The computation of Schrödinger equations in the semiclassical regime presents several enduring challenges due to the presence of the small semiclassical parameter. Standard approaches for solving these equations commence with spatial discretisation followed by exponentiation of the discretised Hamiltonian via exponential splittings. In this thesis we follow an alternative strategy${-}$we develop a new technique, called the symmetric Zassenhaus splitting procedure, which involves directly splitting the exponential of the undiscretised Hamiltonian. This technique allows us to design methods that are highly efficient in the semiclassical regime. Our analysis takes place in the Lie algebra generated by multiplicative operators and polynomials of the differential operator. This Lie algebra is completely characterised by Jordan polynomials in the differential operator, which constitute naturally symmetrised differential operators. Combined with the $\mathbb{Z}_2$-graded structure of this Lie algebra, the symmetry results in skew-Hermiticity of the exponents for Zassenhaus-style splittings, resulting in unitary evolution and numerical stability. The properties of commutator simplification and height reduction in these Lie algebras result in a highly effective form of $\textit{asymptotic splitting:} $exponential splittings where consecutive terms are scaled by increasing powers of the small semiclassical parameter. This leads to high accuracy methods whose costs grow quadratically with higher orders of accuracy. Time-dependent potentials are tackled by developing commutator-free Magnus expansions in our Lie algebra, which are subsequently split using the Zassenhaus algorithm. We present two approaches for developing arbitrarily high-order Magnus--Zassenhaus schemes${-}$one where the integrals are discretised using Gauss--Legendre quadrature at the outset and another where integrals are preserved throughout. These schemes feature high accuracy, allow large time steps, and the quadratic growth of their costs is found to be superior to traditional approaches such as Magnus--Lanczos methods and Yoshida splittings based on traditional Magnus expansions that feature nested commutators of matrices. An analysis of these operatorial splittings and expansions is carried out by characterising the highly oscillatory behaviour of the solution.

Les structures maçonnées sont largement connues en génie civil comme constituant d’une partie des bâtiments, mais également en tant que garnissages réfractaires dans des structures utilisées à hautes températures, par exemple en sidérurgie. Malheureusement, les outils actuels ne sont pas suffisamment puissants pour prédire le comportement de ces structures avec l’apparition de fissures et pour tenir compte du comportement non linéaire d’un des deux constituants (le mortier par exemple). Ce travail de thèse contribue à la modélisation multi-échelles des maçonneries classiques et des garnissages réfractaires avec un faible coût numérique grâce à la technique d’homogénéisation périodique. Les techniques de modélisation et de simulation du comportement des maçonneries sont présentées et développées. L’influence des lois d’interface entre briques et mortier, des paramètres géométriques et matériels, ainsi que de la densité des fissures sur le comportement effectif des maçonneries est étudié. Trois approches (une extension analytique de Cecchi et Tralli, une approche numérique et un modèle micromécanique) sont proposées pour la détermination du comportement effectif d’une cellule périodique dans le cas de maçonneries avec mortier viscoélastique microfissuré et briques saines élastiques ou rigides. Les résultats des calculs sur deux exemples de maçonneries (1D et 2D) ont confirmé que l’approche multi-échelle est une solution appropriée avec une grande capacité à exprimer le comportement des maçonneries viscoélastiques microfissurées. Ce travail, limité au cas sans propagation de fissures, peut être étendu aux mortiers à comportement viscoplastique. / Masonry structures are widely used in civil engineering as part of buildings or in refractory linings of structures working at high temperatures, like in steel industry. Unfortunately, the present tools are not powerful enough to predict the behavior of these structures at their micro-cracked state and/or if one of their constituents behaves nonlinearly (e.g. the mortar). This research contributes to the multi-level modeling of classical masonries and refractory linings with a low numerical cost using basically the periodic homogenization technique. Modeling and simulation techniques of masonry behavior are presented and developped. The influence of interface law between bricks and mortar, of geometrical and material parameters, and of crack density on the effective masonry behavior is studied. Three approaches (analytical extension of Cecchi and Tralli, numerical approach and micromechanical modeling) were proposed to determine the effective behavior of a periodic masonry cell with micro-cracked viscoelastic mortar and safe elastic or rigid bricks. The results obtained on two examples of masonry (1D and 2D) confirmed that the multi-scale approach is a suitable solution with a great ability to model the effective behavior of microcracked viscoelastic masonry. This work, actually limited to the case without crack propagation, could be extended to mortars with viscoplastic behavior.

