Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit der optimalen Steuerung von einem Cahn–Hilliard–Navier–Stokes-System mit variablen Flüssigkeitsdichten. Dabei konzentriert sie sich auf das Doppelhindernispotential, was zu einem optimalen Steuerungsproblem einer Gruppe von gekoppelten Systemen, welche eine Variationsungleichung vierter Ordnung sowie eine Navier–Stokes-Gleichung beinhalten, führt. Eine geeignete Zeitdiskretisierung wird präsentiert und zugehörige Energieabschätzungen werden bewiesen. Die Existenz von Lösungen zum primalen System und von optimalen Steuerungen für das ursprüngliche Problem sowie für eine Gruppe von regularisierten Problemen wird etabliert. Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für die regularisierten Probleme werden hergeleitet. Mittels eines Grenzübergangs in Bezug auf den Regularisierungsparameter werden Stationaritätsbedingungen für das ursprüngliche Problem etabliert, welche einer Form von C-Stationarität im Funktionenraum entsprechen. Weiterhin wird ein numerischer Lösungsalgorithmus für das Steuerungsproblem basierend auf einer Strafmethode entwickelt, welche die Moreau–Yosida-artigen Approximationen des Doppelhindernispotentials einschließt. In diesem Zusammenhang wird ein dual-gewichteter Residuenansatz für zielorientierte adaptive finite Elemente präsentiert, welcher auf dem Konzept der C-Stationarität beruht. Die numerische Realisierung des adaptiven Konzepts und entsprechende numerische Testergebnisse werden beschrieben. Die Lipschitzstetigkeit des Steuerungs-Zustandsoperators des zugehörigen instantanen Steuerungsproblems wird bewiesen und dessen Richtungsableitung wird charakterisiert. Starke Stationaritätsbedingungen für dieses Problem werden durch die Anwendung einer Technick von Mignot und Puel hergeleitet. Basierend auf der primalen Form der Bouligard-Ableitung wird ein impliziter numerischer Löser entwickelt, dessen Implentierung erläutert und anhand von numerischen Resultaten illustriert wird. / This thesis is concerned with the optimal control of a Cahn–Hilliard–Navier–Stokes system with variable fluid densities. It focuses on the double-obstacle potential, which yields an optimal control problem for a family of coupled systems in each time instant of a variational inequality of fourth order and the Navier–Stokes equation. A suitable time-discretization is presented and associated energy estimates are proven. The existence of solutions to the primal system and of optimal controls is established for the original problem as well as for a family of regularized problems. The consistency of these approximations is shown and first order optimality conditions for the regularized problems are derived. Through a limit process with respect to the regularization parameter, a stationarity system for the original problem is established, which corresponds to a function space version of ε-almost C-stationarity. Moreover, a numerical solution algorithm for the optimal control problem is developed based on a penalization method involving the Moreau–Yosida type approximations of the double-obstacle potential. A dual-weighted residual approach for goal-oriented adaptive finite elements is presented, which is based on the concept of C-stationarity. The overall error representation depends on dual weighted primal residuals and vice versa, supplemented by additional terms corresponding to the complementarity mismatch. The numerical realization of the adaptive concept is described and a report on numerical tests is provided. The Lipschitz continuity of the control-to-state operator of the corresponding instantaneous control problem is verified and its directional derivative is characterized. Strong stationarity conditions for the instantaneous control problem are derived. Utilizing the primal notion of B-differentiability, a bundle-free implicit programming method is developed. Details on the numerical implementation are given and numerical results are included.

