Hourya Sinaceur présente dans son ouvrage Corps et Modèles la théorie des caractéristiques de Kronecker comme la fin d’« un cycle d’idées sturmiennes », la situant ainsi dans une histoire de l’algébrisation du théorème de Sturm. Pourtant, cette théorie est souvent aussi présentée comme le point de départ de certains des premiers travaux de topologie de la toute fin du dix-neuvième siècle. Nous souhaitons dans cette thèse rendre compte de la façon dont ces deux histoires se rencontrent au sein de la théorie de Kronecker. Pour cela, nous disposons d’un matériel particulièrement éclairant et jusqu’alors très peu exploité : les manuscrits des cours que Kronecker a donnés à l’Université de Berlin entre 1872 et 1891 sur la Théorie des équations algébriques. Nous commencerons par présenter ces manuscrits, leur contenu et leur contexte de rédaction. Nous nous intéresserons ensuite plus précisément à la reprise du théorème de Sturm par Kronecker, et nous montrerons que la théorie des caractéristiques n’est pas seulement un prolongement algébrique de ce théorème, mais qu’elle se transforme pour fournir certains des outils analytiques que Poincaré utilisera lors de la construction de son Analysis Situs. L’exposition de la théorie des caractéristiques dans ses cours est l’occasion pour Kronecker de reprendre trois des quatre démonstrations que Gauss a données du théorème fondamental de l’algèbre, et nous montrerons comment, dans la pratique de Kronecker, la notion même de racine est interrogée / In her book Corps et Modèles, Hourya Sinaceur presented Kronecker’s theory of characteristics as the end of a “cycle of Sturmian ideas”, making it a step in history of the algebraization of Sturm’s theorem. However, this theory is often also introduced as the starting point of some of the early works of topology of the very end of the nineteenth century. In this PhD thesis, I will describe how these two stories are connected in Kronecker’s theory. To achieve this, I used material which has seldom been discussed before : the manuscripts of the courses that Kronecker gave at the University of Berlin between 1872 and 1891 on the Theory of algebraic equations. I begin with the presentation of these manuscripts, their contents and their writing contexts. I then look more closely at Kronecker’s rework of the theorem of Sturm and show that the theory of characteristics is not only an algebraic extension of this theorem but also that it is transformed in order to provide some of the analytic tools that Poincaré will use for the construction of his Analysis Situs. The exposition of the theory of characteristics in his courses is an opportunity for Kronecker to take up three of the four demonstrations from Gauss of the fundamental theorem of algebra, and I will show how, in Kronecker’s practice, the very notion of root is questioned

Cette thèse s'intéresse au problème de la diffraction d'ondes par un obstacle borné, <br />et plus particulièrement à l'étude de sa Surface Equivalente Radar (SER). <br /><br />Etant donné une onde incidente sur l'objet, la détermination des courants induits sur la <br />surface de celui-ci, des champs diffractés puis, par la suite, de leur comportement à <br />l'infini, est un problème couramment abordé dans la littérature. <br />De plus, pour des longueurs d'onde comparables à la taille de l'objet, ces grandeurs <br />peuvent maintenant être approximées numériquement par des méthodes à la fois rapides <br />et précises. <br /><br />Néanmoins, au contraire des nombreuses théories développées dans les domaines hautes <br />fréquences (tracés de rayon, points brillants, TGD, ...), les phénomènes produits sur la <br />surface de l'objet, et en particulier leur effet sur le champ diffracté et la SER, <br />demeurent mal compris et maîtrisés. <br /><br />La notion de courants caractéristiques, initialement introduite par J.R. Harrington et <br />R.F. Mautz dans les années 70 dans pour des objets parfaitement conducteurs, permet la <br />décomposition d'un courant induit quelconque en courants ``élémentaires''. <br />Cette décomposition semble alors particulièrement adaptée à l'étude de la SER de l'objet, <br />grâce notamment à des propriétés d'orthogonalités des champs lointains rayonnés <br />permettant d'identifier directement entres elles les composantes d'un courant (les zones <br />sollicités sur l'objet) et celles de son champ rayonné. <br /><br />Nous revenons dans un premier temps dans cette thèse sur cette décomposition modale, <br />en fournissant un cadre et les résultats mathématiques nécessaires à la bonne <br />compréhension et utilisation de cette décomposition. <br /><br />L'introduction de ce cadre permet alors de donner une première généralisation de ce type <br />de décomposition à des objets modélisés par une condition d'impédance. <br /><br />Ces courants et champs caractéristiques peuvent de plus se révéler intéressant d'un point <br />de vue théorique, de par les bases adaptés qu'ils fournissent. <br />L'application au problème inverse, à savoir celui de la reconstruction de la surface de <br />l'objet à partir de la connaissance des champs lointains diffractés, donne un exemple <br />d'utilisation théorique de ces modes caractéristiques.