La Partie I présente l’obtention du développement asymptotique topologique pour une classe d’équations elliptiques quasilinéaires. Un point central réside dans la possibilité de définir la variation de l’état direct à l’échelle 1 dans R^N. Après avoir défini un cadre fonctionnel approprié faisant intervenir les normes L^p et L^2, et avoir justifié la classe d’équations considérée, la méthode se poursuit par l’étude du comportement asymptotique de la solution du problème d’interface non linéaire dans R^N et par une mise en dualité appropriée des états direct et adjoint aux différentes étapes d’approximation.La Partie II traite d’estimations et de développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs, dont l’obstacle est d’intérieur vide et de codimension > ou = 2. Après les résultats préliminaires, les condensateurs équidistants permettent de donner deux illustrations de l’anisotropie engendrée par un segment dans l’équation de p-Laplace, puis d’établir une minoration de la p-capacité N-dimensionnelle d’un segment, qui fait intervenir les p-capacités d’un point, respectivement en dimensions N et (N-1). Les condensateurs elliptiques permettent d’établir que le gradient topologique de la 2-capacité n’est pas un outil approprié pour distinguer les courbes des obstacles d’intérieur non vide en 2D / Part I deals with obtaining topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. A key point lies in the ability to define the variation of the direct state at scale 1 in R^N. After setting up an appropriate functional framework involving both the L^p and the L^2 norms, and then justifying the chosen class of equations, the approach goes on with the study of the asymptotic behavior of the solution of the nonlinear interface problem in R^N and by setting up an adequate duality scheme between the direct and adjoint states at each step of approximation. Part II deals with estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities and focuses on obstacles with empty interiors and with codimensions > ou = 2. After preliminary results, equidistant condensers are introduced to point out the anisotropy caused by a segment in the p-Laplace equation, and to provide a lower bound to the N-dimensional condenser p-capacity of a segment, by means of the N-dimensional and of the (N-1)-dimensional condenser p-capacities of apoint. Introducing elliptical condensers, it turns out that the topological gradient of the 2-capacity is not an appropriate tool to separate curves and obstacles with nonempty interior in 2D

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes mathématiques issus du micromagnétisme. Le but est d'analyser le comportement des modèles en fonction de différents paramètres physiques, dont les fines variations sont parfois difficilement mesurables. Nous adoptons des approches numériques, asymptotiques ou d'homogénéisation. Les modèles considérés reposent sur l'utilisation de l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) décrivant l'évolution du champ d'aimantation dans un matériau ferromagnétique. Nous rappelons d'abord quelques notions importantes en ferromagnétisme. Ensuite, nous menons une étude numérique d'un modèle de la dynamique d'aimantation avec effets d'inertie. Nous proposons un schéma aux différences finies semi-implicite qui respecte de façon intrinsèque les propriétés du modèle continu. Des simulations numériques sont réalisées pour cerner l'effet du paramètre d'inertie. Ces simulations montrent aussi la performance du schéma et confirment l'ordre de convergence obtenu théoriquement. Nous étudions ensuite un modèle de la dynamique de l'aimantation avec amortissement non local. La sensibilité de la dynamique d'aimantation au paramètre d'amortissement est étudiée en donnant le problème limite pour de petites et de grandes valeurs du paramètre. Enfin, nous étudions l'homogénéisation de l'équation LLG dans deux types de matériau, à savoir les composites présentant un fort contraste des propriétés magnétiques et les matériaux périodiquement perforés avec énergie d'anisotropie de surface. Des modèles homogénéisés sont d'abord obtenus formellement puis une dérivation rigoureuse est établie en se basant principalement sur les concepts