Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation et la simulation de dispositifs nanoélectroniques innovants. Premièrement, nous dérivons formellement un modèle avec masse effective pour décrire le transport quantique des électrons dans des nanostructures très fortement confinées. Des simulations numériques illustrent l'intérêt du modèle obtenu pour un dispositif simplifié mais déjà significatif. La deuxième partie est consacrée à l'étude du transport non ballistique dans ces mêmes structures confinées. Nous analysons rigoureusement un modèle de drift-diffusion et puis nous décrivons et implémentons une approche de couplage spatial classique-quantique. Enfin, nous modélisons et simulons un nanodispositif de spintronique. Plus précisement, nous étudions le renversement d'aimantation dans un matériau ferromagnétique multi-couches sous l'effet d'un courant de spin.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Cette thèse concerne la modélisation mathématique et l'approximation numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux. Dans la première partie on étudie des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le système de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériau en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma adapté aux métamatériaux, le schéma EF-AL, qui converge dès que le problème est bien-posé. On termine par l'étude du schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux. La seconde partie présente l'homogénéisation non-périodique formelle de métamatériaux acoustiques. Les travaux d'A.G. Ramm sur la création de milieux à partir d'assemblages d'obstacles sont repris afin de préciser l'asymptotique fine du comportement du champ diffracté par un nombre fini de petites boules de rayon \delta. On utilise pour cela la méthode des développements asymptotiques raccordés. On établit l'existence et l'unicité de ce dernier et des estimations d'erreurs qui valident l'approche formelle. On suppose ensuite que le nombre de petits objets tend vers l'infini lorsque \delta tend vers 0 et passons à la limite dans le développement. Une approximation de Born permet d'obtenir l'indice du milieu contenant tous les objets qui, dans certains cas, est celui d'un métamatériau.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité.

Dans cette thèse, nous souhaitons décrire la dynamique du front d'avancement d'un film mince s'écoulant sur un plan incliné non rugueux. Nous nous intéressons surtout au problème de point triple situé à l'interface entre la paroi solide, le fluide en mouvement et l'air, par exemple lors de l'écoulement d'une goutte sur une surface inclinée. Dans une première partie, nous expliquons pourquoi on peut se ramener aux équations de Stokes et pourquoi le problème résultant est mal posé. Pour y remédier, la condition de non-glissement à la paroi est remplacée par une condition de glissement lorsqu'on est proche du front. Ainsi on réussit à trouver une solution dans H1. Puis nous développons la dynamique de l'écoulement à l'amont du front : un film mince. Cet écoulement peut se modéliser sous la forme d'équations de type Saint-Venant sur la hauteur et le débit. Nous justifions cette construction à partir des équations de Navier-Stokes en utilisant un développement asymptotique en fonction du paramètre onde longue. Dans la zone du front nous résolvons le système de Stokes stationnaire avec glissement au fond par un développement asymptotique en fonction du nombre capillaire. Le front est divisé en une zone interne près du front et une zone externe loin du front, puis les solutions de chaque zone sont soit raccordées directement (angles dynamique et statique égaux), soit raccordées au moyen d'une zone intermédiaire (angles dynamique et statique différents). Cela nous conduit à deux familles de modèles. En réunissant les modèles type Saint-Venant et les différents modèles de front, nous obtenons un modèle de Saint-Venant tenant compte de la dynamique du front. À partir de ce modèle à deux équations nous pouvons écrire un modèle plus simple à une équation sur la hauteur. Ce modèle permet d'étendre les modèles existants avec adhérence à des modèles avec glissement. On peut alors réaliser des simulations numériques combinant un front d'avancement et un film mince.

Cette thèse traite de certaines propriétés spectrales de deux classes spécifiques des opérateurs périodiques. Nous nous intéressons tout d’abord à un modèle périodique perturbée par un opérateur dépendant d’un petit paramètre semi-classique. Nous obtenons alors le comportement asymptotique de la fonction du comptage des valeurs propres dans les gaps spectrales avec une estimation optimale du reste. Le second modèle étudié dans cette thèse est un modèle elliptique périodique d’ordre deux perturbée par un opérateur dépendant d’une grande constante de couplage. Nous donnons également la description de la fonction de compactage des valeurs propres lorsque la constante de couplage tend vers l’infini. La dernière partie de cette thèse discute l’étude du spectre discret de l’opérateur de Schrödinger avec un potentiel très oscillent dépendant d’un petit paramètre semi-classique. / This Ph.D thesis deals with some spectral properties of two specific classes of two periodic operators. We are firstly interested in the model periodic perturbed by operator depending on a small semi-classical constant. We obtain an asymptotic behavior of the eigenvalue counting function in the spectral gaps with scharp remainder estimate. The second model studied in this thesis is a two-dimensional periodic elliptic second order opera-tor perturbed by operator depending on a large coupling constant. We also give the description of the counting function of eigenvalues when the coupling constant tends to infinity. The last part of this thesis highlights the study the spectrum of a Schrödinger operator perturbed by a fast oscillatingdecaying potential depending on a small parameter.

