Le travail s'inscrit dans le cadre de la platitude, théorie récente dans le domaine du contrôle des systèmes. Nous présentons des réalisations industrielles en génie des procédés et des contributions théoriques dans le domaine des équations aux dérivées partielles. A partir d'applications industrielles réalisées avec le groupe TotalFinaElf et aujourd'hui en service dans les usines concernées, nous montrons l'intérêt pratique de la platitude dans le domaine du contrôle des procédés : gestion de grands transitoires, prise en compte explicite des non linéarités, des retards, des contraintes. Nous traitons ensuite un ensemble d'exemples physiques de systèmes régis par des équations des ondes. En réécrivant ces équations aux dérivées partielles et leurs conditions limites comme des équations à retards, nous exhibons une paramétrisation de leurs trajectoires établissant ainsi la propriété de platitude de ces systèmes. Il est alors possible de prouver de maniéré constructive la commandabilite de ces systèmes en calculant des trajectoires entre différents états. Tous ces exemples, ou les retards jouent des rôles à chaque fois différents, nous permettent de mettre en valeur l'importance pratique et théorique de la propriété de platitude dans le domaine du génie des procédés et du contrôle des équations des ondes.

Dans ce travail, nous nous intéressons au transport des aérosols dans les voies aériennes supérieures du poumon humain. Ce phénomène est modélisé dans notre étude par un couplage d'équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides et de la théorie cinétique. Ainsi, le fluide est décrit par des fonctions macroscopiques (vitesse, pression), par l'intermédiaire des équations de Navier-Stokes incompressibles tandis que la phase dispersée est décrite par sa densité dans l'espace des phases, grâce à une équation de transport (Vlasov ou Vlasov-Fokker-Planck). Le couplage effectué est fort, en ce sens qu'il associe à l'aérosol une force de rétroaction correspondant au retour de l'accélération de traînée fournie par le fluide: l'interaction fluide/spray se fait dans les deux sens. Enfin, les équations sont en toute généralité considérées en domaine spatial mobile, ceci afin de tenir compte de l'éventuel mouvement des bronches. Dans un premier chapitre, après quelques rappels concernant l'arbre pulmonaire et les aérosols, nous décrivons le système d'équations de Vlasov/Navier-Stokes pour lequel nous avons développé un schéma d'approximation numérique. Ce dernier aspect est abordé dans le deuxième chapitre. La méthode utilisée consiste en un couplage explicite d'une méthode ALE/éléments finis pour le fluide et d'une méthode particulaire pour la phase dispersée. L'algorithme développé nécessitant une procédure de localisation des particules dans le maillage, celle-ci a également été mise en place. Différentes exploitations du code ont ensuite été réalisées. Une première série de simulations numériques a été effectuée afin d'évaluer l'influence de la rétroaction du spray sur le fluide. On prouve ainsi que, pour des données en cohérence avec les nébuliseurs commerciaux, l'aérosol peut accélérer un fluide au repos et de ce fait influencer son propre mouvement. Une autre exploitation du code a été effectuée en collaboration avec une équipe de l'INSERM, à Tours, à l'aide de données expérimentales in vitro. Enfin, une dernière étude a été réalisée sur un conduit cylindrique présentant une constriction en son centre. Nous avons évalué l'influence du mouvement de sa paroi sur la capture de particules sur cette géométrie. Les deux derniers chapitres de cette thèse traitent de l'analyse mathématique de deux couplages fluides/cinétiques. Le premier de ces couplages est celui de Vlasov/Navier-Stokes, précédemment introduit. On prouve l'existence de solutions faibles globales périodiques du système par une méthode basée sur un schéma d'approximation voisin de celui utilisé lors de l'implémentation numérique. Le deuxième couplage est celui de Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes pour lequel nous avons obtenu l'existence de solutions fortes pour des données initiales régulières et proches d'un point d'équilibre. Nous avons ensuite étudié le comportement en temps long de solutions du système et précisé la régularité que celui-ci leur impose.

