美式賣權已經存在很長的時間，由於沒有公式解，目前只能利用數值分析方法(numerical analysis approach)和解析近似法(analytic approximations) 來評價它。這類的評價方法在文獻中相當多，但對這些方法的完整的比較卻相當貧乏。本文整理了27種評價方法和186種在文獻中常被引用的美式賣權契約，這些契約包含了各種不同狀態(有股利、沒有股利、價內、價平、價外、短到期日、長到期日)，後續的研究者可以用這些美式賣權契約來驗證他們的方法。本文實作其中14種方法並應用於上述的186種美式賣權契約上。這14種方法包含了樹狀法、有限差分法、蒙地卡羅法與解析近似法。從這些數值的結果中，本文根據精確度與計算效率整理出各種方法的優缺點與適用的時機。 　由本文之數值分析，我們得到下列幾點結論：1.Binomial Black and Scholes with Richardson extrapolation of Broadie and Detemple (1996)與Extrapolated Flexible Binomial Model of Tian (1999)這二種方法在這14種方法中，在速度與精確度的考量下是最好的方法；2.在精確度要求在root mean squared relative error大約1%的情形下，解析近似法是最快的方法；3.Least-Squares Simulation method of Longstaff and Schwartz (2001)在評價美式賣權方面並不是一個有效的方法。 / American put option has existed for a long time. They cannot be valued by closed-form formula and require the use of numerical analysis methods and analytic approximations. There exists a great deal of methods for pricing American put option in related literatures. But a complete comparison of these methods is lacking. From literatures, we survey 27 methods and 186 commonly cited option contracts, including options on stock with dividend, non-dividend, in-the-money, at-money and out-of-money, short maturity and long maturity. In addition, we implement 14 methods, including lattice approaches, finite difference methods, Monte Carlo simulations and analytic approximations, and apply these methods to value the 186 option contracts above. From the numerical results, we summarize the advantages and disadvantages of each method in terms of speed and accuracy: 1.The binomial Black and Scholes with Richardson extrapolation of Broadie and Detemple (1996) and the extrapolated Flexible Binomial Model of Tian (1999) are both efficient improvements over the binomial method. 2.With root mean squared relative error about 1%, the analytic approximations are faster than the numerical analysis methods. 3.The Least-Squares Simulation method of Longstaff and Schwartz (2001) is not an effective method for pricing American put options.

