Using a Lie symmetry group generator and a generalized form of Manale's formula for solving second order ordinary di erential equations, we determine new symmetries for the one and two dimensional heat equations, leading to new solutions. As an application, we test a formula resulting from this approach on thin plate heat conduction. / Applied Mathematics / M. Sc. (Applied Mathematics)

Η κατά συμμετρίες ανάλυση είναι μια σύγχρονή και αποτελεσματική μέθοδος ανάλυσης του μαθηματικού πεδίου των Διαφορικών Εξισώσεων. Στα πλεονεκτήματα της, ο αλγοριθμικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε τις συμμετριες ενός συστήματος και η κατακευή λύσεων από αυτές. Όμως, όπως και κάθε άλλη μέθοδος έτσι και αυτή έχει τα μειονεκτήματα της, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση των συμμετρίων ενός συστήματος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με αυτό. Γεγονός που καθιστά τους υπολογισμούς αυτούς με το χέρι χρονοβόρους και επιρρεπής σε σφάλματα και συνεπώς την ανάγκη για την χρήση αξιόπιστων συμβολικών προγραμμάτων επιτακτική. Για τον σκοπό αυτό αναπτύξαμε το συμβολικό πακέτο Sym για το αλγεβρικό σύστημα Mathematica. Το συμβολικό αυτό πακέτο περιέχει στοιχεία τεχνικής νοημοσύνης και εξιδικευμένες συμβολικές μεθόδους. Στοιχεία που το καθιστούν ένα αποτελεσματικό και ευέλικτο μαθηματικό εργαλείο τόσο στον ερευνητικό τομέα όσο και στην εκπαίδευση. Το παρόν διδακτορικό χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες της κατα συμμετρίες ανάλυσης διαφορικών εξισώσεων και τους λόγους για τους οποίους η χρήση συμβολικών προγραμμάτων βρίσκει πρόσφορο έδαφος. Στο δεύτερο μέρος, παρουσιάζουμε το συμβολικό πακέτο Sym και δύο ερευνητικά αποτελέσματα της χρήσης του. Όσο αναφορά το ίδιο το πακέτο, δίνουμε τα βασικά του χαρακτηριστικά , τον τρόπο λειτουργίας του και τα οφέλη του σε σχέση με τα ήδη υπάρχοντα συμβολικά πακέτα για την εύρεση συμμετριών. Η χρηστικότητα του παρουσιάζεται μέσω δύο ερευνητικών αποτελεσμάτων. Στο πρώτο, εξετάζουμε ενα πρόβλημα από την περιοχή της Γενικής Σχετικότητας, την εύρεση βαρυτικών κυμάτων. Οι συμμετρίες των εξισώσεων πεδίου του Einstein για την μετρική του Bondi καθορίζονται μέσω του Sym και υποβιβάζουμε με αυτές την τάξη του μή γραμμικού συστήματος. Με υποθέσεις εργασίας πάνω στο σύστημα αυτό δίνουμε ειδικές λύσεις οι οποίες είχαν προκύψει παλίοτερα με άλλες μεθόδους. Τέλος, παρουσιάζουμε τις μελλοντικές μας κατευθύνσεις προς την καθορισμό νέων λύσεων με την σωστή φυσική συμπεριφορά που επιβάλει το πρόβλημα. Στο δεύτερο, δίνουμε μια προτότυπη διαδικασία κατηγοριοποίησης διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις ένοιες της πλήρους ομάδας συμετρίας και της αξιοσημείωτης κατά Lie διαφορικής εξίσωσης. Με βάση αυτή, επιτυγχάνουμε την συνθέση διαφορικών εξισώσεων κατασκευάζοντας έτσι καινούργιες οικογένεις διαφορικών εξισώσεων περιέχοντες τις αρχικές μας εξισώσεις. / The symmetry analysis is a modern and effective method of mathematical field of differential equations. On its advantages, the algorithmic way for determining the symmetries and constructing solutions. Like any other method it also has its disadvantages; the size and the complexity of the intermediate calculations needed for giving the symmetries is increased exponentially with respect to the equation under investigation. This fact renders the calculations unmanageable by hand and error prone. The need for reliable and fast symbolic tools is apparent. For this reason, we developed a symbolic package called Sym based on the Mathematica program. The package employing artificial intelligent elements and specialized symbolic methods is an effective and versatile mathematical tool ideal for research and education alike. The present thesis consists of two parts; on the first we present the basic notions of the mathematical theory and the reasons that symbolic tools can be utilized. On the second part, we present the symbolic package Sym itself along with two new result employing it. As for the package itself, we give the basic characteristics, its functionality and the benefits using it against the existing programs. Its usefulness is presented through two results. On the first, we study a problem from General Relativity, finding solutions describing gravity waves. The symmetries of the Einstein’s field equations for the radiating Bondi metric are determined from Sym. Using them we reduce the non-linear system. Using specific ansatzes we arrive to specific solutions already found using other methods. Finally, we present our future directions for finding new solutions with the correct physical behavior. On the second, we describe a new procedure for classifying differential equations using the notions of complete symmetry groups and Lie remarkability. Using this procedure we achieved by starting with a set of differential equation to construct a new family that includes the initial set. Future directions include finding a way to link the solutions of the newly constructed family with the solutions of the equations that we use for constructing it.

