L’objectif de ce travail est l’étude de l’opérade Swiss-Cheese SCd qui est une version relative del’opérade des petits cubes Cd. On montre que les théorèmes classiques dans le cadre des opérades non colorées admettent des analogues dans le cas relatif. Il est ainsi possible d’extraire d’une opérade pointée O (i.e. un opérade colorée sous π₀(SC₁) ) un couple d’espaces semi-cosimpliciaux (Oc ; O₀) dont les semitotalisations sont faiblement équivalentes à une SC₂-algèbre explicite. En particulier, on prouve que le couple (ℒ1 ; n ; ℒm ; n), composé de l’espace des longs nœuds et de l’espace des longs entrelacs à m brins, est faiblement équivalent à une SC₂-algèbre explicite. Dans un second temps, on s’intéresse aux couples d’homologies singulières et d’homologies de Hochschild associés à une paire d’espaces semi-cosimpliciaux provenant d’une opérade pointée. Dans ce contexte, les couples (H∗ (sTot(Oc)) ; H∗ (sTot(O₀))) et (HH∗(Oc) ; HH∗(O₀)) possèdent tous deux une structure de H∗(SC₂)-algèbre explicite. On montre alors que le morphisme de Bousfield entre ces deux couples préserve les structures de H∗(SC₂)-algèbres. Cela nous permet de mieux appréhender le couple de suites spectrales de Bousfield calculant (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(O₀))). En particulier, on énonce un critère permettant de faire le lien entre le couple d’homologies singulières issu d’une opérade symétrique multiplicative topologique et la page E² des suites spectrales de Bousfield. La dernière étape de notre étude consiste à généraliser les précédents résultats. Pour cela, on se base sur une conjecture de Dwyer et Hess qui vise à identifier une Cd₊₁-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades Cd → O. En admettant ce résultat, on introduit une opérade colorée CCd telle que l’on peut extraire une SCd₊₁-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades colorées CCd→ O. On montre ainsi que le couple d’espaces (ℒᵈ₁ ; n ; T∞Imm(ᴷ))(Rᵈ ; Rⁿ), composé de l’espace des longs nœuds en dimension d et de l’approximation polynomiale des (k)-immersions, est faiblement équivalent à une SCd₊₁-algèbre explicite. / The aim of this work is to study the Swiss-Cheese operad, denoted by SCd, which is a relative version of the little cubes operad Cd.We show that the classical theorems in the context of uncolored operads can begeneralized to the relative case. From a pointed operad O (i.e. a two colored operad under π0(SC₁) ), webuild two semi-cosimplicial spaces (Oc ; Oo) such that the pair of semi-totalizations is weakly equivalentto an explicit SC₂-algebra. In particular, we prove that the pair (ℒ₁ ; n ; ℒm; n), composed of the space oflong knots and the space of long links, is weakly equivalent to an explicit SC₂-algebra.We study two homology theories, namely singular and Hochschild homology, of a pair of semicosimplicialspaces arising from a pointed operad. In this context, (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(Oo))) and (HH∗(Oc) ; HH∗(Oo)) are equipped with an explicit H∗(SC₂)-algebra structure. We show that the mapintroduced by Bousfield between these two pairs is a morphism of H∗(SC₂)-algebras. This result helps us to understand the pair of spectral sequences computing (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(Oo))). In particular wegive some conditions on a multiplicative symmetric operad so that the E² pages of the Bousfield spectral sequences are weakly equivalent to H∗(sTot(Oc)) and H∗(sTot(Oo)) as H∗(SC₂)-algebras. Finally we generalize our previous results, relying on a conjecture by Dwyer and Hess. We define acolored operad CCd and obtain an SCd₊₁-algebra from an operad morphism CCd → O. As a consequence, we prove that the couple of topological spaces (ℒᵈ₁ ; n ; T∞Imm(ᴷ))(Rᵈ ; Rⁿ)), where Ld₁;n is the space of long knots from Rd to Rⁿ and where T∞Imm(k)(Rᵈ ; Rⁿ) is the polynomial approximation of the (k)-immersions,is weakly equivalent to an explicit SCd+₁-algebra.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, nous décrivons une réalisation géométrique des carquois de type Dynkin, et certains carquois euclidiens. Nous traitons le cas D ̃n en profondeur et démontrons quelques résultats complémentaires aux travaux de Baur, Marsh et Torkildsen sur les réalisations géométriques des catégories amassées supérieures. Pour le cas D ̃n, on trouve la figure qui correspond à l'étude, on démontre la compatibilité entre le flip d'une (m+2)-angulation, et la mutation de carquois coloré. On trouve une bijection entre les objets m-rigides et chaque arc dit admissible, puis entre les objets amas-basculants et les (m+2)-angulations. De plus, on démontrela compatibilité entre la réduction d'Iyama-Yoshino, et le fait de couper le long d'un arc, qu'on définira formellement. Nous démontrons aussi qu'une catégorie exacte est une catégorie de préfibration au sens de Anderson-Brown-Cisinski, qui vérifie le théorème de Quillen, et une catégorie de Frobenius est munie d'une structure de modèle, compatible avec le passage à la catégorie stable, qui est triangulée / We show that a subcategory of the m-cluster category of type D ̃n is isomorphic to a category consisting of arcs in an (n - 2)m-gon with two central (m - 1)-gons inside of it. We show that the mutation of colored quivers and m-cluster-tilting objects is compatible with the flip of an (m + 2)-angulation. In this thesis, we study the geometric realizations of m-cluster categories of Dynkin types A, D, A ̃ and D ̃. We show, in those four cases, that there is a bijection between (m + 2)-angulations and isoclasses of basic m-cluster tilting objects. Underthese bijections, flips of (m + 2)-angulations correspond to mutations of m-cluster tilting objects. Our strategy consists in showing that certain Iyama-Yoshino reductions of the m-cluster categories under consideration can be described in terms of cutting along an arc the corresponding geometric realizations. This allows to infer results from small cases to the general ones. Let Ɛ be a weakly idempotent complete exact category with enough injective and projective objects. Assume that M ⊆ Ɛ is a rigid, contravariantly finite subcategoryof Ɛ containing all the injective and projective objects, and stable under taking direct sums and summands. In this paper, Ɛ is equipped with the structure of a prefibration category with cofibrant replacements. As a corollary, we show, using the results of Demonet and Liu in [DL13], that the category of finite presentation modules on the costable category M is a localization of Ɛ. We also deduce that Ɛ → modM admits a calculus of fractions up to homotopy. These two corollaries are analogues for exact categories of results of Buan and Marsh in [BM13], [BM12] (see also [Bel13]) that hold for triangulated categories. If Ɛ is a Frobenius exact category, we enhance its structure of prefibration category to the structure of a model category (see the article of Palu in [?] for the case of triangulated categories). This last result applies in particular when Ɛ is any of the Hom-finite Frobenius categories appearing in relation to cluster algebras