Die Relaxation in der Variationsrechnung führt zu Minimierungsaufgaben mit einer quasi-konvexen Energiedichte. In der nichtlinearen Elastizität, Topologieoptimierung, oder bei Mehrphasenmodellen sind solche Energiedichten konvex mit einer zusätzlichen Kontrolle in der dualen Variablen und einem beidseitigem Wachstum der Ordnung $p$. Diese Minimierungsprobleme haben im Allgemeinen mehrere Lösungen, welche dennoch eine eindeutige Spannung $\sigma$ definieren. Die Approximation mit der „hybrid high-order“ (HHO) Methode benutzt eine Rekonstruktion des Gradienten in dem Raum der stückweisen Raviart-Thomas Finiten Elemente ohne Stabilisierung auf einer Triangulierung in Simplexen. Die Anwendung dieser Methode auf die Klasse der degenerierten, konvexen Minimierungsprobleme liefert eine eindeutig bestimmte, $H(\div)$ konforme Approximation $\sigma_h$ der Spannung. Die a priori Abschätzungen in dieser Arbeit gelten für gemischten Randbedingungen ohne weitere Voraussetzung an der primalen Variablen und erlauben es, Konvergenzraten bei glatten Lösungen vorherzusagen. Die a posteriori Analysis führt auf garantierte obere Fehlerschranken, eine berechenbare untere Energieschranke, sowie einen konvergenten adaptiven Algorithmus. Die numerischen Beispiele zeigen höhere Konvergenzraten mit zunehmenden Polynomgrad und bestätigen empirisch die superlineare Konvergenz der unteren Energieschranke. Obwohl der Fokus dieser Arbeit auf die nicht stabilisierte HHO Methode liegt, wird eine detaillierte Fehleranalysis für die stabilisierte Version mit einer Gradientenrekonstruktion im Raum der stückweisen Polynome präsentiert. / The relaxation procedure in the calculus of variations leads to minimization problems with a quasi-convex energy density. In some problems of nonlinear elasticity, topology optimization, and multiphase models, the energy density is convex with some convexity control plus two-sided $p$-growth. The minimizers may be non-unique in the primal variable, but define a unique stress variable $\sigma$. The approximation by hybrid high-order (HHO) methods utilizes a reconstruction of the gradients in the space of piecewise Raviart-Thomas finite element functions without stabilization on a regular triangulation into simplices. The application of the HHO methodology to this class of degenerate convex minimization problems allows for a unique $H(\div)$ conform stress approximation $\sigma_h$. The a priori estimates for the stress error $\sigma - \sigma_h$ in the Lebesgue norm are established for mixed boundary conditions without additional assumptions on the primal variable and lead to convergence rates for smooth solutions. The a posteriori analysis provides guaranteed error control, including a computable lower energy bound, and a convergent adaptive scheme. Numerical benchmarks display higher convergence rates for higher polynomial degrees and provide empirical evidence for the superlinear convergence of the lower energy bound. Although the focus is on the unstabilized HHO method, a detailed error analysis is provided for the stabilized version with a gradient reconstruction in the space of piecewise polynomials.

Es sei Γ eine torsionsfreie arithmetische Untergruppe der symplektischen Gruppe Sp(n,R), die auf dem Siegelschen oberen Halbraum H_n vom Grad n wirkt. Wir betrachten den d-dimensionalen Raum der Siegelschen Spitzenformen vom Gewicht k zur Gruppe Γ, mit einer Orthonormalbasis {f_1,…,f_d}. In der vorliegenden Dissertation zeigen wir mit Hilfe des Wärmeleitungskerns, dass die Supremumsnorm von S_k(Z):=det(Y)^k (|f_1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) für n=2 ohne zusätzliche Bedingungen und für n>2 unter Annahme einer vermuteten Determinanten-Ungleichung nach oben beschränkt ist. Wenn M:=Γ\H_n kompakt ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} gegeben. Wenn M nicht kompakt und von endlichem Volumen ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} gegeben. In beiden Fällen ist c_(n,Γ) eine positive reelle Konstante, die nur vom Grad n und der Gruppe Γ abhängt. Wir zeigen weiter, dass die obere Schranke in dem Sinne gleichmäßig ist, dass bei fixierter Gruppe Γ_0 die Konstante c_(n,Γ) für Untergruppen Γ von endlichem Index nur vom Grad n und der Gruppe Γ_0 abhängt. / Let Γ be a torsion-free arithmetic subgroup of the symplectic group Sp(n,R) acting on the Siegel upper half-space H_n of degree n. Consider the d-dimensional space of Siegel cusp forms of weight k for Γ with an orthonormal basis {f_1,…,f_d}. In this thesis we show using the heat kernel method that for n=2 unconditionally and for n>2 subject to a conjectural determinant-inequality, the sup-norm of the quantity S_k(Z):=det(Y)^k (|f1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) is bounded above by c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} when M:=Γ\H_n is compact and by c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} when M is non-compact of finite volume, where c_(n,Γ) denotes a positive real constant depending only on the degree n and the group Γ. Furthermore, we show that this bound is uniform in the sense that if we fix a group Γ_0 and take Γ to be a subgroup of Γ_0 of finite index, then the constant c_(n,Γ) in these bounds depends only on the degree n and the fixed group Γ_0.

