Die vorliegende Arbeit hat nichtparametrische Schätzmethoden für diskret beobachtete Lévyprozesse zum Gegenstand. Ein Lévyprozess mit endlichen zweiten Momenten und endlicher Variation auf Kompakta wird niederfrequent beobachtet. Die Sprungdynamik wird vollständig durch das endliche signierte Maß my(dx):= x ny(dx) beschrieben. Ein lineares Funktional von my soll nichtparametrisch geschätzt werden. Im ersten Teil werden Kernschätzer konstruiert und obere Schranken für das korrespondierende Risiko bewiesen. Daraus werden Konvergenzraten unter Glattheitsannahmen an das Lévymaß hergeleitet. Für Spezialfälle werden untere Schranken bewiesen und daraus Minimax-Optimalität gefolgert. Der Schwerpunkt liegt auf dem Problem der datengetriebenen Wahl des Glättungsparameters, das im zweiten Teil untersucht wird. Da die nichtparametrische Schätzung für Lévyprozesse starke strukturelle Ähnlichkeiten mit Dichtedekonvolutionsproblemen mit unbekannter Fehlerdichte aufweist, werden beide Problemstellungen parallel diskutiert und die Methoden allgemein sowohl für Lévyprozesse als auch für Dichtedekonvolution entwickelt. Es werden Methoden der Modellwahl durch Penalisierung angewandt. Während das Prinzip der Modellwahl im üblichen Fall darauf beruht, dass die Fluktuation stochastischer Terme durch Penalisierung mit einer deterministischen Größe beschränkt werden kann, ist die Varianz im hier betrachteten Fall unbekannt und der Strafterm somit stochastisch. Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt darauf, Strategien zum Umgang mit dem stochastischen Strafterm zu entwickeln. Dabei ist ein modifizierter Schätzer für die charakteristische Funktion im Nenner zentral, der es erlaubt, die punktweise Kontrolle der Abweichung dieses Objects von seiner Zielgröße auf die gesamte reelle Achse zu erweitern. Für die Beweistechnik sind insbesondere Talagrand-Konzentrationsungleichungen für empirische Prozesse relevant. / This thesis deals with nonparametric estimation methods for discretely observed Lévy processes. A Lévy process X having finite variation on compact sets and finite second moments is observed at low frequency. The jump dynamics is fully described by the finite signed measure my(dx)=x ny(dx). The goal is to estimate, nonparametrically, some linear functional of my. In the first part, kernel estimators are constructed and upper bounds on the corresponding risk are provided. From this, rates of convergence are derived, under regularity assumptions on the Lévy measure. For particular cases, minimax lower bounds are proved. The rates of convergence are thus shown to be minimax optimal. The focus lies on the data driven choice of the smoothing parameter, which is being considered in the second part. Since nonparametric estimation methods for Lévy processes have strong structural similarities with with nonparametric density deconvolution with unknown error density, both fields are discussed in parallel and the concepts are developed in generality, for Lévy processes as well as for density deconvolution. The choice of the bandwidth is realized, using techniques of model selection via penalization. The principle of model selection via penalization usually relies on the fact that the fluctuation of certain stochastic quantities can be controlled by penalizing with a deterministic term. Contrarily to this, the variance is unknown in the setting investigated here and the penalty term is hence itself a stochastic quantity. It is the main concern of this thesis to develop strategies to dealing with the stochastic penalty term. The most important step in this direction will be a modified estimator of the unknown characteristic function in the denominator, which allows to make the pointwise control of this object uniform on the real line. The main technical tools involved in the arguments are concentration inequalities of Talagrand type for empirical processes.

