Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation mathématique des hétérogénéités de longueurs caractéristiques beaucoup plus petites que la longueur d'ondes. La thèse consiste en deux parties. La partie théorique est dédiée à l'obtention d'un développement asymptotique raccordé: la solution est décrite à l'aide d'un développement de champ proche au voisinage de l'obstacle et par un développement de champ lointain hors de ce voisinage. Le développement de champ lointain met en jeu des solutions singulières de l'équation des ondes tandis que le champ proche lui est régi par un modèle quasi-statique. Ces deux développements sont alors raccordés dans une zone intermédiaire dite de raccord. Nous obtenons alors des estimations d'erreurs permettant de rendre rigoureux ce développement asymptotique formel. La deuxième partie est numérique. Elle décrit à la fois la méthode de Galerkine discontinue, une méthode de raffinement de maillage espace-temps et propose une discrétisation des modèles asymptotiques obtenues précédemment. Elle est illustrée par un certain nombre de tests numériques. / In this thesis, we focus our attention on the modeling of heterogeneities which are smaller than the wavelength. The document is decomposed into two parts : a theoretical one and a numerical one. In the first part, we derive a matched asymptotic expansion composed of a far-field expansion and a near-field expansion. The terms of the far-field expansion are singular solutions of the wave equation whereas the terms of the near-field expansion satisfy quasistatic problems. These expansions are matched in an intermediate region. We justify mathematically this theory by proving error estimates. In the second part, we describe the Discontinuous Galerkin method, a local time stepping method and the implementation of the matched asymptotic method. Numerical simulations illustrate these results.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution des ressources en eau. On s’intéresse plus particulièrement à l’impact des engrais d’origine agricole sur la qualité de l’eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Nous prouvons l’existence globale d’une solution au problème de contrôle optimal. L’unicité est quant à elle démontrée par analyse asymptotique pour le problème effectif tenant compte de la faible concentration d’engrais en sous-sol. Nous établissons les conditions nécessaires d’optimalité et le problème adjoint associé à notre modèle. Quelques exemples analytiques sont donnés et illustrés. Nous élargissons ces résultats au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, et prouvons notamment l’existence d’un équilibre de Nash. Enfin, ce travail est illustré par des résultats numériques (2D en espace), obtenus en couplant un schéma de type Éléments Finis Mixtes avec un algorithme de gradient conjugué non linéaire. / This work is devoted to water ressources pollution control. We especially focus on the impact of agricultural fertilizer on water quality, by combining economical and hydrogeological modeling. We define, on one hand, the spatio-temporal objective, taking into account the trade off between fertilizer use and the cleaning costs. On an other hand, we describe the pollutant transport in the underground (3D in space) by a nonlinear system coupling a parabolic partial differential equation (reaction-advection-dispersion) with an elliptic one in a bounded domain. We prove the global existence of the solution of the optimal control problem. The uniqueness is proved by asymptotic analysis for the effective problem taking into account the low concentration fertilizer. We define the optimal necessary conditions and the adjoint problem associated to the model. Some analytical results are provided and illustrated. We extend these results within the framework of game theory, where several players are involved, and we prove the existence of a Nash equilibrium. Finally, this work is illustrated by numerical results (2D in space), produced by coupling a Mixed Finite Element scheme with a nonlinear conjugate gradient algorithm.

