Diese Arbeit befasst sich mit der sogenannten Doppelkopie, welche erstmals im Rahmen von Streuamaplituden formuliert wurde und eine Beziehung zwischen Yang-Mills-Theorie und der Gravitation herstellt. Yang-Mills-Streuamplituden tragen sowohl kinematische Informationen als auch Informationen, die mit einer Eigenschaft namens Farbe verbunden sind. Die Doppelkopie besagt, dass die Ersetzung der Farbinformation in Yang-Mills-Amplituden durch eine andere Kopie ihrer kinematischen Information zu Gravitationsamplituden führt, sofern bestimmte algebraische Bedingungen erfüllt sind. Die algebraischen Bedingungen, die für die Doppelkopie erforderlich sind, deuten auf die Existenz einer Algebra hin, die der Kinematik der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegt und die kinematische Algebra genannt wird. In den letzten fünfzehn Jahren hat die Doppelkopie die Art und Weise, wie Streuungsberechnungen in der Gravitation durchgeführt werden, revolutioniert, und dennoch bleibt ein grundsätzliches Verständnis der Doppelkopie und der kinematischen Algebra schwer zu fassen. In dieser Arbeit verlassen wir den Rahmen der Streuamplituden und behandeln dieses Problem mit Hilfe von Homotopie-Algebren, den mathematischen Strukturen, die perturbativen Feldtheorien, einschließlich ihrer Off-Shell Struktur, zugrunde liegen. Insbesondere die der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegende Algebra lässt sich in algebraische Strukturen für Farbe und Kinematik faktorisieren. Unter Verwendung dieser Faktorisierung konstruieren wir explizit eine kinematische Algebra für die Yang-Mills Theorie bis zur quartischen Ordnung in der Störungstheorie. Dann ersetzen wir die Farbalgebra durch eine zweite Kopie der kinematischen Algebra und erhalten eine Gravitationstheorie bis hinzu und einschließlich der quartischen Wechselwirkungen. Außerdem erklären wir, inwiefern die kinematische Algebra die Struktur ist, die für die Konsistenz der resultierenden Gravitationstheorie verantwortlich ist. Unsere algebraische Herangehensweise an die Doppelkopie ist vollständig Off-Shell, eichunabhängig und lokal und bietet eine neue Perspektive auf die algebraischen Grundlagen und Ursprünge der Doppelkopie. / This thesis deals with a relation between Yang-Mills theory and gravity called the double copy, which was first formulated in the framework of scattering amplitudes. Yang-Mills scattering amplitudes carry kinematic information as well as information associated with a property called color. The double copy states that, provided that certain algebraic conditions are met, replacing the color information of Yang-Mills amplitudes with another copy of their kinematic information yields gravitational amplitudes. The algebraic conditions required by the double copy hint at the existence of an algebra underlying the kinematics of Yang-Mills called the kinematic algebra. In the last fifteen years, the double copy has revolutionized the way that scattering computations are performed in gravity, and, yet, a first principle understanding of the double copy and the kinematic algebra remains elusive. In this thesis we divert from scattering amplitudes and address this problem in the framework of homotopy algebras, which are the mathematical structures underlying perturbative field theories, including their off-shell structure. In particular, the algebra underlying Yang-Mills theory factorizes into color and kinematic algebraic structures. Using this factorization, we construct explicitly a kinematic algebra for Yang-Mills theory to quartic order in perturbation theory. Then, following the double copy, we replace the color algebra with a second copy of the kinematic algebra and we obtain gravity up to and including quartic interactions. Moreover, we explain how the kinematic algebra is responsible for the consistency of the resulting gravity theory. Our algebraic approach to the double copy is completely off-shell, gauge independent and local, and provides a novel perspective on the algebraic foundations and origins of the double copy.