de la convergence à double échelle et de la convergence à double échelle en surface. Pour traiter les non-linéarités, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur le couplage d'un opérateur de dilatation calibré sur les contrastes d'échelle et d'un outil de réduction de dimension, par construction de grilles emboitées adaptées à la géométrie du domaine microscopique. / This thesis is devoted to the study of some mathematical problems arising in micromagnetism. The models considered here are based on the Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG) describing the evolution of the magnetization field in a ferromagnetic material. Our aim is the analysis of the behavior of the models regarding the slight variations of some physical parameters. We first recall some important notions about ferromagnetism. Then, we carry out a numerical study of a model of magnetization dynamics with inertial effects. We propose a semi-implicit finite difference scheme which intrinsically respects the properties of the continuous model. Numerical simulations are provided for emphasizing the effect of the inertia parameter. These simulations also show the performance of the scheme and confirm the order of convergence obtained theoretically. We then study a model of magnetization dynamics with a non-local damping. The sensitivity of the magnetization dynamics to the damping coefficient is studied by giving the limiting problem for small and large values of the parameter. Finally, we study the homogenization of the LLG equation in two types of structures, namely a composite material with strongly contrasted magnetic properties, and a periodically perforated material with surface anisotropy energy. The homogenized models are first obtained formally. The rigorous derivation is then performed using mainly the concepts of two-scale convergence, two-scale convergence on surfaces together with a new homogenization procedure for handling with the nonlinear terms. More precisely, an appropriate dilation operator is applied in a embedded cells network, the network being constrained by the microscopic geometry.

Cette thèse porte sur l’étude mathématique des interactions entre la lumière et certains types de nanoparticules.À l’échelle du nanomètre, des particules métalliques comme l’or ou l’argent subissent un phénomène de résonance lorsque leurs électrons libres interagissent avec un champ électromagnétique. Cette interaction produit une augmentation du champs électrique proche et lointain, leur permettant d’améliorer la luminosité et la directivité de la lumière, confinant des champs électromagnétiques dans des directions avantageuses. Ce phénomène, appelé "résonances plasmoniques pour des nanoparticules" ouvre une porte sur une large gamme d’applications, des nouvelles techniques d’imagerie médicale à des panneaux solaires efficaces. En utilisant des techniques issues des potentiels de couches et de la théorie de la perturbation,nous proposons une étude de la dispersion d’ondes électromagnétiques par une et plusieurs nanoparticules plasmoniques, dans le cadre quasi-statique, Helmholtz et Maxwell. Nous étudions ensuite certaines applications tel que la génération de chaleur, les métasurfaces et l’imagerie super-résolue. / This thesis deals with the mathematical study of the interactions between light and certain types of nanoparticles. At the nanometer scale, metal particles such as gold or silver undergo a resonance phenomenon when their free electrons interact with an electromagnetic field. This interaction results in an enhancement of the near and far electric field, enabling them to improve the brightness and the directivity of the light, confining electromagnetic fields in advantageous directions. This phenomenon, called "plasmonic resonances for nanoparticles", opens a door to a wide range of applications, from new medical imaging techniques to efficient solar panels. Using layer potentials techniques and perturbation theory, we proposea study of the scattering of electromagnetic waves by one and several plasmonic nanoparticles in the quasi-static, Helmholtz and Maxwell framework. We then study some applications such as heat generation, metasurfaces and super-resolution.