Ce travail est consacré à l'étude de l'équation de Novikov-Veselov, un analogue ( 2 + 1 )-dimensionnel de l'équation renommée de Korteweg-de Vries, intégrable via la transformée de la diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger stationnaire en dimension 2 à énergie fixe. Nous commençons par étudier une classe spéciale de solutions rationnelles non singulières de l'équation de Novikov-Veselov à énergie positive, construites par Grinevich et Zakharov, et nous démontrons que ces solutions sont multisolitons. Les solutions de Grinevich-Zakharov sont localisées comme $ O( | x |^{ -2 } ) $, $ | x | \to \infty $, et dans le travail présent, nous prouvons que cette localisation est presque la plus forte possible pour les solitons de l'équation de Novikov-Veselov: nous montrons que l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle ne possède pas de solitons localisés plus fort que $ O ( | x |^{ - 3 } ) $, $ | x | \to \infty $. Pour le cas d'énergie zéro, nous montrons que si les solitons de l'équation de Novikov-Veselov appartiennent à l'image des solutions de l'équation de Novikov-Veselov modifiée sous la transformation de Miura, dans ce cas, la localisation plus forte que $ O( | x |^{ -2 } ) $ n'est pas possible. Dans le travail présent, nous étudions également la question du comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle (pour le cas d'énergie positive, les solutions transparentes ou " reflectionless " sont considérées). Sous l'hypothèse de non singularité des données de diffusion des solutions nous obtenons que ces solutions décroissent avec le temps de façon uniforme comme $ O( t^{ -1 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie positive et comme $ O( t^{ -3/4 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie négative; dans ce dernier cas, nous démontrons également que l'estimation obtenue est optimale.

L'objectif de ce travail est l'étude des équations différentielles complètes du second ordre de type elliptique à coefficients opérateurs dans un espace de Banach X quelconque. Une application concrète de ces équations est détaillée, il s'agit d'un problème de transmission du potentiel électrique dans une cellule biologique où la membrane constitue une couche mince. L'originalité de ce travail réside particulièrement dans le fait que les opérateurs non bornés considérés ne commutent pas nécessairement. Une nouvelle hypothèse dite de non commutativité est alors introduite. L'analyse est faite dans deux cadres fonctionnels distincts: les espaces de Hölder et les espaces Lp (avec X un espace UMD). L'équation est d'abord étudiée sur la droite réelle puis sur un intervalle borné avec conditions aux limites de Dirichlet. On donne des résultats d'existence, d'unicité et de régularité maximale de la solution classique sous des conditions sur les données dans des espaces d'interpolation. Les techniques utilisées sont basées sur la théorie des semi-groupes, le calcul fonctionnel de Dunford et la théorie de l'interpolation. Ces résultats sont tous appliqués à des équations aux dérivées partielles concrètes de type elliptique ou quasi-elliptique.

Cette thèse traite du problème à N corps dans les gaz de fermions ultra froids. La première partie est dédiée aux collisions à 3 et 4 fermions en interaction de contact dans le vide. Nous montrons comment calculer diagrammatiquement l'amplitude de diffusion dimère-fermion et la longueur de diffusion dimère-dimère. Par un développement en puissances du rapport des masses et à basse énergie, nous obtenons une expression analytique de l'amplitude de diffusion dimère-fermion en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. En utilisant la même méthode, nous obtenons un développement analytique de la longueur de diffusion dimère-dimère en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. Dans la seconde partie, nous considérons le problème à N corps dans la transition BEC-BCS. Nous dérivons la formule de Tan dans la limite d'interaction de contact, puis nous généralisons ce résultat à des mélanges bosoniques ainsi qu'à 2 dimensions. Nous calculons également l'équation d'état à l'unitarité dans l'approximation de la matrice T en utilisant 3 formules exactes pour l'énergie. Finalement, nous obtenons un développement de l'équation d'état en puissances de la densité dans la limite BEC. Le résultat est obtenu, dans le cas général où les deux espèces ont des masses différentes et sont présentes en quantité différente, en prenant en compte diagrammatiquement les vertex de diffusion à 3 et 4 corps exacts.