Wir beweisen neuartige Konvergenz- und Approximationsresultate für die Lösungen einer Klasse von Modellen optimaler Portfolioliquidierung mit sofortigem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Jedes betrachtete Liquidierungsproblem erlaubt nur absolut stetige Handelsstrategien, und die optimale Strategie ist durch ein voll gekoppeltes mehrdimensionales quadratisches BSDE-System mit einer singulären Endbedingung gegeben. Innerhalb unseres Modellierungsrahmens beweisen wir, dass wenn der Parameter des sofortigen Preiseinflusses gegen null konvergiert, der absolut stetige optimale Portfolioprozess gegen einen stochastischen Prozess konvergiert, der durch die eindeutige Lösung einer regulären eindimensionalen quadratischen BSDE gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert die Lösung eines Modells optimaler Portfolioliquidierung ohne sofortigen Preiseinfluss, aber mit allgemeiner Semimartingalkontrolle mit Sprüngen ist. Unser Resultat liefert einen vereinheitlichten Rahmen, in den die zwei am häufigsten gebrauchten Modellierungsrahmen der Literatur über optimale Liquidierung eingebettet werden können, und liefert eine Grundlage für die Nutzung von Semimartingalen als Liquidierungsstrategien und für die Nutzung von Portfolioprozessen von unbeschränkter Variation. Unsere Resultate beruhen auf neuartigen Konvergenzresultaten für BSDEs mit singulären Endbedingungen und auf einem neuartigen Resultat der Darstellung von Lösungen von BSDEs durch gleichmäßig stetige Funktionen von Vorwärtsprozessen. Wir beweisen außerdem, dass die optimale Lösung in der deterministischen Version des ursprünglichen Liquidierungsmodells gleichmäßig approximiert werden kann, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung verwendet wird, das um den singulären Punkt, an dem der sofortige Preiseinfluss verschwindet, entwickelt wird. Diese Approximation ist explizit darstellbar, was im Allgemeinen nicht für die optimale Lösung gilt. / We establish novel convergence and approximation results for the solutions to a class of optimal portfolio liquidation problems with instantaneous price impact and stochastic resilience. Each considered liquidation problem only allows for absolutely continuous trading strategies, and the optimal strategy is given in terms of a fully coupled multi-dimensional quadratic BSDE system with a singular terminal condition. Within our modeling framework, we prove that, when the instantaneous price impact parameter converges to zero, the absolutely continuous optimal portfolio process converges to a stochastic process that is given in terms of the unique solution to a regular one-dimensional quadratic BSDE. This limit turns out to be the solution to an optimal liquidation problem without instantaneous price impact, but with general semimartingale controls with jumps. Our result provides a unified framework within which to embed the two most commonly used modeling frameworks in the optimal liquidation literature and provides a foundation for the use of semimartingale liquidation strategies and the use of portfolio processes of unbounded variation. Our results are based on novel convergence results for BSDEs with singular terminal conditions and a novel representation result of BSDE solutions in terms of uniformly continuous functions of forward processes. We also prove that the optimal solution in the deterministic version of the original pre-limit optimal liquidation model can be approximated uniformly by using the first order Taylor polynomial expanded around the singular point where the instantaneous price impact vanishes. This approximation is explicitly computable, while the optimal solution generally is not.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Schnittebenenverfahren, einer Gruppe von iterativen Algorithmen zur Minimierung einer (möglicherweise nicht glatten) konvexen Funktion über einer kompakten konvexen Menge. Wir betrachten zwei prominente Beispiele, nämlich die Ellipsoidmethode und die Methode der Vaidya, und zeigen, dass ihre Konvergenzrate auch bei Verwendung eines ungenauen Orakels erhalten bleibt. Darüber hinaus zeigen wir, dass es möglich ist, diese Methoden im Rahmen der stochastischen Optimierung effizient zu nutzen. Eine andere Richtung, in der Schnittebenenverfahren nützlich sein können, sind duale Probleme. In der Regel können die Zielfunktion und ihre Ableitungen bei solchen Problemen nur näherungsweise berechnet werden. Daher ist die Unempfindlichkeit der Methoden gegenüber Fehlern in den Subgradienten