Orientador: Ali Messaoudi / Banca: Benito Frazão Pires / Banca: Patricia Romano Cirilo / Resumo: Neste trabalho estudaremos propriedades espectrais de uma classe de operadores de Schrödinger com potencial associado a dinâmica de transfor mações de intercâmbio de inter valos, e mostraremos o resultado de Cobo-Gutierres-de Oliveira que garante que, para quase todo intercâmbio de inter valo, o espectro pontual do operador de Schrödinger asso ciado é vazio / Abstract: In this work we study the spectral properties of a class of S chrödinger operators with potentials associated with the dynamics of inter val exchange transfor mations, and we show the proof of Cobo-Gutierrez-de Oli veira of absence pure point spectrum of S chrödinger operators associated, for Lebesgue almost all inter val exchanges / Mestre

Orientador: Edson Denis Leonel / Banca: Tiago Kroetz / Banca: Diego Fregolente Mendes de Oliveira / Resumo: Bilhares são sistemas em que uma ou mais partículas são con nadas em uma região fechada Q do espaço e colidem com a fronteira ¶Q que delimita essa região. Nesse trabalho, estudamos um bilhar bidimensional conhecido na literatura como elíptico-ovoide que tratase de um híbrido entre o bilhar elíptico e o bilhar ovoide. Começamos estudando sua versão estatica, mostrando todas as possíveis orbitas de uma partícula con nada nesse bilhar e as implicações que a mudança na curvatura de sua fronteira acarreta. Posteriormente, introduzimos uma dependencia temporal mostrando que esse bilhar possui aceleração de Fermi (ganho ilimitado de energia) para alguns conjuntos de parâmetros de controle e condições iniciais e justi camos atraves do comportamento de um observ avel do sistema (a velocidade m edia). Por m, adicionamos dissipação no voo da part cula cuja for ca e proporcional a uma potencia de sua velocidade v em tres diferentes casos: (i)F µ ����v, (ii)F µ ����v2 e (iii)F µ ����vd com d 2 (1;2). Para todos os casos a acelera c~ao de Fermi e suprimida. Se uma condi c~ao inicial com velocidade inicial alta e considerada, o caso (i) mostra um decaimento linear na velocidade da part cula, ao passo que o caso (ii) um decaimento exponencial e por m o caso (iii) exibe um decaimento em lei de pot^encia. Para o caso (ii) propusemos algumas hip oteses de escala para a transi c~ao entre ganho ilimitado e limitado de energia e con rmamos nossas hip oteses com uma mudan ca na escala que levou a um colapso de v arias curvas de velocidade m edia em uma curva universal. Os expoentes cr ticos de escala encontrados correspondem aos mesmos expoentes de um bilhar unidimensional conhecido na literatura como bouncer dissipativo, concluindo que apesar da not avel diferen ca entre os dois bilhares, perto da transi c~ao de fase eles agem de maneira semelhante e portanto pertencem a mesma classe de universalidade / Abstract: Billiards are dynamical systems in which one or more particles are con ned in a closed region Q of space colliding with a boundary ¶Q delimiting this region. In this work, we study a two-dimensional billiard known as elliptical oval-shaped billiard which consists of a hybrid between the elliptical and the oval-shaped one. We started considering the static version, showing all the possible orbits of a con ned particle on this billiard and the implications that a curvature change at the boundary may result. Then we introduce a time dependent perturbation on the boundary showing that this billiard has Fermi acceleration (unlimited energy gain) for some control parameters as well as initial conditions which was justi ed by using the behavior of one observable of the system namely the average velocity. Finally, we introduced in- ight dissipation into the system which is proportional to a power of particles velocity v in three ways: (i)F µ ����v, (ii)F µ ����v2 and (iii)F µ ����vd where d 2 (1;2). For all cases Fermi acceleration was suppressed. If the initial velocity is large enough the case (i) shows a linear decay for the particle's velocity while case (ii) shows an exponential decay and case (iii) a power decay. For case (ii) we proposed some scaling laws for the transition between the unlimited to limited energy gain and we con rmed our scaling hypothesis with a rescale which led us to overlap some velocity curves onto an universal plot. The critical exponents found are the same as those obtained for an one-dimensional dissipative bouncer model. Therefore we conclude that, despite the remarkable di erence between the two systems, they behave similarly near the phase transition and belong to the same class of universality / Mestre