Nous présentons une contribution autour de la modélisation des écoulements viscoplastiques. En vue d'applications réalistes telle que la simulation numérique des coulées de lave volcanique, le travail se concentre particulièrement sur les fluides complexes dont la rhéologie dépend fortement de grandeurs physiques telle que la température ou la concentration en particule. Nous développons un nouvel algorithme de résolution numérique des équations de Herschel-Bulkley combinant une méthode de Lagrangien augmenté à paramètre d'augmentation variable, une méthode des caractéristiques d'ordre 2 et une adaptation de maillage automatique. Sur des problèmes stationnaires ou en évolution tel que le problème test de la cavité entraînée, il apporte une solution efficace pour garantir à la fois une précision numérique élevée et un temps de calcul raisonnable. Cet algorithme est ensuite étendue et adapté au cas des rhéologies non-isothermes et aux suspensions. Concernant la simulation numérique des coulées de lave volcanique, nous détaillons une méthode de réduction par analyse asymptotique des équations de Herschel-Bulkley pour des écoulements de faible épaisseur sur une topographie arbitraire. Elle permet alors de décrire ces écoulements tridimensionnels de fluides viscoplastiques à surface libre par des équations bidimensionnelles surfaciques. Cette approche est ensuite étendue au cas non-isotherme en y ajoutant l'équation de la chaleur et des dépendances thermiques sur la rhéologie. Par intégration verticale de l'équation de la chaleur, on retrouve un modèle bidimensionnel. Le modèle non-isotherme est validé sur une expérience de dôme réalisée en laboratoire et une simulation numérique est réalisée autour d'une coulée qui a eu lieu sur le volcan du Piton de la Fournaise à la Réunion, en décembre 2010. La comparaison donne des résultats qui sont de notre point de vue satisfaisants et encourageants. / We present a contribution about modeling of viscoplastic flows. For realistic applications such as numerical simulation of volcanic lava flows, the work focuses particularly on complex fluids whose rheology strongly depends on physical quantities such as temperature or the particle concentration. We develop a new numerical resolution algorithm of Herschel-Bulkley's equations combining an augmented Lagrangian method with variable augmentation parameter, a second order characteristic method and an auto-adaptive mesh procedure. On stationary or evolving problems as the lid-driven cavity flow benchmark, it provides an effective solution to ensure both a high numerical accuracy within a reasonable computing time. This algorithm is then extended and adapted to the case of non-isothermal rheological and suspensions. On the numerical simulation of volcanic lava flows, we describe a method of reducing by asymptotic analysis of the Herschel-Bulkley's equations for thin flows on arbitrary topography. It allows to describe the three-dimensional flows of viscoplastic fluid with free surface by bidimensional surface equations. This approach is then extended to the non-isothermal case by adding the heat equation and thermal dependencies on rheology. By vertical integration of the heat equation, a two-dimensional model is maintained . The non-isothermal model is validated on a laboratory experiment of dome and a numerical simulation is performed on a December 2010 Piton de la Fournaise lava flow from La Réunion island. In our view, the comparison gives satisfactory and encouraging results.

Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η διατριβή αφορά στη μοντελοποίηση μη-στασίμων τυχαίων ταλαντώσεων επί τη βάσει μετρήσεων του σήματος της ταλάντωσης, μέσω μοντέλων FS-TAR/TARMA. Οι στόχοι της διατριβής περιλαμβάνουν την αποτίμηση της εφαρμοσιμότητας των μεθόδων FS-TAR/TARMA για την μοντελοποίηση και ανάλυση της ταλάντωσης χρονικά μεταβαλλόμενών κατασκευών, καθώς και τη σύγκρισή τους με εναλλακτικές παραμετρικές μεθόδους του πεδίου του χρόνου. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται και στην αντιμετώπιση θεμάτων που σχετίζονται με την εκτίμηση μοντέλων FS-ΤAR/TARMA, καθώς και στην θεωρητική ασυμπτωτική ανάλυση των ιδιοτήτων των εκτιμητριών που χρησιμοποιούνται. Η διατριβή αρχικά παρουσιάζει μια συγκριτική ανασκόπηση της βιβλιογραφίας στο θέμα της μοντελοποίησης μη-στασίμων ταλαντώσεων μέσω παραμετρικών μεθόδων του πεδίου του χρόνου, η οποία και επιδεικνύει τα πλεονεκτήματα των μεθόδων FS-TAR/TARMA. Στη συνέχεια αντιμετωπίζεται μια σειρά προβλημάτων που εμφανίζονται κατά την εκτίμηση (των παραμέτρων) και την επιλογή της δομής του μοντέλου. Η αποτελεσματικότητα των μεθόδων FS-TAR/TARMA για την μοντελοποίηση και ανάλυση μη-στάσίμων ταλαντώσεων επιδεικνύεται και πειραματικά μέσω εφαρμογής στην οποία πραγματοποιείται επιτυχής εξαγωγή των δυναμικών χαρακτηριστικών μιας εργαστηριακής χρονικά μεταβαλλόμενης κατασκευής. Στη συνέχεια, η διατριβή εστιάζει στην αναζήτηση ακριβέστερων εκτιμητριών, καθώς και στην ασυμπτωτική ανάλυση των ιδιοτήτων των εκτιμητριών «γενικών» (όχι αναγκαστικά περιοδικά μεταβαλλόμενων) μοντέλων FS-TAR/TARMA. Συγκεκριμένα, εξετάζονται οι περιπτώσεις των εκτιμητριών σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων [Weighted Least Squares (WLS)], μέγιστης πιθανοφάνειας [Maximum Likelihood (ML)], καθώς και μια εκτιμήτρια πολλαπλών σταδίων [Multi Stage (MS)], η οποία αναπτύσσεται στην παρούσα διατριβή και είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμη με την εκτιμήτρια ML ενώ ταυτόχρονα χαρακτηρίζεται από μειωμένη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Στη διατριβή αποδεικνύεται