von großem Nutzen. Als Anwendungsbeispiel schlagen wir eine linear konvergierende duale Methode für einen Markow-Entscheidungsprozess mit Nebenbedienungen vor, die auf der Methode der Vaidya basiert. Wir demonstrieren die Leistungsfähigkeit der vorgeschlagenen Methode in einem einfachen RL Problem. Die Arbeit untersucht auch das Konzept der Genauigkeitszertifikate für konvexe Minimierungsprobleme. Zertifikate ermöglichen die Online-Überprüfung der Genauigkeit von Näherungslösungen. In dieser Arbeit verallgemeinern wir den Begriff der Genauigkeitszertifikate für die Situation eines ungenauen Orakels erster Ordnung. Darüber hinaus schlagen wir einen expliziten Weg zur Konstruktion von Genauigkeitszertifikaten für eine große Klasse von Schnittebenenverfahren vor. Als Nebenprodukt zeigen wir, dass die betrachteten Methoden effizient mit einem verrauschten Orakel verwendet werden können, obwohl sie ursprünglich für ein exaktes Orakel entwickelt wurden. Schließlich untersuchen wir die vorgeschlagenen Zertifikate in numerischen Experimenten und zeigen, dass sie eine enge obere Schranke für das objektive Residuum liefern. / The present thesis studies cutting plane methods, which are a group of iterative algorithms for minimizing a (possibly nonsmooth) convex function over a compact convex set. We consider two prominent examples, namely, the ellipsoid method and Vaidya's method, and show that their convergence rate is preserved even when an inexact oracle is used. Furthermore, we demonstrate that it is possible to use these methods in the context of stochastic optimization efficiently. Another direction where cutting plane methods can be useful is Lagrange dual problems. Commonly, the objective and its derivatives can only be computed approximately in such problems. Thus, the methods' insensitivity to error in subgradients comes in handy. As an application example, we propose a linearly converging dual method for a constrained Markov decision process (CMDP) based on Vaidya's algorithm. We demonstrate the performance of the proposed method in a simple RL environment. The work also investigates the concept of accuracy certificates for convex minimization problems. Certificates allow for online verification of the accuracy of approximate solutions. In this thesis, we generalize the notion of accuracy certificates for the setting of an inexact first-order oracle. Furthermore, we propose an explicit way to construct accuracy certificates for a large class of cutting plane methods. As a by-product, we show that the considered methods can be efficiently used with a noisy oracle even though they were originally designed to be equipped with an exact oracle. Finally, we illustrate the work of the proposed certificates in numerical experiments highlighting that they provide a tight upper bound on the objective residual.

In dieser Dissertation konstruieren wir neue Beispiele von koassoziativen Untermannigfaltigkeiten und G2-Instantonen in kompakten G2-Mannigfaltigkeiten, die aus Joyces verallgemeinerter Kummer Konstruktion hervorgehen. Die besondere Eigenschaft der in dieser Arbeit gefundenen koassoziativen Untermannigfaltigkeiten ist, dass ihr (topologisch bestimmtes) Volumen gegen Null geht, wenn die umgebende Mannigfaltigkeit sich ihrem Orbifaltigkeits-Limes annähert. Dies ist im Sinne eines Vorschlags von Halverson und Morrison, der darauf hinweist, dass bestimmte Entartungen (oder, allgemeiner, die Perioden) von G2-Strukturen durch das Verhalten von G2-topologischen Größen wie dem Volumen von assoziativen und koassoziativen Untermannigfaltigkeiten nachweisbar sein könnten. Die Konstruktion dieser koassoziativen Untermannigfaltigkeiten ist Inhalt von Kapitel 3 und basiert auf der Deformation von „Modell-Untermannigfaltigkeiten“. Diese Untermannigfaltigkeiten liegen innerhalb des kritischen Bereiches der umgebenden Mannigfaltigkeit, in welchem die Metrik entartet. Abschnitt 3.3 beinhaltet zahlreiche Beispiele von koassoziativen Untermannigfaltigkeiten, die wir durch diese Methode konstruieren. Des Weiteren beschreiben wir die Deformationsfamilie dieser koassoziativen Untermannigfaltigkeiten. In Kapitel 4 konstruieren wir neue Beispiele von G2-Instantonen über verallgemeinerten Kummer Konstruktionen. Wir konzentrieren uns hierbei hauptsächlich auf Auflösungen von Orbifaltigkeiten, deren singuläre Strata von Kodimension 6 sind. Wie im vorherigen Kapitel basiert die Konstruktion dieser Instantonen auf einem Klebesatz, welcher einen Zusammenhang deformiert, der (im quantifizierten