Orientador: Ali Messaoudi / Coorientador: Patricia Romano Cirilo / Banca: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Resumo: O objetivo principal deste trabalho e estudar os resultados apresentados por R. Zeimuller em Poisson Suspensions of Compactly Regenerative Transformations[Z0]. Neste artigo, partindo de um espaço de medida σ-finito (X;A;μ) com uma transformação ergódica T, o autor consideração de T em "poeiras" enumeráveis de pontos, o que define uma transformação T num espaço de probabilidade ~ X. Será mostrado que ~ T e invariante e ergódica para uma medida ~μ em ~ X, que est a relacionada com estes conjuntos enumer aveis de pontos. Apesar de não valer o teorema de Birkhoff para o espaço inicial (X;A;μ ) que tem medida infinita, vale a convergência das médias ergódicas neste novo espaço, o que permite recuperar a medida de um conjunto A em termos do número de visitas a A se forem consideradas órbitas de conjuntos enumeráveis ~ μ-típicos ao invés de olhar para a órbita de um só ponto. São estabelecidas ainda condições suficientes para obter um Teorema Central do Limite que acompanha o teorema ergódico de Birkhoff para ~Sn . Também em faremos um breve estudo sobre conservatividade de aplicações em espa ços σ-nito com medida total infinita, taxa de errância de conjuntos de medida positiva e medida aleatória de Poisson / Abstract: The main purpose of this work is to understand the results presented by R. Zeimuller on his paper Poisson Suspensions of Compactly Regenerative Transformati-ons[Z0]. In this paper, considering σ- nite space (X;A;μ) and a ergodic transformation T, the author considers the action of T on a countable "ensemble" of points, which de nes a transformation ~ acting on another probability space ~ X. It will be proved that ~ T is invariant and ergodic for a measure ~μ on ~ X, which is related to this countable set of points. We know that Birkhoff's ergodic theorem is not valid on its classical formulation to a in nite measure space (X;A;μ), however we have the convergence of the ergodic means on this new space. This allows us to, somehow, recover the measure of a given set A just looking at the number of its visits considering the orbits of a ~ μ-typical coun-table set instead of looking at the orbit of one single point. It is also established some su cient conditions in order to get a Central Limit Theorem for ~ Sn . We'll also make a brief discussion on conservativity of maps on σ-finite spaces with full measure in nity, wandering rate of positive measure and Poisson random measure. We'll also make a brief discussion on conservativity of maps on σ-finite spaces with full measure in nity, wandering rate of positive measure and Poisson random measure / Mestre

Neste trabalho, apresenta-se um estudo preliminar sobre problemas inversos com aplicação na identificação de parâmetros em biorreatores e transferência radiativa. A identificação se baseia na busca de soluções aproximadas a partir do critério dos mínimos quadrados. Para tal, métodos determinísticos implícitos são analisados e posteriormente utilizados, destacando-se o método de Levenberg-Marquardt. No caso do biorreator anaeróbico, discute-se brevemente a teoria acerca dos processos internos e, a partir da implementação do modelo matemático de Antonelli, considerada a solução exata do problema direto, procede-se com a adição de diferentes níveis de ruídos gaussianos e análise de seus efeitos na reconstrução dos parâmetros do modelo. Iniciando a estimação sempre pelos parâmetros corretos, conhecidos a priori, pode-se perceber que é possível proceder com a estimação destes quando a magnitude do erro é da ordem de 1%. No caso de perturbações maiores nos dados de saída do modelo, contudo, embora não seja possível estimar os parâmetros, a simulação continua confiáveis. No que tange à transferência radiativa, usa-se a solução em forma fechada em relação à variável espacial da equação íntegro-diferencial linear de Boltzmann pelo método das Ordenadas Discretas Analíticas como solução exata do problema direto. Investiga-se a eficiência do método de Levenberg-Marquardt na estimação dos parâmetros de albedo e grau de anisotropia em problemas de transporte de radiação. É possível concluir que bons resultados são obtidos na identificação do parâmetro de albedo, mas que o grau de anisotropia é mais suscetível às perturbações. / In this report, a preliminary study on the application of inverse problems in parameter estimation problems in transport of radiation and anaerobic bioreactors is presented. This estimation is based on the search of approximate solution to the inverse problem by the least squares criterion. Implicit deterministic methods are analyzed and subsequently used, mainly the Levenberg-Marquardt method. The anaerobic bioreactor theory is discussed and the mathematical model of Antonelli is considered the exact solution of the direct problem. After, the e ects of the addition of di erent levels of Gaussian noise on the reconstruction of the model parameters is analysed. Starting the estimation always by the correct parameters, known a priori, it is possible to verify that the correct estimation can be achieved when the magnitude of the error is 1%. In the case of larger errors in the model output data, however, although it is not possible to correctly estimate the parameters, the simulation remains reliable. In the case of transport of neutral particles, the closed solution of the linear integral-di erential Boltzmann equation obtained by the Analytic Discrete Ordinates method is considered as the exact solution of the direct problem. The e ciency of Levenberg-Marquardt method for estimating the albedo and degree of anisotropy is then investigated. It is possible to conclude that good results are obtained for the reconstruction of albedo, even with larger orders of error, but the degree of anisotropy is more susceptible to the perturbations.