Diese Dissertation behandelt arithmetische Eigenschaften von Familien algebraischer Varietäten und deren speziellen Untervarietäten. Im ersten Kapitel definieren wir sogenannte absolut spezielle Untervarietäten mithilfe von Delignes Begriff der absoluten Hodgeklassen. Ausgehend von der Vermutung, dass alle Hodgeklassen absolute Hodgeklassen sind, erwarten wir, dass alle speziellen Untervarietäten absolut speziell sind. Wir beweisen diese Erwartung für Untervarietäten, die eine bestimmte Monodromiebedingung erfüllen. Das zweite Kapitel führt eine l-adische Version von speziellen Untervarietäten ein, die wir l-Galois spezielle Untervarietäten nennen. Wir studieren bewiesene und vermutete Eigenschaften dieser Untervarietäten und deren Zusammenhang zur Struktur des l-Galois exzeptionellen Locus und zur Mumford-Tate Vermutung. Im dritten Kapitel beweisen wir eine Rapoport-Zink Uniformisierung für den Modulraum der primitiv polarisierten K3 Flächen und kubischen Vierfaltigkeiten mit supersingulärer Reduktion. In beiden Fällen ist der Modulraum uniformisiert von einer explizit definierten rigid analytischen Untervarietät einer lokalen Shimura-Varietät von orthogonalem Typ. / This thesis studies arithmetic aspects of families of algebraic varieties and their special subvarieties. In the first part, we use Deligne's framework of absolute Hodge classes to define a notion of absolutely special subvarieties. The conjecture that all Hodge classes are absolute Hodge predicts that every special subvariety is absolutely special. We prove this prediction for subvarieties satisfying a certain monodromy condition. The second part introduces an l-adic analog of special subvarieties that we call l-Galois special subvarieties. We study the properties of these subvarieties and discuss how known and unknown properties of l-Galois special subvarieties are related to the structure of the l-Galois exceptional locus and to the Mumford-Tate conjecture. In the third chapter, we prove a Rapoport-Zink type uniformization result for the moduli space of polarized K3 surfaces and cubic fourfolds. We show that in both cases, the tube over the supersingular locus of the moduli space is uniformized by an explicitly described rigid analytic open subvariety of a local Shimura variety of orthogonal type.

Diese Arbeit behandelt die Instrumentalvariablenregression im Kontext der Stichprobenwiederholung. Es wird ein Rahmen geschaffen, der das Ziel der Inferenz identifiziert. Diese Abhandlung versucht die Instrumentalvariablenregression von einer neuen Perspektive aus zu motivieren. Dabei wird angenommen, dass das Ziel der Schätzung von zwei Faktoren gebildet wird, einer Umgebung und einer zu einem internen Model spezifischen Struktur. Neben diesem Rahmen entwickelt die Arbeit eine Methode der Stichprobenwiederholung, die geeignet für das Testen einer linearen Hypothese bezüglich der Schätzung des Ziels ist. Die betreffende technische Umgebung und das Verfahren werden im Zusammenhang in der Einleitung und im Hauptteil der folgenden Arbeit erklärt. Insbesondere, aufbauend auf der Arbeit von Spokoiny, Zhilova 2015, rechtfertigt und wendet diese Arbeit ein numerisches ’multiplier-bootstrap’ Verfahren an, um nicht asymptotische Konfidenzintervalle für den Hypothesentest zu konstruieren. Das Verfahren und das zugrunde liegende statistische Werkzeug wurden so gewählt und angepasst, um ein im Model auftretendes und von asymptotischer Analysis übersehenes Problem zu erklären, das formal als Schwachheit der Instrumentalvariablen bekannt ist. Das angesprochene Problem wird jedoch durch den endlichen Stichprobenansatz von Spokoiny 2014 adressiert. / Instrumental variables regression in the context of a re-sampling is considered. In the work a framework is built to identify an inferred target function. It attempts to approach an idea of a non-parametric regression and motivate instrumental variables regression from a new perspective. The framework assumes a target of estimation to be formed by two factors - an environment and an internal, model specific structure. Aside from the framework, the work develops a re-sampling method suited to test linear hypothesis on the target. Particular technical environment and procedure are given and explained in the introduction and in the body of the work. Specifically, following the work of Spokoiny, Zhilova 2015, the writing justifies and applies numerically 'multiplier bootstrap' procedure to construct confidence intervals for the testing problem. The procedure and underlying statistical toolbox were chosen to account for an issue appearing in the model and overlooked by asymptotic analysis, that is weakness of instrumental variables. The issue, however, is addressed by design of the finite sample approach by Spokoiny 2014.