Sinne) fast ein G2-Instanton ist. Außerdem benutzen wir Gruppenwirkungen um die Obstruktionen zu reduzieren. Mithilfe dieser Methode konstruieren wir in Abschnitt 4.4 eine unendliche Familie von G2-Instantonen auf einem Bündel über einer bestimmten Kummer Konstruktion. / In this thesis we construct new examples of coassociative submanifolds and G2-instantons in compact G2-manifolds arising from Joyce’s generalised Kummer construction. The special feature of the coassociative submanifolds found in this thesis is that their (topologically determined) volume shrinks to zero as the ambient manifold approaches its orbifold limit. This is in the spirit of a proposal by Halverson and Morrison which indicates that certain degenerations (or, more general, the periods) of G2-structures may be detectable by the behaviour of G2-topological quantities such as the volume of associative and coassociative submanifolds. The construction of these coassociative submanifolds is the content of Chapter 3. It is based on the deformation of ‘model-submanfiolds’. These submanifolds lie within the critical locus of the ambient manifold in which the metric degenerates. Section 3.3 contains numerous examples of coassociative submanifolds which we construct via this method. Furthermore, we give a description of the deformation family of these coassociative submanifolds. In Chapter 4 we construct new examples of G2-instantons over generalised Kummer constructions. We focus mainly on resolutions of orbifolds whose singular strata are of codimension 6. As in the previous chapter, the construction of these instantons is based on a gluing theorem which deforms a connection that is (in a quantified sense) close to being a G2-instanton. Furthermore, we use group actions to reduce the obstructions. Using this method, we construct in Section 4.4 an infinite family of G2-instantons on a bundle over one particular Kummer construction.

Die Anwenung von Operator-Splitting-Methoden auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist gut etabliert. Für Differential-algebraische Gleichungen und partielle Differential-algebraische Gleichungen unterliegt sie jedoch vielen Einschränkungen aufgrund des Vorhandenseins von Nebenbedingungen. Die räumliche Diskretisierung reduziert PDAEs und lenkt unseren Fokus auf das Konzept der DAEs. Um eine reibungslose Übertragung des Operator-Splittings von ODEs auf DAEs durchzuführen, ist es wichtig, eine geeignete entkoppelte Struktur für das gewünschte Differential-algebraische System zu haben. In dieser Arbeit betrachten wir ein Modell, das partielle Differentialgleichungen für elektromagnetische Bauelemente - modelliert durch die Maxwell-Gleichungen - mit Differential-algebraischen Gleichungen koppelt, die die elementaren Schaltungselemente beschreiben. Nach der räumlichen Diskretisierung der klassischen Formulierung der Maxwell-Gleichungen mit Hilfe der finiten Integrationstechnik formulieren wir das resultierende gekoppelte System als Differential-algebraische Gleichung. Um eine geeignete Entkopplung zu bekommen, verwenden wir den zweigorientierten Loop-Cutset-Ansatz für die Schaltungsmodellierung. Daraus folgt, dass wir in der Lage sind, eine geeignete Operatorzerlegung so zu konstruieren, dass wir eine natürliche topologisch entkoppelte Port-Hamiltonsche DAE-Struktur erhalten. Wir schlagen einen Operator-Splitting-Ansatz für die Schaltungs-DAEs und gekoppelten Feld-Schaltungs-DAEs in entkoppelter Form vor und analysieren seine numerischen Eigenschaften. Darüber hinaus nutzen wir das Hamiltonsche Verhalten der inhärenten gewöhnlichen Differentialgleichung durch die Verwendung expliziter und energieerhaltender Zeitintegrations-methoden. Schließlich führen wir numerische Tests, um das mathematische Modell zu illustrieren und die Konvergenzergebnisse für das vorgeschlagene DAE-Operator-Splitting zu demonstrieren. / Le equazioni algebriche differenziali e algebriche alle derivate parziali hanno avuto un enorme successo come modelli di sistemi dinamici vincolati. Nella modellazione matem- atica, spesso si desidera catturare diversi aspetti di una situazione come le leggi di conservazione della fisica, il trasporto convettivo o la diffusione. Queste aspetti si riflettono nel sistema di equazioni del modello come operatori diversi. La tecnica dell’Operator Splitting si è rivelata una strategia di successo per affrontare problemi così complicati. L’applicazione dei metodi di Operator Splitting alle equazioni differenziali ordinarie (ODE) è ormai una tecnologia ben