Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutions. / This thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching".

The focus of this paper is on conditional stability estimates for ill-posed inverse problems in partial differential equations. Conditional stability estimates have been obtained in the literature by a couple different methods. In this paper we propose a method called interpolation method, which is based on interpolation in variable Hilbert scales. We are going to work out the theoretical background of this method and show that optimal conditional stability estimates are obtained. The capability of our method is illustrated by a comprehensive collection of different inverse and ill-posed PDE problems containing elliptic and parabolic problems, one source problem and the problem of analytic continuation.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-03-03T18:04:36Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-03-06T10:40:35Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-06T10:40:35Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-03-01 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we study the existence of positive solutions for the following semilinear elliptic problem with concave-convex nonlinearities    −∆u = λa(x)u q +b(x)u p , x ∈ Ω u = 0, x ∈ ∂Ω where Ω is a bounded domain in R N with smooth boundary and 0 < q < 1 < p < 2 ∗−1 (where 2∗−1 = +∞, if N = 1 or N = 2 and 2∗−1 = N+2 N−2 , where N ≥ 3). Furthermore, λ > 0 is a parameter and a,b : Ω → R are continuous functions which are somewhere positives, however, such functions may change sign in Ω. / Neste trabalho estudaremos a existência de soluções positivas para o seguinte problema elíptico semilinear com não linearidades do tipo côncavo-conexo    −∆u = λa(x)u q +b(x)u p , x ∈ Ω u = 0, x ∈ ∂Ω onde Ω é uma domínio limitado de R N , com bordo regular e 0 < q < 1 < p < 2 ∗ −1 (onde 2∗ −1 = +∞, se N = 1 ou N = 2 e 2∗ −1 = N+2 N−2 , quando N ≥ 3). Além disso, λ > 0 é um parâmetro e a,b : Ω → R são funções contínuas que assumem valores positivos, porém, tais funções podem mudar de sinal em Ω.

Neste trabalho, mostramos a existência e multiplicidade de soluções para a seguinte classe de equações elípticas quasilineares { - \'DELTA IND. \'NÜ\' POT. \'upsilon\' + \'|\'upsilon\'| POT. \'NÜ\' - 2 \'upsilon\' = f(x, u), \'upsilon\' \'DIFERENTE\' 0, \'upsilon\' \'PERTENCE A >>: Nu + jujN2 u = f(x; u); x 2 ; u 6= 0; u 2 W1;N( ); onde e um domnio em RN, N 2, N e o operador N-Laplaciano e f e uma func~ao que possui um crescimento crtico exponencial. Para obter nossos resultados utilizamos o Princpio Variacional de Ekeland, Teorema do Passo da Montanha, Categoria de Lusternik- Schnirelman, Ac~ao de Grupo e tecnicas baseadas na Teoria do G^enero. Palavras chaves: Problemas elpticos quasilineares, Metodo Variacional, N-Laplaciano, crescimento crtico exponencial, Princpio Variacional de Ekeland, Categoria de Lusternik- Schnirelman, Desigualdade de Trudinger-Moser / In this work, we show the existence and multiplicity of solutions for the following class of quasilinear elliptic equations { - \'DELTA\' IND. \'NÜ\' \'upsilon\'\' + |\'upsilon\'| POT. \'NÜ\' - 2 = f(x, \'upsilon\'), x \"IT BELONGS\' \'OMEGA\', \'upsilon\' \'DIFFERENT\' 0, \'upsilon\' \'IT BELONGS\' W POT. 1, \'NÜ\' ( OMEGA), where \'OMEGA\' is a domain in \' R POT. \'NÜ\' > OR = 2, \'DELTA\' IND. \'NÜ\' is the N-Laplacian operator and f is a function with exponential critical growth. To obtain our results we utilize the Ekeland Variational Principle, the Mountain Pass Theorem, Lusternik-Schnirelman of Category, Group Action and techniques based on Genus Theory

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-05-26T17:30:30Z No. of bitstreams: 1 ceilimarcolinomoreira.pdf: 628590 bytes, checksum: 89404f2fdb6f6a266713327a91a21c05 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-05-29T19:02:09Z (GMT) No. of bitstreams: 1 ceilimarcolinomoreira.pdf: 628590 bytes, checksum: 89404f2fdb6f6a266713327a91a21c05 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T19:02:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ceilimarcolinomoreira.pdf: 628590 bytes, checksum: 89404f2fdb6f6a266713327a91a21c05 (MD5) Previous issue date: 2014-03-27 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho, apresentamos métodos envolvendo sub e supersolução para estudar a existência de solução, no sentido fraco, para três classes de problemas elípticos de segunda ordem com condição de fronteira de Dirichlet homogênea. Nos dois primeiros casos encontramos solução em W1,2 0 (Ω) e no terceiro caso encontramos solução em L1(Ω) com algumas restrições. / This paper presents methods involving sub and supersolution in order to learn the existence of weak solutions of three classes of second order elliptic problems with homogeneous Dirichlet boundary conditions. In the first two cases we find solution in W1,2 0 (Ω) and in the third case we find solution in L1(Ω) with some restrictions.

