In this dissertation we present an analysis for the discontinuous Galerkin discretization error of multi-dimensional first-order linear symmetric and symmetrizable hyperbolic systems of conservation laws. We explicitly write the leading term of the local DG error, which is spanned by Legendre polynomials of degree p and p+1 when p-th degree polynomial spaces are used for the solution. For special hyperbolic systems, where the coefficient matrices are nonsingular, we show that the leading term of the error is spanned by (p+1)-th degree Radau polynomials. We apply these asymptotic results to observe that projections of the error are pointwise O(h^p+2)-superconvergent in some cases and establish superconvergence results for some integrals of the error. We develop an efficient implicit residual-based a posteriori error estimation scheme by solving local finite element problems to compute estimates of the leading term of the discretization error. For smooth solutions we obtain error estimates that converge to the true error under mesh refinement. We first show these results for linear symmetric systems that satisfy certain assumptions, then for general linear symmetric systems. We further generalize these results to linear symmetrizable systems by considering an equivalent symmetric formulation, which requires us to make small modifications in the error estimation procedure. We also investigate the behavior of the discretization error when the Lax-Friedrichs numerical flux is used, and we construct asymptotically exact a posteriori error estimates. While no superconvergence results can be obtained for this flux, the error estimation results can be recovered in most cases. These error estimates are used to drive h- and p-adaptive algorithms and assess the numerical accuracy of the solution. We present computational results for different fluxes and several linear and nonlinear hyperbolic systems in one, two and three dimensions to validate our theory. Examples include the wave equation, Maxwell's equations, and the acoustic equation. / Ph. D.

A Flexible Galerkin Finite Element Method (FGM) is a hybrid class of finite element methods that combine the usual continuous Galerkin method with the now popular discontinuous Galerkin method (DGM). A detailed description of the formulation of the FGM on a hyperbolic partial differential equation, as well as the data structures used in the FGM algorithm is presented. Some hp-convergence results and computational cost are included. Additionally, an a posteriori error estimate for the DGM applied to a two-dimensional hyperbolic partial differential equation is constructed. Several examples, both linear and nonlinear, indicating the effectiveness of the error estimate are included. / Ph. D.

In this thesis, we present a simple and efficient \emph{a posteriori} error estimation procedure for a discontinuous finite element method applied to scalar first-order hyperbolic problems on structured and unstructured tetrahedral meshes. We present a local error analysis to derive a discontinuous Galerkin orthogonality condition for the leading term of the discretization error and find basis functions spanning the error for several finite element spaces. We describe an implicit error estimation procedure for the leading term of the discretization error by solving a local problem on each tetrahedron. Numerical computations show that the implicit \emph{a posteriori} error estimation procedure yields accurate estimates for linear and nonlinear problems with smooth solutions. Furthermore, we show the performance of our error estimates on problems with discontinuous solutions. We investigate pointwise superconvergence properties of the discontinuous Galerkin (DG) method using enriched polynomial spaces. We study the effect of finite element spaces on the superconvergence properties of DG solutions on each class and type of tetrahedral elements. We show that, using enriched polynomial spaces, the discretization error on tetrahedral elements having one inflow face, is O(h^{p+2}) superconvergent on the three edges of the inflow face, while on elements with one inflow and one outflow faces the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on the outflow face in addition to the three edges of the inflow face. Furthermore, we show that, on tetrahedral elements with two inflow faces, the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on the edge shared by two of the inflow faces. On elements with two inflow and one outflow faces and on elements with three inflow faces, the DG solution is O(h^{p+2}) superconvergent on two edges of the inflow faces. We also show that using enriched polynomial spaces lead to a simpler{a posterior error estimation procedure. Finally, we extend our error analysis for the discontinuous Galerkin method applied to linear three-dimensional hyperbolic systems of conservation laws with smooth solutions. We perform a local error analysis by expanding the local error as a series and showing that its leading term is O( h^{p+1}). We further simplify the leading term and express it in terms of an optimal set of polynomials which can be used to estimate the error. / Ph. D.

