériques généralement utilisées en électrotechnique. Le quatrième chapitre est consacré à la résolution numérique. Le cinquième chapitre présente les résultats et la validation du nouveau module logiciel. Les résultats obtenus, dans le cas d'une configuration simplifiée, sont en accord avec la solution analytique (problème linéaire) et la solution numérique (problème non linéaire).

Un des outils numériques les plus utilisés en ingénierie est la méthode des éléments finis, qui peut être mise en o euvre grâce à l'utilisation de nombreux codes de calcul. Toutefois, une difficulté apparaît lors de l'utilisation de la méthode des éléments finis, spécialement en géotechnique, lorsque la structure étudiée est en interaction avec un domaine de dimensions infinies. L'usage courant en ingénierie est alors de réaliser les calculs sur des domaines bornés, mais la définition de la frontière de tels domaines bornés pose de sérieux problèmes. Pour traiter convenablement les problèmes comportant des frontières à l'infini, l'utilisation d'éléments discrets "infinis" est maintenant souvent délaissée au profit de la méthode des équations intégrales ou "méthode des éléments de frontière" qui permet de résoudre un système d'équations aux dérivées partielles linéaire dans un domaine infini en ne maillant que la frontière du domaine à distance finie. La mise en oeuvre du couplage entre la méthode des éléments finis et la méthode des éléments de frontière apparaît donc comme particulièrement intéressante car elle permet de bénéficier de la flexibilité des codes de calcul par éléments finis tout en permettant de représenter les domaines infinis à l'aide de la méthode des éléments de frontière. La méthode est basée sur la construction de la "matrice de raideur" du domaine infini grâce à l'utilisation de la méthode des équations intégrales. Il suffit alors d'assembler la matrice de raideur du domaine infini avec la matrice de raideur du domaine fini représenté par éléments finis. L'utilisation de la méthode la plus simple de traitement des équations intégrales, dite méthode de " collocation " conduit à une matrice de raideur non-symétrique. Par ailleurs, la méthode dite "Singular Galerkin" conduit à une formulation symétrique, mais au prix du calcul d'intégrales hypersingulières. La thèse porte sur une nouvelle formulation permettant d'obtenir une matrice de raideur symétrique sans intégrales hypersingulières, dans le cas de problèmes plans. Quelques applications numériques sont abordées pour des problèmes courants rencontrés en géotechnique

Cette thèse comprend deux parties principales:La première partie est une étude du problème d'élasticité linéaire en temps par une méthode de Galerkin discontinue (SIPG). Dans cette partie, nous avons toutd'abord obtenu un estimateur a posteriori pour la formulation semi-discrète. En utilisant une technique de reconstruction et des résultats montrés dans le cas stationnaire, on a établi un estimateur a posteriori d'erreur pour le problème d'onde élastique dépendant du temps. Afin de calculer l'estimateur d'erreur lié au cas stationnaire, nous avons présenté deux méthodes, l'une utilisant la technique de la dualité ce qui nous a donné un calcul d'erreur en norme L^2 et l'autre en calculant l'erreur en norme énergie. Pour la discrétisation en temps l'équation, nous utilisons un schéma numérique d'Euler. En utilisant une technique et de reconstruction spatio-temporelle, on propose un nouvel estimateur a posteriori.La deuxième partie a pour but l'établissement d'un développement asymptotiquepour la solution de problème résolvant Stokes avec une petite perturbation dudomaine. Dans ce travail, nous avons appliqué la théorie du potentiel. On a écrit la solution du problème non perturbé et du problème perturbé sous forme d'opérateurs intégraux. En calculant la différence, et en utilisant des propriétés liées aux noyaux des opérateurs on a établi un développement asymptotique de la solution. / This thesis contains two main parts:The first part concerning the discontinuous Galerkin method for the timedependentlinear elasticity problem. In this part, we have derived the a posteriorierror bounds for semi-discrete and fully discrete formulation, by makinguse of the SE reconstruction technique which allows to estimate the errorbound for time-dependent problem through the error estimation of the ascociatedstationary elasticity problem. Then to derive the error bound for thestationary problem, we have presented two methods to obtain two different aposteriori bounds, by L2 duality technique and via energy norm. For fully discretescheme, we make use of the backward-Euler scheme and an appropiatespace-time reconstruction which has the zero-mean value in time.The second part concerning the derivation of an asymptotic expansionfor the solution of Stokes resolvent problem with a small perturbation of thedomain. In this work, we have applied the potential theory, boundary integralequation method and geometric properties of perturbed boundary. Thederivation is rigorous, and this method allows to derive high-order terms inasymptotic expansion. Also, it can be used for many other boundary valueproblems, whenever a suitable potential theory is available.