consolidata. Tuttavia, per equazioni algebriche differenziali (DAE) e algebriche differenziali parziali (PDAE), l’approccio è soggetto a molte restrizioni dovute alla presenza di vincoli e alla proprietà di indice. La discretizzazione spaziale riduce le PDAE e indirizza la nostra attenzione al concetto di DAE. Le DAE emergono in problemi dinamici vincolati come circuiti elettrici o reti di trasporto di energia. Al fine di generalizzare agevolmente la tecnica dell’Operator Splitting dalle ODE alle DAE, è importante avere una struttura disaccoppiata adeguata per il sistema algebrico differenziale desiderato. In questa tesi, consideriamo un modello che accoppia equazioni differenziali alle derivate parziali per dispositivi elettromagnetici -modellati dalle equazioni di Maxwell- con equazioni algebriche differenziali che descrivono gli elementi base del circuito. Dopo aver discretizzato spazialmente la formulazione classica delle equazioni di Maxwell usando la tecnica di integrazione finita, formuliamo il sistema accoppiato risultante come una equazione algebrica differenziale. Interpretando il dispositivo elettromagnetico come un elemento capacitivo, l’indice dell’intero sistema di circuito e campo accoppiato può essere specificato utilizzando le proprietà topologiche del circuito e non supera il valore di due. Per eseguire un disaccoppiamento appropriato, utilizziamo l’approccio loop-cutset per la modellazione dei circuiti. In tal modo siamo in grado di costruire una opportuna decomposizione dell’operatore tale da ottenere una naturale struttura disaccoppiata port-Hamiltonian DAE. Proponiamo un approccio di suddivisione dell’operatore per i DAE a circuito disaccoppiato e a circuito di campo accoppiato utilizzando gli algoritmi di divisione Lie-Trotter e Strang e per analizzare le proprietà numeriche di questi sistemi. Inoltre, sfruttiamo il comportamento hamiltoniano del sistema di equazioni differenziali ordinarie mediante l’utilizzo di metodi di integrazione temporale con esatta conservazione dell’energia. Poggiando sull’analisi di convergenza del metodo di suddivisione dell’operatore ODE, deriviamo i risultati di convergenza per l’approccio proposto che dipendono dall’indice delsistema e quindi dalla sua struttura topologica. Infine, eseguiamo prove numeriche di sistemi circuitali, nonchè sistemi accoppiati a circuito di campo, per testare il modello matematico e dimostrare i risultati di convergenza per la proposta Operator Splitting DAE. / The application of operator splitting methods to ordinary differential equations (ODEs) is well established. However, for differential-algebraic equations (DAEs) and partial differential-algebraic equations (PDAEs), it is subjected to many restrictions due to the presence of constraints. In constrained dynamical problems as electrical circuits or energy transport networks, DAEs arise. In order to perform a smooth transfer of the operator splitting from ODEs to DAEs, it is important to have a suitable decoupled structure for the desired differential-algebraic system. In this thesis, we consider a model which couples partial differential equations for electro- magnetic devices -modeled by Maxwell’s equations- with differential-algebraic equations describing the basic circuit elements. After spatially discretizing the classical formulation of Maxwell’s equations using the finite integration technique, we formulate the resulting coupled system as a differential-algebraic equation. To perform an appropriate decoupling, we use the branch oriented loop-cutset approach for circuit modeling. It follows that we are able to construct a suitable operator decomposition such that we obtain a natural topologically decoupled port-Hamiltonian DAE structure. We propose an operator splitting approach for the decoupled circuit and coupled field- circuit DAEs using the Lie-Trotter and Strang splitting algorithms and analyze its numerical properties. Furthermore, we exploit the Hamiltonian behavior of the system’s inherent ordinary differential equation by the utilization of explicit and energy-preserving time integration methods. Based on the convergence analysis of the ODE operator splitting method, we derive convergence results for the proposed approach that depends on the index of the system and thus on its topological structure. Finally, we perform numerical tests, to underline the mathematical model and to demonstrate the convergence results for the proposed DAE operator splitting.

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.