Όπως μπορεί κανείς να καταλάβει και από τον τίτλο, η εργασία έχει να κάνει με μία μέθοδο επίλυσης μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων και, συγκεκριμένα, μιας οικογένειας τέτοιων εξισώσεων, που ονομάζονται εξισώσεις εξέλιξης. Πολλές από αυτές, μάλιστα, επιδέχονται ειδικού τύπου λύσεις που είναι γνωστές με το όνομα σολιτόνια (solitons). Αρχικά, μας απασχολεί η έννοια της ολοκληρωσιμότητας, για την οποία όμως δεν υπάρχει κάποιος σαφής ορισμός. Παρ' όλα αυτά, μπορούμε να πούμε ότι μία διαφορική εξίσωση καλείται ολοκληρώσιμη όταν μπορεί να γραμμικοποιηθεί άμεσα ή έμμεσα. Ο όρος έμμεση γραμμικοποίηση συνδέεται με την έννοια της ύπαρξης ζευγαριού Lax, την οποία εξηγούμε χρησιμοποιώντας εργαλεία της θεωρίας τελεστών. Για τις μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, έχει αναπτυχθεί πλέον πλήθος μεθόδων ανάλυσης, στα πλαίσια της ολοκληρωσιμότητας, και υπάρχει πλούσια σχετική βιβλιογραφία. Αναφέρουμε συνοπτικά μερικές από αυτές χρησιμοποιώντας κάποια παραδείγματα, ενώ επικεντρωνόμαστε στην αναλυτική περιγραφή μιας μεθόδου που πρώτοι παρουσίασαν οι Zakharov και Shabat το 1974. Η μέθοδος αυτή, η οποία αναπτύχθηκε λίγο μετά τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης, ονομάζεται μέθοδος ένδυσης (dressing method) ή σχήμα των ZS. Για την παρουσίασή της, χρησιμοποιούμε μόνο τελεστές χωρίς να αναφερόμαστε πουθενά στα δεδομένα σκέδασης του προβλήματος. Εισάγουμε, με τη βοήθεια διαφορικών και ολοκληρωτικών τελεστών, το γυμνό (undressed) και το ντυμένο (dressed) τελεστή και, έπειτα, δείχνουμε πώς από αυτούς προκύπτει η γενικευμένη εξίσωση Lax. Παραθέτουμε κάποια παραδείγματα εξισώσεων στις οποίες εφαρμόζεται η μέθοδος και, τέλος, κατασκευάζουμε σολιτονικές λύσεις για τη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger, με τη βοήθεια της ολοκληρωτικής εξίσωσης των Gelfand-Levitan-Marchenko. Πέρα από την περιγραφή της μεθόδου ένδυσης στην αρχική της μορφή, βλέπουμε και πώς αυτή εμφανίζεται στη σύγχρονη βιβλιογραφία. Με την πάροδο του χρόνου εξελίχθηκε αρκετά και συνδέθηκε με προβλήματα της μιγαδικής ανάλυσης και, πιο συγκεκριμένα, με τα προβλήματα Riemann-Hilbert (RH) και dbar που, με τη σειρά τους, προκύπτουν σε πολλές εφαρμογές των μαθηματικών. Από ένα μεγάλο πλήθος πρόσφατα δημοσιευμένων άρθρων, παρουσιάζουμε αναλυτικότερα ένα, αυτό των Bogdanov και Zakharov (2002), που αφορά στην εξίσωση Boussinesq. Περιγράφουμε μια ειδικότερη μορφή της μεθόδου ένδυσης, η οποία ονομάζεται ένδυση dbar (dbar-dressing) και αναλύουμε, μέσω αυτής, τις σολιτονικές λύσεις και το συνεχές φάσμα της εξίσωσης Boussinesq. Οι σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης παρουσιάζουν μία πολύ ιδιαίτερη συμπεριφορά, η οποία έρχεται σε αντίθεση με τον ευσταθή χαρακτήρα των σολιτονίων. / As one can understand from the title, our main subject is a method for solving nonlinear partial differential equations and in particular a family of such equations, called evolution equations. Many of them admit a special kind of solutions, known as solitons. One of our basic interests is the integrability of a nonlinear evolution equation, although a specific definition for that does not exist in the bibliography. However, a partial differential equation is considered to be integrable when it can be linearized directly or indirectly. By indirect linearization we mean the existence of a Lax pair for the initial equation and this connection is explained in terms of operator theory. In the frame of integrability, a large number of methods dealing with the study and analysis of nonlinear evolution equations has been developed. We briefly mention some of them and present some examples, while we focus on the analytic description of a method which was introduced by Zakharov and Shabat, in 1974. This method was developed right after the Inverse Scattering Method and it is known as dressing method or ZS scheme. In order to present it, a dressed and undressed operator are