La reconstruction des sources de l'activité cérébrale à partir des mesures de potentiel fournies par un électroencéphalographie (EEG) nécessite de résoudre le problème connu sous le nom de « problème inverse de l'EEG ». La solution de ce problème dépend de la solution du « problème direct de l'EEG », qui fournit à partir de sources de courant connues, le potentiel mesuré au niveau des électrodes. Pour des modèles de tête réels, ce problème ne peut être résolut que de manière numérique. En particulier, les équations intégrales de surfaces requièrent uniquement la discrétisation des interfaces entre les différents compartiments constituant le milieu cérébral. Cependant, les formulations intégrales existant actuellement ne prennent pas en comptent l'anisotropie du milieu. Le travail présenté dans cette thèse introduit deux nouvelles formulations intégrales permettant de palier à cette faiblesse. Une formulation indirecte capable de prendre en compte l'anisotropie du cerveau est proposée. Elle est discrétisée à l'aide de fonctions conformes aux propriétés spectrales des opérateurs impliqués. L'effet de cette discrétisation de type mixe lors de la reconstruction des sources cérébrales est aussi étudié. La seconde formulation se concentre sur l'anisotropie due à la matière blanche. Calculer rapidement la solution du système numérique obtenu est aussi très désirable. Le travail est ainsi complémenté d'une preuve de l'applicabilité des stratégies de préconditionnement de type Calderon pour les milieux multicouches. Le théorème proposé est appliqué dans le contexte de la résolution du problème direct de l'EEG. Un préconditionneur de type Calderon est aussi introduit pour l'équation intégrale du champ électrique (EFIE) dans le cas de structures unidimensionnelles. Finalement, des résultats préliminaires sur l'impact d'un solveur rapide direct lors de la résolution rapide du problème direct de l'EEG sont présentés. / Electroencephalography (EEG) is a very useful tool for characterizing epileptic sources. Brain source imaging with EEG necessitates to solve the so-called EEG inverse problem. Its solution depends on the solution of the EEG forward problem that provides from known current sources the potential measured at the electrodes positions. For realistic head shapes, this problem can be solved with different numerical techniques. In particular surface integral equations necessitates to discretize only the interfaces between the brain compartments. However, the existing formulations do not take into account the anisotropy of the media. The work presented in this thesis introduces two new integral formulations to tackle this weakness. An indirect formulation that can handle brain anisotropies is proposed. It is discretized with basis functions conform to the mapping properties of the involved operators. The effect of this mixed discretization on brain source reconstruction is also studied. The second formulation focuses on the white matter fiber anisotropy. Obtaining the solution to the obtained numerical system rapidly is also highly desirable. The work is hence complemented with a proof of the preconditioning effect of Calderon strategies for multilayered media. The proposed theorem is applied in the context of solving the EEG forward problem. A Calderon preconditioner is also introduced for the wire electric field integral equation. Finally, preliminary results on the impact of a fast direct solver in solving the EEG forward problem are presented.