Wir befassen uns mit Gleichgewichtsproblemen, die bei dem Zusammentreffen von Märkten und Marktteilnehmern entstehen, zuerst in einem Modell mit konkurrierenden Märkten mit Feedback und asymmetrischer Information und dann mit strategisch interagierenden Händlern. Zudem untersuchen wir spezielle Richtungsableitung im Kontext des pfadweisen Malliavinkalküls. Im ersten Kapitel analysieren wir ein Prinzipal-Agenten-Problem mit einem monopolistischen Dealer, der mit einem Crossing-Netzwerk (CN) um den Handel mit Agenten mit privater Information konkurriert. Wir untersuchen die gewinnmaximierenden Angebote des Dealers für unterschiedliche Outside-Optionen und formulieren hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Lösung. In unserem Modell ist die Einführung des CN für die Agenten vorteilhaft und ein Gleichgewichtspreis existiert. Im zweiten Kapitel analysieren wir den Einfluss vergleichender Leistungsbewertung von Händlern auf die Preisfindung im Marktgleichgewicht. Ein Derivat soll einen markträumenden Preis bekommen unter Beachtung der strategisch handelnden Agenten. Das Risiko eines Händlers setzt sich aus dem eigenen Risikoprofil und dem Erfolg des Handelns relativ zum durchschnittlichen Handelserfolg aller zusammen und er wird durch eine BSDE gemessen. Wir bestimmen einen repräsentativen Agenten und zeigen so die Existenz und Eindeutigkeit eines Gleichgewichtspreises. Weiterhin können wir diesen charakterisieren und im Spezialfall von entropischen Risikomaßen konkret berechnen. In diesem Spezialfall führen wir auch eine Parameteranalyse durch. Das dritte Kapitel verknüpft klassischen und pfadweisen Malliavinkalkül. Wir definieren und analysieren pfadweise Richtungsableitungen mit Hilfe von Perturbationen mit Cameron-Martin-Funktionen, mit (Hölder-)stetigen Funktionen, mit unstetigen Funktionen und mit Maßen. Somit sind sowohl die klassische Malliavin-Ableitung als auch Dupires vertikale Ableitung als Spezialfälle enthalten. / We analyze equilibrium problems arising from interacting markets and market participants, first competing markets with feedback and asymmetric information, then strategically interacting traders; moreover we analyze a new notion of a pathwise directional derivative in the context of pathwise Malliavin calculus. The first chapter analyzes a principal-agent game in which a monopolistic profit-maximizing dealer competes with a crossing network (CN) for trading with privately informed agents. We analyze the structure of the dealer’s offered pricing schedules for different outside options. We give sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to the dealer’s problem and show that in our setting the introduction of the CN is beneficial for the agents. Additionally, we discuss existence and uniqueness of an equilibrium price for the feedback between dealer and CN. In the second chapter we analyze the impact of performance concerns on a problem of equilibrium pricing. A derivative is priced such that the market clears, given strategically behaving agents. Their risk stems from a risky position in the future and the relative trading gains compared to all other agents. The risk measure of each agent is specified by a BSDE. In spite of the strategic interaction, we are able to apply a representative agent approach to obtain existence and uniqueness of the equilibrium market price of external risk. In the special case of entropic risk measures, we perform a parameter analysis. The third chapter provides a link between classical and pathwise Malliavin calculus. We define and analyze pathwise directional derivatives via perturbations with Cameron-Martin functions, (Hölder-)continuous functions, discontinuous functions and measures, thereby including both the traditional Malliavin derivative and the vertical derivative from Dupire’s work.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Höhe (-log Determinante) kompakter nicht-singulärer heisenbergartiger Nilmannigfaltigkeiten. Heisenbergartige Nilmannigfaltigkeiten sind Verallgemeinerungen von Heisenbergmannigfaltigkeiten, d.h., kompakter Quotienten der Heisenberg-Gruppe, ausgestattet mit einer linksinvarianten Metrik. Zunächst werden explizite Formeln für die spektrale Zeta-Funktion und die Höhe bewiesen. Mithilfe dieser Formeln werden im Weiteren mehrere Resultate zur Existenz unterer Schranken/Minima der Höhe auf verschiedenen Moduli bewiesen. Zum Beispiel ist die Höhe stets von unten beschränkt, wenn man nur Metriken vom Heisenberg-Typ und mit Volumen 1 auf einer gegebenen Nilmannigfaltigkeit betrachtet. Im Gegensatz dazu hängt die Existenz unterer Schranken für die Höhe auf dem Modulraum der heisenbergartigen Metriken mit Volumen 1 von der Dimension Modulo 4 der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ab. Im letzten Abschnitt werden konkrete Minima der Höhe behandelt. Wir zeigen, dass gewisse 3-, 5-, 9- und 25-dimensionale Nilmannigfaltigkeiten vom Heisenberg-Typ lokale Minima sind. Diese stehen in Zusammenhang mit den Minima der Höhe flacher Tori in der jeweiligen Dimension minus 1. Zum Abschluss werden diejenigen linksinvarianten