Diese Dissertation ist ein Beitrag zum Forschungsfeld Early stopping im Kontext iterativer Schätzverfahren. Wir betrachten Early stopping dabei sowohl aus der Perspektive impliziter Regularisierungsverfahren als auch aus der Perspektive adaptiver Methoden Analog zu expliziter Regularisierung reduziert das Stoppen eines Schätzverfahrens den stochastischen Fehler/die Varianz des endgültigen Schätzers auf Kosten eines zusätzlichen Approximationsfehlers/Bias. In diesem Forschungsbereich präsentieren wir eine neue Analyse des Gradientenabstiegsverfahrens für konvexe Lernprobleme in einem abstrakten Hilbert-Raum. Aus der Perspektive adaptiver Methoden müssen iterative Schätzerverfahren immer mit einer datengetriebenen letzten Iteration m kombiniert werden, die sowohl under- als auch over-fitting verhindert. In diesem Forschungsbereichpräsentieren wir zwei Beiträge: In einem statistischen inversen Problem, das durch iteratives Trunkieren der Singulärwertzerlegung regularisiert wird, untersuchen wir, unter welchen Umständen optimale Adaptiertheit erreicht werden kann, wenn wir an der ersten Iteration m stoppen, an der die geglätteten Residuen kleiner sind als ein kritischer Wert. Für L2-Boosting mittels Orthogonal Matching Pursuit (OMP) in hochdimensionalen linearen Modellen beweisen wir, dass sequenzielle Stoppverfahren statistische Optimalität garantieren können. Die Beweise beinhalten eine subtile punktweise Analyse einer stochastischen Bias-Varianz-Zerlegung, die durch den Greedy-Algorithmus, der OMP unterliegt, induziert wird. Simulationsstudien zeigen, dass sequentielle Methoden zu deutlich reduzierten Rechenkosten die Leistung von Standardalgorithmen wie dem kreuzvalidierten Lasso oder der nicht-sequentiellen Modellwahl über ein hochdimensionales Akaike- Kriterium erbringen können. / This dissertation contributes to the growing literature on early stopping in modern statistics and machine learning. We consider early stopping from the perspective of both implicit regularization and adaptive estimation. From the former, analogous to an explicit regularization method, halting an iterative estimation procedure reduces the stochastic error/variance of the final estimator at the cost of some bias. In this area, we present a novel analysis of gradient descent learning for convex loss functions in an abstract Hilbert space setting, which combines techniques from inexact optimization and concentration of measure. From the perspective of adaptive estimation, iterative estimation procedures have to be combined with a data-driven choice m of the effectively selected iteration in order to avoid under- as well as over-fitting. In this area, we present two contributions: For truncated SVD estimation in statistical inverse problems, we examine under what circumstances optimal adaptation can be achieved by early stopping at the first iteration at which the smoothed residuals are smaller than a critical value. For L2-boosting via orthogonal matching pursuit (OMP) in high dimensional linear models, we prove that sequential early stopping rules can preserve statistical optimality in terms of a general oracle inequality for the empirical risk and recently established optimal convergence rates for the population risk.