η συνέπεια (consistency) των εκτιμητριών αυτών και εξάγεται η ασυμπτωτική κατανομή (asymptotic distribution) τους. Παράλληλα, αναπτύσσεται μια συνεπής εκτιμήτρια του ασυμπτωτικού πίνακα συνδιασποράς και μια μέθοδος για τον έλεγχο εγκυρότητας των μοντέλων FS-TAR/TARMA. Η ορθότητα των αποτελεσμάτων της ασυμπτωτικής ανάλυσης επιβεβαιώνεται μέσω μελετών Monte Carlo. / The thesis studies the problem of non-stationary random vibration modeling and analysis based on available measurements of the vibration signal via Functional Series Time-dependent AutoRegressive / AutoRegressive Moving Average (FS-TAR/ TARMA) models. The aims of the thesis include the assessment of the applicability of FS-TAR/TARMA methods for the modeling and analysis of non-stationary random vibration, as well as their comparison with alternative time-domain parametric methods. In addition, significant attention has been paid to the FS-TAR/TARMA estimation problem and to the theoretical asymptotic analysis of the estimators. A critical overview and comparison of time-domain, parametric, non-stationary random vibration modeling and analysis methods is firstly presented, where the high potential of FS-TAR/TARMA methods is demonstrated. In the following, a number of issues concerning the FS-TAR/TARMA model (parameter) estimation and model structure selection are considered. The effectiveness of the FS-TARMA methods for non-stationary random vibration modeling and analysis is experimentally demonstrated, through their application for the recovery of the dynamical characteristics of a time-varying bridge-like laboratory structure. In the sequel, the thesis focuses on the asymptotic analysis of “general” (that is not necessarily periodically evolving) FS-TAR/TARMA estimators. In particular, the Weighted Least Squares (WLS) and Maximum Likelihood (ML) estimators are both investigated, while a Multi Stage (MS) estimator, that approximates the ML estimator at reduced complexity, is developed. The consistency of the considered estimators is established and their asymptotic distribution is extracted. Furthermore, a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix is formulated and an FS-TAR/TARMA model validation method is proposed. The validity of the theoretical asymptotic analysis results is assessed through several Monte Carlo studies.

This thesis presents a mathematical model of the nanoporous anode within a dyesensitised solar cell (DSC). The main purpose of this work is to investigate interfacial charge transfer and charge transport within the porous anode of the DSC under both illuminated and non-illuminated conditions. Within the porous anode we consider many of the charge transfer reactions associated with the electrolyte species, adsorbed dye molecules and semiconductor electrons at the semiconductor-dye- electrolyte interface. Each reaction at this interface is modelled explicitly via an electrochemical equation, resulting in an interfacial model that consists of a coupled system of non-linear algebraic equations. We develop a general model framework for charge transfer at the semiconductor-dye-electrolyte interface and simplify this framework to produce a model based on the available interfacial kinetic data. We account for the charge transport mechanisms within the porous semiconductor and the electrolyte filled pores that constitute the anode of the DSC, through a one- dimensional model developed under steady-state conditions. The governing transport equations account for the diffusion and migration of charge species within the porous anode. The transport model consists of a coupled system of non-linear differential equations, and is coupled to the interfacial model via reaction terms within the mass-flux balance equations. An equivalent circuit model is developed to account for those components of the DSC not explicitly included in the mathematical model of the anode. To obtain solutions for our DSC mathematical model we develop code in FORTRAN for the numerical simulation of the governing equations. We additionally employ regular perturbation analysis to obtain analytic approximations to the solutions of the interfacial charge transfer model. These approximations facilitate a reduction in computation time for the coupled mathematical model with no significant loss of accuracy. To obtain predictions of the current generated by the cell we source kinetic and transport parameter values from the literature and from experimental measurements associated with the DSC commissioned for this study. The model solutions we obtain with these values correspond very favourably with experimental data measured from standard DSC configurations consisting of titanium dioxide porous films with iodide/triiodide redox couples within the electrolyte. The mathematical model within this thesis enables thorough investigation of the interfacial reactions and charge transport within the DSC.We investigate the effects of modified cell configurations on the efficiency of the cell by varying associated parameter values in our model. We find, given our model and the DSC configuration investigated, that the efficiency of the DSC is improved with increasing electron diffusion, decreasing internal resistances and with decreasing dark current. We conclude that transport within the electrolyte, as described by the model, appears to have no limiting effect on the current predicted by the model until large positive voltages. Additionally, we observe that the ultrafast injection from the excited dye molecules limits the interfacial reactions that affect the DSC current.