Metriken charakterisiert, an denen die Höhe ein globales Minimum auf einer gegebenen dreidimensionalen Nilmannigfaltigkeit annimmt, indem sie zur Höhe flacher 2-dimensionaler Tori in Bezug gesetzt werden. / This thesis deals with the height (-log determinant) of compact nonsingular Heisenberg-like nilmanifolds. Heisenberg-like nilmanifolds are generalisations of Heisenberg manifolds, i.e., compact quotients of the Heisenberg group endowed with a left invariant metric. First, an explicit formula for the spectral zeta-function and the height is proved. By means of these formulas, several results concerning the existence of lower bounds/minima for the height on different moduli are proved. For example, while the height is always bounded from below when one considers only volume normalised Heisenberg-type metrics on a fixed nilmanifold, the existence of lower bounds for the height on the moduli space of volume normalised Heisenberg-like metrics depends on the dimension modulo 4 of the underlying nilmanifold. In the last part, we consider concrete minima of the height on Heisenberg manifolds. We show that certain 3-, 5-, 9- and 25-dimensional Heisenberg-type nilmanifolds are (local) minima for the height. These nilmanifolds are related to the minima of the height of flat tori in dimensions one less. Finally, the left invariant metrics at which the height attains a global minimum on any three-dimensional nilmanifold are characterised by relating them to the height of flat 2-dimensional tori.

Das Hauptresultat dieser Arbeit ist ein regularisierter arithmetischer Satz von Riemann-Roch für ein hermitesches Geradenbündel, die isometrisch zum Geradenbündel den Spitzenformen vom geraden Gewicht ist, auf eine arithmetische Fläche, deren komplexe Faser isometrisch zu einer hyperbolischen Riemannschen Fläche ohne elliptische Punkte ist. Der Beweis des Resultats erfolgt durch metrische Degeneration: Wir regularisieren die betreffenden Metriken in einer Umgebung der Singularitäten, wenden dann den arithmetischen Riemann-Roch-Satz von Gillet und Soulé an und lassen schließlich den Parameter gegen Null gehen. Durch die metrische Degeneration entsteht auf beiden Seiten der Formel ein divergenter Term. Die asymptotische Entwicklung der Divergenz berechnet sich auf der einen Seite direkt aus der Definition der glatten arithmetischen Selbstschnittzahlen. Der divergente Term auf der anderen Seite ist die zeta-regularisierte Determinante des zu den regularisierten Metriken assoziierten Laplace-Operators, der auf den 1-Formen mit Werten in dem betrachteten hermitischen Geradenbündel operiert. Wir definieren und berechnen zuerst eine Regularisiereung des entsprechenden zu den singulären Metriken assoziierten Laplace-Operators; diese wird später im regularisierten Riemann-Roch-Satz auftauchen. Zu diesem Zweck passen wir Ideen von Jorgenson-Lundelius, D'Hoker-Phong und Sarnak auf die vorliegende Situation an und verallgemeinern diese. Schließlich beweisen wir eine Formel für den zum betrachteten hermitischen Geradenbündel assoziierten Wärmeleitungskern auf der Diagonalen bei einer Modellspitze. Diese Darstellung steht im Zusammenhang mit einer Entwicklung nach zur Whittaker-Gleichung assoziierten Eigenfunktionen, die im Anhang bewiesen wird. Weitere Abschätzungen des zum betrachteten hermitischen Geradenbündel gehörigen Wärmeleitungskern auf der komplexe Faser der arithmetischen Fläche schließen den Beweis des Hauptresultats ab. / The main result of the dissertation is an arithmetic Riemann-Roch theorem for the hermitian line bundle of cusp form of given even integer weights on an arithmetic surface whose complex fiber is isometric to an hyperbolic Riemann surface without elliptic points. The proof proceeds by metric degeneration: We regularize the metric under consideration in a neighborhood of the singularities, then we apply the arithmetic Riemann-Roch theorem of Gillet and Soulé, and finally we let the parameter go to zero. Both sides of the formula blow up through metric degeneration. On one side the exact asymptotic expansion is computed from the definition of the smooth arithmetic intersection numbers. The divergent term on the other side is the zeta-regularized determinant of the Laplacian acting on 1-forms with values in the chosen hermitian line bundle associated to the regularized metrics. We first define and compute a regularization of the determinant of the corresponding Laplacian associated to the singular metrics, which will later occur int he regularized arithmetic Riemann-Roch theorem. To do so we adapt and generalize ideas od Jorgenson-Lundelius, D'Hoker-Phong, and Sarnak. Then, we prove a formula for the on-diagonal heat kernel associated to the chosen hermitian line bundle on a model cusp, from which its behavior close to a cusp is transparent. This expression is related to an expansion in terms of eigenfunctions associated to the Whittaker equation, which we prove in an appendix. Further estimates on the heat kernel associated to the chosen hermitian line bundle on the complex fiber of the arithmetic surface prove the main theorem.