Diese Dissertation behandelt Fragen aus der stochastischen Analysis und der Finanzmathematik, die sich unter dem Begriff der Robustheit zusammenfassen lassen. Zunächst betrachten wir finanzmathematische Modelle mit Arbitragemöglichkeiten. Wir identifizieren die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten der ersten Art (NA1) als minimale Eigenschaft, die in jedem finanzmathematischen Modell gelten muss, und zeigen, dass (NA1) äquivalent zur Existenz eines dominierenden lokalen Martingalmaßes ist. Als Beispiel für Prozesse, die (NA1) erfüllen, studieren wir stetige lokale Martingale, die darauf bedingt werden nie Null zu treffen. Anschließend verwenden wir eine modellfreie Version der (NA1) Eigenschaft, die es erlaubt, qualitative Eigenschaften von “typischen Preistrajektorien” zu beschreiben. Hier konstruieren wir ein pfadweises Itô-Integral. Dies deutet an, dass sich typische Preispfade als rough-path-Integratoren verwenden lassen. Nun entwickeln wir mittels Fourierentwicklungen einen alternativen Zugang zur rough-path-Theorie. Wir zerlegen das Integral in drei Operatoren mit verschiedenen Eigenschaften. So wird offensichtlich, dass Integratoren mit der Regularität der Brownschen Bewegung mit ihrer Lévy-Fläche versehen werden müssen, um ein pfadweise stetiges Integral zu erhalten. Daraufhin bemerken wir, dass die Integration zweier Funktionen gegeneinander äquivalent dazu ist, eine Funktion mit der Ableitung einer anderen (im Allgemeinen eine Distribution) zu multiplizieren. In höheren Dimensionen ist das Multiplikationsproblem jedoch allgemeiner. Wir verwenden Littlewood-Paley-Theorie, um unseren Fourier-Zugang zur rough-path-Theorie auf Funktionen mehrdimensionaler Variablen zu erweitern. Wir konstruieren einen Operator, der für Funktionen mit dem punktweisen Produkt übereinstimmt und in einer geeigneten Topologie stetig ist. Nun lassen sich stochastische partielle Differentialgleichungen lösen, die bisher aufgrund von Nichtlinearitäten nicht zugänglich waren. / This thesis deals with various problems from stochastic analysis and from mathematical finance that can best be summarized under the common theme of robustness. We begin by studying financial market models with arbitrage opportunities. We identify the weak notion of absence of arbitrage opportunities of the first kind (NA1) as the minimal property that every sensible asset price model should satisfy, and we prove that (NA1) is equivalent to the existence of a dominating local martingale. As examples of processes that satisfy (NA1) but do not admit equivalent local martingale measures, we study continuous local martingales conditioned not to hit zero. We continue by working with a model free formulation of the (NA1) property, which permits to describe qualitative properties of “typical asset price trajectories”. We construct a pathwise Itô integral for typical price paths. Our results indicate that typical price paths can be used as integrators in the theory of rough paths. Next, we use a Fourier series expansion to develop an alternative approach to rough path integration. We decompose the integral into three components with different behavior. Then it is easy to see that integrators with the regularity of the Brownian motion must be equipped with their Lévy area to obtain a pathwise continuous integral operator. We now note that integrating two functions against each other is equivalent to multiplying one with the derivative of the other, which will in general only be a distribution. In higher index dimensions however, the multiplication problem is more general. We use Littlewood-Paley theory to extend our Fourier approach from rough path integrals to multiplying functions of a multidimensional index. We construct an operator which agrees with the usual product for smooth functions, and which is continuous in a suitable topology. We apply this to solve stochastic partial differential equations that were previously difficult to access due to nonlinearities.