Dans ce mémoire, nous présentons une stratégie basée sur une approche hybride dans le domaine temporel, couplant une méthode de résolution des équations de Maxwell dans le domaine 3D (FDTD) avec une méthode de résolution des équations de ligne de transmission, afin de pouvoir simuler des problèmes électromagnétiques de grande échelle. Le mémoire donne les éléments d'hybridation pour deux cadres d'utilisation de cette approche : une approche multi-domaine et une approche multi-résolution ou d'échelle. L'approche multi-domaine est une extension de la méthode FDTD 3D à plusieurs sousdomaines reliés par des structures filaires sur lesquelles on résout une équation de lignes de transmission par un formalisme FDTD 1D. La difficulté est d'abord d'avoir une définition implicite du champ électromagnétique dans la théorie des lignes de transmission, et d'autre part de prendre en compte les effets du sol sur les courants induits au niveau des lignes et sur les champs électromagnétiques. L'approche multi-résolution ou d'échelle est conçue pour étendre les capacités de la méthode FDTD au traitement du routage de câbles complexes ayant une section plus petite que la taille de la cellule. Ce mémoire présente différentes techniques pour évaluer les paramètres de la ligne, basées sur la résolution d'un problème de Laplace 2D, ainsi qu'une méthode de couplage champs/câbles basée sur le courant de mode commun. L'ensemble de ce travail nous a permis de proposer une méthode numérique efficace pour calculer les effets électromagnétiques induits par une source (type onde plane ou dipolaire) sur des sites de grande dimension, composés de plusieurs bâtiments reliés entre eux par un réseau de câbles. Dans ce cadre une application à la foudre a été réalisée.

Le sujet de cette thèse se situe à la frontière entre les mathématiques appliquées et la mécanique. Il s'agit d'étudier, sous un angle mathématique, des problèmes piézoélectriques, c'est à dire des problèmes couplant action mécanique et action électrique, en présence de contact et de frottement. On s'intéresse notamment à l'analyse variationnelle et numérique de ces problèmes. La thèse comporte quatre parties. La première partie contient l'ensemble des outils mathématiques, numériques et mécaniques nécessaires à une bonne compréhension du travail réalisé par la suite. La deuxième partie aborde deux problèmes statiques de contact frottant entre un corps électro-élastique et une fondation. Dans le cas des formulations primales des problèmes, nous prouvons l'existence, l'unicité, et la dépendance continue des solutions faibles, exprimées en termes de déplacements et de potentiel électrique. Une formulation duale équivalente au problème précédent, exprimée en termes de contraintes et de déplacement électrique, est étudiée pour laquelle des résultats d'existence et d'unicité sont établis. La troisième partie aborde deux modèles de contact piézoélectrique dans un cadre évolutif de type quasistatique. Pour chaque modèle, on présente un résultat d'existence. Dans la quatrième partie, le travail porte sur l'analyse numérique et les simulations par différences finies en temps (Euler implicite) et éléments finis en espace. Dans le cas statique, on traite un problème électro-élastique avec contact frottant de type compliance. Le problème discret est posé et les estimations a priori de l'erreur sont obtenues. Le problème est écrit sous forme d'un Lagrangien augmenté couplé à un algorithme de type Newton généralisé. S'ensuit une simulation numérique en dimension deux d'espace et des vérifications numériques de convergence. Des résultats similaires sont obtenus dans le cas d'un problème de contact quasistatique électro-viscoélastique.