Das Thema dieser Dissertation ist die Anwendung von Variationsmethoden auf Evolutionsgleichungen parabolischen und hyperbolischen Typs. Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit Reaktions-Diffusions-Systemen, die sich als Gradientensysteme schreiben lassen. Hierbei verstehen wir unter einem Gradientensystem ein Tripel bestehend aus einem Zustandsraum, einem Entropiefunktional und einer Dissipationsmetrik. Wir geben Bedingungen an, die die geodätische Konvexität des Entropiefunktionals sichern. Geodätische Konvexität ist eine wertvolle aber auch starke strukturelle Eigenschaft und schwer zu zeigen. Wir zeigen anhand zahlreicher Beispiele, darunter ein Drift-Diffusions-System, dass dennoch interessante Systeme existieren, die diese Eigenschaft besitzen. Einen weiteren Punkt dieser Arbeit stellt die Anwendung von Gamma-Konvergenz auf Gradientensysteme dar. Wir betrachten hierbei zwei Modellsysteme aus dem Bereich der Mehrskalenprobleme: Erstens, die rigorose Herleitung einer Allen-Cahn-Gleichung mit dynamischen Randbedingungen und zweitens, einer Interface-Bedingung für eine eindimensionale Diffusionsgleichung jeweils aus einem reinen Bulk-System. Im zweiten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit dem sog. Weighted-Inertia-Dissipation-Energy-Prinzip für Evolutionsgleichungen. Hierbei werden Trajektorien eines Systems als (Grenzwerte von) Minimierer(n) einer parametrisierten Familie von Funktionalen charakterisiert. Dies erlaubt es, Werkzeuge aus der Theorie der Variationsrechung auf Evolutionsprobleme anzuwenden. Wir zeigen, dass Minimierer der WIDE-Funktionale gegen Lösungen des Ausgangsproblems konvergieren. Hierbei betrachten wir getrennt voneinander den Fall des beschränkten und des unbeschränkten Zeitintervalls, die jeweils mit verschiedenen Methoden behandelt werden. / This thesis deals with the application of variational methods to evolution problems governed by partial differential equations. The first part of this work is devoted to systems of reaction-diffusion equations that can be formulated as gradient systems with respect to an entropy functional and a dissipation metric. We provide methods for establishing geodesic convexity of the entropy functional by purely differential methods. Geodesic convexity is beneficial, however, it is a strong structural property of a gradient system that is rather difficult to achieve. Several examples, including a drift-diffusion system, provide a survey on the applicability of the theory. Next, we demonstrate the application of Gamma-convergence, to derive effective limit models for multiscale problems. The crucial point in this investigation is that we rely only on the gradient structure of the systems. We consider two model problems: The rigorous derivation of an Allen-Cahn system with bulk/surface coupling and of an interface condition for a one-dimensional diffusion equation. The second part of this thesis is devoted to the so-called Weighted-Inertia-Dissipation-Energy principle. The WIDE principle is a global-in-time variational principle for evolution equations either of conservative or dissipative type. It relies on the minimization of a specific parameter-dependent family of functionals (WIDE functionals) with minimizers characterizing entire trajectories of the system. We prove that minimizers of the WIDE functional converge, up to subsequences, to weak solutions of the limiting PDE when the parameter tends to zero. The interest for this perspective is that of moving the successful machinery of the Calculus of Variations.