No campo de simulação dinâmica de processos, o entendimento da natureza dinâmica de processos químicos industriais é fundamental quando questões de projeto e de sistemas de processos surgem. As abordagens atualmente aplicadas, como Resposta Degrau (RD), Função de Transferência (FT) e representação Discreta em Espaços de Estado (DEE) apresentam algumas desvantagens, principalmente relacionadas a questões de amostragem fixa e à carga computacional envolvida na sua simulação. Tendo isso em mente, uma nova abordagem é proposta, valendo-se da parametrização das entradas do sistema por splines piecewise cúbicas e da representação de sistemas em espaços de estado no domínio contínuo, onde se torna possível, a partir de poucos dados que revelem a informação dinâmica do processo, a simulação do mesmo ao longo de um horizonte. A essa abordagem foi dada o nome de Spline Dynamic Matrix (SDM), tratando-se de uma construção análoga à Matriz Dinâmica (Cutler and Ramaker 1980) proposta no início da década de 80, onde a multiplicação da variação das entradas no sistema por uma matriz que compreenda toda a informação dinâmica do sistema permite o cálculo rápido das saídas do mesmo. Suportado por essa metodologia, propõe-se juntamente a formulação de um novo controlador preditivo baseado em modelo (MPC) linear, Spline Dynamic Matrix Controller (SDMC), onde a redução do número de variáveis do processo pode levar a uma resolução mais rápida e mais robusta. Para corroborar as proposições apresentadas, são apresentados resultados referentes à simulação de processos dinâmicos e à comparação do desempenho do novo MPC proposto com um MPC baseado em resposta degrau (versão clássica), para um estudo de caso SISO (Single Input Single Output), e com um MPC baseado em espaços de estado, para o caso MIMO (Multiple Input Multiple Output), validando o potencial e versatilidade da técnica. / In the field of dynamic simulation, an understanding of the dynamic behavior of chemical processes is important from both process design and process system perspectives. Several methodologies have been developed so far, such as Step Response (SR), Transfer Function (TF) and Discrete State Space representation (DSS). Such approaches, however, have some disadvantages, regarding simulation speed, computational load and fixed sampling. From this premise, a new approach is proposed, where the input parametrization by piecewise cubic splines is combined with state space representation in the continuous domain, guaranteeing, from few data that gathers all the process dynamic information, simulation along a certain horizon. Such representation is called Spline Dynamic Matrix (SDM), inspired in the likewise representation of the Dynamic Matrix (DM) (Cutler and Ramaker 1980) proposed in the early 80’s. The main idea resides in a multiplication of the input variation by a matrix that can embrace all the dynamic data, allowing a fast output calculation. By using this methodology, a new linear model predictive controller (MPC) is also proposed, Spline Dynamic Matrix Controller (SDMC), where the variable diminishment could lead to a faster and more robust resolution. So that such propositions can be validated, results are presented regarding dynamic process simulation and comparison of the performance achieved by the MPC proposed in this dissertation. In order to accomplish that, one MPC based on SR representation, for a SISO (Single Input Single Output) case study, and another one based on state space representation, for a MIMO (Multiple Input Multiple Output) system, were used, confirming that the potential and versatility of SDM technique can be truly perceived.