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Ce travail thèse s’inscrit dans le cadre du projet FUI Tandem portant sur l’imagerie radar de mines enfouies dans un sol sec par des antennes héliportées. Les données d’antennes correspondent à des mesures de champ électromagnétique (composante tangentielle à l’antenne) en configuration « back-scattering » : une seule antenne émettrice-réceptrice. L’objectif premier de la thèse est de valider/modifier la méthodologie SAR (Synthetic Aperture Radar) proposée par les ingénieurs pour traiter les données d’antenne et imager les mines. La difficulté essentielle réside dans le fait que la méthode SAR repose sur le principe d’un milieu de référence homogène alors que le cas d’étude ne l’est pas. Nous avons étudié l’incorporation d’une approximation bicouche du milieu de référence pour corriger l’effet du sol et obtenir des images moins sensibles à l’effet de celui-ci. La première solution consiste à mimer la technique SAR pour construire une indicatrice de la géométrie via la rétro-propagation de la donnée dans le milieu bi-couche en utilisant la formule donnée par l’approximation de Born. La deuxième option, beaucoup plus coûteuse numériquement consiste à inverser le modèle de Born avec une technique de régularisation de type variation totale. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l’adaptation de méthodes d’inversion de type MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) pour retrouver l’information « profondeur » non fournie par les méthodes SAR. S’inspirant de la problématique Tandem, nous avons proposé l’extension de ces méthodes au cas de données en configuration quasi-back-scattering : une antenne émettrice couplée à un réseau 1D d’antennes réceptrices. La méthodologie est complètement nouvelle et la justification de la méthode repose sur l’analyse asymptotique du problème de diffraction dans le régime petit obstacle et champ lointain. L’étude a également été étendue à des configurations cylindriques qui pourraient être adaptées à l’imagerie bio-médicale. / This work is part of the FUI Tandem project on radar imaging of mines buried in dry ground by heliborne antennas. The antenna data correspond to measurements of the electromagnetic field (component tangential to the antenna) in the back-scattering configuration: a single transmitter/transceiver antenna. The primary objective of the thesis is to validate / modify the SAR (Synthetic Aperture Radar) methodology proposed by engineers to process the antenna data and to image the mines. The main difficulty lies in the fact that the SAR method is based on the principle of a homogeneous background whereas the study case is not. We have studied the incorporation of a two-layer approximation of the reference medium to correct the effect of the soil and to obtain images that are less sensitive to the effect of the latter. The first solution consists in mimicking the SAR technique to construct an indicator of the geometry via the back propagation of the data in the bi-layer medium using the formula given by the Born approximation. The second option, much more costly numerically consists in inverting the Born model with a regularization technique of the total variation type. In a second part, we are interested in adapting MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) methods to retrieve the "depth" information not provided by SAR methods. Based on the Tandem experiement, we proposed the extension of these methods to the case of data in quasi-back-scattering configuration: a transmitting antenna coupled to a 1D array of receiving antennas. The methodology is completely new and the justification of the method is based on the asymptotic analysis of the scattering problem in the small obstacle and far field regime. The study was also extended to cylindrical configurations that could be adapted to biomedical imaging.

<p dir="ltr"> The general design goal of low latency communication systems is to minimize the end-to-end delay while attaining the predefined reliability and throughput requirements. The burgeoning demand for low latency communications motivates a renewed research interest of the tradeoff between delay, throughput, and reliability. In this dissertation research, we consider slotted-based systems and explore the potential advantages of the so-called sequential codes in low latency network communications.</p><p dir="ltr"> The first part of this dissertation analyzes the exact error probability of random linear streaming codes (RLSCs) in the large field size regime over the stochastic independently and identically distributed (i.i.d.) symbol erasure channels (SECs). A closed-form expression of the error probability <i>p</i>_<em>e</em> of large-field-size RLSCs is derived under, simultaneously, the finite memory length α and decoding deadline Δ constraints. The result is then used to examine the intricate tradeoff between memory length (complexity), decoding deadline (delay), code rate (throughput), and error probability (reliability). Numerical evaluation shows that under the same code rate and error probability requirements, the end-to-end delay of RLSCs is 40-48% of that of the optimal block codes (i.e., MDS codes). This implies that switching from block codes to streaming codes not only eliminates the queueing delay completely (which accounts for the initial 50% of the delay reduction) but also improves the reliability (which accounts for the additional 2-10% delay reduction).