Suivant des idées de B.Malgrange, on présente la construction d'un<br />nouvel invariant pour les faisceaux pervers : le déterminant microlocal. C'est une généralisation aux faisceaux pervers de la première classe caractéristique secondaire des fibrés plats.<br /><br /> Le déterminant microlocal est une classe de cohomologie sur le<br />fibré cotangent à support dans la variété caractéristique : il est<br />construit sur les déterminants des systèmes locaux obtenus par<br />microlocalisations le long des strates.<br /><br /> Pour montrer son existence, on ramène la variété<br />caractéristique en position générique par une transformation canonique en contrôlant le comportement des microlocalisés <br />par une telle transformation. On est alors ramené au cas de la dimension 2 où un calcul explicite est effectué en utilisant les descriptions combinatoires des faisceaux pervers de Ph. Maisonobe.

Un modèle discret tridimensionnel dédié à la prédiction des propriétés élastiques linéaires et en fatigue des matériaux granulaires cohésifs (matrice+inclusions) tel que les bétons bitumineux est présenté. Le matériau est considéré comme un assemblage d'inclusions cohésives infiniment rigides. La mosaïque de Voronoï pour un ensemble de sphères et sa triangulation duale de Delaunay sont utilisées pour modéliser la microstructure du matériau. Le comportement mécanique des contacts entre particules est modélisé via une loi d'interface. Une méthode d'homogénéisation discrète est employée pour l'estimation des propriétés effectives du matériau. Les prédictions du modèle sont comparées à celles déterminées par la méthode des éléments finis pour les réseaux cubique simple et cubique centré. Les résultats des simulations ont montré que les erreurs de modélisation sont inférieures à 15% lorsque à la fois le contraste entre rigidité des inclusions et celle de la matrice est supérieure à 100 et la compacité des inclusions est assez élevée (>50%). Dans un premier lieu, le modèle discret est appliqué aux matériaux aléatoires pour la détermination de la taille minimale du Volume Élémentaire Représentatif (VER) en élasticité linéaire et en fatigue en utilisant une approche statistique. Dans un second lieu, le modèle proposé est appliqué à l'étude de l'influence des caractéristiques morphologiques sur les propriétés effectives du matériau.

Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Cette thèse traite de méthodes statistiques appliquées au traitement du signal. Afin de résoudre le problème de séparation aveugle de sources à l'aide de la méthode d'analyse en composantes indépendantes, nous introduisons deux mesures de dépendance, l'une bien connue l'information mutuelle, et l'autre que nous appelons la mesure de dépendance quadratique. Nous montrons le lien de cette dernière avec les fonctions caractéristiques et en proposons une estimation simple, dont les propriétés asymptotiques sont obtenues grâce aux U-statistiques. Les choix du noyau et de la taille de fenêtre sont ainsi analysés. Enfin, la minimisation des mesures de dépendance permet de résoudre le problème de séparation de sources dans le cadre de mélanges post non linéaires. Plusieurs approches sont proposées, dont une non paramétrique basée sur les dérivées des non linéarités. Nous illustrons les obstacles à la minimisation par des graphes des fonctions objectifs.

L'analyse différentielle de consommation (notée DPA pour Differential Power Analysis) est une puissante attaque non intrusive par canal auxilliaire dont l'objectif est de retrouver des informations secrètes contenues dans des circuits intégrés en exploitant la consommation globale. Des clés de chiffrement peuvent alors être découvertes pendant l'exécution d'algorithmes cryptographiques. L'objet de cette thèse est de proposer une contre-mesure véritablement efficace basée sur la conception de portes logiques intrinsèquement résistantes à la DPA indépendamment des états logiques et électriques passés, présents et futurs. Il est alors théoriquement possible de concevoir des circuits intégrés résistants à l'attaque DPA. La contre-mesure proposée repose sur des bases microélectroniques précises qui permettent d'expliciter les sources de la DPA. La solution s'appuie sur la conception CMOS (Complementary Metal Oxide Silicon) de circuits intégrés réalisant des algorithmes cryptographiques tels que l'AES (Advanced Encryption Standard).

Parmi les différentes méthodes de résolution numérique de l'équation du transport des neutrons, la méthode des caractéristiques est actuellement l'une des plus employées pour les calculs industriels. Elle permet en effet d'obtenir un bon rapport entre précision et temps de calcul, tout en facilitant la description précise de géométries complexes grâce à un maillage non structuré. Afin de réduire la quantité de ressources requises par la méthode des caractéristiques, nous proposons dans ce mémoire deux axes d'amélioration. Le premier axe de travail est fondé sur une analyse de la technique d'intégration transverse dans la méthode des caractéristiques. Un certain nombre de limites ont été détectées à ce niveau, que nous nous proposons de corriger en proposant une variante de la méthode des caractéristiques. En traitant au mieux les discontinuités matérielles, l'objectif est d'accroître la précision de l'intégration transverse, en vue de réduire le temps de calcul sans sacrifier la qualité des résultats. L'analyse des résultats numériques fournis par cette nouvelle méthode permet d'en montrer l'intérêt, ainsi que de mieux quantifier les approximations dues à l'intégration transverse. Une autre amélioration découle de l'observation que la plupart des réacteurs en exploitation présentent des structures complexes, mais formées –au moins en partie– d'un réseau de cellules ou d'assemblages de géométries identiques. Nous proposons une méthode systématique issue de la théorie des groupes et permettant de tirer parti de ces répétitions. L'implémentation de cette technique permet de diminuer la quantité de ressources nécessaires pour stocker les informations relatives à la géométrie. Les résultats numériques en montrent l'intérêt dans un contexte industriel.

approche experimentale de techniques en propagation libre ou guidée pour évaluer : <br />- des champs électromagnétiques diffractés ou rayonnés<br />- des caractéristiques électromagnétiques de matériaux<br />dans le domaine des hyperfréquences

La SER, est la grandeur qui permet de quantifier le pouvoir réflecteur d'un objet, ou a contrario sa discrétion électromagnétique. Maîtriser la SER, voire la diminuer, est un enjeu majeur dans le domaine aéronautique de défense. C'est en particulier un gage de survivabilité pour les aéronefs. Historiquement, les fréquences RADAR d'intérêt étaient celles de la bande Super Haute Fréquence, ce qui équivaut à des longueurs d'onde de 2 à 30 centimètres. Des outils d'analyse adaptés ainsi que des moyens de mesure ou de caractérisation de la SER ont été mis au point. Ils se sont révélés extrêmement performants. On peut citer par exemple la chambre anéchoïque CAMELIA du CESTA. En revanche, dans le domaine des basses fréquences, il est plus délicat de réaliser des mesures précises. Pour des longueurs d'onde de 1 à 5 mètres, l'épaisseur des absorbants est souvent trop faible ; même les dimensions des chambres anéchoïques ne représentent que quelques longueurs d'onde. Notre objectif, lors de cette thèse, était de proposer et d'étudier des algorithmes nouveaux permettant d'améliorer ou de faciliter la caractérisation de la SER en basse fréquence. La notion de courants caractéristiques, introduite par Harrington et Mautz dans les années 70, puis reprise par Y. Morel dans le cas d'objets parfaitement conducteurs, permet la décomposition d'un courant induit quelconque en courants élémentaires. Les modes caractéristiques sont obtenus en faisant rayonner ces courants caractéristiques. Cependant, il n'existe pas d'outil de détermination des modes lorsque l'objet n'est plus parfaitement conducteur. Nous nous sommes donc dotés d'un tel outil, que nous avons construit et validé. Pour cela, nous avons repris dans un premier temps le cadre mathématique qui permet de définir l'opérateur de Perturbation, ses propriétés mathématiques et sa décomposition en éléments propres. Nous avons montré que cet opérateur discrétisé conserve ses propriétés mathématiques. Nous avons ensuite validé notre méthode de calcul direct des modes caractéristiques, issus de la diagonalisation de l'opérateur de perturbation discrétisé. Dans un deuxième temps, nous avons mené des études phénoménologiques. Nous avons tout d'abord observé l'évolution des éléments propres de l'opérateur de perturbation en fonction de l'impédance, et nous nous sommes intéressés au cas particulier de l'impédance égale à 1. Nous avons ensuite observé les phénomènes lorsque la fréquence évolue. En nous concentrant sur les valeurs propres, nous avons pu différencier deux types de modes. Enfin, nous avons détaillé quelques exemples d'applications concrètes de cette méthode de détermination des modes, qui permettent d'améliorer ou de faciliter la caractérisation de la SER en basse fréquence. L'outil ORFE (Outil de Reformulation, Filtrage et Extrapolation de données) permet d'atténuer les termes d'erreurs inhérents à toute caractérisation, et d'extrapoler des données existantes à des cas de figure non acquis ou non accessibles en mesure. Il a donné lieu à un brevet. Un outil d'interpolation de SER en basse fréquence a aussi été construit. Il permet d'obtenir de meilleurs résultats que l'interpolation linéaire de la SER. Nous avons aussi mis en place une méthode d'imagerie basse fréquence. Elle permet de localiser d'éventuels défauts de métallisation de l'objet considéré, en utilisant la base des courants caractéristiques. Enfin, nous avons présenté une méthodologie de caractérisation de SER qui intègre les limites des moyens de mesure. Nous avons mis en évidence que cette caractérisation donne une information absolue sur la SER de l'objet, dans un périmètre de validité. Un brevet a été déposé sur cette méthode.