Im ersten Teil wird eine neue Konstruktion der parabolischen Induktion für pro-p Iwahori-Heckemoduln gegeben. Dabei taucht eine neue Klasse von Algebren auf, die in gewisser Weise als Interpolation zwischen der pro-p Iwahori-Heckealgebra einer p-adischen reduktiven Gruppe $G$ und derjenigen einer Leviuntergruppe $M$ von $G$ gedacht werden kann. Für diese Algebren wird ein Induktionsfunktor definiert und eine Transitivitätseigenschaft bewiesen. Dies liefert einen neuen Beweis für die Transitivität der parabolischen Induktion für Moduln über der pro-p Iwahori-Heckealgebra. Ferner wird eine Funktion auf einer parabolischen Untergruppe untersucht, die als Werte nur p-Potenzen annimmt. Es wird gezeigt, dass sie eine Funktion auf der (pro-p) Iwahori-Weylgruppe von $M$ definiert, und dass die so definierte Funktion monoton steigend bzgl. der Bruhat-Ordnung ist und einen Vergleich der Längenfunktionen zwischen der Iwahori-Weylgruppe von $M$ und derjenigen der Iwahori-Weylgruppe von $G$ erlaubt. Im zweiten Teil wird ein allgemeiner Zerlegungssatz für Polynome über der sphärischen (parahorischen) Heckealgebra einer p-adischen reduktiven Gruppe $G$ bewiesen. Diese Zerlegung findet über einer parabolischen Heckealgebra statt, die die Heckealgebra von $G$ enthält. Für den Beweis des Zerlegungssatzes wird vorausgesetzt, dass die gewählte parabolische Untergruppe in einer nichtstumpfen enthalten ist. Des Weiteren werden die nichtstumpfen parabolischen Untergruppen von $G$ klassifiziert. / The first part deals with a new construction of parabolic induction for modules over the pro-p Iwahori-Hecke algebra. This construction exhibits a new class of algebras that can be thought of as an interpolation between the pro-p Iwahori-Hecke algebra of a p-adic reductive group $G$ and the corresponding algebra of a Levi subgroup $M$ of $G$. For these algebras we define a new induction functor and prove a transitivity property. This gives a new proof of the transitivity of parabolic induction for modules over the pro-p Iwahori-Hecke algebra. Further, a function on a parabolic subgroup with p-power values is studied. We show that it induces a function on the (pro-p) Iwahori-Weyl group of $M$, that it is monotonically increasing with respect to the Bruhat order, and that it allows to compare the length function on the Iwahori-Weyl group of $M$ with the one on the Iwahori-Weyl group of $G$. In the second part a general decomposition theorem for polynomials over the spherical (parahoric) Hecke algebra of a p-adic reductive group $G$ is proved. The proof requires that the chosen parabolic subgroup is contained in a non-obtuse one. Moreover, we give a classification of non-obtuse parabolic subgroups of $G$.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux sous-groupes profinis et pro-p d'un groupe algébrique linéaire connexe défini sur un corps local. Dans le premier chapitre, on résume brièvement la théorie de Bruhat-Tits et on introduit les notations nécessaires à ce travail. Dans le second chapitre, on trouve des conditions équivalentes à l'existence de sous-groupes compacts maximaux d'un groupe algébrique linéaire G connexe quelconque défini sur un corps local K. Dans le troisième chapitre, on obtient un théorème de conjugaison des sous-groupes pro-p maximaux de G(K) lorsque G est réductif. On décrit ces sous-groupes, de plus en plus précisément, en supposant successivement que G est semi-simple, puis simplement connexe, puis quasi-déployé. Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse aux présentations d'un sous-groupe pro-p maximal du groupe des points rationnels d'un groupe algébrique G semi-simple simplement connexe quasi-déployé défini sur un corps local K. Plus spécifiquement, on calcule le nombre minimal de générateurs topologiques d'un sous-groupe pro-p maximal. On obtient une formule linéaire en le rang d'un certain système de racines, qui dépend de la ramification de l'extension minimale L=K déployant G, explicitant ainsi les contributions de la théorie de Lie et de l'arithmétique du corps de base. / In this thesis, we are interested in the profinite and pro-p subgroups of a connected linear algebraic group defined over a local field. In the first chapter, we briefly summarize the Bruhat-Tits theory and introduce the notations necessary for this work. In the second chapter we find conditions equivalent to the existence of maximal compact subgroups of any connected linear algebraic group G defined over a local field K. In the third chapter, we obtain a conjugacy theorem of the maximal pro-p subgroups of G(K) when G is reductive. We describe these subgroups, more and more precisely, assuming successively that G is semi-simple, then simply connected, then quasi-split in addition. In the fourth chapter, we are interested in the pro-p presentations of a maximal pro-p subgroup of the group of rational points of a quasi-split semi-simple algebraic group G defined over a local field K. More specifically, we compute the minimum number of generators of a maximal pro-p subgroup. We obtain a formula which is linear in the rank of a certain root system, which depends on the ramification of the minimal extension L=K which splits G, thus making explicit the contributions of the Lie theory and of the arithmetic of the base field.

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L'originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu'ils concernent d'autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d'isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d'un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu'alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l'application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l'action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l'ensemble des classes d'isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s'étend aux objets supersinguliers lorsque l'on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d'une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}).

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

Ce mémoire présente un point de vue issu de la théorie des groupes discrets sur les groupes de Kac-Moody. Sur les corps finis, ces groupes sont de type fini ; ils opèrent sur de nouveaux immeubles jouissant bien souvent de remarquables propriétés de courbure négative. On justifie que les groupes de Kac-Moody de type fini peuvent être vus comme des généralisations de certains groupes $S$-arithmétiques en caractéristique positive. On explique comment ils fournissent de nouveaux immeubles, et pourquoi on peut s'attendre à ce que les groupes eux-mêmes soient nouveaux. Nous considérons aussi des groupes totalement discontinus généralisant certains groupes semi-simples sur des corps locaux, comme en attestent leurs propriétés combinatoires fines et leur simplicité topologique. L'étude de leurs frontières de Furstenberg est évoquée. Nous résumons la preuve de la complète non linéarité de certains groupes de Kac-Moody. C'est ici que nous utilisons les propriétés des groupes topologiques précédents, en les combinant à un théorème de super-rigidité du commensurateur. En fait, on peut construire des groupes dont toutes les images linéaires sont finies, quel que soit le corps de base à l'arrivée. Enfin, nous conjecturons divers résultats sur les groupes précédemment définis, par exemple, la non linéarité (et peut-être la simplicité) d'une vaste classe de groupes de Kac-Moody de présentation finie. Nous conjecturons également la simplicité abstraite des groupes de Kac-Moody géométriquement complétés, et proposons un lien entre ces groupes et une autre définition des groupes de Kac-Moody (issue de l'étude des variétés de Schubert et de la théorie des représentations). Nous relions ces conjectures à des travaux en cours sur les compactifications d'immeubles de Bruhat-Tits.

La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes<br /> d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de<br /> géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter<br /> et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique<br /> (variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes<br /> de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs<br /> de ces domaines : ces polynômes <br /> peuvent être définis comme coordonnées d'une base<br /> remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale<br /> de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains<br /> modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions<br /> de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes<br /> se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à<br /> s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye<br /> de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette<br /> question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre<br /> deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons <br /> également des arguments (théoriques et calculatoires)<br /> tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles<br /> complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline<br /><br /> Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,<br /> sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,<br /> intervalle complètement compressible

Bruhat-Tits buildings are a fundamental concept in the study of linear algebraic groups over general fields. The general goal of this thesis is to introduce buildings in the basic case of SLd(Qp) and to explicitly describe some of their geometrical and combinatorial properties - building are abstract simplicial complexes. After the general construction (Chapter 1) we focus in detail to the case of SL2(Qp). We work with simplices using certain matrix representatives. We explicitly describe the building and give a formula for graph distance. In Chapter 3 we consider the general case SLd(Qp), d ≥ 2. There we introduce a new concept of distance formulas. In Chapter 4 we prove some theorems which are satisfied by buildings in general. Chapter 5 studies the problem of determining so-called gallery distance of two simplices. In the last Chapter 6 we generalize the distance formulas to the case of three vertices. 1

No description available.

Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W. / This thesis consists of two parts: the first one gives a generalization of fiber spaces constructed above the Bruhat-Tits tree of the group GL(2) over a p-adic field. More precisely we construct a projective tower of spaces over the 1-skeleton of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. We show that any cuspidal representation π of GL(n) embeds with multiplicity 1 in the first cohomology space with compact support of k-th floor of the tower, where k is the conductor of π. In the second part we constructed a space W above the barycentric subdivision of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. To study the cohomology spaces with compact support of a proper G-simplicial complex X with a rather special equivariant covering, where G is a totally disconnected locally compact group, we show the existence of a spactrale sequence in the category of smooth representations of G that converges to the cohomology with compact support of X. Based on the latter results, we calculate the cohomology with compact support of W as smooth representation of GL(n), and then we show that the level zero cuspidal types of GL(n) appear with finite multiplicity in the cohomology of some finite simplicial complexes constructed in residual level. As a consequence, we show that the cuspidal representations of level 0 of GL(n) appear in the cohomology of W.

This thesis deals with enumerative combinatorics applied to three different objects related to partition shapes, namely tableaux, restricted words, and Bruhat intervals. The main scientific contributions are the following. Paper I: Let the sign of a standard Young tableau be the sign of the permutation you get by reading it row by row from left to right, like a book. A conjecture by Richard Stanley says that the sum of the signs of all SYTs with n squares is 2^[n/2]. We prove a generalisation of this conjecture using the Robinson-Schensted correspondence and a new concept called chess tableaux. The proof is built on a remarkably simple relation between the sign of a permutation pi and the signs of its RS-corresponding tableaux P and Q, namely sgn(pi) = (−1)^v sgn(P)sgn(Q), where v is the number of disjoint vertical dominoes that fit in the partition shape of P and Q. The sign-imbalance of a partition shape is defined as the sum of the signs of all standard Young tableaux of that shape. As a further application of the sign-transferring formula above, we also prove a sharpening of another conjecture by Stanley concerning weighted sums of squares of sign-imbalances. Paper II: We generalise some of the results in paper I to skew tableaux. More precisely, we examine how the sign property is transferred by the skew Robinson-Schensted correspondence invented by Sagan and Stanley. The result is a surprisingly simple generalisation of the ordinary non-skew formula above. As an application, we find vanishing weighted sums of squares of sign-imbalances, thereby generalising a variant of Stanley’s second conjecture. Paper III: The following special case of a conjecture by Loehr and Warrington was proved by Ekhad, Vatter, and Zeilberger: There are 10^n zero-sum words of length 5n in the alphabet {+3,−2} such that no consecutive subword begins with +3, ends with −2, and sums to −2. We give a simple bijective proof of the conjecture in its original and more general setting where 3 and 2 are replaced by any relatively prime positive integers a and b, 10^n is replaced by ((a+b) choose a)^n, and 5n is replaced by (a+b)n. To do this we reformulate the problem in terms of cylindrical lattice walks which can be interpreted as the south-east border of certain partition shapes. Paper IV: We characterise the permutations pi such that the elements in the closed lower Bruhat interval [id,pi] of the symmetric group correspond to non-capturing rook configurations on a skew Ferrers board. These intervals turn out to be exactly those whose flag manifolds are defined by inclusions, as defined by Gasharov and Reiner. The characterisation connects Poincaré polynomials (rank-generating functions) of Bruhat intervals with q-rook polynomials, and we are able to compute the Poincaré polynomial of some particularly interesting intervals in the finite Weyl groups A_n and B_n. The expressions involve q-Stirling numbers of the second kind, and for the group A_n putting q = 1 yields the poly-Bernoulli numbers defined by Kaneko. / Ämnet för denna avhandling är enumerativ kombinatorik tillämpad på tre olika objekt med anknytning till partitionsformer, nämligen tablåer, begränsade ord och bruhatintervall. Dom viktigaste vetenskapliga bidragen är följande. Artikel I: Låt tecknet av en standardtablå vara tecknet hos permutationen man får om man läser tablån rad för rad från vänster till höger, som en bok. En förmodan av Richard Stanley säjer att teckensumman av alla standardtablåer med n rutor är 2^[n/2]. Vi visar en generalisering av denna förmodan med hjälp av Robinson-Schensted-korrespondensen och ett nytt begrepp som vi kallar schacktablåer. Beviset bygger på ett anmärkningsvärt enkelt samband mellan tecknet hos en permutation pi och tecknen hos dess RS-motsvarande tablåer P och Q, nämligen sgn(pi)=(-1)^v sgn(P)sgn(Q), där v är antalet disjunkta vertikala dominobrickor som får plats i partitionsformen hos P och Q. Teckenobalansen hos en partitionsform definieras som teckensumman av alla standardtablåer av den formen. Som en ytterligare tillämpning av formeln för teckenöverföring ovan bevisar vi också en starkare variant av en annan förmodan av Stanley som handlar om viktade summor av kvadrerade teckenobalanser. Artikel II: Vi generaliserar några av resultaten i artikel I till skeva tablåer. Närmare bestämt undersöker vi hur teckenegenskapen överförs av Sagan och Stanleys skeva Robinson-Schensted-korrespondens. Resultatet är en förvånansvärt enkel generalisering av den vanliga ickeskeva formeln ovan. Som en tillämpning visar vi att vissa viktade summor av kvadrerade teckenobalanser blir noll, vilket leder till en generalisering av en variant av Stanleys andra förmodan. Artikel III: Följande specialfall av en förmodan av Loehr och Warrington bevisades av Ekhad, Vatter och Zeilberger: Det finns 10^n ord med summan noll av längd 5n i alfabetet {+3,-2} sådana att inget sammanhängande delord börjar med +3, slutar med -2 och har summan -2. Vi ger ett enkelt bevis för denna förmodan i dess ursprungliga allmännare utförande där 3 och 2 byts ut mot vilka som helst relativt prima positiva heltal a och b, 10^n byts ut mot ((a+b) över a)^n och 5n mot (a+b)n. För att göra detta formulerar vi problemet i termer av cylindriska latticestigar som kan tolkas som den sydöstra gränslinjen för vissa partitionsformer. Artikel IV: Vi karakteriserar dom permutationer pi sådana att elementen i det slutna bruhatintervallet [id,pi] i symmetriska gruppen motsvarar ickeslående tornplaceringar på ett skevt ferrersbräde. Dessa intervall visar sej vara precis dom vars flaggmångfalder är definierade av inklusioner, ett begrepp introducerat av Gasharov och Reiner. Karakteriseringen skapar en länk mellan poincarépolynom (ranggenererande funktioner) för bruhatintervall och q-tornpolynom, och vi kan beräkna poincarépolynomet för några särskilt intressanta intervall i dom ändliga weylgrupperna A_n och B_n. Uttrycken innehåller q-stirlingtal av andra sorten, och sätter man q=1 för grupp A_n så får man Kanekos poly-bernoullital. / QC 20100818