In dieser Arbeit studieren wir Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie, d.h. ihre Holonomiedarstellung wirkt schwach-irreduzibel aber nicht irreduzibel. Aufgrund der schwachen Irreduzibilität lässt die Darstellung einen ausgearteten Unterraum invariant und damit also auch eine lichtartige Linie. Geometrisch hat dies zur Folge, dass wir zwei parallele Unterbündel (die Linie und ihr orthogonales Komplement) des Tangentialbündels erhalten. Diese Arbeit nutzt diese und weitere Objekte um zu beweisen, dass kompakte Lorentzmannigfaltigkeiten mit Abelscher Holonomie geodätisch vollständig sind. Zudem werden Lorentzmannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie und nicht-negativer Ricci-Krümung auf den Blättern der Blätterung, induziert durch das orthogonale Komplement der parellelen Linie, und maximaler erster Bettizahl untersucht. Schließlich werden vollständige Ricci-flache Lorentzmannigfaltigkeiten mit vorgegebener voller Holonomie konstruiert. / In the present thesis we study dimensional Lorentzian manifolds with special holonomy, i.e. such that their holonomy representation acts indecomposably but non-irreducibly. Being indecomposable, their holonomy group leaves invariant a degenerate subspace and thus a light-like line. Geometrically, this means that, since being holonomy invariant, this line gives rise to parallel subbundles of the tangent bundle. The thesis uses these and other objects to prove that Lorentian manifolds with Abelian holonomy are geodesically complete. Moreover, we study Lorentzian manifolds with special holonomy and non-negative Ricci curvature on the leaves of the foliation induced by the orthogonal complement of the parallel light-like line whose first Betti number is maximal. Finally, we provide examples of geodesically complete and Ricci-flat Lorentzian manifolds with special holonomy and prescribed full holonomy group.

In dieser Dissertationsschrift soll erkl{\"a}rt werden, wie auf der Grundlage von einfachen Strata, wie sie in einer gemeinsamen Arbeit mit Broussous \cite{BG} betrachtet wurden, einfache Charaktere f{\"u}r lokale einfache Algebren konstruiert werden k{\"o}nnen, wobei die Konstruktion den Vorbildern von Bushnell und Kutzko im zerfallenden Fall \cite{BK1} und von Zink \cite{Z7} im Falle eines Schiefk{\"o}rpers folgt. Der Begriff des einfachen Charakters geht auf die Arbeit \cite{BK1} zur{\"u}ck und bezeichnet eine ausgezeichnete Auswahl von Heisenbergcharakteren, die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter zugeordnet wird, der zu einer absteigenden Normalreihe $$1+\R\supset1+\R^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, wobei $\R$ das Jacobsonradikal einer erblichen Ordnung bezeichnet. Wir werden hier nur von Hauptordnungen ausgehen, d.h. von dem Fall, da{ss} $\R$ und seine Potenzen gebrochene Hauptideale sind. Diese Vorgehensweise und auch die besondere Auswahl der Heisenbergcharaktere in Form von einfachen Charakteren, wird durch die Konstruktion im Falle eines Schiefk{\"o}rpers \cite{Z7} und durch den abstrakten Matchingsatz \cite{BDKV} gerechtfertigt. Im Falle eines lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers ist n{\"a}mlich der Bewertungsring die einzige erbliche Ordnung und die einfachen Charaktere sind alle Heisenbergcharaktere die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter, der zur absteigenden Normalreihe $$1+\pin_D\supset1+\pin_D^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, zugeordnet wird, wobei $\pin_D$ das Bewertungsideal des Schiefk{\"o}rpers $D$ bezeichnet. Der abstrakte Matchingsatz liefert nun die Existenz einer Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ und den irreduziblen quadratintegrierbaren glatten Darstellungen einer beliebigen anderen lokalen zentraleinfachen Algebra vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben nicht-archimedischen Grundk{\"o}rper $F$, welche den Charakter einer Darstellung in dem Sinne erh{\"a}lt, da{ss} die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen elliptischer Elemente der verschiedenen Algebren, welche mithilfe ihrer Minimalpolynome identifiziert werden k{\"o}nnen, bis