Nous présentons une contribution autour de la modélisation des écoulements viscoplastiques. En vue d'applications réalistes telle que la simulation numérique des coulées de lave volcanique, le travail se concentre particulièrement sur les fluides complexes dont la rhéologie dépend fortement de grandeurs physiques telle que la température ou la concentration en particule. Nous développons un nouvel algorithme de résolution numérique des équations de Herschel-Bulkley combinant une méthode de Lagrangien augmenté à paramètre d'augmentation variable, une méthode des caractéristiques d'ordre 2 et une adaptation de maillage automatique. Sur des problèmes stationnaires ou en évolution tel que le problème test de la cavité entraînée, il apporte une solution efficace pour garantir à la fois une précision numérique élevée et un temps de calcul raisonnable. Cet algorithme est ensuite étendue et adapté au cas des rhéologies non-isothermes et aux suspensions. Concernant la simulation numérique des coulées de lave volcanique, nous détaillons une méthode de réduction par analyse asymptotique des équations de Herschel-Bulkley pour des écoulements de faible épaisseur sur une topographie arbitraire. Elle permet alors de décrire ces écoulements tridimensionnels de fluides viscoplastiques à surface libre par des équations bidimensionnelles surfaciques. Cette approche est ensuite étendue au cas non-isotherme en y ajoutant l'équation de la chaleur et des dépendances thermiques sur la rhéologie. Par intégration verticale de l'équation de la chaleur, on retrouve un modèle bidimensionnel. Le modèle non-isotherme est validé sur une expérience de dôme réalisée en laboratoire et une simulation numérique est réalisée autour d'une coulée qui a eu lieu sur le volcan du Piton de la Fournaise à la Réunion, en décembre 2010. La comparaison donne des résultats qui sont de notre point de vue satisfaisants et encourageants. / We present a contribution about modeling of viscoplastic flows. For realistic applications such as numerical simulation of volcanic lava flows, the work focuses particularly on complex fluids whose rheology strongly depends on physical quantities such as temperature or the particle concentration. We develop a new numerical resolution algorithm of Herschel-Bulkley's equations combining an augmented Lagrangian method with variable augmentation parameter, a second order characteristic method and an auto-adaptive mesh procedure. On stationary or evolving problems as the lid-driven cavity flow benchmark, it provides an effective solution to ensure both a high numerical accuracy within a reasonable computing time. This algorithm is then extended and adapted to the case of non-isothermal rheological and suspensions. On the numerical simulation of volcanic lava flows, we describe a method of reducing by asymptotic analysis of the Herschel-Bulkley's equations for thin flows on arbitrary topography. It allows to describe the three-dimensional flows of viscoplastic fluid with free surface by bidimensional surface equations. This approach is then extended to the non-isothermal case by adding the heat equation and thermal dependencies on rheology. By vertical integration of the heat equation, a two-dimensional model is maintained . The non-isothermal model is validated on a laboratory experiment of dome and a numerical simulation is performed on a December 2010 Piton de la Fournaise lava flow from La Réunion island. In our view, the comparison gives satisfactory and encouraging results.

Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4. / Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4.