Cette thèse est consacrée à la démonstration d'un théorème montrant l'existence d'une structure de catégorie de modèles fermée concernant les catégories faiblement enrichies. Il faut au préalable définir les notions de catégories faiblement enrichies et d'équivalence de catégories faiblement enrichies de telle manière que ces notions recouvrent diverses notions déjà existantes de catégories faibles d'ordre supérieur telles les catégories de Segal, les n-catégories de Tamsamani et les n-catégories strictes. Afin de démontrer notre théorème, nous devons mettre au point une théorie de plans d'addition de cellules sur le modèle de l'argument du petit objet à la Quillen. Nous terminons ce travail en montrant que notre théorème recouvre le cas des catégories de Segal. Ce dernier résultat nécessite de montrer une adjonction "groupoïde fondamental-réalisation géométrique" entre les groupoïdes de Segal et les espaces topologiques.

Nous étudions les A-infini-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A-infini-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A-infini-algèbres par rapport aux A-infini-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée DA d'une A-infini-algèbre augmentée A. Le cas où A n'est pas muni d'une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d'unitarité pour les A-infini-algèbres : l'unitarité stricte et l'unitarité homologique. Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A-infini-catégories comme des A-infini-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d'objets est A-infini-prétriangulée, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à H^0 Tw A, où Tw A est l'A-infini-catégorie des objets tordus d'une certaine A-infini-catégorie A. Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d'algèbre homologique presentés par M. Kontsevich pendant son cours ``Catégories triangulées et géométrie'' à l'ENS en 1998.