introduced, by the use of operators only whithout refering to the scattering data. Based on those operators the generalized Lax equation is produced. Then we present a number of examples of evolution equations which can be solved via the dressing method and finally we constract soliton solutions for the nonlinear Schrödinger equation by solving the Gelfand-Levitan-Marchenko integral equation. Appart from the description of dressing method in its initial form, a quick review of recent papers and results is considered. The method evolved through time and was connected with some problems of complex analysis and specifically the Riemann-Hilbert (RH) and dbar problems. Those two problems arise in many mathematical and physical applications. From a wide range of recent published articles, we analytically present one which was written by Bogdanov and Zakharov (2002) and deals with Boussinesq equation. The continuous spectrum and soliton solutions are investigated, using a special form of dressind method called dbar-dressing. Soliton solutions for the Boussinesq equations demonstrate a quite extraordinary behaviour destroying the stereotype of usual solitons which are considered to be stable objects.

Η μερική διαφορική εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman παράγει τη λύση στο πρόβλημα του υπολογισμού της βέλτιστης ανάδρασης καταστάσεων σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα. Η προσπάθεια ανάπτυξης εύχρηστων και αξιόπιστων μεθόδων αριθμητικής ή προσεγγιστικής επίλυσης της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman έχει τεράστια σημασία στη ρύθμιση διεργασιών γιατί μπορεί να οδηγήσει άμεσα σε εργαλεία σχεδιασμού μη γραμμικών ρυθμιστών. Ειδικότερα, στη ρύθμιση διεργασιών, η απόδοση ενός ρυθμιστικού συστήματος αξιολογείται βάσει ενός τετραγωνικού δείκτη απόδοσης σε άπειρο χρονικό ορίζοντα, και η βέλτιστη ανάδραση καταστάσεων μπορεί να υπολογισθεί μέσω της λύσης της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman, μη εξαρτώμενης από το χρόνο. Στο πρόβλημα της επίλυσης της παραπάνω εξίσωσης παρουσιάζονται σοβαρές δυσκολίες, κυρίως λόγω υπολογιστικής πολυπλοκότητας. Για το λόγο αυτό, οι μέχρι στιγμής πρακτικές εφαρμογές υπήρξαν περιορισμένες. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται υπολογιστική μέθοδος, βασισμένη στον αλγόριθμο επαναλήψεων Newton-Kantorovich, η οποία επιτυγχάνει πολυωνυμική προσέγγιση της λύσης της μερικής διαφορικής εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman υπό μορφή αναπτύγματος σε δυναμοσειρά Taylor. Με τον τρόπο αυτό επιταχύνονται σημαντικά οι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της βέλτιστης ανάδρασης καταστάσεων. Η μέθοδος εφαρμόζεται αρχικά σε ένα παράδειγμα ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας με ανάδευση, ο οποίος παρουσιάζει δυναμική συμπεριφορά μη-ελάχιστης φάσης, με μία είσοδο, μία έξοδο και δύο καταστάσεις. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται σε παραδείγματα μη ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα αντίστοιχης δυναμικής συμπεριφοράς, τριών καταστάσεων, πρωτίστως με μία είσοδο και μία έξοδο και κατόπιν με δύο εισόδους και δύο εξόδους. Με ανάπτυξη και εφαρμογή κώδικα MAPLE για κάθε μία περίπτωση χωριστά, υπολογίζονται προσεγγιστικά οι βέλτιστοι νόμοι ανάδρασης και σχεδιάζονται οι βέλτιστες αποκρίσεις των εισόδων και των εξόδων κάθε ενός από τα παραπάνω συστήματα, ενώ ταυτόχρονα γίνεται και καταγραφή των αντίστοιχων χρόνων εκτέλεσης κάθε κώδικα. Τέλος, στην περίπτωση του ισοθερμοκρασιακού αντιδραστήρα, γίνεται σύγκριση της προτεινόμενης μεθόδου με προϋπάρχουσες, κατά κύριο λόγο σε ζητήματα χρόνων εκτέλεσης, αλλά και σε ζητήματα απόδοσης στη ρύθμιση. / The partial differential equation Hamilton-Jacobi-Bellman produces the solution in the problem of calculation of optimal state feedback in non-linear dynamic systems. The effort of designing functional and reliable, numerical or approximate, methods