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique et simulations numériques des écoulements sanguins dans des artères en présence d’une endoprothèse vasculaire de type stent. La présence de stent peut être considérée comme une perturbation locale d’un bord lisse d’écoulement, plus précisément les parois de l’artère sont assimilées à une surface fortement rugueuse. Nous nous sommes principalement intéressés au contrôle de la régularité H² sur un modèle simplifié permettant de prendre en compte l’effet de ces stents lorsque le flux sanguin est gouverné par une équation de Laplace (en lien avec la composante axiale de la vitesse d’écoulement) avec une condition aux limites de type Dirichlet, dans un domaine à bord rugueux (en fonction d’un petit paramètre ε). Dans une première partie, nous soulevons la question d’existence et d’unicité de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin et nous traitons la régularité H² par des techniques d’analyse variationnelle. Une étude minutieuse permet de contrôler la régularité H² en O(ε−1). Le deuxième axe est dédié à l’étude de la régularité H² par des analyse asymptotiques multiéchelles. Nous montrons que la norme H² de la solution de ce modèle d’écoulement sanguin est singulière en O(ε−½ ). D’autre part, nous améliorons les ordres de convergence des résultats existants concernant la construction des approximations multiéchelles. Dans un troisième temps, nous présentons des estimations d’erreur et des résultats numériques. Ces résultats illustrent le bien fondé des estimations d’erreur sur le plan pratique. Nous montrons bien l’importance des méthodes asymptotiques qui se révèlent plus efficaces qu’un calcul direct. / This thesis is devoted to mathematical modeling and numerical simulations of the blood-flows in arteries in the presence of a vascular prosthesis of type stent. The presence of stent can be considered as a local perturbation of a smooth edge of flow, more precisely the walls artery can be seen as a strongly rough surface.Weare mainly interested in controlling the H² regularity of a simplified model which takes into account the impact of these stents when the blood flow is controlled by a Laplace equation (in link with the axial component rateof flow) with a Dirichlet boundary condition, in a domain with a rough board (according to a small parameter ε). First, we raise the question of existence and unicity of the solution of this model of blood-flow and we study the H² regularity using variational analysis methods. By a detailed study, we control the H² regularity of order O(ε−1). The second part is devoted to the study of the regularity H² regularity using multi-scale analysis.We prove that the H² norm of the solution of this model is singular of order O(ε−½). Moreover, we improve the convergence rate of the existing results on the construction of the multi-scale approximation. Finally, we present an error estimation and numerical results. These numerical results illustrate the well-founded of the error estimates on a practical level. We show the importance of the asymptotic methods that seem to be more effective than a direct computation.

Dans cette thèse, nous avons abordé deux problèmes de modélisation mathématique pour la propagation des signaux électriques cardiaques : la propagation à l’échelle tissulaire en présence d’hétérogénéités et la propagation à l’échelle cellulaire avec des jonctions communicantes non linéaires. Inclusions diffusives. Le modèle standard utilisé en électrocardiologie est le modèle bidomaine. Il est déduit par homogénéisation des propriétés microscopiques du tissu. Pour cela, on suppose que les myocytes électriquement actifs sont uniformément répartis dans le coeur. Bien que ce soit une hypothèse raisonnable pour des coeurs sains, ce n’est plus vrai dans certains cas pathologiques où des changements importants dans la structure tissulaire se produisent. C’est le cas, par exemple des maladies cardiaques ischémiques, rhumatismales et inflammatoires, de l’hypertrophie ou de l’infarctus. Ces hétérogénéités tissulaires sont souvent prises en compte à l’aide d’un ajustement ad hoc des paramètres du modèle. Le premier objectif de cette thèse consistait à généraliser les équations du modèle bidomaine au cas des pathologies cardiaques structurelles.Nous avons supposé une alternance périodique d’éléments de tissus sains (modèle bidomaine) et modifiées (inclusions diffusives). La simulation numérique directe d’un tel modèle nécessite une discrétisation très fine, et entraîne un coût de calcul élevé. Pour éviter cela, nous avons construit un modèle homogénéisé à l’échelle macroscopique en utilisant une analyse à deux échelles. Nous avons retrouvé un modèle de type bidomaine avec des coefficients de conductivité modifiés, dits effectifs. En complément, nous avons effectué une vérification numérique de la convergence du modèle microscopique vers celui homogénéisé, dans une situation bidimensionnelle.Dans la deuxième partie, nous avons quantifié les effets de différentes formes d’inclusions diffusives sur les coefficients de conductivité effectifs et leur anisotropie en 2D et 3D. De plus, nous avons effectué des simulations sur des domaines représentant des morceaux de tissu 2D avec ces coefficients de conductivité modifiés. Nous avons observé des changements de la vitesse de propagation et de la forme du front de l’onde de dépolarisation. Dans la troisième partie, nous avons simulé le modèle homogénéisé en 3D, à partir d’images par résonance magnétique (IRM) à haute résolution d’un coeur de rat. Nous avons évalué les propriétés structurelles du tissu en utilisant des outils d’analyse d’image.Nous avons ensuite utilisés ces évaluations pour construire les paramètres dans le modèle homogénéisé. Jonctions communicantes non linéaires. Dans la dernière partie de cette thèse, nous avons étudié les effets du comportement non linéaires des jonctions communicantes sur la