</p><p dir="ltr"> The second part of this dissertation focuses on the asymptotics of the error probability of RLSCs in the same system model of the first part. Two important scenarios are analyzed: (i) tradeoff between Δ and <i>p</i>_<em>e</em> under infinite α; and (ii) tradeoff between α and <i>p</i>_<em>e</em> under infinite Δ. In the first scenario, the asymptote of <i>p</i>_<em>e</em>(Δ) is shown to be <i>ρ</i>Δ^-1.5<i>e</i>^-^<em>η</em>^Δ. The asymptotic power term Δ^-1.5 of RLSCs is a strict improvement over the Δ^-0.5 term of random linear block codes. A pair of upper and lower bound on the asymptotic constant <i>ρ</i> is also derived, which are tight (i.e., identical) for one specific class of SECs. In the second scenario, a refine approximation is proposed by computing the parameters in a multiterm asymptotic form, which closely matches the exact error probability even for small memory length (≈ 20). The results of the asymptotics can be further exploited to find the <i>c</i>-optimal memory length <i>α</i>_<em>c</em>^*(Δ), which is defined as the minimal memory length α needed for the resulting <i>p</i>_<em>e</em> to be within a factor of <i>c</i>>1 of the best possible <i>p</i>_<em>e</em>^<em>*</em>_{<em> </em>}for any Δ, an important piece of information for practical implementation.</p><p dir="ltr"> Finally, we characterize the channel dispersions of RLSCs and MDS block codes, respectively. New techniques are developed to quantify the channel dispersion of sequential (non-block-based) coding, the first in the literature. The channel dispersion expressions are then used to compare the levels of error protection between RLSCs and MDS block codes. The results show that if and only if the target error probability <i>p</i>_<em>e</em> is smaller than a threshold (≈ 0.1774), RLSCs offer strictly stronger error protection than MDS block codes, which is on top of the already significant 50% latency savings of RLSCs that eliminate the queueing delay completely.</p>

Le travail présenté dans ce manuscrit s’articule en trois axes distincts. Dérivation de modèles mathématiques de phénomènes électrophysiologiques en cardiologie Nous utilisons des méthodes d'analyse asymptotique pour dériver un modèle simplifié à partir d'un modèle de tissu auriculaire tridimensionnel, tout en contrôlant l'erreur d'approximation. Ces méthodes ont permis de dériver un modèle bisurfacique qui permet de simuler des comportements tridimensionnels dans les oreillettes pour un coût numérique bidimensionnel afin d'étudier des phénomènes entrant en jeu lors d'arythmies auriculaires, tels que la dissociation électrique ou des hétérogénéités transmurales. La preuve de la convergence du modèle bisurfacique est apportée, et une stratégie d'optimisation du modèle en dehors du régime asymptotique est formalisée. Une méthode d’homogénéisation est également utilisée pour construire un modèle continu homogénéisé de l'activité des myocytes incluant le comportement non linéaire des gap junctions. Processus déclencheurs d'arythmie Des preuves de concepts de mécanismes arythmogènes sont apportées à l'aide de modèles numériques des veines pulmonaires. Le premier mécanisme repose sur un bloc de conduction unidirectionnel engendré par une discontinuité dans la structure fibreuse. Le second est basé sur une dynamique différente lors de la dépolarisation et de la repolarisation lorsque deux couches de fibres de directions différentes sont superposées. Perpétuation des arythmies auriculaires Un modèle bicouche des oreillettes est construit à partir d'une méthode semi-automatique de construction des fibres que nous avons développées. Nous étudions avec l'influence d'hétérogénéités transmurales de fibrose sur la perpétuation des arythmies. Plusieurs protocoles d'ablation sont ensuite testés. Enfin, une méthode de personnalisation du modèle auriculaire est formalisée. / Three axes are explored.Derivation of mathematical models of electrophysiological phenomena applied to cardiology Asymptotic analysis methods allow to derive simplified models from three-dimensional complex atrial ones, while controlling approximation errors. We construct a bilayer surface model that allows to simulate three-dimensional phenomena for a bi-dimensional computational load, and to investigate 3D atrial patterns involved in atrial arrhythmia such as electrical dissociation or transmural heterogeneities. We prove the convergence of the bilayer model, and an optimization strategy to improve the model outside the asymptotic regime is formalised. Homogeneisation methods are also used to construct a homogenized continuous model of the electrical activity of the myocytes that includes the non linear behavior of gap junctions. Triggers of atrial arrhythmia Proofs of concept of arrhythmogenic mechanisms are given by using numerical models of the pulmonary veins. The first mechanism is based on a unidirectional conduction block triggered by a discontinuity of the fibre distribution. The second one comes from a different propagation pattern during the depolarization and the repolarization when two layer of fibres are superimposed. Atrial arrhythmia perpetuation A bilayer model of the atria is constructed from a semi automatic method that we developed. We investigate the influence of transmural heterogeneities of the distribution of fibrosis on the perpetuation of atrial arrhythmia. Several ablation protocols are assessed. Finally, a method of personalization of the model is given.