Nous étudions le problème de diffusion inverse et un problème inverse de valeurs au bord pour l'équation de Newton-Einstein pluridimensionnelle décrivant le mouvement d'une particule classique relativiste dans un champ externe électromagnétique <br />(ou gravitationnel) statique. Le cas d'une particule classique non relativiste est aussi considéré. Nous supposons que le champ externe est suffisamment régulier et suffisamment décroissant à l'infini. Tout d'abord on rappelle (et on développe) des résultats donnant l'existence et des propriétés de l'opérateur de diffusion. Puis on obtient, en particulier, l'asymptotique aux hautes énergies de l'opérateur de diffusion, et on montre que cette asymptotique détermine de manière unique (par des formules explicites) le champ externe. Enfin on obtient un théorème d'unicité à énergie fixée pour le problème inverse de valeurs au bord, et on en déduit, en particulier, qu'à énergie fixée suffisamment grande l'opérateur de diffusion détermine de manière unique le champ externe lorsque celui-ci est aussi supposé à support compact. Les résultats de cette thèse ont été obtenus en développant, en particulier, des méthodes de [Gerver-Nadirashvili, 1983] et [R. Novikov, 1999].

Cette thèse est consacrée à l'étude de la<br />stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution<br />non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :<br />l'équation de Dirac non linéaire.<br /><br />Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues<br />comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.<br />Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes<br />linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas<br />de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le<br />propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.<br />Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de<br />Kato et des estimations de Strichartz.<br /><br />En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un<br />opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées<br />d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous<br />faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité<br />orbitale pour certains de ces états.

Une série de dimères composés de thiophène-aniline encombrée stériquement a été synthétisée. Les différents processus de désactivation de l’état singulet excité ont été étudiés par UV-visible, fluorescence, phosphorescence, photolyse par impulsion laser et calculs théoriques. Les graphiques de Stern-Volmer obtenus à partir des expériences de désactivation des états singulet et triplet ont démontré l’efficacité de l’azométhine à désactiver les fluorophores. Les calculs semi-empiriques AM1 examinant l’effet des substituants encombrés ont démontrés que les groupements tert-butyls sur l’aniline ont moins d’influence sur la barrière de rotation N-aryl que les substitutions alkyles en ont sur la rotation de thiophène-C. Les calculs Rehm-Weller basés sur les potentiels d’oxydation et de réduction ont montré que l’autodésactivation de l’état excité des azométhines se fait par transfert d’électron photoinduit menant à une éradication complète de la fluorescence. Des complexes métalliques contenant des ligands azométhines ont aussi été préparés. Le ligand est composé d’une unité hydroxyquinoline lié à un cycle thiophène. Les données photophysiques de ces complexes indiquent un déplacement bathochromique aussi bien en absorbance qu’en fluorescence. Des dispositifs de détection d’ion métallique ont été préparés et un exemple à partir d’une solution de cuivre a montré un déplacement bathochromique. / A series of sterically hindered thiophene-aniline azomethine dyads were prepared. The decay pathways that deactivate the singlet excited state were studied using UV-vis fluorescence and phosphorescence, laser flash photolysis and quantum calculations. Stern-Volmer relationships, derived from singlet and triplet state quenching experiments, showed that azomethines efficiently deactivate the singlet and triplet excited states of fluorophores with bimolecular kinetics. AM1 Semi-empirical quantum calculations examining the effect of bulky substituents on the bond rotational barriers demonstrate that bulky tert-butyl groups attached to the aniline moiety have less influence on the N-aryl bond rotation barrier than alkyl substitutions do on the thiophene-CH bond rotation barrier. Rehm-Weller calculations based on electrochemical potentials demonstrate that azomethines self-quench their excited states via fast and efficient intramolecular photoinduced electron transfer leading to complete fluorescence suppression. Metal complexes containing an azomethine ligand were also prepared. The ligand contains a hydroxyquinoline moiety linked with a thiophene ring. Photophysical investigations of the resulting metal complexes demonstrated significant bathochromic shifts in the absorbance and fluorescence spectra. Metal-ion sensing devices for water solutions were prepared by spin casting the ligand onto glass slides. The metal-ion sensor detected copper in water solutions through a bathochromic shift in the absorbance maximum.