for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equation has enormous importance in process control because it can lead directly to tools of planning non-linear regulators. More specifically, in process control, the attribution of a regulating system is evaluated using a quadratic performance index in infinite time horizon, and the optimal state feedback can be calculated by the solution of the non time depended Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The problem of solving the equation above encounters serious difficulties, mainly because of the calculation complexity. For this reason, the practical applications existed until now were very few. In the present work a calculating method is developed, based in the iterative algorithm Newton-Kantorovich, which achieves polynomial approach of the solution of partial differential equation Hamilton-Jacobi-Bellman under the form of Taylor series expansion. Thus the calculations for the determination of optimal state feedback are considerably accelerated. The method is initially applied in an example of continuous stirred tank reactor, with non-minimum phase dynamic behavior, with one input, one output and two state variables. Afterwards, it is applied in examples of not isothermal reactor of the same dynamic behavior, three state variables, firstly with one input and one output variables and then with two input and two output variables. Using the symbolic program MAPLE, a code was developed for each case separately, which calculates approximately the optimal feedback laws and designs the optimal responses of the inputs and outputs of each of the systems above, while the corresponding times of implementation of each code are simultaneously recording. Finally, in the case of isothermal reactor, a comparison is made between the proposed and preexisting methods, mainly in the base of the time of implementations and the regulation performance.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude des solutions stationnaires, en dimension 1 d'espace, d'unmodèle de champs de phase cristallin introduit par Elder en 2002. Ainsi, nous prouvons, par la méthode deréduction de Lyapunov-Schmidt et la technique des multiparamètres, l'existence de courbes de solutionsbifurquantes stationnaires lorsque le noyau de l'opérateur linéarisé, au voisinage de la solution triviale estde dimension 2. Une parenthèse est ouverte pour la comparaison de l'énergie de la solution bifurquantepar rapport à celle la solution triviale. Aussi, grâce au principe de la stabilité réduite, nous fournissonsdes ensembles précis de valeurs des paramètres de bifurcation pour lesquelles les solutions obtenues sontstables ou instables. Ces résultats théoriques sont corroborés par plusieurs tests numériques.Par ailleurs, dans le cas classique du noyau unidimensionel, nous établissons des diagrammes de phasespermettant de comprendre les différentes orientations de courbes de solutions non triviales au voisinage dechaque point de bifurcation. / This thesis is devoted to the study of stationary solutions of a Phase Field Crystal model, in one spacedimension, introduced by Elder in 2002. Thus, we prove by the Lyapunov-Schmidt method of reductionand the multiparameter technique, the existence of the curves of bifurcating stationary solutions whenthe kernel of the linearized operator near to trivial solution is of two dimension. A parenthesis is open forcomparing the energies of the bifurcating solution and the trivial solution. Also, thanks to the principle ofreduced stability, we provide specific sets of parameter values for wich the obtained solutions are stable orunstable. These theoretical results are confirmed by several numerical tests.Moreover, in the classical case of a one dimensional kernel, we establish the phase diagrams allowing tounderstand the different orientations of non-trivial solutions curves near to of each bifurcation point.

Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutionsd'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotiqueen termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cetteéquation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types denonlinéarités et de conditions au bord.D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord etune nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et ondémontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tendvers 0.Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considèretout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique etnumérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimensiondeux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres.On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière quel'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solutionappropriée. / This thesis is devoted to the study of the existence, uniqueness andregularity of solutions for a Cahn-Hilliard type equation, as well as the asymptoticbehavior in terms of existence of the global attractor and of an exponential attractor.This equation is considered in a bounded and smooth domain under variousassumptions on the nonlinear terms and with different boundary conditions.We start by studying the equation with Dirichlet boundary conditions and a regularnonlinearity. Then, we consider a perturbation of the problem and we prove theexistence of a robust family of exponential attractors as ε tends to 0.For the equation endowed with dynamic boundary conditions, we first consider aregular nonlinearity and we treat the theoretical and numerical analysis. Then, weillustrate the results by numerical simulations in two space dimension which allow usto study the influence of different parameters. Finally, we treat the problem consideredwith a singular nonlinearity which is approximated by regular functions andwe give a suitable notion of solutions.

Cette thèse est consacrée à l’étude des propriétés dynamiques des solutions de type soliton d'équations aux dérivées partielles (EDP) dispersives non linéaires. `A travers des exemples-type de telles équations, l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS), l'équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) et le système de Schrödinger, on traite du comportement des solutions convergeant en temps grand vers des sommes de solitons (multi-solitons). Dans un premier temps, nous montrons que dans une configuration symétrique, avec des interactions fortes, le comportement de séparation des solitons logarithmique en temps est universel à la fois dans le cas sous-critique et sur-critique pour (NLS). Ensuite, en adaptant les techniques précédentes à l'équation (gKdV), nous prouvons un résultat similaire de l'existence de multi-solitons avec distance relative logarithmique; pour (gKdV), les solitons sont répulsifs dans le cas sous-critique et attractifs dans le cas sur-critique. Finalement, nous identifions un nouveau régime de distance logarithmique où les solitons sont non-symétriques pour le système de Schrödinger non-intégrable; une telle solution n'existe pas dans le cas intégrable pour le système et pour (NLS). / This thesis deals with long time dynamics of soliton solutions for nonlinear dispersive partial differential equation (PDE). Through typical examples of such equations, the nonlinear Schrödinger equation (NLS), the generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV) and the coupled system of Schrödinger, we study the behavior of solutions, when time goes to infinity, towards sums of solitons (multi-solitons). First, we show that in the symmetric setting, with strong interactions, the behavior of logarithmic separation in time between solitons is universal in both subcritical and supercritical case. Next, adapting previous techniques to (gKdV) equation, we prove a similar result of existence of multi-solitons with logarithmic relative distance; for (gKdV), the solitons are repulsive in the subcritical case and attractive in the supercritical case. Finally, we identify a new logarithmic regime where the solitons are non-symmetric for the non-integrable coupled system of Schrödinger; such solution does not exist in the integrable case for the system and for (NLS).