Le but de cette étude est d'améliorer les performances, en termes d'espace mémoire et de temps de calcul, des simulations actuelles de l'Interaction mécanique Pastille-Gaine (IPG), phénomène complexe pouvant avoir lieu lors de fortes montées en puissance dans les réacteurs à eau sous pression. Parmi les méthodes de raffinement de maillage, méthodes permettant de simuler efficacement des singularités locales, une approche multi-grille locale a été choisie car elle présente l'intérêt de pouvoir utiliser le solveur en boîte noire tout en ayant un faible nombre de degrés de liberté à traiter par niveau. La méthode Local Defect Correction (LDC), adaptée à une discrétisation de type éléments finis, a tout d'abord été analysée et vérifiée en élasticité linéaire, sur des configurations issues de l'IPG, car son utilisation en mécanique des solides est peu répandue. Différentes stratégies concernant la mise en oeuvre pratique de l'algorithme multi-niveaux ont également été comparées. La combinaison de la méthode LDC et de l'estimateur d'erreur a posteriori de Zienkiewicz-Zhu, permettant d'automatiser la détection des zones à raffiner, a ensuite été testée. Les performances obtenues sur des cas bidimensionnels et tridimensionnels sont très satisfaisantes, l'algorithme proposé se montrant plus performant que des méthodes de raffinement h-adaptatives. Enfin, l'algorithme a été étendu à des problèmes mécaniques non linéaires. Les questions d'un raffinement espace/temps mais aussi de la transmission des conditions initiales lors du remaillage ont entre autres été abordées. Les premiers résultats obtenus sont encourageants et démontrent l'intérêt de la méthode LDC pour des calculs d'IPG. / The aim of this study is to improve the performances, in terms of memory space and computational time, of the current modelling of the Pellet-Cladding mechanical Interaction (PCI),complex phenomenon which may occurs during high power rises in pressurised water reactors. Among the mesh refinement methods - methods dedicated to efficiently treat local singularities - a local multi-grid approach was selected because it enables the use of a black-box solver while dealing few degrees of freedom at each level. The Local Defect Correction (LDC) method, well suited to a finite element discretisation, was first analysed and checked in linear elasticity, on configurations resulting from the PCI, since its use in solid mechanics is little widespread. Various strategies concerning the implementation of the multilevel algorithm were also compared. Coupling the LDC method with the Zienkiewicz-Zhu a posteriori error estimator in orderto automatically detect the zones to be refined, was then tested. Performances obtained on two-dimensional and three-dimensional cases are very satisfactory, since the algorithm proposed is more efficient than h-adaptive refinement methods. Lastly, the LDC algorithm was extended to nonlinear mechanics. Space/time refinement as well as transmission of the initial conditions during the remeshing step were looked at. The first results obtained are encouraging and show the interest of using the LDC method for PCI modelling.

On s’intéresse ici aux erreurs de modélisation liées à l’usage de modèles de flammelette sous-maille en combustion turbulente non prémélangée. Le but de cette thèse est de développer une stratégie d’estimation d’erreur a posteriori pour déterminer le meilleur modèle parmi une hiérarchie, à un coût numérique similaire à l’utilisation de ces mêmes modèles. Dans un premier temps, une stratégie faisant appel à un estimateur basé sur les résidus pondérés est développée et testée sur un système d’équations d’advection-diffusion-réaction. Dans un deuxième temps, on teste la méthodologie d’estimation d’erreur sur un autre système d’équations, où des effets d’extinction et de réallumage sont ajoutés. Lorsqu’il n’y a pas d’advection, une analyse asymptotique rigoureuse montre l’existence de plusieurs régimes de combustion déjà observés dans les simulations numériques. Nous obtenons une approximation des paramètres de réallumage et d’extinction avec la courbe en «S», un graphe de la température maximale de la flamme en fonction du nombre de Damköhler, composée de trois branches et d’une double courbure. En ajoutant des effets advectifs, on obtient également une courbe en «S» correspondant aux régimes de combustion déjà identifiés. Nous comparons les erreurs de modélisation liées aux approximations asymptotiques dans les deux régimes stables et établissons une nouvelle hiérarchie des modèles en fonction du régime de combustion. Ces erreurs sont comparées aux estimations données par la stratégie d’estimation d’erreur. Si un seul régime stable de combustion existe, l’estimateur d’erreur l’identifie correctement ; si plus d’un régime est possible, on obtient une fac˛on systématique de choisir un régime. Pour les régimes où plus d’un modèle est approprié, la hiérarchie prédite par l’estimateur est correcte. / We are interested here in the modeling errors of subgrid flamelet models in nonpremixed turbulent combustion. The goal of this thesis is to develop an a posteriori error estimation strategy to determine the best model within a hierarchy, with a numerical cost at most that of using the models in the first place. Firstly, we develop and test a dual-weighted residual estimator strategy on a system of advection-diffusion-reaction equations. Secondly, we test that methodology on another system of equations, where quenching and ignition effects are added. In the absence of advection, a rigorous asymptotic analysis shows the existence of many combustion regimes already observed in numerical simulations. We obtain approximations of the quenching and ignition parameters, alongside the S-shaped curve, a plot of the maximal flame temperature as a function of the Damköhler number, consisting of three branches and two bends. When advection effects are added, we still obtain a S-shaped curve corresponding to the known combustion regimes. We compare the modeling errors of the asymptotic approximations in the two stable regimes and establish new model hierarchies for each combustion regime. These errors are compared with the estimations obtained by using the error estimation strategy. When only one stable combustion regime exists, the error estimator correctly identifies that regime; when two or more regimes are possible, it gives a systematic way of choosing one regime. For regimes where more than one model is appropriate, the error estimator’s predicted hierarchy is correct.

Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude de l’Interaction mécanique Pastille-Gaine (IPG) se produisant dans les crayons combustibles des réacteurs à eau pressurisée. Ce mémoire porte sur le développement de méthodes de raffinement de maillage permettant de simuler plus précisément le phénomène d’IPG tout en conservant des temps de calcul et un espace mémoire acceptables pour des études industrielles. Une stratégie de raffinement automatique basée sur la combinaison de la méthode multi-grilles Local Defect Correction (LDC) et l’estimateur d’erreur a posteriori de type Zienkiewicz et Zhu est proposée. Cette stratégie s’appuie sur l’erreur fournie par l’estimateur pour détecter les zones à raffiner constituant alors les sous-grilles locales de la méthode LDC. Plusieurs critères d’arrêt sont étudiés afin de permettre de stopper le raffinement quand la solution est suffisamment précise ou lorsque le raffinement n’apporte plus d’amélioration à la solution globale.Les résultats numériques obtenus sur des cas tests 2D élastiques avec discontinuité de chargement permettent d’apprécier l’efficacité de la stratégie proposée.Le raffinement automatique de maillage dans le cas de problèmes de contact unilatéral est ensuite abordé. La stratégie proposée dans ce travail s’étend aisément au raffinement multi-corps à condition d’appliquer l’estimateur d’erreur sur chacun des corps séparément. Un post-traitement est cependant souvent nécessaire pour garantir la conformité des zones de raffinement vis-à-vis des frontières de contact. Une variété de tests numériques de contact entre solides élastiques confirme l’efficacité et la généricité de la stratégie proposée. / This Ph.D. work takes place within the framework of studies on Pellet-Cladding mechanical Interaction (PCI) which occurs in the fuel rods of pressurized water reactor. This manuscript focuses on automatic mesh refinement to simulate more accurately this phenomena while maintaining acceptable computational time and memory space for industrial calculations. An automatic mesh refinement strategy based on the combination of the Local Defect Correction multigrid method (LDC) with the Zienkiewicz and Zhu a posteriori error estimator is proposed. The estimated error is used to detect the zones to be refined, where the local subgrids of the LDC method are generated. Several stopping criteria are studied to end the refinement process when the solution is accurate enough or when the refinement does not improve the global solution accuracy anymore.Numerical results for elastic 2D test cases with pressure discontinuity shows the efficiency of the proposed strategy.The automatic mesh refinement in case of unilateral contact problems is then considered. The strategy previously introduced can be easily adapted to the multibody refinement by estimating solution error on each body separately. Post-processing is often necessary to ensure the conformity of the refined areas regarding the contact boundaries. A variety of numerical experiments with elastic contact (with or without friction, with or without an initial gap) confirms the efficiency and adaptability of the proposed strategy.