propagation du signal à l’échelle cellulaire. Dans les modèles existants, les jonctions communicantes sont supposées avoir un comportement linéaire, lorsqu’elles sont modélisées.Cependant les données provenant des expériences montrent que ceux-ci ont un comportement non linéaire dépendant du temps et de la différence de potentiel entre cellules voisines. D’abord, nous avons présenté un modèle non linéaire 0D du courant dans les jonctions communicantes. Ensuite, nous avons recalé le modèle sur les données expérimentales.Enfin, nous avons proposé un modèle mathématique 2D qui décrit l’interaction électrique des myocytes cardiaques à l’échelle cellulaire. Ce modèle utilise le courant dans les jonctions communicantes comme une liaison directe entre des cellules adjacentes. / In this thesis we addressed two problems in mathematical modelling of propagation of electrical signals in the heart: tissue scale propagation with presence of tissue heterogeneities and cell scale propagation with non-linear gap junctions. Diffusive inclusions. The standard model used in cardiac electrophysiology is the bidomain model. It is an averaged model derived from the microscopic properties of the tissue.The bidomain model assumes that the electrically active myocytes are present uniformly everywhere in the heart. While this is a reasonable assumption for healthy hearts, it fails insome pathological cases where significant changes in the tissue structure occur, for examplein ischaemic and rheumatic heart disease, inflammation, hypertrophy, or infarction. These tissue heterogeneities are often taken into account through an ad-hoc tuning of model parameters. The first aim of this thesis consisted in generalizing the bidomain equations to the case of structural heart diseases.We assumed a periodic alternation of healthy (bidomain model) and altered (diffusive inclusion) tissue patches. Such a model may be simulated directly, at the high computational cost of a very fine discretisation. Instead we derived a homogenized model at the macroscopic scale, using a rigorous two-scale analysis. We recovered a bidomain-type model with modified conductivity coefficients, and performed a 2D numerical verificationof the convergence of the microscopic model towards the homogenized one.In the second part we quantified the effects of different shapes and sizes of diffusive inclusions on the effective conductivity coefficients and their anisotropy ratios in 2D and3D. Additionally, we ran simulations on 2D patches of tissue with modified conductivity coefficients. We observed changes in the propagation velocity as well as in the shape of the depolarization wave-front.In the third part, based on high-resolution MR images of a rat heart we simulated 3D propagations with the homogenized model. Using image analysis software tools we assessed the structural properties of the tissue, that we used afterwards as parameters inthe homogenized model. Non-linear gap junctions. In the last part of this thesis, we studied the effects of nonlineargap junction channels on the signal propagation at the cell scale. In existing models, the gap junction channels, if modelled, are assumed to have a linear behaviour, while from experimental data we know that they have a time- and voltage-dependent non-linear behaviour. Firstly, we stated a non-linear 0D model for the gap junctional current, and secondly fitted the model to available experimental data. Finally, we proposed a 2D mathematical model that describes the electrical interaction of cardiac myocytes on the cell scale. It accounts for the gap junctional current as "the direct link" between the adjacent cells.

Three mathematical models, two of primary alkaline battery cathode discharge, and one of primary alkaline battery discharge, are developed, presented, solved and investigated in this thesis. The primary aim of this work is to improve our understanding of the complex, interrelated and nonlinear processes that occur within primary alkaline batteries during discharge. We use perturbation techniques and Laplace transforms to analyse and simplify an existing model of primary alkaline battery cathode under galvanostatic discharge. The process highlights key phenomena, and removes those phenomena that have very little effect on discharge from the model. We find that electrolyte variation within Electrolytic Manganese Dioxide (EMD) particles is negligible, but proton diffusion within EMD crystals is important. The simplification process results in a significant reduction in the number of model equations, and greatly decreases the computational overhead of the numerical simulation software. In addition, the model results based on this simplified framework compare well with available experimental data. The second model of the primary alkaline battery cathode discharge simulates step potential electrochemical spectroscopy discharges, and is used to improve our understanding of the multi-reaction nature of the reduction of EMD. We find that a single-reaction framework is able to simulate multi-reaction behaviour through the use of a nonlinear ion-ion interaction term. The third model simulates the full primary alkaline battery system, and accounts for the precipitation of zinc oxide within the separator (and other regions), and subsequent internal short circuit through this phase. It was found that an internal short circuit is created at the beginning of discharge, and this self-discharge may be exacerbated by discharging the cell intermittently. We find that using a thicker separator paper is a very effective way of minimising self-discharge behaviour. The equations describing the three models are solved numerically in MATLABR, using three pieces of numerical simulation software. They provide a flexible and powerful set of primary alkaline battery discharge prediction tools, that leverage the simplified model framework, allowing them to be easily run on a desktop PC.