L'anneau $\Diff(n)$ des opérateurs différentiels $\h$-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels $\h$-déformés de type $\gl$. Contrairement aux espaces vectoriels $q$-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique \`a isomorphisme pr\`es, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels $\h$-déformés $\Diffs(n)$ est indexée par une fonction rationnelle $\sigma$ en $n$ variables, solution d'un syst\`eme d\'eg\'en\'er\'e d'\'equations aux diff\'erences finies. Nous obtenons la solution g\'en\'erale de ce syst\`eme. Nous montrons que le centre de $\Diffs(n)$ est un anneau des polynômes en $n$ variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau $\Diffs(n)$ et de l’algèbre de Weyl $\text{W}_n$ l’étendue par $n$ indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de $\Diffs(n)$. Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau $\Diff(n,N)$ correspondant \`a $N$ copies de $\Diff(n)$. / The ring $\Diff(n)$ of $\h$-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the $\h$-deformed vector spaces of $\gl$-type. In contrast to the $q$-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of $\h$-deformed differential operators $\Diffs(n)$ is labeled by a rational function $\sigma$ in $n$ variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of $\Diffs(n)$ is a ring of polynomials in $n$ variables. We construct an isomorphism between certain localizations of $\Diffs(n)$ and the Weyl algebra $\W_n$ extended by $n$ indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional $\Diffs(n)$-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring $\Diff(n, N)$ formed by several copies of $\Diff(n)$.

Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ. / A current challenge in the field of quantum integrable systems is the exact and explicit computation of correlation functions. In simple models such as the XXZ spin 1/2 Heisenberg chain, some significant results have been obtained during the last years. The developed methods essentially use the symmetries of the models in infinite volume (quantum affine algebra) or finite volume (Yang-Baxter algebra). The aim of this thesis is to generalize the scope of the latter approaches to the case where the underlying Yang-Baxter algebra is of dynamical type. This is typically the case of the statistical mechanics solid-on-solid (SOS) model which describes the interactions of a height parameter around faces of a bidimensional lattice, and whose statistical weights are given by an elliptic R-matrix which is solution of the dynamical Yang-Baxter equation.The study of correlation functions of the SOS model is discussed in the framework of the algebraic Bethe ansatz and the separation of variables. Representations in terms of determinants of usual functions are obtained by these two methods for the scalar products of states and for form factors of local operators in finite volume. The obtained formula in the framework of the algebraic Bethe ansatz are then used to represent the two-point function as multiple integrals, and also to compute various physical quantities at the thermodynamic limit, such as the spontaneous polarizations or the local height probabilities. The latter can be expressed in terms of multiple integrals of contour, which are really similar to the ones obtained in the XXZ model.

Ce projet de recherche, intitulé Téléopération d'un robot collaboratif par outil haptique traite un des problèmes contemporains de la robotique, à savoir la coopération entre l'humain et la machine. La robotique est en pleine expansion depuis maintenant deux décennies: les robots investissent de plus en plus l'industrie, les services ou encore l'assistance à la personne et se diversifient considérablement. Ces nouvelles tendances font sortir les robots des cages dans lesquelles ils étaient placés et ouvrent grand la porte vers de nouvelles applications. Parmi elles, la coopération et les interactions avec l'humain représentent une réelle opportunité pour soulager l'homme dans des tâches complexes, fastidieuses et répétitives. En parallèle de cela, la robotique moderne s'oriente vers un développement massif du domaine humanoïde. Effectivement, plusieurs expériences sociales ont montré que l'être humain, constamment en interaction avec les systèmes qui l'entourent, a plus de facilités à contribuer à la réalisation d'une tâche avec un robot d'apparence humaine plutôt qu'avec une machine. Le travail présenté dans ce projet de recherche s'intègre dans un contexte d'interaction homme-robot (IHR) qui repose sur la robotique humanoïde. Le système qui en découle doit permettre à un utilisateur d'interagir efficacement et de façon intuitive avec la machine, tout en respectant certains critères, notamment de sécurité. Par une mise en commun des compétences respectives de l'homme et du robot humanoïde, les interactions sont améliorées. En effet, le robot peut réaliser une grande quantité d'actions avec précision et sans se fatiguer, mais n'est pas nécessairement doté d'une prise de décision adaptée à la situation, contrairement à l'homme qui est capable d'ajuster son comportement naturellement ou en fonction de son expérience. En d'autres termes, ce système cherche à intégrer le savoir-faire et la capacité de réflexion humaine avec la robustesse, l'efficacité et la précision du robot. Dans le domaine de la robotique, le terme d'interaction intègre également la notion de contrôle. La grande majorité des robots reçoit des commandes machines qui sont généralement des consignes de trajectoire, qu'ils sont capables d'interpréter. Or, plusieurs interfaces de contrôle sont envisageables, notamment celles utilisant des outils haptiques, qui permettent à un utilisateur d'avoir un ressenti et une perception tactile. Ces outils comme tous ceux qui augmentent le degré de contrôle auprès de l'utilisateur, en ajoutant un volet sensoriel, sont parfaitement adaptés pour ce genre d'applications. Dans ce projet, deux outils haptiques sont assemblés puis intégrés à une interface de contrôle haptique dans le but de commander le bras d'un robot humanoïde. Ainsi, l'homme est capable de diriger le robot tout en ajustant ses commandes en fonction des informations en provenance des différents capteurs du robot, qui lui sont retranscrites visuellement ou sensoriellement.

Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.

A little over 20 years ago Drinfeld presented the quantum (or Drinfeld) double construction. This construction takes any Hopf algebra and embeds it in a larger quasi-triangular Hopf algebra, which contains an algebraic solution to the constant Yang–Baxter equation. One such class of algebras consists of the Drinfeld doubles of finite groups, which are currently of interest due to their connections with non-Abelian anyons. The smallest non-commutative Drinfeld double of a finite group algebra is the Drinfeld double of D3 , the dihedral group of order six, which was recently used to construct solutions to the Yang–Baxter equation cor- responding to 2-state and 3-state integrable spin chains with periodic boundary conditions. In this thesis we construct R-matrices from the Drinfeld double of dihedral group algebras, D(Dn) and consider their associated integrable systems. The 3-state spin chain from D(D3) is generalised to include open boundaries and it is also shown that there exists a more general R-matrix for this algebra. For general D(Dn) an R-matrix is constructed as a descendant of the zero-field six-vertex model.

A little over 20 years ago Drinfeld presented the quantum (or Drinfeld) double construction. This construction takes any Hopf algebra and embeds it in a larger quasi-triangular Hopf algebra, which contains an algebraic solution to the constant Yang–Baxter equation. One such class of algebras consists of the Drinfeld doubles of finite groups, which are currently of interest due to their connections with non-Abelian anyons. The smallest non-commutative Drinfeld double of a finite group algebra is the Drinfeld double of D3 , the dihedral group of order six, which was recently used to construct solutions to the Yang–Baxter equation cor- responding to 2-state and 3-state integrable spin chains with periodic boundary conditions. In this thesis we construct R-matrices from the Drinfeld double of dihedral group algebras, D(Dn) and consider their associated integrable systems. The 3-state spin chain from D(D3) is generalised to include open boundaries and it is also shown that there exists a more general R-matrix for this algebra. For general D(Dn) an R-matrix is constructed as a descendant of the zero-field six-vertex model.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:16:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissCSM.pdf: 484363 bytes, checksum: 6bab9f79ffe781bb395554a32cdd0754 (MD5) Previous issue date: 2005-03-29 / Universidade Federal de Minas Gerais / In this work we first review some of the techniques relevant to the theory of two-dimensional integrable models. We apply the Quantum Inverse Scattering approach to a class of three-state vertex model with both closed and open boundaries. The respective transfer matrices eigenvalues and eigenvectors are determined by the algebraic Bethe ansatz method. / Nesta dissertação descrevemos primeiramente os conceitos e técnicas matemáticas relevantes a teoria dos modelos integráveis bidimensionais. O formalismo do Método do Espalhamento Inverso Quântico é aplicado a um modelo de vértices assimétricos de três estados com condições de contorno fechado e aberto. Determinamos então os autovalores e autovetores das respectivas matrizes de transferência pelo método do ansatz de Bethe algébrico.

Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica. / We study some spin and vertex systems which are exactly solvable in two dimensions. The exact solubility is connected to the existence of non trivial solutions of the factorization equations which allow us to determine the free energy in the thermodynamic limit. We introduce and solve by the inverse scattering method, a ten vertex model with two and three states on the links. We get the phase diagram of the system and show that it exhibits a first order phase transition. Analysing a free fermion eight vertex model, we propose a new functional relation which permit us to get the free energy per vertex. We also show that this system is equivalent to the Ising model in a Union Jack lattice. We present a method to solve spin models on triangular lattices from the known solution of the same model on square lattices. The method applies whenever the model involves first neighbours interactions and satisfies the star triangle relation. We extend to the triangular lattice the self dual solutions of Fateev and Zamolodchikov for Z(N) invariant spin systems. We also analyse the conjectures made before for the critical Potts model on a Kagomé lattice. Based on symmetry and on the collapses of this lattice we conjecture an expression for their critical line.

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A ideia de usar redes neurais biologicamente inspiradas na computação tem sido amplamente utilizada nas últimas décadas. O fato essencial neste paradigma é que um neurônio pode integrar e processar informações, e esta informação pode ser revelada por sua atividade de pulsos. Ao descrever a dinâmica de um único neurônio usando um modelo matemático, uma rede pode ser implementada utilizando um conjunto desses neurônios, onde a atividade pulsante de cada neurônio irá conter contribuições, ou informações, da atividade pulsante da rede em que está inserido. Neste trabalho é apresentado um controlador de posição no eixo Z utilizando fusão de sensores baseado no paradigma de Redes Neurais Recorrentes. O sistema proposto utiliza uma Máquina de Estado Líquido (LSM) para controlar o robô colaborativo BAXTER. O framework foi projetado para trabalhar em paralelo com as LSMs que executam trajetórias em formas fechadas de duas dimensões, com o objetivo de manter uma caneta de feltro em contato com a superfície de desenho, dados de sensores de força e distância são alimentados ao controlador. O sistema foi treinado utilizando dados de um controlador Proporcional Integral Derivativo (PID), fundindo dados de ambos sensores. Resultados mostram que a LSM foi capaz de aprender o comportamento do controlador PID em diferentes situações. / The idea of employing biologically inspired neural networks to perform computation has been widely used over the last decades. The essential fact in this paradigm is that a neuron can integrate and process information, and this information can be revealed by its spiking activity. By describing the dynamics of a single neuron using a mathematical model, a network in which the spiking activity of every single neuron will get contributions, or information, from the spiking activity of the embedded network. A positioning controller based on Spiking Neural Networks for sensor fusion suitable to run on a neuromorphic computer is presented in this work. The proposed framework uses the paradigm of reservoir computing to control the collaborative robot BAXTER. The system was designed to work in parallel with Liquid State Machines that performs trajectories in 2D closed shapes. In order to keep a felt pen touching a drawing surface, data from sensors of force and distance are fed to the controller. The system was trained using data from a Proportional Integral Derivative controller, merging the data from both sensors. The results show that the LSM can learn the behavior of a PID controller on di erent situations.