Le calcul de la durée de vie des Composites tissés à Matrice Céramique (CMC) nécessite de déterminer l’évolution de la densité de fissures dans le matériau(pouvant atteindre 10 mm-1). Afin de les représenter finement on se propose de travailler à l’échelle mésoscopique. Les méthodes de type Embedded Finite Element (EFEM) nous ont paru être les plus adaptées au problème. Elles permettent une représentation discrète des fissures sans introduire de degrés de liberté additionnels.Notre choix s’est porté sur une EFEM s’affranchissant d’itérations élémentaires et appelée Augmented Finite Element Method (AFEM). Une variante d’AFEM, palliant des lacunes de la méthode originale, a été développée. Nous avons démontré que,sous certaines conditions, AFEM et la méthode des éléments finis classique (FEM) étaient équivalentes. Nous avons ensuite comparé la précision d’AFEM et de FEM pour représenter des discontinuités fortes et faibles. Les travaux de thèse se concluent par des exemples d’application de la méthode aux CMC. / Computing the lifetime of woven Ceramic Matrix Composites (CMC) requires evaluating the crack density in the material (which can reach 10 mm-1). Numerical simulations at the mesoscopic scale are needed to precisely estimate it. Embedded Finite Element Methods (EFEM) seem to be the most appropriate to do so. They allow for a discrete representation of cracks with no additional degrees of freedom.We chose to work with an EFEM free from local iterations named the Augmented Finite Element Method (AFEM). Improvements over the original AFEM have been proposed. We also demonstrated that, under one hypothesis, the AFEM and the classical Finite Element Method (FEM) are fully equivalent. We then compare the accuracy of the AFEM and the classical FEM to represent weak and strong discontinuities. Finally, some examples of application of AFEM to CMC are given.

Le contrôle de la qualité des calculs de structure suscite un intérêt croissant dans les processus de conception et de certification. Il repose sur l'utilisation d'estimateurs d'erreur, dont la mise en pratique entraîne un sur-coût numérique souvent prohibitif sur des calculs de grande taille. Le présent travail propose une nouvelle procédure permettant l'obtention d'une estimation garantie de l'erreur de discrétisation dans le cadre de problèmes linéaires élastiques résolus au moyen d'approches par décomposition de domaine. La méthode repose sur l'extension du concept d'erreur en relation de comportement au cadre des décompositions de domaine sans recouvrement, en s'appuyant sur la construction de champs admissibles aux interfaces. Son développement dans le cadre des approches FETI et BDD permet d'accéder à une mesure pertinente de l'erreur de discrétisation bien avant convergence du solveur lié à la décomposition de domaine. Une extension de la procédure d'estimation aux problèmes hétérogènes est également proposée. Le comportement de la méthode est illustré et discuté sur plusieurs exemples numériques en dimension 2. / The control of the quality of mechanical computations arouses a growing interest in both design and certification processes. It relies on error estimators the use of which leads to often prohibitive additional numerical costs on large computations. The present work puts forward a new procedure enabling to obtain a guaranteed estimation of discretization error in the setting of linear elastic problems solved by domain decomposition approaches. The method relies on the extension of the constitutive relation error concept to the framework of non-overlapping domain decomposition through the recovery of admissible interface fields. Its development within the framework of the FETI and BDD approaches allows to obtain a relevant estimation of discretization error well before the convergence of the solver linked to the domain decomposition. An extension of the estimation procedure to heterogeneous problems is also proposed. The behaviour of the method is illustrated and assessed on several numerical examples in 2 dimension.

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Title: Algebraic Error in Matrix Computations in the Context of Numerical Solution of Partial Differential Equations Author: Jan Papež Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Department of Numerical Mathe- matics Abstract: Solution of algebraic problems is an inseparable and usually the most time-consuming part of numerical solution of PDEs. Algebraic computations are, in general, not exact, and in many cases it is even principally desirable not to perform them to a high accuracy. This has consequences that have to be taken into account in numerical analysis. This thesis investigates in this line some closely related issues. It focuses, in particular, on spatial distribution of the errors of different origin across the solution domain, backward error interpretation of the algebraic error in the context of function approximations, incorporation of algebraic errors to a posteriori error analysis, influence of algebraic errors to adaptivity, and construction of stopping criteria for (preconditioned) iterative algebraic solvers. Progress in these issues requires, in our opinion, understanding the interconnections between the phases of the overall solution process, such as discretization and algebraic computations. Keywords: Numerical solution of partial...