auf ein Vorzeichen {\"u}bereinstimmen. Wir werden hier kanonische Bijektionen zwischen den einfachen Charakteren f{\"u}r verschiedene zentraleinfache Algebren vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben Grundk{\"o}rper angeben, von denen wir erwarten, da{ss} sie mit der Abbildung des abstrakten Matchingsatzes vertr{\"a}glich sind. Das dieses in der Tat der Fall ist, wurde bisher nur in einfachen F{\"a}llen wie \cite{He} und \cite{BH2} gezeigt, jedoch wurde in der Arbeit \cite{Z4} bereits mithilfe der Konstruktionen von \cite{Z7} und \cite{BK3} eine Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ vom Index $N$ {\"u}ber einem Grundk{\"o}rper $F$ und den irreduziblen essentiell quadratintegrierbaren glatten Darstellungen von $Gl_N(F)$ konstruiert, welche den Artinf{\"u}hrer und den formalen Grad einer Darstellung erh{\"a}lt. Da die Abbildung des abstrakten Matchingsatzes dieselben Forderungen erf{\"u}llt, kommt dies der gew{\"u}nschten Vertr{\"a}glichkeit schon sehr nahe und wir erf{\"u}llen mit unserer Konstruktion insbesondere die in der Arbeit \cite{Z4} gemachte Forderung die dort im Bezug auf die einfachen Charaktere getroffen Auswahlen noch unabh{\"a}ngiger von den jeweiligen Algebren zu gestalten. Die hier getroffene Auswahl wird durch die Verwendung sogenannter spezieller approximierender Folgen getroffen, welche sich aus einer Verallgemeinerung der in \cite{BG} gemachten {\"U}berlegungen ergeben. Im Anschlu{ss} an die Konstruktion und den Vergleich einfacher Charaktere werden wir in einer gro{ss}en Anzahl von F{\"a}llen zeigen, da{ss} sich die Heisenbergdarstellungen, die wir zu den einfachen Charakteren erhalten, in kanonischer Weise fortsetzen lassen und wir erwarten von diesen Fortsetzungen, da{ss} sie analoge Eigenschaften besitzen, wie die sogenannten ``$\beta$-Fortsetzungen'' von \cite{BK1}(5.2.1) im zerfallenden Fall. Damit k{\"o}nnen wir in diesen F{\"a}llen eine Liste von hypothetischen einfachen Typen angeben, von denen wir vermuten, da{ss} sie alle Bernsteinkomponenten parametrisieren, welche irreduzible essentiell quadratintegrierbare Darstellungen enthalten. Insbesondere vermuten wir, da{ss} sich die supercuspidalen Darstellungen mittels kompakter Induktion aus Fortsetzungen solcher einfacher Typen auf eine kompakt modulo Zentrum Untergruppe gewinnen lassen. Um die Vollst{\"a}ndigkeit dieser Konstruktion zu demonstrieren, h{\"a}tten wir allerdings noch die Eigenschaft ``Verkettung impliziert Konjugation'' zu zeigen, welche wir ebenfalls auf eine Folgearbeit verschieben m{\"u}ssen. Beabsichtig w{\"a}re dann ein Vollst{\"a}ndigkeitsbeweis mit dem abstrakten Matchingsatz wie bei L. Corwin \cite{Co} oder in \cite{Z4}. Wir weisen hier nur in Spezialf{\"a}llen nach, dass die Typendarstellungen, welche wir hier angegeben haben, tats{\"a}chlich Typen im Sinne von \cite{BK4}(4.1)(4.2) sind. Insbesondere sind es auch unsere Berechnungen in der Arbeit \cite{GSZ}, welche dem von uns im Geiste von \cite{Z7} und \cite{BK1} gemachten Ans{\"a}tzen hohe Evidenz geben. / In this thesis, we try to explain how simple characters for arbitrary central simple algebras over a non-archimedian local field $F$ can be constructed. Moreover, we introduce a kind of matching of simple characters between different algebras of fixed reduced degree. If the index of the algebra $A$ is odd or $A=M_l(D)$, where $l$ is an arbitrary prime number and $D$ a central division algebra over $F$, we can extend the Heisenberg representations associated to the simple characters to level-0 and obtain a hypothetical list of simple types. For $A=M_l(D)$ and if the residual field of $F$ is not the field with two elements, we can proof that all so-called maximal simple types in our list are simple types in the sense of \cite{BK4} and their extensions to their stabelizers induce supercupidal representations of $G_l(D)$. Using the the heuristical relation via the abstract matching theorem of \cite{BDKV} to the cases of a division algebra due to \cite{Z5} and to the split case due to \cite{BK1}, we conjecture that all supercuspidal representations of $Gl_l(D)$ can be obtained by this way.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