Na busca pelo aumento da rentabilidade dos processos, muitas indústrias têm procurado a melhoria contínua de seus sistemas de controle. Esta dissertação trata da aplicação de técnicas de controle avançado em uma Unidade Recuperadora de Propano, sendo motivada por fatores vinculados a benefícios econômicos, tais como: aprimoramento do controle de qualidade, economia de energia, minimização do custo variável e maximização da produtividade. O desenvolvimento da estrutura de controle associado ao desempenho ótimo dessa unidade e a utilização de soluções simples, com técnicas de controle avançado adequadas ao desempenho desejado para o processo em questão são objetos de estudo dessa dissertação. Inicialmente se fez uso das técnicas clássicas da literatura para re-avaliar a estrutura da camada de controle regulatória, neste caso a escolha do emparelhamento mais adequado entre as entradas e saídas. Após foram utilizadas as técnicas de identificação de modelos dinâmicos de processo para obter a inferência da composição do contaminante no propano recuperado da unidade. Realizou-se também um estudo comparativo entre os modelos obtidos pela técnica MLR (Multiple Linear Regression) adaptada para obtenção de modelos dinâmicos e o modelo construído a partir do software Pavilion8, baseado no método auto-regressivo ARX (Autoregressive with eXogenous inputs). A viabilidade e ganhos potenciais são verificados através da implementação da nova estrutura de controle regulatório, do analisador virtual e do controlador na planta industrial. Baseado nesta implementação, estima-se poder reduzir as perdas de propano em cerca de 2% do custo variável total de propano da planta e o consumo energético por carga processada em 2,3 %. Este resultado ilustra em termos práticos o sucesso da estratégia proposta e implementada. / In order to increase the profitability of processes, many industries have sought to continuously improve their control systems. This paper discusses the application of advanced control techniques in a Propane Recovery Unit, being motivated by factors linked to economic benefits such as improved quality control, energy saving, cost variable savings and maximizing productivity. In this dissertation the development of the control structure associated with the optimal performance of this unit and the use of simple solutions, with advanced control techniques appropriate to the desired performance for the process are studied. Initially, classical techniques were used to re-evaluate the structure of the regulatory control layer, that is the most appropriate choice of the pairing between the inputs and outputs. After that, techniques were used to identify dynamic process models able to infer the contaminant in the Propane Recovered Unit. It was also a compared the models obtained by the technique MLR (Multiple Linear Regression) adapted to obtain dynamic models and the model built from the Pavilion8 software based on the method autoregressive ARX (Autoregressive with Exogenous inputs). The feasibility and potential gains are verified by implementing the new structure of regulatory control, the virtual analyzer and controller in the plant. Based on this implementation, it is estimated propane reduce losses of 2% of the variable cost of the plant of propane and steam consumption by 2.3% in processed production. This result illustrates in practical terms the success of the strategy proposed and implemented.