Les propriétés de solvatation jouent un rôle important dans les problèmes chimiques et biochimiques. La théorie fonctionnelle de la densité moléculaire (MDFT) est l'une des méthodes frontières pour évaluer ces propriétés, dans laquelle une fonction d'énergie libre de solvatation est minimisée pour un soluté arbitraire dans une boîte de solvant cubique périodique. Dans cette thèse, nous travaillons sur l'évaluation du terme d'excès de la fonctionnelle d’énergie libre sous l’approximation du fluide de référence homogène (HRF), équivalent à l'approximation de la chaîne hypernettée (HNC) dans la théorie des équations intégrales. Deux algorithmes sont proposés: le premier est une extension d'un algorithme précédent, qui permet de traiter le cas d'un solvant moléculaire à trois dimensions (en fonction de trois angles d'Euler) au lieu d'un solvant linéaire (selon deux angles); L'autre est un nouvel algorithme qui intègre le traitement de la convolution angulaire de l'équation Ornstein-Zernike (OZ) moléculaire dans MDFT, et en fait développe la densité du solvant et le gradient fonctionnel en harmoniques sphériques généralisées (GSHs). On montre que le nouvel algorithme est beaucoup plus rapide que le précédent. Les deux algorithmes sont appropriés pour des solutés arbitraires tridimensionnel dans l'eau liquide, et pour prédire l'énergie libre et la structure de solvatation d'ions et de molécules. / Solvation properties play an important role in chemical and bio-chemical issues. The molecular density functional theory (MDFT) is one of the frontier numerical methods to evaluate these properties, in which the solvation free energy functional is minimized for an arbitrary solute in a periodic cubic solvent box. In this thesis, we work on the evaluation of the excess term of the free energy functional under the homogeneous reference fluid (HRF) approximation, which is equivalent to hypernetted-chain (HNC) approximation in integral equation theory. Two algorithms are proposed: the first one is an extension of a previously implemented algorithm, which makes it possible to handle full 3D molecular solvent (depending on three Euler angles) instead of linear solvent (depending on two angles); the other one is a new algorithm that integrates the molecular Ornstein-Zernike (OZ) equation treatment of angular convolution into MDFT, which in fact expands the solvent density and the functional gradient on generalized spherical harmonics (GSHs). It is shown that the new algorithm is much more rapid than the previous one. Both algorithms are suitable for arbitrary three-dimensional solute in liquid water, and are able to predict the solvation free energy and structure of ions and molecules.

Le Contrôle Non Destructif (CND) permet de sonder l’intérieur d’un milieu dans le but desurveiller son intégrité et son vieillissement. Assisté d’outils de simulation il permet de détecter, caractériseret localiser des défauts de structure du milieu inspecté mais sa fiabilité dépend de la précision des méthodesde simulation. Dans le cadre du CND ultrasonore, les méthodes usuelles (numériques et asymptotiques) sontbien souvent inadéquates pour simuler la diffraction par les défauts. On leur préfère des techniques hybrides.On propose dans cette thèse une nouvelle approche hybride pour la simulation numérique de la diffractionhaute fréquence en milieu étendu (configuration critique pour le CND). Combinant la méthode des équationsintégrales et la méthode des rayons, cette approche exploite le caractère multi-échelle du problème hautefréquence en proposant un modèle d’obstacle à deux échelles. Elle permet le calcul précis de la diffraction etla propagation rayon des champs. D’abord mise au point dans le cadre de la diffraction d’ondes acoustiquespar un obstacle de taille inférieure à la longueur d’onde (méthode barycentrique), l’approche est ensuiteétendue à des configurations de diffraction par des obstacles de l’ordre de la longueur d’onde grâce àl’introduction d’un partitionnement de l’unité de sa surface (méthode multi-centres). Pour accélérerl’approche hybride, on propose une procédure de résolution Online-Offline, basée sur un pré-calcul de lamatrice de diffraction associée à un ensemble réduit de directions d’incidence et d’observation et sur uneinterpolation polynomiale de ses vecteurs singuliers pour son évaluation dans des directions quelconquesd’émetteurs et de récepteurs. On étudie ensuite la stratégie dans le cadre de l’acoustique 3D puis on en faitune extension de principe à l’élastodynamique. On donne enfin un ensemble de pistes