Ette thèse traite d’écoulements de fluides à seuil (ou viscoplastiques) en milieu confiné. Les difficultés analytiques et numériques sont dues à la multivaluation du tenseur des contraintes dans les zones plastiques ainsi qu’à la non-différentiabilité du problème de minimisation associé. Cette thèse s’articule en deux parties.Dans un premier temps, des simulations numériques parallèles très précises à l’aide d’algorithmes de dualité ont été effectuées. Elles ont permis de retrouver des résultats observés expérimentalement dont l’existence d’une ligne de glissement pour l’écoulement au dessus d’un obstacle et le caractère quasi-Poiseuille de la vitesse au-delà de cette ligne. Par ailleurs, la théorie de couche limite viscoplastique définie par Oldroyd (1947, à nombre de Bingham asymptotiquement grand) a été revisitée à nombre de Bingham modéré en milieu confiné. L’étude a mis en œuvre des allers-retours entre ces simulations et les expériences physiques de Luu et al. d’IRSTEA ainsi qu’une dérivation théorique. L’approximation de couche limite est vérifiée dans une certaine mesure à l’intérieur de la cavité. Une adaptation de la notion de couche limite viscoplastique est alors exhibée et permet d’étendre les scalings dérivés par Oldroyd (1947) et Balmforth et al. (J. of Fluid Mech, 2017). Ces scalings sont aussi généralisés au cas de la loi d’Herschel-Bulkley. Dans un second temps, on présente une analyse asymptotique des champs de vitesses et de contraintes pour des écoulements en faible épaisseur (ε). Un développement à l’ordre ε2 de la vitesse permet de trouver une équation de Reynolds à la même précision. Cette équation de Reynolds prolonge les résultats déjà existants dans le cadre newtonien, d’une part et dans le cadre fluide à seuil avec une surface libre, d’autre part. / This thesis is devoted to the flow of yield stress (or viscoplastic) fluids in pipes.Analytical and numerical difficulties lie in the multivaluation of the stress tensor in the plastic regions and in the non-differentiability of the associated minimization problem. This manuscript is organized following two main axes.First, very accurate numerical simulations were carried out using duality methods and parallel multifrontal solvers. Thus, experimental observations were recovered, namely the existence of a slip line for the flow over an obstacle and the Poiseuille-like behaviour of the velocity above this line. Moreover, the viscoplastic boundary layer theory defined by Oldroyd (1947 at high Bingham numbers) was revisited at moderate Bingham numbers in confined areas. This study provided an opportunity to go back and forth between these simulations and the physical measures of Luu et al. from IRSTEA and to perform a theoretical derivation. The boundary layer approximation is valid up to a certain extent in the cavity. An adaptation of the viscoplastic boundary layer definition is then given and allows to generalize the scalings shown by Oldroyd (1947) and Balmforth et al. (JFM 2017). These scalings are also generalized to the Herschel-Bulkley case. Then, an asymptotic analysis of the velocity and stress fields for thin layer (ε) flows is presented. A velocity development up to ε2 lets us find a Reynolds equation of same accuracy. This Reynolds equation extends the already existing results, on the one hand in the newtonian case and on the second hand for free surface flows.