Nous donnons un mécanisme de type Calderón-Zygmund concernant la théorie de l’extrapolationpour des opérateurs d’intégrale singulière sur les espaces de tentes. Pour des opérateursde régularité maximale sur les espaces de tentes, nous donnons des résultats optimaux enexploitant la structure des opérateurs intégraux de convolution et en utilisant des estimationsde la décroissance hors-diagonale du semi-groupe ou de la famille résolvante sous-jacente.Nous appliquons des techniques précédentes d’analyse harmonique et fonctionnelle pourestimer sur les espaces de tentes certains opérateurs d’intégrale évolutionnelle, nées de l’étudedes problèmes aux limites elliptiques et des systèmes non-autonomes du premier ordre. / We give a Calderón-Zygmund type machinery concerning the extrapolation theory for thesingular integral operators on tent spaces. For maximal regularity operators on tent space, wegive some optimal results by exploiting the structure of convolution integral operators and byusing the off-diagonal decay estimates of the underlying semigroup or resolvent family.We apply the previous harmonic and functional analysis techniques to estimate on tentspaces certain evolutionary integral operators arisen from the study of boundary value ellipticproblems and first order non-autonomous systems.

Dans cette thèse on étudie la régularité de problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz) ou paraboliques (équation de la chaleur) avec donnée mesure dans divers cadres géométriques. Ainsi, on considère pour les seconds membres des masses de Dirac en un point, sur une ligne infinie, semi-infinie ou finie, et également sur une courbe régulière. Les solutions de ces problèmes étant singulières sur la fracture (modélisée par la masse de Dirac dans le second membre), on étudie la régularité dans des espaces de Sobolev avec poids. Dans le cas d'une fracture droite, on utilise une technique classique qui consiste à appliquer une transformée de Fourier ou de Mellin à l'équation de Laplace. Ceci nous amène à étudier l'équation de Helmholtz en 2D. Pour ce dernier, on montre des estimations uniformes qui permettent ensuite de prendre la transformée inverse et d'obtenir le résultat de régularité attendu. De même, la transformée de Laplace transforme l'équation de la chaleur dans la même équation de Helmholtz en 2D. Dans le cas d'une fracture courbe régulière, grâce aux résultats de [D'angelo:2012], en utilisant un argument de localisation et un recouvrement dyadique, on obtient une régularité améliorée de la solution toujours dans les espaces de Sobolev avec poids. / In this thesis, we study the regularity of elliptic problems (Laplace, Helmholtz) or parabolic problems (heat equation) with measure data in different geometric frames. Thus, we consider for the second members, Dirac masses at a point, on a line, on a half-line, or on a bounded segment, and also on a regular curve.  As the solutions of these problems are singular on the fracture (modeled by Dirac mass in the second member), we study their regularity in weighted Sobolev spaces.   In the case of a straight fracture, using Fourier or Mellin technique reduces the problem in dimension three to a Helmholtz problem in dimension two. For the latter, we prove uniform estimates, which are then used to apply the inverse transform and to obtain the expected regularity result. Similarly, the Laplace transformation transforms the heat equation into the same Helmholtz equation in 2D.  In the case of a smooth curve fracture, thanks to the results of [D'angelo:2012], using a localization argument and a dyadic recovery we get an improved smoothness of the solution always in weighted Sobolev spaces.

The focus of this paper is on conditional stability estimates for ill-posed inverse problems in partial differential equations. Conditional stability estimates have been obtained in the literature by a couple different methods. In this paper we propose a method called interpolation method, which is based on interpolation in variable Hilbert scales. We are going to work out the theoretical background of this method and show that optimal conditional stability estimates are obtained. The capability of our method is illustrated by a comprehensive collection of different inverse and ill-posed PDE problems containing elliptic and parabolic problems, one source problem and the problem of analytic continuation.

L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.

The main focus of the present thesis is on the homogenization of some selected elliptic and parabolic problems. More precisely, we homogenize: non-periodic linear elliptic problems in two dimensions exhibiting a homothetic scaling property; two types of evolution-multiscale linear parabolic problems, one having two spatial and two temporal microscopic scales where the latter ones are given in terms of a two-parameter family, and one having two spatial and three temporal microscopic scales that are fixed power functions; and, finally, evolution-multiscale monotone parabolic problems with one spatial and an arbitrary number of temporal microscopic scales that are not restricted to be given in terms of power functions. In order to achieve homogenization results for these problems we study and enrich the theory of two-scale convergence and its kins. In particular the concept of very weak two-scale convergence and generalizations is developed, and we study an application of this convergence mode where it is employed to detect scales of heterogeneity. / Huvudsakligt fokus i avhandlingen ligger på homogeniseringen av vissa elliptiska och paraboliska problem. Mer precist så homogeniserar vi: ickeperiodiska linjära elliptiska problem i två dimensioner med homotetisk skalning; två typer av evolutionsmultiskaliga linjära paraboliska problem, en med två mikroskopiska skalor i både rum och tid där de senare ges i form av en tvåparameterfamilj, och en med två mikroskopiska skalor i rum och tre i tid som ges i form av fixa potensfunktioner; samt, slutligen, evolutionsmultiskaliga monotona paraboliska problem med en mikroskopisk skala i rum och ett godtyckligt antal i tid som inte är begränsade till att vara givna i form av potensfunktioner. För att kunna uppnå homogeniseringsresultat för dessa problem så studerar och utvecklar vi teorin för tvåskalekonvergens och besläktade begrepp. Speciellt så utvecklar vi begreppet mycket svag tvåskalekonvergens med generaliseringar, och vi studerar en tillämpningav denna konvergenstyp där den används för att detektera förekomsten av heterogenitetsskalor.