Konforme Potenzen des Dirac Operators einer semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit werden untersucht. Wir präsentieren einen neuen Beweis, basierend auf dem Traktor Kalkül, für die Existenz von konformen ungeraden Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten. Desweiteren konstruieren wir eine neue Familie von konform kovarianten linearen Differentialoperatoren auf dem standard spin Traktor Bündel. Weiterhin verallgemeinern wir den Existenzbeweis für konforme ungerade Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten. Da die Existenzbeweise konstruktive sind, erhalten wir explizite Formeln für die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators. Basierend auf den expliziten Formeln zeigen wir, dass die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators formal selbstadjungiert (anti selbstadjungiert) bezüglich des L2-Skalarproduktes auf dem Spinorbündel ist. Abschliessend präsentieren wir neue Strukturen der konformen ersten, dritten und fünften Potenz des Dirac Operators: Es existieren lineare Differentialoperatoren auf dem Spinorbündel der Ordnung kleiner gleich eins, so dass die konforme erste, dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators ein Polynom in jenen Operatoren ist. / Conformal powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds are investigated. We give a new proof of the existence of conformal odd powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds using the tractor machinery. We will also present a new family of conformally covariant linear differential operators on the standard spin tractor bundle. Furthermore, we generalize the known existence proof of conformal power of the Dirac operator on Riemannian spin manifolds to semi Riemannian spin manifolds. Both proofs concering the existence of conformal odd powers of the Dirac operator are constructive, hence we also derive an explicit formula for a conformal third- and fifth power of the Dirac operator. Due to explicit formulas, we show that the conformal third- and fifth power of the Dirac operator is formally self-adjoint (anti self-adjoint), with respect to the L2-scalar product on the spinor bundle. Finally, we present a new structure of the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator: There exist linear differential operators on the spinor bundle of order less or equal one, such that the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator is a polynomial in these operators.

In dieser Arbeit präsentieren wir eine neue Art von Newton-Verfahren mit Liniensuche, basierend auf Interpolation im Bildbereich nach Wedin et al. [LW84]. Von dem resultierenden stabilisierten Newton-Algorithmus wird theoretisch und praktisch gezeigt, dass er effizient ist im Falle von nichtsingulären Lösungen. Darüber hinaus wird beobachtet, dass er eine superlineare Rate von Konvergenz bei einfachen Singularitäten erhält. Hingegen ist vom Newton-Verfahren ohne Liniensuche bekannt, dass es nur linear von fast allen Punkten in der Nähe einer singulären Lösung konvergiert. In Hinsicht auf Anwendungen auf Komplementaritätsprobleme betrachten wir auch Systeme, deren Jacobimatrix nicht differenzierbar sondern nur semismooth ist. Auch hier erreicht unser stabilisiertes und beschleunigtes Newton- Verfahren Superlinearität bei einfachen Singularitäten. / In this thesis we present a new type of line-search for Newton’s method, based on range space interpolation as suggested by Wedin et al. [LW84]. The resulting stabilized Newton algorithm is theoretically and practically shown to be efficient in the case of nonsingular roots. Moreover it is observed that it maintains a superlinear rate of convergence at simple singularities. Whereas Newton’s method without line-search is known to converge only linearly from almost all points near the singular root. In view of applications to complementarity problems we also consider systems, whose Jacobian is not differentiable but only semismooth. Again, our stabilized and accelerated Newton’s method achieves superlinearity at simple singularities.

Systeme mit Zeitverzögerung sind von großem Interesse in Nichtlinearer Dynamik und allgegenwärtig in den Naturwissenschaften. Gegenstand dieser Doktorarbeit ist die raumzeitliche Dynamik räumlich-ausgedehnter, nichtlinearer Systeme mit Zeitverzögerung, mit besonderem Augenmerk auf deren lokalisierte Lösungen. Die betrachteten Systeme werden beschrieben durch partielle Differentialgleichungen und gekoppelte Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit verzögerter Rückkopplung. Hinsichtlich der partiellen Differentialgleichungen untersucht diese Arbeit die Existenz und Stabilität der ebenen Wellenlösungen ebenso, wie die Existenz und Stabilität der lokalisierten Lösungen der eindimensionalen, komplexen, kubischen und kubisch-quintischen Ginzburg-Landau Gleichung mit verzögerter, optischer Rückkopplung. Das erste Ergebnis dieser Arbeit ist die vollständige Beschreibung der Menge der ebenen Wellenlösungen und ihre Stabilität für lange Verzögerungszeiten. Aufgrund der Symmetrie der Ginzburg-Landau Gleichung bildet diese Menge eine eindimensionale Familie, die zum Auftreten einer „Tube“ in Parameter-Koordinaten führt. Das zweite, neuartige Ergebnis ist die Beschreibung der Modulationsinstabilität dieser lokalisierten Strukturen. Diese Instabilität kann zu einer periodischen und chaotischen Zickzackbewegung der Lösung führen. Das dritte Resultat ist die Charakterisierung gebundener Impulsfolgen in einem System von gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Zeitverzögerung, das zur Beschreibung einer Anordnung von modengekoppelten Lasers herangezogen wird. In diesem Regime interagieren die modengekoppelten Impulse in verschiedenen Lasern lokal über die Balance von Abstoßung und Anziehung. Resultierend daraus entstehen Cluster von Impulsen, die in einzelnen modengekoppelten Lasern nicht möglich sind. Sämtliche genannte Phänomene wurden analytisch und numerisch behandelt. / Systems with time-delay are ubiquitous in nature and attract significant interest in the field of nonlinear dynamics. The scope of this Thesis is the spatiotemporal dynamics in spatially extended nonlinear systems with time-delay, with a focus on the dynamics of localized structures. The systems under consideration are described by partial differential equations with delayed feedback and coupled systems of delay differential equations. For the partial differential equations, the existence and stability of plane wave solutions as well as localized structures are investigated in one-dimensional complex cubic and cubic-quintic Ginzburg-Landau equation with delayed feedback. The first result of this Thesis is the complete description of the set of plane wave solutions and their stability in the limit of large delay time. Due to the symmetry of Ginzburg-Landau equation, this set forms a one-dimensional family which leads to the appearance of the “tube” in parameter coordinates which is filled densely with plane wave solutions with the increase of the delay time. The second novel result is the description of modulational instability of localized structures in spatially extended systems with time-delay which can lead to periodic and chaotic zigzagging movement of the solution. The third result is the description of bound pulse trains in coupled delay systems depicting an array of mode-locked lasers. In this regime mode-locked pulses in different lasers interact locally via the balance of their repulsion and attraction. As a result, clusters of pulses emerge which can not exist in a solitary mode-locked laser. All of the aforementioned phenomena were described analytically and the results are supported by path continuation methods as well as direct numerical simulations with a specially designed software tool.

In dieser Arbeit werden verschiedene Eigenschaften von dynamischen konvexen Risikomaßen für beschränkte Zufallsvariablen untersucht. Dabei gehen wir vor allem der Frage nach, wie die Risikobewertungen in verschiedenen Zeitpunkten von einander abhängen, und wie sich solche Zeitkonsistenzeigenschaften in der Dynamik der Penalty-Funktionen und Risikoprozesse widerspiegeln. Im Kapitel 2 widmen wir uns zunächst der starken Zeitkonsistenz und charakterisieren diese mithilfe von Akzeptanzmengen, Penalty-Funktionen und einer gemeinsamen Supermartingaleigenschaft des Risikoprozesses und seiner Penalty-Funktion. Die Charakterisierung durch Penalty-Funktionen liefert eine explizite Form der Doob- und der Riesz-Zerlegung des Prozesses der Penalty-Funktionen. Anschließend führen wir einen schwächeren Begriff der Zeitkonsistenz ein, den wir Besonnenheit nennen. In Analogie zu dem zeitkonsistenten Fall charakterisieren wir Besonnenheit durch Akzeptanzmengen, Penalty-Funktionen und eine bestimmte Supermartingaleigenschaft. Diese Supermartingaleigenschaft gilt allgemeiner für alle beschränkten adaptierten Prozesse, die sich ohne zusätzliches Risiko aufrechterhalten lassen. Wir nennen solche Prozesse nachhaltig und beschreiben Nachhaltigkeit durch eine gemeinsame Supermartingaleigenschaft des Prozesses und der schrittweisen Penalty-Funktionen. Dieses Resultat kann als eine verallgemeinerte optionale Zerlegung unter konvexen Restriktionen gesehen werden. Mithilfe der Supermartingaleigenschaft identifizieren wir das stark zeitkonsistente dynamische Risikomaß, das aus jedem beliebigen Risikomaß rekursiv konstruiert werden kann, als den kleinsten Prozeß, der nachhaltig ist und den Endverlust minimiert. Diese Beschreibung liefert ein neues Argument für den Einsatz von zeitkonsistenten Risikomaßen. Im Kapitel 3 diskutieren wir das asymptotische Verhalten von zeitkonsistenten und von besonnenen Risikomaßen hinsichtlich der asymptotischen Sicherheit und der asymptotischen Präzision. Im Kapitel 4 werden die allgemeinen Ergebnisse aus den Kapiteln 2 und 3 anhand des entropischen Risikomaßes und des Superhedging-Preisprozesses veranschaulicht. / In this thesis we study various properties of a dynamic convex risk measure for bounded random variables. The main subject is to investigate possible interdependence of conditional risk assessments at different times and the manifestation of these time consistency properties in the dynamics of corresponding penalty functions and risk processes. In Chapter 2 we focus first on the strong notion of time consistency and characterize it in terms of penalty functions, acceptance sets and a joint supermartingale property of the risk measure and its penalty function. The characterization in terms of penalty functions provides the explicit form of the Doob and of the Riesz decomposition of the penalty function process for a time consistent risk measure. Then we introduce and study a weaker notion of time consistency, that we call prudence. Similar to the time consistent case, we characterize prudent dynamic risk measures in terms of acceptance sets, of penalty functions and by a certain supermartingale property. This supermartingale property holds more generally for any bounded adapted process that can be upheld without any additional risk. We call such processes sustainable, and we give an equivalent characterization of sustainability in terms of a combined supermartingale property of a process and one-step penalty functions. This result can be viewed as a generalized optimal decomposition under convex constraints. The supermartingale property allows us to characterize the strongly time consistent risk measure arising from any dynamic risk measure via recursive construction as the smallest process that is sustainable and covers the final loss. Thus our discussion provides a new reason for using strongly time consistent risk measures. In Chapter 3 we discuss the limit behavior of time consistent and of prudent risk measures in terms of asymptotic safety and of asymptotic precision. In the final Chapter 4 we illustrate the general results of Chapter 2 and Chapter 3 by examples. In particular we study the entropic dynamic risk measure and the superhedging price process under convex constraints.

In dieser Dissertation werden Cartan-Ränder von CR-Mannigfaltigkeiten und ihren Fefferman-Räumen besprochen. Der Fefferman-Raum einer strikt pseudo-konvexen CR-Mannigfaltigkeit ist als das Bündel aller reellen Strahlen im kanonischen, komplexen Linienbündel definiert. Eine andere Definition nutzt die Cartan-Geometrie und führt zu einer starken Beziehung zwischen den Cartan-Geometrien der CR-Mannigfaltigkeit und des zugehörigen Fefferman-Raumes. Allerdings wird hier die Existenz einer gewissen Wurzel des antikanonischen, komplexen Linienbündels, dessen Existenz nur lokal gesichert ist, vorausgesetzt. Für Randkonstruktionen benötigen wir jedoch eine globale Konstruktion des Fefferman-Raumes. Dennoch können lokale Resultate zum Fefferman-Raum von einer Konstruktion zur anderen übertragen werden können, da konforme Überlagerungen von beiden vorliegen. Der Cartan-Rand einer Mannigfaltigkeit wird mithilfe der zugehörigen Cartan-Geometrie konstruiert, welche eine globale Basis und damit auch eine Riemannsche Metrik auf dem Cartan-Bündel definiert, welches per Cauchy-Vervollständigung abgeschlossen wird. Division durch die Strukturgruppe ergibt den Cartan-Rand der Mannigfaltigkeit. Der Cartan-Rand ist eine Verallgemeinerung des Cauchy-Randes, da beide im Riemannschen übereinstimmen. Allgemein ist der Cartan-Rand nicht unbedingt Hausdorffsch, was nicht wirklich überrascht, sind doch Rand-Phänomene "irgendwie singulär". Wir stellen fest, dass für CR-Mannigfaltigkeit und ihre Fefferman-Räume die Projektion des Cartan-Randes des Fefferman-Raumes den Cartan-Rand der CR-Mannigfaltigkeit enthält. Schließlich betrachten wir die Heisenberg-Gruppe, eines der grundlegenden Beispiele für CR-Mannigfaltigkeiten. Sie ist flach aber - anders als der homogene Raum - nicht kompakt. Wir finden, dass der Cartan-Rand der Heisenberg-Gruppe ein einzelner Punkt und der Cartan-Rand des zugehörigen Fefferman-Raumes eine nicht-ausgeartete Faser über diesem ist. / The aim of this thesis is to discuss the Cartan boundaries of CR manifolds and their Fefferman spaces. The Fefferman space of a strictly pseudo-convex CR manifold is defined as the bundle of all real rays in the canonical complex line bundle. Another way of defining the Fefferman space of a CR manifold uses the tools of Cartan geometry and leads to a strong relationship between the Cartan geometries of a CR manifold and the corresponding Fefferman space. However here the existence of a certain root of the anticanonical complex line bundle is requested which can solely be guarantied locally. As we are interested in boundaries we need a global construction of the Fefferman space. Still we find that local results on the Fefferman space can be transferred from one construction to the other since we have conformal coverings of both. The Cartan boundary of a manifold is constructed with the help of the corresponding Cartan geometry, which defines a global frame and hence a Riemannian metric on the Cartan bundle which can be completed by Cauchy completion. Division by the structure group gives the Cartan boundary of the manifold. The Cartan boundary is a generalization of the Cauchy boundary since both coincide in the Riemannian case. In general the Cartan boundary is not necessarily Hausdorff, which is not really surprising since boundary phenomena are somehow ``singular''''. For CR manifolds and their Fefferman spaces we especially prove that the projection of the Cartan boundary of the Fefferman space contains the Cartan boundary of the CR manifold. We finally discuss the Heisenberg group, one of the basic examples of CR manifolds. It is flat but - contrary to the homogeneous space - not compact. We find that the Cartan boundary of the Heisenberg group is a single point and the Cartan boundary of the corresponding Fefferman space is a non degenerate fibre over that point.