Nous appliquons la théorie asymptotique des expériences statistiques à des problèmes liés aux valeurs extrêmes. Quatre modèles semi-paramétriques sont envisagés. Tout d'abord le modèle d'échantillonnage de fonction de répartition de type Pareto. L'index de Pareto est le paramètre d'intérêt tandis que la fonction à variation lente, qui intervient dans la décomposition de la fonction de survie, joue le rôle de nuisance. Nous considérons ensuite des observations i.i.d. de fonction de répartition de type Weibull. Le troisième modèle étudié est un modèle de régression. On considère des couples d'observations $(Y_i,X_i)$ indépendants, les v.a. $X_i$ sont i.i.d. de loi connue et on suppose que la fonction de répartition de la loi de $Y$ conditionnellement à $X$ est de type Pareto, avec une fonction à variation lente et un index $gamma$ qui dépendent de $X$. On fait l'hypothèse que la fonction $gamma$ a une forme quelconque mais connue, qui dépend d'un paramètre $\ / Doctorat en sciences, Orientation statistique / info:eu-repo/semantics/nonPublished

De cette thèse, une nouvelle méthode éléments finis hybride MAX-FEM dédiée à la modélisation thermomécanique des structures avec couches minces a été développée. Cette nouvelle approche se base sur un couplage analytique-numérique de deux méthodes : les Développements Asymptotiques Raccordés (MAE) et la Partition de l'Unité (PUM). Ce couplage consiste à construire l'enrichissement de la PUM par MAE est mène à une forme corrigée de la méthode des éléments finis classique (FEM). Cette correction est obtenue à travers des matrices de correction contenant les informations géométriques et caractéristiques du matériau de la couche mince. Les matrices introduites par l'approche MAX-FEM simplifient son implémentation numérique sous différents codes de calculs (MATLAB, ABAQUS, ...) et permettent l'obtention de la solution globale en un seul calcul. Les résultats obtenus par la MAX-FEM pour des applications 1D et 2D thermomécaniques montrent une très bonne précision avec un temps de calcul minimal et sans raffinement de maillage. De plus, la MAX-FEM surmonte les limitations de la MAE ainsi que celle de la PUM en termes de nombre de calculs, de la sensibilité aux propriétés des matériaux, des conditions aux limites ainsi que l'intégration numérique. Finalement, l'approche MAX-FEM est exploitée pour le développement d'un nouveau protocole expérimental dédié à la caractérisation thermique des couches minces. Ce protocole vise l'identification, de manière simple, de la conductivité thermique de la couche mince après son élaboration et sous les deux régimes transitoire et permanent. L'approche consiste à confronter la nature du transfert thermique d'une éprouvette homogène à une contenant une couche mince. La différence relevée est directement liée à la conductivité thermique de la couche mince. Les résultats obtenus, après réalisation du banc d'essais, montrent une bonne précision de l'approche avec une méthodologie de mesure simple à mettre en oeuvre / This work introduces a new simplified finite elements method MAX-FEM based on hybrid analytical-numerical coupling. This method is intended to the multi-scales analysis of transient thermomechanical behavior of mediums containing thin layers such as bounded and coated structures. The MAX-FEM consists in correcting the classical Finite Elements Method (FEM) by correction matrices taking into account the presence of thin layers without any mesh refinement. The proposed correction is based on the analytical approach of Matched Asymptotic Expansions (MAE) and the numerical method of Partition of Unity Method (PUM). The developed approach can easily implemented under different numerical codes (MATLAB, ABAQUS, ...) and can be used to perform mechanical, thermal and thermomechanical analyses of 1D and 2D bounded and coated structures. The obtained results show a good accuracy with short computation time, and without any required mesh refinement. Also, the developed method overcomes the limitation of the MAE and PUM methods by exploiting the advantages of their coupling. Finally, the MAX-FEM approach was also used to develop an experimental test bench intended to the thermal characterization of thin layers. Indeed, a simple confrontation between the heat transfer in an homogeneous structure and a second structure with thin layer allows identifying the thermal conductivity in both transient and stationary regimes. The test bench is simple to release and the obtained results for brazed structure show a good accuracy of the developed approach.