pour étendre l’approchehybride dans des cas de diffraction par un ou plusieurs obstacles pouvant être proches des bords du milieu. / Non Destructive Testing (NDT) aims at probing a medium to check its integrity and aging. Withthe help of simulation tools, it allows to detect, caracterize and locate flaws inside a material with a precisiondepending on that of the simulation methods. Usual numerical and asymptotic methods nevertheless often failat precisely computing diffraction for ultrasonic NDT. Hybrid approaches are thus prefered in this framework.In this thesis, we propose a new hybrid strategy combining the boundary integral equation method and raytracing to compute high frequency diffraction of an obstacle in a large medium (critical NDT configuration).This strategy allows to compute precisely the diffraction effects and to convert and propagate the diffractedfield as rays. The proposed strategy relies on a two-scale model of the diffracting obstacle. First developpedto simulate acoustic waves diffraction on an obstacle of size less than the wave length (barycentric method),the hybrid strategy is then extended to compute the diffraction by an obstacle of size some wave lengths(polycentric method) thanks to the introduction of a partition of unity of the obstacle surface. Besides, inorder to accelerate the hybrid approach, we propose an Online-Offline resolution procedure based on theOffline computation of the scattering matrix for a reduced set of incidence and observation directions and onthe use of a polynomial interpolation of its singular vectors for the Online evaluation of the scattering matrixfor any incidence and observation directions. We then study the possibility of extension of the hybrid strategyto 3D acoutics and elastodynamics. We finally give several perspectives for the adaptation of the approach todeal with diffraction by one or several obstacles potentially close to the propagating medium boundaries.

Un des outils numériques les plus utilisés en ingénierie est la méthode des éléments finis, qui peut être mise en o euvre grâce à l'utilisation de nombreux codes de calcul. Toutefois, une difficulté apparaît lors de l'utilisation de la méthode des éléments finis, spécialement en géotechnique, lorsque la structure étudiée est en interaction avec un domaine de dimensions infinies. L'usage courant en ingénierie est alors de réaliser les calculs sur des domaines bornés, mais la définition de la frontière de tels domaines bornés pose de sérieux problèmes. Pour traiter convenablement les problèmes comportant des frontières à l'infini, l'utilisation d'éléments discrets "infinis" est maintenant souvent délaissée au profit de la méthode des équations intégrales ou "méthode des éléments de frontière" qui permet de résoudre un système d'équations aux dérivées partielles linéaire dans un domaine infini en ne maillant que la frontière du domaine à distance finie. La mise en oeuvre du couplage entre la méthode des éléments finis et la méthode des éléments de frontière apparaît donc comme particulièrement intéressante car elle permet de bénéficier de la flexibilité des codes de calcul par éléments finis tout en permettant de représenter les domaines infinis à l'aide de la méthode des éléments de frontière. La méthode est basée sur la construction de la "matrice de raideur" du domaine infini grâce à l'utilisation de la méthode des équations intégrales. Il suffit alors d'assembler la matrice de raideur du domaine infini avec la matrice de raideur du domaine fini représenté par éléments finis. L'utilisation de la méthode la plus simple de traitement des équations intégrales, dite méthode de « collocation » conduit à une matrice de raideur non-symétrique. Par ailleurs, la méthode dite «Singular Galerkin» conduit à une formulation symétrique, mais au prix du calcul d'intégrales hypersingulières. La thèse porte sur une nouvelle formulation permettant d'obtenir une matrice de raideur symétrique sans intégrales hypersingulières, dans le cas de problèmes plans. Quelques applications numériques sont abordées pour des problèmes courants rencontrés en géotechnique / One of the most used numerical tools in engineering is the finite element method, which can be implemented through the use of many computer codes. However, a difficulty arises when using the finite element method, especially in geotechnical engineering, where the structure is studied in interaction with a field of infinite dimensions. The commonly used in engineering is then performming the calculations on bounded domains, but the definition of the