Nesta tese de doutorado apresentamos um conjunto de estudos em sistemas com atraso, especialmente no contexto de lasers realimentados. O paradigmático modelo fisiológico de Mackey-Glass nos introduz no contexto de sistemas atrasados por ser simples e já, bastante estudado. Na sequencia, um modelo de lasers de CO 2 com realimentação eletro-óptica e o modelo de Lang-Kobayashi para lasers de semicondutor são estudados em detalhes. O espago de parâmetros do modelo de Mackey-Glass apresenta fases regulares e caóticas, compondo um complexo mosaico de rotas para o caos. Cascatas de dobramento de período são observadas, além de um novo tipo de comportamento caracterizado pela adição de picos por deformação do perfil da solução. Além disso, percebemos que a implementag5,o do atraso não implica em mudança instantânea na dinâmica, revelando uma "letargia" do sistema frente a influencia do atraso. Também observamos a acumulação de shrimps no espaço de parâmetros, sendo que nestas estruturas podemos fracionar a solução em segmentos, de forma que ao passarmos de uma estrutura para outra, a solução apenas apresenta a adição de alguns destes segmentos na sua composição. O espaço de parâmetros do modelo de laser de CO 2 com realimentação sem atraso apresenta dois tipos de descontinuidade no período das soluções associadas: uma divergência com o aumento da voltagem de bias (B), e um aumento abrupto com a variação conjunta da voltagem de bias e do ganho de realimentação (r). O efeito deste salto no espaço de fase y x z e discutido. A implementação do atraso (T 0) e o incremento deste tempo de atraso revelou, inicialmente, uma contração das fases periódicas complexas no piano r x B, ate sua completa extinção. Após um intervalo de inatividade dinâmica, o continuo aumento de T revelou o ressurgimento de complexas fases de soluções periódicas e caóticas. No modelo de Lang-Kobayashi, mostramos que as transições observadas no comportamento dinâmico da intensidade do laser quando o tempo de atraso e variado estão relacionadas com a criação e destruição dos chamados Modos de Cavidade Externa (ECMs). Por outro lado, o incremento da corrente de bombeamento P mostrou uma gradual cornplexificação da solução, alternando solug5es periódicas, levemente irregulares e ca6ticas. O piano T x P mostrou uma rica distribuição deste tipo de soluções, formando estruturas bem definidas no espaço de parâmetros. Multiestabilidade também foi observada neste modelo. / In this thesis we present a series of studies in delayed systems, specially in the context of feedback lasers. The paradigmatic Mackey-Glass model introduces us in the context of delayed sistems, for being both simple and largely studied. Additionally, a model for CO2 lasers with electro-optical feedback, and the Lang-Kobayashi model for semiconductor lasers are studied in details. The parameter space of the Mackey-Glass model presents phases of regular and chaotic behavior, composing a complex mosaic of routs to chaos. Period doubling cascades are observed, along with a new type of behavior, characterizing the peak adding by waveform deformation of the solution. In addition, we see that the implementation of the delay time does not instantaneously changes the dynamics, revealing a "lethargic" behavior of the system under the delay influence. We also observed the accumulation of shrimps in parameter space, and in these structures we can divide the solution in segments, in a way that when we jump from one of these structures to another, the solution is simply added by one of these segments in its composition. The parameter space of the CO 2 laser model with feedback (without delay) presents two types of discontinuities in the period of the associated solutions: a divergence, with the increasing of the bias voltage (B), and a sharp increase with the joint variation of the bias voltage and the feedback gain (r). The effect of this jump in phase space y x z is discussed. The implementation of the delay (T 0) revealed the existence of low complexity regimes in r x B plane under the variation of T. The increasing of this delay time revealed, initially, a contraction of the complex periodic phases in r x B plane, until its complete disappearance. After a range of dynamical inactivity, the further increasing in 7- revealed the reappearance of complex phases with periodic and chaotic solutions. In the Lang-Kobayashi model, we showed that the transitions observed in the laser intensity dinamical behavior while the delay time is varied are related to the creation and destruction of the External Cavity Modes (ECM). On the other hand, the increasing of the pump current P showed a gradual complexification of the solution, alternating periodic, lightly irregular, and chaotic solution. The T x P plane showed a rich distribution of these types of solutions, composing well defined structures in parameter space. Multistability was also observed in this model.

In this work we present a sistematic exposition of a result due to R. Maiíé and L. Rocha, who proved that the Julia set of a rational map of the Riemann sphere is uniíormly perfect. We start with necessary basic concepts and dose with a proof of a result of C. Pommerenke which allows us to condude the Dirichlet regularity of the Julia set.

Neste trabalho apresentamos o modelo do semi-plano superior de Poincare da Geometria não-Euclidiana de Bolyai-Lobachevsky e mostramos que o bilhar 1f 1f hiperbólico no triângulo de ângulos O, ∏/3 e ∏/2 tem trajetórias densas, isto é, trajetórias que se aproximam com precisão arbitrária de qualquer ponto e direção dados. / In this work we present Poincare 's upper half-plane model of the non-Euclidean Geometry of Bolyai-Lobachevsky and show that the hyperbolic billiard on the tri- 7T 7T angle of angles O, ∏/3 and ∏/2 has dense orbits, i.e. trajectories coming arbitrarily close to any givcn point and direction.

Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.