Organische Halbleiterbauelemente sind eine vielversprechende Technologie, die das Spektrum der optoelektronischen Halbleiterbauelemente erweitert und etablierte Technologien basierend auf anorganischen Halbleitermaterialien ersetzen kann. Für Display- und Beleuchtungsanwendungen werden sie z. B. als organische Leuchtdioden oder Transistoren verwendet. Eine entscheidende Eigenschaft organischer Halbleitermaterialien ist, dass die Ladungstransporteigenschaften stark von der Temperatur im Bauelement beeinflusst werden. Insbesondere nimmt die elektrische Leitfähigkeit mit der Temperatur zu, so dass Selbsterhitzungseffekte, einen großen Einfluss auf die Leistung der Bauelemente haben. Mit steigender Temperatur nimmt die elektrische Leitfähigkeit zu, was wiederum zu größeren Strömen führt. Dies führt jedoch zu noch höheren Temperaturen aufgrund von Joulescher Wärme oder Rekombinationswärme. Eine positive Rückkopplung liegt vor. Im schlimmsten Fall führt dieses Verhalten zum thermischen Durchgehen und zur Zerstörung des Bauteils. Aber auch ohne thermisches Durchgehen führen Selbsterhitzungseffekte zu interessanten nichtlinearen Phänomenen in organischen Bauelementen, wie z. B. die S-förmige Beziehung zwischen Strom und Spannung. In Regionen mit negativem differentiellen Widerstand führt eine Verringerung der Spannung über dem Bauelement zu einem Anstieg des Stroms durch das Bauelement. Diese Arbeit soll einen Beitrag zur mathematischen Modellierung, Analysis und numerischen Simulation von organischen Bauteilen leisten. Insbesondere wird das komplizierte Zusammenspiel zwischen dem Fluss von Ladungsträgern (Elektronen und Löchern) und Wärme diskutiert. Die zugrundeliegenden Modellgleichungen sind Thermistor- und Energie-Drift-Diffusion-Systeme. Die numerische Diskretisierung mit robusten hybriden Finite-Elemente-/Finite-Volumen-Methoden und Pfadverfolgungstechniken zur Erfassung der in Experimenten beobachteten S-förmigen Strom-Spannungs-Charakteristiken wird vorgestellt. / Organic semiconductor devices are a promising technology to extend the range of optoelectronic semiconductor devices and to some extent replace established technologies based on inorganic semiconductor materials. For display and lighting applications, they are used as organic light-emitting diodes (OLEDs) or transistors. One crucial property of organic semiconductor materials is that charge-transport properties are heavily influenced by the temperature in the device. In particular, the electrical conductivity increases with temperature, such that self-heating effects caused by the high electric fields and strong recombination have a potent impact on the performance of devices. With increasing temperature, the electrical conductivity rises, which in turn leads to larger currents. This, however, results in even higher temperatures due to Joule or recombination heat, leading to a feedback loop. In the worst case, this loop leads to thermal runaway and the complete destruction of the device. However, even without thermal runaway, self-heating effects give rise to interesting nonlinear phenomena in organic devices, like the S-shaped relation between current and voltage resulting in regions where a decrease in voltage across the device results in an increase in current through it, commonly denoted as regions of negative differential resistance. This thesis aims to contribute to the mathematical modeling, analysis, and numerical simulation of organic semiconductor devices. In particular, the complicated interplay between the flow of charge carriers (electrons and holes) and heat is discussed. The underlying model equations are of thermistor and energy-drift-diffusion type. Moreover, the numerical approximation using robust hybrid finite-element/finite-volume methods and path-following techniques for capturing the S-shaped current-voltage characteristics observed in experiments are discussed.

Die vorliegende Dissertation widmet sich der theoretischen Untersuchung zweier neuer Algorithmen für Clustering und Community Detection: AWC (Adaptive Weights Clustering) und AWCD (Adaptive Weights Community Detection). Ein zentraler Aspekt sind dabei die Raten der Konsistenz. Bei der Betrachtung von AWC steht die Tiefe Lücke zwischen den Clustern, also die relative Differenz der jeweiligen Dichten, im Vordergrund. Bis auf logarithmische Faktoren ist die erreichte Konsistenzrate optimal. Dies erweitert die niedrigdimensionalen Ergebnisse von Efimov, Adamyan and Spokoiny (2019) auf das Mannigfaltigkeitenmodell und berücksichtigt darüber hinaus viel allgemeinere Bedingungen an die zugrunde liegende Dichte und die Form der Cluster. Insbesondere wird der Fall betrachtet, bei dem zwei Punkte des gleichen Clusters nahe an dessen Rand liegen. Zudem werden Ergebnisse für endliche Stichproben und die optimale Wahl des zentralen Parameters λ diskutiert. Bei der Untersuchung von AWCD steht die Asymptotik der Differenz θ − ρ zwischen den beiden Bernoulli Parametern eines symmetrischen stochastischen Blockmodells im Mittelpunkt. Es stellt sich heraus, dass das Gebiet der starken Konsistenz bei weitem nicht optimal ist. Es werden jedoch zwei Modifikationen des Algorithmus vorgeschlagen: Zum einen kann der Bias der beteiligten Schätzer minimiert werden. Zum anderen schlagen wir vor, die Größe der initialen Schätzung der Struktur der Gruppen zu erhöhen, indem auch längere Pfade mit berücksichtigt werden. Mithilfe dieser Modifikationen erreicht der Algorithmus eine nahezu optimale Konsistenzrate. Teilweise