border of the domain also poses serious problems. To properly solve the problems which have the boundary at infinity, the use of discrete elements "infinite" is now often neglected in favor of the integral equations method or "boundary element method", which allows to solve a linear partial differential equations system in an infinite domain by the discretization of the only boundary of the domain at finite distance. The implementation of coupling between the finite element method and boundary element method is therefore particularly interesting because it allows to benefit the flexibility of computer codes by the finite element method, while the infinite domains is represented by the help of the integral equations method. It is sufficient to assemble the stiffness matrix of infinite domain with the stiffness matrix of finite domain represented by finite elements. Using the simplest method of treatment of integral equations, known as method of "collocation" leads to a non-symmetric stiffness matrix. Furthermore, a method known “Galerkin Singular” leads to a symmetric formulation, but it is at the cost of computing hypersingular integrals. The thesis focuses on a new formulation to obtain a symmetric stiffness matrix without full hypersingular, in the case of plane problems. Some numerical applications are discussed for common problems encountered in geotechnical engineering

Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles méthodes permettant de résoudre numériquement des problèmes de diffraction harmoniques et tridimensionnels, aussi bien acoustiques qu'électromagnétiques, pour lesquels l'objet diffractant est pénétrable et inhomogène. La résolution de tels problèmes est centrale pour des calculs de surfaces équivalentes sonar et radar (SES et SER). Elle est toutefois connue pour être difficile car elle requiert de discrétiser des équations aux dérivées partielles posées dans un domaine extérieur. Étant infini, ce domaine ne peut pas être maillé en vue d'une résolution par la méthode des éléments finis volumiques. Deux approches classiques permettent de contourner cette difficulté. La première consiste à tronquer le domaine extérieur et rend alors possible une résolution par la méthode des éléments finis volumiques. Étant donné qu'elles approximent les problèmes de diffraction au niveau continu, les méthodes de troncature de domaine peuvent toutefois manquer de précision pour des calculs de SES et de SER. Les problèmes de diffraction harmoniques, pénétrables et inhomogènes peuvent également être résolus en couplant une formulation variationnelle volumique associée à l'objet diffractant et des équations intégrales surfaciques rattachées au domaine extérieur. Nous parlons de couplages FEM-BEM (Finite Element Method-Boundary Element Method). L'intérêt de cette approche réside dans le fait qu'elle est exacte au niveau continu. Les couplages FEM-BEM classiques sont dits forts car ils couplent la formulation variationnelle volumique et les équations intégrales surfaciques au sein d'une même formulation. Ils ne sont toutefois pas adaptés à la résolution de problèmes à haute fréquence. Pour pallier cette limitation, d'autres couplages FEM-BEM, dits faibles, ont été proposés. Ils correspondent concrètement à des algorithmes de décomposition de domaine itérant entre l'objet diffractant et le domaine extérieur. Dans cette thèse, nous introduisons de nouveaux couplages faibles FEM-BEM acoustiques et électromagnétiques basés sur des approximations de Padé récemment développées pour les opérateurs Dirichlet-to-Neumann et Magnetic-to-Electric. Le nombre d'itérations nécessaires à la résolution de ces couplages ne dépend que faiblement de la fréquence et du raffinement du maillage. Les couplages faibles FEM-BEM que nous proposons sont donc adaptés pour des calculs précis de SES et de SER à haute fréquence / In this doctoral dissertation, we propose new methods for solving acoustic and electromagnetic three-dimensional harmonic scattering problems for which the scatterer is penetrable and inhomogeneous. The resolution of such problems is key in the computation of sonar and radar cross sections (SCS and RCS). However, this task is known to be difficult because it requires discretizing partial differential equations set in an exterior domain. Being unbounded, this domain cannot be meshed thus hindering a volume finite element resolution. There are two standard approaches to overcome this difficulty. The first one consists in truncating the exterior domain and renders possible a volume finite element resolution. Given