Dans [PRID], Pridham a montré que tout n-champs d'Artin M admet une présentation en tant que schéma simplicial X. → M, telle que le schéma simplicial X satisfait à certaines propriétés notées par G.Pn,k de [GROTH]. Dans la présentation (...→ X2 → X1 → X0 → M), le schéma X1 représente une carte pour X0 x MX0. Donc, la lissité de X0 → M est équivalente à la lissité des deux projections ә0,ә1 : X1 → X0. Ce sont les deux premières parties de la condition de Grothendieck-Pridham, notées G.P1,0 et G.P1,1. Dans [BENZ12] nous avons introduit un n-champ d'Artin M des éléments de Maurer-Cartan d'une dg-catégorie. On a construit une carte, et on a déjà fait la preuve des premières conditions de lissité explicitement. Pour tout n et tout 0 ≤ k ≤ n Pridham considère un schéma noté MatchΛkn(X) avec un morphisme Xn → MatchΛkn(X). On construira explicitement le schéma simplicial de Grothendieck-Pridham X, on montrera la lissité formelle de cette carte précédente, ainsi que M est un n-champ géométrique.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes et d'une annexe. Le thème principal de la première partie tourne autour des groupes de réflexions tandis que la deuxième partie aborde la notion de catégorie stable. L'annexe s'attarde sur les conventions de signes dans les catégories de complexes. <br /><br />Dans la première partie, on considère un groupe de réflexion G agissant sur l'espace vectoriel V dans sa représentation de réflexions. On étudie alors la composante isotypique relativement à un caractère linéaire de G de l'algèbre produit tensorielle de l'algèbre symétrique du dual de V et de l'algèbre extérieure d'une représentation de dimension finie de G. On construit une structure d'algèbre sur cette composante isotypique. On montre aussi que la structure d'algèbre construite est en fait une structure d'algèbre extérieure. On termine cette partie en illustrant ces résultats pour quelques groupes de réflexions particuliers.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à la généralisation d'un théorème de Rickard. Lorsque M est un foncteur ayant un adjoint à droite et à gauche, on définit la notion de catégorie M-stable d'une catégorie abélienne ou triangulée. La catégorie M-stable hérite d'une structure de catégorie triangulée. Dans le cas abélien, la catégorie M-stable est aussi, de façon analogue à la catégorie stable usuelle, un quotient d'une catégorie M-dérivée.

Il y a seulement une dizaine d’années que l’invariant de la complexité topologique a été défini. Il y a encore beaucoup de travail à y consacrer. Ici nous comparons algébriquement les deux invariants TC(X) et tc(X). En fait, ce qui nous motive, c’est la conjecture de leur égalité. Dans le but d’appuyer cette conjecture, nous regardons les bornes inférieures et supérieures de chacun, pour resserrer l’intervalle dans lequel ils se trouvent. Ceci nous a permis de trouver un nouveau résultat: la borne supérieure 2cat(X) de TC(X) est aussi une borne supérieure de tc(X). Ensuite, pour trois espaces nous avons calculé l’intervalle dans lequel se trouvent TC(X) et tc(X). Tous nos résultats nous incitent à dire que ces deux invariants se comportent bien de la même façon.

On étudie principalement les catégories de foncteurs de source une petite catégorie additive et de but une catégorie de modules. Pour cela on utilise des techniques de localisations dans la catégorie homotopique des objets simpliciaux. La notion de déviation (cross-effect) permet de définir le degré d'un foncteur polynomial. Dans un premier temps, on justifie l'existence d'une localisation dont les objets locaux sont les foncteurs simpliciaux ayant des groupes d'homotopies de degré n. La catégorie de foncteurs est filtrée par la suite croissante de sous-catégories des foncteurs de degré inférieur ou egal à n. Cette filtration donne lieu à une tour de localisations homotopiques. On donne ensuite une description de la n-ième fibre de cette tour. On utilise pour cela la catégories des foncteurs à n variables symétriques et les localisations dans ce cadre. Les foncteurs locaux sont alors ceux ayant des groupes d'homotopies linéaires en chaques variables. Dans le cas de foncteurs de source la catégorie des modules libres de rang fini, on obtient une autre description, en termes de modules simpliciaux sur un anneau simplicial. Pour les espaces vectoriels sur le corps à deux éléments, l'homotopie de l'anneau simplicial est la n-ième puissance tensorielle de l'algèbre dual de l'algèbre de Steenrod. Enfin, on calcul les groupes d'homotopies des modules simpliciaux obtenus à partir des foncteurs associés aux algèbres symétriques, extérieures, et divisées.

Cette thèse explore la relation entre les catégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et les catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A d'une catégorie DG $\alpha$-cocomplète petite A, où $\alpha$ est un cardinal régulier. Cette construction jouit d'une propriété très intéressante, qui est la clef pour démontrer le théorème principal de la thèse. Les catégories D_\alpha A s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement $\alpha$-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius. Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules sur des anneaux. Il donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeld qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et D_\alpha A en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement $\alpha$-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A. Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.