können diese Ergebnisse auch auf allgemeinere stochastische Blockmodelle erweitert werden. Für beide Probleme illustrieren und validieren wir außerdem die theoretischen Resultate durch umfangreiche Experimente. Abschließend lässt sich sagen, dass die vorliegende Arbeit die Lücke zwischen theoretischen und praktischen Ergebnissen für die Algorithmen AWC und AWCD schließt. Insbesondere sind beide Algorithmen nach einigen Modifikationen auf relevanten Modellen konsistent mit einer nahezu optimalen Rate. / This thesis presents a theoretical study of two novel algorithms for clustering and community detection: AWC (Adaptive Weights Clustering) and AWCD (Adaptive Weights Community Detection). Most importantly, we discuss rates of consistency. For AWC, we focus on the asymptotics of the depth ε of the gap between clusters, i.e. the relative difference between the density level of the clusters and the density level of the area between them. We show that AWC is consistent with a nearly optimal rate. This extends the low-dimensional results of Efimov, Adamyan and Spokoiny (2019) to the manifold model while also considering much more general assumptions on the underlying density and the shape of clusters. In particular, we also consider the case of two points in the same cluster that are relatively close to the boundary. Moreover, we provide finite sample guarantees as well as the optimal tuning parameter λ. For AWCD, we consider the asymptotics of the difference θ − ρ between the two Bernoulli parameters of a symmetric stochastic block model. As it turns out, the resulting regime of strong consistency is far from optimal. However, we propose two major modifications to the algorithm: Firstly, we discuss an approach to minimize the bias of the involved estimates. Secondly, we suggest increasing the starting neighborhood guess of the algorithm by taking into account paths of minimal path length k. Using these modifications, we are able to show that AWCD achieves a nearly optimal rate of strong consistency. We partially extend these results to more general stochastic block models. For both problems, we illustrate and validate the theoretical study through a wide range of numerical experiments. To summarize, this thesis closes the gap between the practical and theoretical studies for AWC and AWCD. In particular, after some modifications, both algorithms exhibit a nearly optimal performance on relevant models.

Wir untersuchen die analytische Struktur von Feynman Integralen als mengenwertige holomorphe Funktionen mit topologischen Methoden, spezifisch mit Techniken für singuläre Integrale. Der Hauptfokus liegt auf dem Ein-Schleifen-Fall. Zunächst geben wir einen gründlichen Überblick über die Theorie der singulären Integrale und füllen einige Lücken in der Literatur. Anschließend untersuchen wir die Topologie von endlichen Vereinigungen und Schnitten von bestimmten nicht-degenerierten affinen komplexes Quadriken, welche die relevante Geometrie von Ein-Schleifen Feynman Integralen darstellen. Wir etablieren einige grundsätzliche topologische Eigenschaften und führen eine Kompaktifizierung von Bündeln solcher Räume und eine Whitney Stratifizierung dieser ein. Des Weiteren berechnen wir die Homologiegruppen der Fasern durch eine Dekomposition in die auftretenden Schnitte komplexer Sphären. Das Einführen einer CW-Dekomposition einer spezifischen Faser führt zu einer kombinatorischen Studie, welche es uns erlaubt explizite Generatoren in Sinne dieser CW-Strukture zu berechnen. Unter Verwendung dieser Generatoren berechnen wir die relevanten Schnittindizes, welche im Ramifizierungsproblem auftreten. Durch Anwendung dieser Resultate auf Ein-Schleifen Feynman Integrale finden wir die klassischen Landau Gleichungen wieder und erhalten einen vollständigen Beweis von Cutkoskys Theorem. Des Weiteren untersuchen wir, wie viel dieses Mechanismus sich auf den Mehr-Schleifen Fall überträgt. Insbesondere betrachten wir zwei Beispiele von Mehr-Schleifen Integralen und erhalten Resultate die über den aktuellen Stand der Literatur hinaus gehen. / We investigate the analytic structure of Feynman integrals as multivalued holomorphic functions with topological methods, specifically with techniques for singular integrals. The main focus lies on the one-loop case. First, we conduct a thorough review of the theory of singular integrals, filling some gaps in the literature. Then, we investigate the topology of finite unions and intersections of certain non-degenerate affine complex quadrics which constitute the relevant geometry of one-loop Feynman integrals. We establish some basic topological properties and introduce a compactification of bundles of such spaces and a Whitney stratification thereof. Furthermore, we compute the homology groups of the fibers via a decomposition into the direct sum of all occurring intersections of complex spheres. Introducing a CW-decomposition of a specific fiber leads to a combinatorial study, allowing us to obtain explicit generators in terms of this CW-structure. Using these generators, we compute the relative intersection indices that occur in the ramification problem. Applying these results to one-loop Feynman integrals, we retrieve the classical Landau equations and obtain a full proof of Cutkosky's Theorem. Furthermore, we investigate how much of this machinery applies to the multi-loop case. In particular, we consider two examples of multi-loop integrals and obtain results beyond the current state of the literature.

Zweitveröffentlichung, ursprünglich veröffentlicht: Jonas Holley: Stress-Constrained Topology Optimization with Application to the Design of Electrical Machines. München: Verlag Dr. Hut, 2023, 199 Seiten, Dissertation Humboldt-Universität Berlin (2023). ISBN 978-3-8439-5378-8 / Während des Designprozesses physischer Gegenstände stellt die mechanische Stabilität in nahezu jedem Anwendungsbereich eine essentielle Anforderung dar. Stabilität kann mittels geeigneter Kriterien, die auf dem mechanischen Spannungstensor basieren, mathematisch quantifiziert werden. Dies dient dem Ziel der Vermeidung von Schädigung in jedem Punkt innerhalb des Gegenstands. Die vorliegende Arbeit behandelt die Entwicklung einer Methode zur Lösung von Designoptimierungsproblemen mit punktweisen Spannungsrestriktionen. Zunächst wird eine Regularisierung des Optimierungsproblems eingeführt, die einen zentralen Baustein für den Erfolg einer Lösungsmethode darstellt. Nach der Analyse des Problems hinsichtlich der Existenz von Lösungen wird ein Gradientenabstiegsverfahren basierend auf einer impliziten Designdarstellung und dem Konzept des topologischen Gradienten entwickelt. Da der entwickelte Ansatz eine Methode im Funktionenraum darstellt, ist die numerische Realisierung ein entscheidender Schritt in Richtung der praktischen Anwendung. Die Diskretisierung der Zustandsgleichung und der adjungierten Gleichung bildet die Basis für eine endlich-dimensionale Version des Optimierungsverfahrens. Im letzten Teil der Arbeit werden numerische Experimente durchgeführt, um die Leistungsfähigkeit des entwickelten Algorithmus zu bewerten. Zunächst wird das Problem des minimalen Volumens unter punktweisen Spannungsrestriktionen anhand der L-Balken Geometrie untersucht. Ein Schwerpunkt wird hierbei auf die Untersuchung der Regularisierung gelegt. Danach wird das multiphysikalische Design einer elektrischen Maschine adressiert. Zusätzlich zu den punktweisen Restriktionen an die mechanischen Spannungen wird die Maximierung des mittleren Drehmoments berücksichtigt, um das elektromagnetische Verhalten der Maschine zu optimieren. Der Erfolg der numerischen Tests demonstriert das Potential der entwickelten Methode in der Behandlung realistischer industrieller Problemstellungen. / In the process of designing a physical object, the mechanical stability is an essential requirement in nearly every area of application. Stability can be quantified mathematically by suitable criteria based on the stress tensor, aiming at the prevention of damage in each point within the physical object. This thesis deals with the development of a framework for the solution of optimal design problems with pointwise stress constraints. First, a regularization of the optimal design problem is introduced. This perturbation of the original problem represents a central element for the success of a solution method. After analyzing the perturbed problem with respect to the existence of solutions, a line search type gradient descent scheme is developed based on an implicit design representation via a level set function. The core of the optimization method is provided by the topological gradient, which quantifies the effect of an infinitesimal small topological perturbation of a given design on an objective functional. Since the developed approach is a method in function space, the numerical realization is a crucial step towards its practical application. The discretization of the state and adjoint equation provide the basis for developing a finite-dimensional version of the optimization scheme. In the last part of the thesis, numerical experiments are conducted in order to assess the performance of the developed algorithm. First, the stress-constrained minimum volume problem for the L-Beam geometry is addressed. An emphasis is put on examining the effect of the proposed regularization. Afterwards, the multiphysical design of an electrical machine is addressed. In addition to the pointwise constraints on the mechanical stress, the maximization of the mean torque is considered in order to improve the electromagnetic performance of the machine. The success of the numerical tests demonstrate the potential of the developed design method in dealing with real industrial problems.