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25. / The aim of this thesis is to study the large time behavior of solutions of nonlocal evolution equations and to also study the singular limit of equations and systems of parabolic partial differential equations involving a small parameter epsilon. In Chapter 1, we consider a nonlocal reaction-diffusion equation with mass conservation, which was originally proposed by Rubinstein and Sternberg as a model for phase separation in a binary mixture. The corresponding Neumann problem possesses a Lyapunov functional, namely a functional which decreases in time along solution orbits. After having proved that the solution is conned in an invariant region, we study its large time behavior and apply a Lojasiewicz inequality to show that it converges to a stationary solution as t tends to infinity. We also evaluate the rate of convergence and precisely compute the limiting stationary solution in one space dimension. Chapter 2 is devoted to the study of a nonlocal evolution equation which one obtains by neglecting the diffusion term in the nonlocal Allen-Cahn equation studied in Chapter 1. Without the diffusion term, the solution can not be expected to be more regular than the initial function. Moreover, because of the absence of the diusion term, the method of Chapter 1 can not be applied to study the large time behavior of the solution. We present a new method based up on rearrangement theory and the study of the solution profile. We show that the solution stabilizes for large times and give a detailed characterization of its asymptotic limit as t tends to infinity. More precisely, it turns out that the limiting function is a step function, which takes at most two values, which are stable points of a corresponding ordinary dierential equation. We also show by means of a nontrivial counterexample that, when a certain hypothesis on the initial function does not hold, the limiting function may take three values. One of them is the unstable point and the two others are the stable points of the ordinary dierential equation. We study in Chapter 3 a nonlocal ordinary dierential equation which has been proposed by M. Nagayama. The nonlocal term involves a denominator which may vanish. We apply a contraction fixed point theorem to prove the existence of a unique solution which stays confined in an invariant region. We also show that the corresponding initial value problem possesses a Lyapunov functional and prove that the solution stabilizes for large times to a step function, which takes at most two values. In Chapter 4, we consider a diffuse-interface tumor-growth model which involves a fourth order Cahn-Hilliard type equation. Introducing a related phase-field model, we formally study the singular limit of the solution as the reaction coecient tends to infinity. More precisely, we show that the solution converges to the solution of a moving boundary problem. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Les problèmes de transmission avec couche mince sont délicats à approcher numériquement, en raison de la nécessité de construire des maillages à l’échelle de la couche mince. Il est courant d’éviter ces difficultés en usant de problèmes avec conditions aux limites approchées — dites d’impédance. Si l’approximation des problèmes de transmission par des problèmes d’impédance s’avère performante dans le cas de domaines réguliers, elle l’est beaucoup moins lorsque ceux-ci comportent des coins ou arêtes. L’objet de cette thèse est de proposer de nouvelles conditions d’impédance, plus performantes, afin de corriger cette perte de performance. Pour cela, les développements asymptotiques des différents problèmes-modèles sont construits et étudiés afin de localiser avec précision l’origine de la perte, en lien avec les profils singuliers associés aux coins et arêtes. De nouvelles conditions d’impédance sont construites, de type Robin multi-échelle ou Venctel. D’abord étudiées en dimension 2, elles sont ensuite généralisées à certaines situations en dimension 3. Des simulations viennent confirmer l’efficience des méthodes théoriques. / Transmission problems with thin layer are delicate to approximate numerically, because of the necessity to build meshes on the scale of the thin layer. It is common to avoid these difficulties by using problems with approximate boundary conditions — also called impedance conditions. Whereas the approximation of transmission problems by impedance problems turns out to be successful in the case of smooth domains, the situation is less satisfactory in the presence of corners and edges. The goal of this thesis is to propose new impedance conditions, more efficient, to correct this lack of performance. For that purpose, the asymptotic expansions of the various models -problems are built and studied to locate exactly the origin of the loss, in connection with the singular profiles associated to corners and edges. New impedance conditions are built, of multi-scale Robin or Venctel types. At first studied in dimension 2, they are then generalized in certain situations in dimension 3. Simulations have been carried out to confirm the efficiency of the theoretical methods to some.