Cette thèse porte principalement sur l'étude des solutions de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques via l'indice de Morse, y compris des solutions stables, i.e. quand l'indice de Morse est égal à zéro. Elle comporte deux parties indépendantes.Dans la première partie, sous des hypothèses sur-linéaires et sous-critiques sur f, on établit d'abord une estimation explicite de la norme L [infini] des solutions de -Δu = f(u) avec u = 0 sur le bord, via leurs indices de Morse. On propose une approche plus transparente et plus souple que le travail de Yang [1998], ce qui nous permet de traiter des non linéarités très proches de la croissance critique. Les résultats obtenus nous ont motivé de travailler sur des équations polyharmoniques (-Δ)ku = f(x; u) avec notamment k = 2 et 3. Avec des hypothèses semblables à Yang [1998] sur f et des conditions au bord convenables, on obtient pour la première fois des estimations explicites de solution des équations polyhamoniques, via l'indice de Morse. Dans la seconde partie, on considère un système de Lane-Emden-Δu = ρ(x)vp; -Δv = ρ(x)u θ ; u; v > 0; dans RN; avec 1 < p< θ et un poids radial ρ strictement positif. Nous montrons la non-existence de solution stable en petites dimensions N. Nos résultats améliorent les travaux précédents de Cowan & Fazly [2012]; Fazly [2012]; Hu [2015], et fournissent notamment des résultats du type Liouville pour solution stable, en petites dimensions N, valables pour tout 1 < ρ min(4 3 ; θ) / The main concern of this thesis deals with the study of solutions of several elliptic partial differential equations via the Morse index, including the stable solutions, i.e. when the Morse index is zero. The thesis has two independent parts. In the first part, under suplinear and subcritical assumptions on f, we establish firstly some explicit estimation for the L1 norms of solutions to -Δu = f(u) avec u = 0 on the boundary, via its Morse index. We propose an approach more transparent and easier than the work of Yang [1998], which allow us to treat some nonlinearities very close to the critical growth. These results motivated us to consider the polyharmonic equations (-Δ)ku = f(x; u) with especially k = 2 and 3. With the hypothesis on f similar to Yang [1998] and appropriate boundary conditions, we obtain for the _rst time some explicit estimations of solution via its Morse index, for the polyharmonic equations.In the second part, we consider a Lane-Emden system -Δu = ρ(x)vp; -Δv = ρ(x)u_; u; v > 0; in RN; with 1 < p< θ and a radial positive weight ρ. We prove the non-existence of stable solution in small dimension case. Our results improve the previous works Cowan & Fazly [2012]; Fazly [2012]; Hu [2015], especially we prove some general Liouville type results for stable solutions in small dimension which hold true for any 1 < ρ min(4 3 ; θ)

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετά με το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για τη μη γραμμική εξελικτική μερική διαφορική εξίσωση των Korteweg-De Vries (KDV) σε ένα φραγμένο διάστημα της χωρικής μεταβλητής. Η μέθοδος που εφαρμόζουμε είναι γνωστή σαν μέθοδος του ενοποιημένου μετασχηματισμού. Η εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ συνίσταται στη λεγόμενη ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του αντίστοιχου της εξίσωσης KDV ζεύγους Lax. Ένας βασικός ερευνητικός στόχος που επιτεύχθηκε στη συνεισφορά αυτή συνίσταται στην έκφραση, για μια αρκετά γενική κλάση αρχικών και συνοριακών συνθηκών, της λύσης του ΠΑΣΤ σαν μια ολοκληρωτική αναπαράσταση μέσω της λύσης ενός κατάλληλου προβλήματος Riemann-Hilbert (RH) στο μιγαδικό επίπεδο της φασματικής παραμέτρου. Μάλιστα, παρέχονται δύο εναλλακτικές ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις για καθένα από δύο εναλλακτικά προβλήματα RH. Ένα δεύτερος ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι η ανάπτυξη μιας διαδικασίας αναγωγής του ιδιόμορφου προβλήματος RH σε ένα ολόμορφο. Ένας τρίτος, τέλος, ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι ο χαρακτηρισμός της λεγόμενης γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, η έκφραση, δηλαδή, των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. Η διατριβή διαρθρώνεται σε επτά κεφάλαια, εκ των οποίων το πρώτο είναι εισαγωγικού χαρακτήρα, ενώ τα υπόλοιπα έξι αποτελούν το πρωτότυπο μέρος της διατριβής. Αναλυτικά, το περιεχόμενο καθενός κεφαλαίου έχει ως ακολούθως. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται, μεταξύ άλλων, το πρόβλημα RH, τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης για την KDV, τη μέθοδο της ένδυσης για την KDV και τη μέθοδο της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης του ζεύγους Lax. Στο κεφάλαιο 2 ξεκινάμε την εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ υποθέτοντας ότι η KDV επιδέχεται λύση στην αντίστοιχη χωροχρονική περιοχή. Η αντίστοιχη της περιοχής αυτής ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του ζεύγους Lax οδηγεί στη διατύπωση ενός ιδιόμορφου ομογενούς προβλήματος RH. Αυτό ορίζεται μέσω μιας εξάδας φασματικών συναρτήσεων. Οι τελευταίες εκφράζονται μέσω των αρχικών τιμών της λύσης και των συνοριακών τιμών και εγκαρσίων συνοριακών της μέχρι και δεύτερης τάξης. Στο κεφάλαιο 3 ορίζουμε τις 6 φασματικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις αρχικές και συνοριακές συνθήκες και δείχνουμε ότι η αντιστροφή των απεικονίσεων αυτών περιγράφεται μέσω καταλλήλων προβλημάτων RH. Δείχνουμε επίσης ότι ικανοποιείται μια εξίσωση που ονομάζεται ολική σχέση και χαρακτηρίζει τα αποδεκτά σύνολα αρχικών και συνοριακών συναρτήσεων. Στο κεφάλαιο 4 δείχνουμε ότι η ασυμπτωματική συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος RH οδηγεί πράγματι σε μια λύση του ΠΑΣΤ. Στο κεφάλαιο 5 μελετάμε τη μονοσήμαντη επιλυσιμότητα του προβλήματος RH. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε έναν εναλλακτικό τρόπο διατύπωσης προβλήματος RH, αντικαθιστώντας του πόλους με καμπύλες ασυνέχειας. Στο κεφάλαιο 7 χρησιμοποιούμε την ολική σχέση για την κατασκευή της γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, για το χαρακτηρισμό δηλαδή των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων (που εμφανίζονται στο πρόβλημα RH) μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. / In the present PhD thesis we study the initial-boundary value problem for the nonlinear evolution partial diefferential equation of Korteweg-De Vries (KDV) posed on a finite interval of the spatial variable. The method we employ is known as unified transform method. The application of the method on the IBVP under consideration consists of the so-called simultaneous spectral analysis of the Lax pair associated to the KDV equation. The first aim achieved in this contribution, is the expression of the solution of the IBVP as an integral representation in terms of the solution an appropriate Riemann-Hilbert (RH) problem in the complex plane of the spectral parameter, for a sufficiently large class of initial and boundary conditions. In particular, we provide two different integral representations for each one of two different RH problems. A second aim achieved is the invention of a procedure for the reduction of the singular RH problem to a regular one. A third aim achieved is the caracterization of the so-called generalized Dirichlet-to_Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions in terms of the prescribed initial and boundary conditions. The Phd thesis is divided in 7 chapters. The first chapter is of an introductory character, while the remaining six chapters consist of the original contribution of the thesis. Analytically, the content of each chapter has as follows. The first chapter presents, among other things, the RH problem, the inverse scattering method for KDV, the dressing method for KDV and the method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair. Chapter 2 presents the first step of the application of the method upon the IBVP, under the assumption thet KDV is solvable in the corresponding space-time region. The simultaneous spectral analysis of the Lax pair leads to the formulation of a singular homogenous RH factorization problem, which is defined in terms of six spectral functions. The last ones are expressed in terms of the initial and boundary values of the solution and of its transverse boundary derivatives up to order two. In chapter 3 we define the six spectral functions that correspond to the initial and boundary conditions and show that the inversion of these mappings can be described through appropriate RH problems. Also an appropriate “global relation” is satisfied, which characterizes the admissible initial and boundary functions. In chapter 4 we show that the asymptotic behavior of the solution of the RH problem leads actually to a solution of the IBVP. In chapter 5 we study the unique solvability of the RH problem. In chapter 6 we present an alternative RH formulation, replacing the poles by discontinuity curves. In chapter 7 we present the global relation to construct the generalized Dirichlet-to-Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions (appearing in the RH formulation) in terms of the prescribed initial and boundary conditions.

Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ρύθμισης ενός συστήματος μη ελάχιστης φάσης είναι γνωστοί δύο τρόποι από τη θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Ο ένας αφορά στην επιλογή βέλτιστης συνθετικής εξόδου ως προς την οποία το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης. Ο δεύτερος τρόπος περιλαμβάνει άμεση κατασκευή βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων ως προς ένα σύνθετο δείκτη απόδοσης. Στην παρούσα εργασία αρχικά αναπτύσσεται μέθοδος για τη σύνθεση βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων για μη γραμμικές διεργασίες, όπου η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις, με βάση ένα σύνθετο τετραγωνικό δείκτη απόδοσης. Ο δείκτης αυτός εξαρτάται τόσο από τη ρυθμιστική απόκλιση, όσο και από την απόκλιση της μεταβλητής χειρισμού. Για την επίλυση του προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις Hamilton – Jacobi μέσω των οποίων υπολογίζεται ο βέλτιστος νόμος ανάδρασης καταστάσεων. Η λύση των εξισώσεων Hamilton – Jacobi υπολογίζεται με βάση την επαναληπτική μέθοδο Newton – Kantorovich. Σε κάθε βήμα της επανάληψης επιλύεται προσεγγιστικά μια μερική διαφορική εξίσωση τύπου Zubov με τη βοήθεια αναπτύγματος σε δυναμοσειρά. Στο Νοστό βήμα της επανάληψης η μέθοδος παράγει τη Νοστής τάξης προσέγγιση του αναπτύγματος κατά Taylor του βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων. Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται σε προβλήμα ρύθμισης της συγκέντρωσης προϊόντος σε σύστημα δύο μη ισοθερμοκρασιακών αντιδραστήρων CSTR, όπου λαμβάνει χώρα εξώθερμη αντίδραση, στην περίπτωση που η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις δυναμικές εξισώσεις της διεργασίας. Επίσης μελετώνται οι ιδιότητες σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου Newton – Kantorovich, όταν αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση της εξίσωσης Hamilton – Jacobi – Bellman που αντιστοιχεί στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός σύνθετου τετραγωνικού δείκτη απόδοσης υπό τους περιορισμούς μιας μη γραμμικής δυναμικής όπου η είσοδος υπεισέρχεται γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, για τη βέλτιστη ρύθμιση μη γραμμικών συστημάτων με ασταθή δυναμική μηδενιστών (συστήματα μη ελάχιστης φάσης), χρησιμοποιείται ο συνήθης τετραγωνικός δείκτης απόδοσης ISE. Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα δυναμικής βελτιστοποίησης είναι ιδιόμορφο. Για την επίλυση του προβλήματος αυτού το μη γραμμικό σύστημα μετασχηματίζεται στην κανονική μορφή Byrnes-Isidori, εφαρμόζεται η θεωρία Hamilton – Jacobi και υπολογίζεται στατικά ισοδύναμη συνθετική έξοδος με ευσταθή δυναμική μηδενιστών. Η ρύθμιση της συνθετικής εξόδου στο προκαθορισμένο σημείο επιτυγχάνεται με γραμμικοποίηση εισόδου/εξόδου. Για την επίλυση των σχετικών εξισώσεων Hamilton–Jacobi αναπτύσσεται η επαναληπτική μέθοδος Newton – Kantorovich, η οποία περιλαμβάνει την επίλυση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπου Zubov σε κάθε βήμα της επανάληψης. Η μέθοδος εφαρμόζεται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse που παρουσιάζει ασταθή δυναμική μηδενιστών. Τέλος, οι δύο μέθοδοι συγκρίνονται με βάση τους επιμέρους δείκτες απόδοσης ISE και ISC, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός συνιστά το σύνθετο δείκτη απόδοσης της πρώτης μεθόδου, ενώ τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται όταν αυτές εφαρμόζονται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse. / For the control of nonlinear nonminimum – phase systems, there are two possible lines of attack, originating from linear systems theory: a) direct calculation of the optimal state feedback with respect to a quadratic performance index that represents a combination of an error measure and a control effort measure (composite index), and b) calculation of the ISE-optimal minimum-phase output and subsequent input/output linearization on that output. This work develops a numerical algorithm for the calculation of an optimal nonlinear state feedback law for nonlinear systems. A quadratic performance index is used, which contains quadratic error terms and quadratic input penalty terms. The optimization problem is solved using the Hamilton-Jacobi equations, which determine the optimal nonlinear state feedback law. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov partial differential equation at each step of the iteration, using a power series method. At step N of the iteration, the method generates the (N+1)-th order truncation of the Taylor series expansion of the optimal state feedback function. The method is applied to the problem of controlling a system of two non-isothermal continuous stirred tank reactors (CSTR), where an exothermic reaction takes place. Convergence properties of the algorithm are also developed independently of Kantorovich’s theorem, and the results are illustrated in a numerical example. For the optimal regulation of nonminimum-phase nonlinear systems, the performance index ISE (Integral of the Square of the Error) is used. The problem of minimizing ISE subject to the dynamics of the system and closed-loop stability is singular. The problem of calculation of an ISE-optimal, statically equivalent, minimum-phase output for nonminimum-phase compensation is formulated using Hamilton-Jacobi theory and the Byrnes-Isidori normal form representation of the nonlinear system. An input/output linearizing state feedback law is applied to regulate the synthetic output to a constant set point. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov equation at each step of the iteration. The method is applied to the problem of controlling a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics, which exhibits nonminimum-phase behaviour. Finally, the two methods are compared with respect to the constituent indexes ISE and ISC (Integral of the Square of the Control), whose linear combination forms the composite performance index. The numerical results from both methods are compared in the control of a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics.