The first part of the present Phd thesis is devoted to transport investigations in disordered quantum systems. We aim at quantitatively determining transport parameters like conductivity, mean free path, etc., for simple models of spatially disordered and/or percolated quantum systems in the limit of high temperatures and low fillings using linear response theory. We find the transport behavior for some models to be in accord with a Boltzmann equation, i.e., long mean free paths, exponentially decaying currents although there are no band-structures to start from, while this does not apply to other models even though they are also almost completely delocalized. The second part of the present PhD thesis addresses the issue of initial state independence (ISI) in closed quantum system. The relevance of the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) for the emergence of ISI equilibration is to some extent addressed. To this end, we investigate the Heisenberg spin-ladder and check the validity of the ETH for the energy difference operator by examining the scaling behavior of the corresponding ETH-fluctuations, which we compute using an innovative numerical method based on typicality related arguments. While, the ETH turns out to hold for the generic non-integrable models and may therefore serve as the key mechanism for ISI for this cases, it does not hold for the integrable Heisenberg-chain. However, close analysis on the dynamic of substantially out-of-equilibrium initial states indicates the occurrence of ISI equillibration in the thermodynamic limit regardless of whether the ETH is violated. Thus, we introduce a new parameter $v$, which we propose as an alternative of the ETH to indicate ISI equillibration in cases, in which the ETH does not strictly apply.

No description available.

[pt] Consideramos a equação de Boltzmann espacialmente não homogênea para esferas duras inelásticas, com coeficiente de restituição constante alfa pertence (0, 1), sob a termalização induzida por um meio hospedeiro com uma distribuição Maxwelliana fixa e fixando e pertence (0, 1) qualquer. Quando o coeficiente de restituição alfa é próximo de 1, comprovamos a existência de soluções globais considerando o regime próximo ao equilíbrio. Também estudamos o comportamento de longo prazo dessas soluções e comprovamos uma convergência para o equilíbrio com uma taxa exponencial. / [en] We consider the spatially inhomogeneous Boltzmann equation for inelastic hard-spheres, with constant restitution coefficient alpha element of (0, 1), under the thermalization induced by a host medium with a fixed Maxwellian distribution and any fixed e element of (0, 1). When the restitution coefficient alpha is close to 1 we prove existence of global solutions considering the close-to-equilibrium regime. We also study the long-time behaviour of these solutions and prove a convergence to equilibrium with an exponential rate.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes. / The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.

Οι πηγές πλάσματος επαγωγικής ζεύξης (Inductively Coupled Plasma Sources – ICP’s), παρέχουν πλάσμα υψηλής πυκνότητας ηλεκτρονίων σε χαμηλή πίεση και έχουν ευρεία εφαρμογή στη σύγχρονη βιομηχανία ημιαγωγών και την κατεργασία επιφανειών. Σε πολύ χαμηλές πιέσεις, (~mTorr), οι εκκενώσεις πλάσματος παρουσιάζουν ιδιαίτερη συμπεριφορά όσον αφορά τη διείσδυση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και την αλληλεπίδραση κύματος-σωματιδίου: Η ανώμαλη επιδερμική διείσδυση (anomalous skin effect) και η συντονισμένη αλληλεπίδραση κύματος-σωματιδίου όταν υπερτίθεται στατικό μαγνητικό πεδίο (resonant wave-particle interaction) είναι δύο φαινόμενα τυπικά σε αυτές τις εκκενώσεις. Η κατανόηση και μαθηματική ανάλυση αυτών των ιδιαίτερα περίπλοκων φαινομένων, ώστε να προσομοιωθούν με ακρίβεια αλλά και χωρίς χρονοβόρες υπολογιστικά διαδικασίες οι πηγές πλάσματος επαγωγικής ζεύξης, αποτελεί μια σύγχρονη επιστημονική και υπολογιστική πρόκληση. Στα πλαίσια αυτά, στην παρούσα διατριβή τέθηκε ως στόχος η αξιοποίηση της υπάρχουσας επιστημονικής γνώσης στον τομέα της υπολογιστικής προσομοίωσης πλάσματος, για την ανάπτυξη ταχύτατων προσομοιώσεων των πηγών πλάσματος επαγωγικής ζεύξης, διασφαλίζοντας ταυτόχρονα την εξαγωγή έγκυρων συμπερασμάτων: Η προσέγγιση αυτή συνίσταται στη διατύπωση υπόθεσης (μοντέλου), τον έλεγχό της σε σχέση με υπάρχοντα δεδομένα και την επαναδιατύπωσή της μέχρις ότου το μοντέλο να κριθεί επαρκές. Αρχικά αναπτύχθηκε ένα ρευστοδυναμικό μοντέλο πλάσματος βασισμένο στην υπόθεση ψευδουδετερότητας και αμφιπολικής διάχυσης των φορέων φορτίου, προκειμένου να προσομοιωθεί η ενισχυμένης μαγνητικής διαπερατότητας πηγή επαγωγικής ζεύξης MaPE–ICP. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης συγκρίνονται με τα πειραματικά στοιχεία προηγούμενων ερευνητών για εκκενώσεις Αργού και εξετάζεται η ικανότητα του ρευστοδυναμικού μοντέλου να παρέχει μια στοιχειώδη ποσοτική περιγραφή πλάσματος επαγωγικής ζεύξης σε χαμηλή πίεση. Η αξιοπιστία του ρευστοδυναμικού μοντέλου εξελίσσεται περεταίρω, με την ενσωμάτωση μιας αποτελεσματικής αριθμητικής επίλυσης της κινητικής εξίσωσης Boltzmann για τα ηλεκτρόνια. Τα αποτελέσματα της υβριδικής προσομοίωσης για εκκένωση Αργού πίεσης 30 mTorr στον αντιδραστήρα MaPE–ICP συγκρίνονται τόσο με αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα όσο και με τα προηγούμενα αποτελέσματα της ρευστοδυναμικής προσομοίωσης και εξετάζεται η βελτίωση της ποιοτικής συμφωνίας όσον αφορά την επίδραση των παραμέτρων με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε ένα ρευστοδυναμικό μοντέλο εκκενώσεων αίγλης τύπου ECWR (Electron Cyclotron Wave Resonance) βασισμένο σε προκαθορισμένες οριακές συνθήκες για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Προσομοιώθηκε ένα διάκενο με πλάσμα Αργού σε πίεση 15 mTorr (μονοδιάστατο μοντέλο) και τα αποτελέσματα ελέγχθηκαν έναντι αναλυτικής θεωρίας, πειραματικών δεδομένων και αποτελεσμάτων προσομοίωσης Particle In Cell/Monte Carlo (PIC/MC). Επιπρόσθετα, τα αποτελέσματα προσομοίωσης για μια εκκένωση Αργού σε πίεση 1 mTorr εντός κυλινδρικού αντιδραστήρα τύπου ECWR (δισδιάστατο μοντέλο), συγκρίνονται με τα αποτελέσματα προσομοίωσης και πειραματικά στοιχεία. Τέλος, το μοντέλο έχει επεκταθεί για να περιλάβει την διάδοση του πλάσματος που παράγεται από μια τυπική πηγή πλάσματος τύπου ECWR σε μια περιοχή διάχυσης. Τα αποτελέσματα για εκκένωση Αργού πίεσης 5 mTorr συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα ενός μοντέλου σφαιρικής διάχυσης πλάσματος και εν προκειμένω εξετάζεται η πλήρης επεκτασιμότητα του εισαχθέντος ρευστοδυναμικού μοντέλου ECWR σε διεργασίες πλάσματος. / Inductively Coupled Plasma Sources (ICP’s) are capable of producing high density-low pressure plasmas in a variety of applications for the semiconductor and material processing industry. In the mTorr range, ICP discharges exhibit an extraordinary behaviour concerning the electromagnetic field propagation and wave-particle interaction: Anomalous skin effect and resonant wave-particle interaction within a superimposed static magnetic field consist two of the most typical phenomena. The efficient comprehension and mathematical description of such a complex gas discharge in order to fast and accurately simulate ICP sources, is still a challenging task. Within this context, the thesis focuses on evaluating the existing scientific knowledge in plasma computational modeling in order to develop not only rapidly converging but reliable ICP simulations: The implementation methodology consists on formulating an hypothesis (model) and repetitively inquiring its accuracy by checking the simulation results against existing experimental and/or other simulation data. The continuation of the model re-formulation process depends on the accuracy of the simulation results. Initally a simulation of a Magnetic Pole Enhanced (MaPE)-ICP plasma source was developed, under the assumptions of plasma quasineutrality and ambipolar diffusion. The simulation results were checked against the experimental data of previous workers for Argon discharges and the ability of the model to provide an elementary quantitative description of low pressure ICP sources was scrutinized. The validity of the fluid model was enhanced with the incorporation of a time effective numerical solution of the Boltzmann transport equation for electrons. Simulation results of the hybrid model were compared to the previous fluid simulation results and existing experimental data, for a 30 mTorr Argon discharge in the MaPE–ICP reactor. The major improvements of the qualitative agreement in regard to the effect of parameters with particular interest are discussed. Moreover, a fluid model of ECWR (Electron Cyclotron Wave Resonance) discharges, based on predefined boundary conditions for the electromagnetic field, was developed: The simulation results for a 15 mTorr Argon plasma within a slab (1-dimensional model) were checked against the particle in cell/Monte Carlo (PIC/MC) simulation results that can be found in the literature and also compared to the analytical theory and experimental data. In addition, the model was further developed to simulate realistic geometries as a cylindrical ECWR reactor (2-D) and the data were also compared to both simulation results and experimental data of other researchers. Finally, the model was extended in order to simulate plasma propagation from a typical ECWR plasma source to a diffusion region. The simulation results for an Argon plasma generated from a cylindrical ECWR source in a processing chamber at 5 mTorr were presented in order to verify the feasibility of model application in ECWR plasma processes.

Due to failure of the continuum hypothesis for higher Knudsen numbers, rarefied gases and microflows of gases are particularly difficult to model. Macroscopic transport equations compete with particle methods, such as the direct simulation Monte Carlo method (DSMC) to find accurate solutions in the rarefied gas regime. Due to growing interest in micro flow applications, such as micro fuel cells, it is important to model and understand evaporation in this flow regime. To gain a better understanding of evaporation physics, a non-steady simulation for slow evaporation in a microscopic system, based on the Navier-Stokes-Fourier equations, is conducted. The one-dimensional problem consists of a liquid and vapor layer (both pure water) with respective heights of 0.1mm and a corresponding Knudsen number of Kn=0.01, where vapor is pumped out. The simulation allows for calculation of the evaporation rate within both the transient process and in steady state. The main contribution of this work is the derivation of new evaporation boundary conditions for the R13 equations, which are macroscopic transport equations with proven applicability in the transition regime. The approach for deriving the boundary conditions is based on an entropy balance, which is integrated around the liquid-vapor interface. The new equations utilize Onsager relations, linear relations between thermodynamic fluxes and forces, with constant coefficients that need to be determined. For this, the boundary conditions are fitted to DSMC data and compared to other R13 boundary conditions from kinetic theory and Navier-Stokes-Fourier solutions for two steady-state, one-dimensional problems. Overall, the suggested fittings of the new phenomenological boundary conditions show better agreement to DSMC than the alternative kinetic theory evaporation boundary conditions for R13. Furthermore, the new evaporation boundary conditions for R13 are implemented in a code for the numerical solution of complex, two-dimensional geometries and compared to Navier-Stokes-Fourier (NSF) solutions. Different flow patterns between R13 and NSF for higher Knudsen numbers are observed which suggest continuation of this work. / Graduate

Les propriétés de transport à haute température dans les gaz et/ou dans les plasmas ont une importance capitale dans différents domaines, à savoir dans le domaine de technologie de coupure à arc, plasmas de coupure, de soudure ou de gravure. La connaissance des coefficients de transport est nécessaire pour toute modélisation faisant intervenir les équations hydrodynamiques. Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz dilués, une solution approchée de l’équation intégro-différentielle de Boltzmann régissant les fonctions de distribution a été proposée par Chapman-Enskog. Les coefficients de transport sont calculés classiquement par la méthode de Chapman-Enskog via les intégrales de collision. Dans le cadre de notre étude nous avons développé, dans un premier temps, un code numérique permettant l’obtention de ces intégrales de collision en tenant compte des singularités qui peuvent apparaître dans le calcul des sections efficaces relatives aux interactions entre les particules constituant les gaz et/ou les plasmas. Dans un second temps nous avons étudié l’influence du choix des paramètres des potentiels d’interaction sur les coefficients de transport. Par la suite, nous avons utilisé le code numérique ainsi développé pour évaluer les coefficients de transport du plasma d’hélium en étudiant l’influence du choix de la méthode de calcul de composition chimique sur ces coefficients. Enfin, un modèle simplifié d’une interaction entre une onde électromagnétique et un plasma d’hélium a été proposé comme une application directe des coefficients de transport. / Transport properties at high temperature in gases and/or in plasmas are of very importance in various fields, namely in the field of breaking technology in arc, cutting plasma, welding or burning. Knowledge of transport coefficients is necessary for any modeling involving hydrodynamic equations. As part of the kinetic theory of diluted gas, an approximate solution of the integro-differential Boltzmann equation governing distribution functions was proposed by Chapman-Enskog. Transport coefficients are classically computed using the method of Chapman-Enskog through the collision integrals. In our study we have developed, initially, a numerical code to obtain these collision integral taking into account the singularities that may occur in the calculation of the cross sections relating to interactions between particles forming the gas and/or plasmas. Secondly, we have studied the influence of the choice of parameters of interaction potentials on transport coefficients. Subsequently, we have used the numerical code developed for evaluating and helium plasma transport coefficients by studying the influence of the choice of method for calculating chemical composition on these coefficients. Finally, a simplified model of an interaction between an electromagnetic wave and a helium plasma has been proposed as a direct application of the transport coefficients.

Es werden ab-initio Rechnungen des Supermagnetwiderstands-Effektes von Fe/Cr-Multilagen vorgestellt. Die Elektronenstruktur wurde im Rahmen einer LCAO-Superzellen-Rechnung bestimmt. Als Störung der idealen Schichtstruktur wurden Cr-Defekte in Fe angenommen, die durch spinabhängige Relaxationszeiten beschrieben werden. Die elektrischen Transportkoeffizienten wurden durch Lösung der linearisierten Boltzmann-Gleichung in Relaxationszeitnäherung unter Verwendung des Mott-schen Zweistrommodells berechnet. Bei den betrachteten Systemen variierte die Dicke der Fe-Schicht zwischen 3 und 9 Monolagen, die der Cr-Schicht zwischen 1 und 13 Monolagen. In Abhängigkeit von der Fe- bzw. Cr-Schichtdicke ergeben sich in Übereinstimmung mit den Experimenten charakteristische Oszillationen des Supermagnetwiderstandes. Es wird der Einfluß der Spinanisotropie der Streuung auf den Effekt untersucht. Insbesondere kann gezeigt werden, daß der Effekt auch für spinunabhängige Streuung existiert. / Ab-initio calculations of the Giant Magnetoresistance (GMR) for Fe/Cr multilayers are presented. The electronic structure of the Fe/Cr superlattice is calculated within an optimized LCAO scheme using the local spin density approximation. The scattering of the electrons by Cr impurities in an Fe environment is taken into account by spin dependent relaxation times. The transport is described quasiclassically by solving the linearized Boltzmann equation in relaxation time approximation. In agreement with experiments characteristic oscillations of the GMR are obtained in dependence on the Cr and Fe layer thickness. It can be shown, that the GMR can be reduced or increased by the spin anisotropy of the scattering, but the phenomenon still exists for spin-independent scattering.

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles et sont liés à la problématique des changements d'échelle dans le contexte de la cinétique des gaz. En effet, sachant qu'il existe plusieurs niveaux de description pour un gaz, on cherche à relier les différentes échelles associées dans un cadre où une part d'aléa intervient. Dans une première partie, on établit la dérivation rigoureuse de l'équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d'un système de particules interagissant via un potentiel à portée infinie en partant d'un équilibre perturbé.La deuxième partie traite du passage d'un modèle BGK stochastique avec champ fort à une loi de conservation scalaire avec forçage stochastique. D'abord, on établit l'existence d'une solution au modèle BGK considéré. Sous une hypothèse additionnelle, on prouve alors la convergence vers une formulation cinétique associée à la loi de conservation avec forçage stochastique.Au cours de la troisième partie, on quantifie dans le cas à vitesses discrètes le défaut de régularité dans les lemmes de moyenne et on établit un lemme de moyenne stochastique dans ce même cas. On applique alors le résultat au cadre de l'approximation de Rosseland pour établir la limite diffusive associée à ce modèle.Enfin, on s'intéresse à l'étude numérique du modèle de Uchiyama de particules carrées à quatre vitesses en dimension deux. Après avoir adapté les méthodes de simulation développées dans le cas des sphères dures, on effectue une étude statistique des limites à différentes échelles de ce modèle. On rejette alors l'hypothèse d'un mouvement Brownien fractionnaire comme limite diffusive / The work of this thesis belongs to the field of partial differential equations and is linked to the problematic of scale changes in the context of kinetic of gas. Indeed, knowing that there exists different scales of description for a gas, we want to link these different associated scales in a context where some randomness acts, in initial data and/or distributed on all the time interval. In a first part, we establish the rigorous derivation of the linear Boltzmann equation without cut-off starting from a particle system interacting via a potential of infinite range starting from a perturbed equilibrium. The second part deals with the passage from a stochastic BGK model with high-field scaling to a scalar conservation law with stochastic forcing. First, we establish the existence of a solution to the considered BGK model. Under an additional assumption, we prove then the convergence to a kinetic formulation associated to the conservation law with stochastic forcing. In the third part, first we quantify in the case of discrete velocities the defect of regularity in the averaging lemmas. Then, we establish a stochastic averaging lemma in that same case. We apply then the result to the context of Rosseland approximation to establish the diffusive limit associated to this model.Finally, we are interested into the numerical study of Uchiyama's model of square particles with four velocities in dimension two. After adapting the methods of simulation which were developed in the case of hard spheres, we carry out a statistical study of the limits at different scales of this model. We reject the hypothesis of a fractional Brownian motion as diffusive limit

Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. / This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.