that they approximate the scattering problems at the continuous level, truncation methods may however not be accurate enough for SCS and RCS computations. Inhomogeneous penetrable harmonic scattering problems can also be solved by coupling a volume variational formulation associated with the scatterer and surface integral equations related to the exterior domain. This approach is known as FEM-BEM coupling (Finite Element Method-Boundary Element Method). It is of great interest because it is exact at the continuous level. Classical FEM-BEM couplings are qualified as strong because they couple the volume variational formulation and the surface integral equations within one unique formulation. They are however not suited for solving high-frequency problems. To remedy this drawback, other FEM-BEM couplings, said to be weak, have been proposed. These couplings are actually domain decomposition algorithms iterating between the scatterer and the exterior domain. In this thesis, we introduce new acoustic and electromagnetic weak FEM-BEM couplings based on recently developed Padé approximations of Dirichlet-to-Neumann and Magnetic-to-Electric operators. The number of iterations required to solve these couplings is only slightly dependent on the frequency and the mesh refinement. The weak FEM-BEM couplings that we propose are therefore suited to accurate SCS and RCS computations at high frequencies

Le travail présenté dans cette thèse consiste à modéliser les transports de particules dans un écoulement de Stokes en tenant compte des caractéristiques des particules, du régime d’écoulement de fluide qui les transporte et de l’effet de confinement qui pourrait être lié par exemple à la prise en compte d’une structure d’un milieu poreux. Le phénomène de transport que nous étudions est basé sur le mécanisme d’effet cliquet qui apparaît quand on soumet le système à un pompage alternatif dans le temps. L’étude de la dynamique de la particule est effectuée en utilisant la méthode de continuation qui permet de suivre la solution périodique selon le paramètre désiré et d’identifier les types de bifurcation ainsi que les lieux de ces points critiques. Cette étude nécessite la connaissance de la force de traînée exercée sur la particule et que nous calculons en utilisant la méthode des équations intégrales de frontières. / The work presented in this Phd Thesis is the modelling of particle transport in a Stokes flow taking into account the characteristics of the particle, the regime flow, and the effect of the confinement which could be related for example to the consideration of a porous media structure. The phenomena of the transport is based on the mecansim of ratchet effect which appears when the system is undergoes an alternative pumping. The study of the particle dynamics is performed using the continuation method which allows to follow the periodic solutions according to the desired parameter, to identify the types of bifurcation and critical points. This study requires the knowledge of the drag force exerted on the particle and which we compute using the boundary integral equation.

Tout matériau conducteur électrique exposé à un champ magnétique variable développe des courants de Foucault, donc s'échauffe par effet Joule. La répartition des courants de Foucault dépend de la forme de ce matériau, de celle de l'inducteur, de la fréquence et de l'amplitude du champ, ainsi que des propriétés physiques des matériaux. Le chauffage par induction est une technique bien adaptée aux traitements thermiques en métallurgie. Cependant il est nécessaire de bien dimensionner les inducteurs afin d'avoir un processus optimal. Vu le nombre de paramètres à prendre en compte pour cette étude, il semble adéquat et nécessaire d'avoir recours à des techniques numériques. Dans ce travail, après avoir décrit les phénomènes physiques et principes mathématiques, les méthodes d'analyse numériques adaptées aux problèmes magnétodynamiques et thermiques, on présente un modèle pour le couplage magnéto-thermique appliqué aux problèmes de chauffage par induction pour la trempe superficielle. Ce couplage fait appel aux méthodes intégrales de frontière associées aux impédances de surface, linéaire ou non linéaire, pour la partie électromagnétique, et aux méthodes d'éléments finis volumiques pour la partie thermique. Un problème industriel et 3D de chauffage par induction est résolu à titre d'illustration, en utilisant les logiciels PHI3D (magnétodynamique, modifié) et FLUX-EXPERT (thermique) pilotés par un superviseur qui automatise le processus.