本文針對路徑相依選擇權(path dependent option)商品，提供一個一般化且有效率評價方法。由於路徑相依選擇權的種類很多，而大部分的美式路徑相依選擇權都沒有封閉解(closed-form)，或是封閉解的數學計算過於複雜，而造成評價的困難。此時，透過數值方法可以對路徑相依選擇權定出理論價值。但是選定一個有效率的數值方法是主要的困難，理論上，樹狀模型及蒙地卡羅的數值方法都可以評價路徑相依選擇權，而蒙地卡羅法在評價美式選擇權時較困難，相對而言，使用樹狀模型可以評價美式的選擇權的一個不錯的方法。 自從CRR(Cox, Ross and Rubinstein, 1979)發展二項樹模型(Binomial Tree model)來評價選擇權後，二項樹模型一直被廣泛的應用，此方法基本的概念假設股價的變動為間斷(Discrete)的，且股價呈現上漲或下跌兩種情形，這樣可以容易地來評價歐式及美式的選擇權。之後Boyle(1988)更發展三元樹模型(Trinomial Tree)，股價比CRR更多了持平的情形，這樣比CRR多考慮了一種股價行為的模式，實證得知三元樹在穩定性及收斂度上比二項樹表現較佳。 上述二項樹模型及三元樹模型受到節點重合(recombined)的特性，而路徑相依選擇權同一個節點若由不同歷史路徑所產生時，其報酬(payoff)是不同的，報酬可能因為歷史路徑的不同產生很多的情形，所以當路徑相依選擇權的條件越複雜時，要評價一個路徑相依選擇權有其困難性。 本文分別以二項樹模型及三元樹模型來評價路徑相依的選擇權，而為了解決節點可能存在之前的路徑問題，放鬆條件使得節點不再結合一起(non-recombined)，如此所有的節點將可以被紀錄，不會有不能評價路徑相依選擇權的問題，但在此情況下會產生另一個問題，節點數隨著切割期數的上昇呈指數成長，使得電腦計算較無效率。 針對路徑選擇權本文提出一個有效率的路徑相依選擇權方法，稱為動態樹狀法(Dynamic Tree Model, DTM)，此評價方法建構在風險中立定價(risk-neutral)的理論基礎上。在每一期時間點檢查是否有相同的路徑資訊和標的物現價，若發生路徑資訊和標的物的現價相同且有重複的節點時，可以預期的，這些節點未來長出的子股價樹也會相同，因此不必重複節點，浪費電腦記憶體空間及運算時間，而將此節點予以合併，以達到減少節點個數目的。若遇到不同的路徑資訊或不同標的物現價的節點時，則予以產生。 動態樹狀法將真正需要的節點加以產生，其目的能降低節點數目，改善計算效率，而將此方法廣泛地應用在其他不同的路徑相依選擇權上。而根據不同路徑相依選擇權，我們必須將有用的路徑資訊存在節點上。本文將提出一般化的模型，使用policy設計樣式，以二項樹及三元樹為例，並選擇不同的路徑相依選擇權產品－障礙選擇權、回顧選擇權、亞式選擇權為例，求其理論價值，而實務上通常是間斷(discrete)觀察，我們將討論間斷觀測的情形，比較其觀察點、效率、精確度、節點數目、允許誤差之探討，並提出建議，也能夠廣泛應用在其它路徑相依選擇權上。

一. 研究動機： 最近幾年，台灣股市在需求與供給互動之下，呈現一股狂熱現象，造成此現象一個不 可忽視的原因即為過多的游資追求有限籌碼，解決此一失衡狀態開放多元的投資管道 成為必然的越勢。以台灣地下金融市場的活絡及財政部目前正著手研擬的期貨市場開 放準則，都證實之民間與政府對多元投資管道需求迫切的認同。 二. 研究目的： 目的一、：介紹一種在國外行之有年的投資管道一選擇權市場，對國內大多數的投資 者而言，選擇權市場或許是一個陌生的名詞，但隨著國際金融市場的漸次轉移亞洲地 區，進而帶動台灣金融市場與國際金融的互動結果，將使選擇權市場對迫切需求投資 管道的我國提供另一項投資發展空間，即成為另一金融市場有利的投資交易避險工具 。 目的二、：修正 Black-Scholes實證模型，即外匯選擇權定價模型以估算此模型的準 確性。經由測試外匯選擇權模型之準確性後，我們可探討該模型在台灣使用之可行性 ，並希望對台灣未來成立之選擇權市場做一些政策上的建議。 三、資料來源： 本論文所需要的資料除利率及變異數外皆取自華街日報費城每日外匯收盤盤價，利率 取自“London Financal Times”， 而變異數的估算方法則使用Robert L.Welsh及D- avid M.Chen 於“Advances and Options Research” 一文中的隱含性變異數推估而 得。期限則從民國77年11月至78年10月，為日資料，共260 筆，所使用的外幣有英鎊 、馬克、瑞士法朗、日圓等四種。 四、實證方法： C=se N(d1)-xe N(d1- )d1= 理論模型–外匯選擇權的定價方程為： C： 權利金，S： 外匯價格，X： 執行價格，r.r ：本國及外國利率，G： 變異數， T： 到期日，N ()：機率密度函數。 Black-Scholes 模型主要應用於股票選擇權市場，股票為非孳息債券，而擁有外匯可 同時擁有國外的利息報酬，所以 B-S模型與外匯定價模型主要的差異為國外利率折現 部份。 本論文利用此外匯模型估算出模型價格，再與市場價格做比較，以測試模型的準確性 ，或在任何情況下模型可能高估或估市場價格。 五、實證預估結果： (1) 當美國利率高於國外利率時，美式買入選擇權不會提早執行其權利所以其價格與 歐式買入選擇權價格一致，所以利用此外匯模型因能準確估算其結果。當美國利率低 於國外種率時，美式買入選擇權不會提早執行其權利，所以其價格會高於歐式買入選 擇權，而此外匯模型將可能產生低估現象。從資料知除英鎊利率高於美元利率，餘皆 小於美元利率，所以可能發生英鎊低估現象。 (2) 利用此模型測試市場是否具效率，得相對於模型價格市場價格低估較現值有利的 選擇權，而高估較現值不利的選擇權。