Nous étudions les semi-groupes de matrices avec des points de vue variés qui se re-coupent. Le point de vue de la croissance s'avère relié à un point de vue géométrique : nous avons partiellement généralisé aux semi-groupes un théorème de Patterson-Sullivan-Paulin sur les groupes, qui donne l'égalité entre exposant critique et dimension de Hausdorff de l'ensemble limite. Nous obtenons cela dans le cadre général des semi-groupes d'isométries d'un espace Gromov-hyperbolique, et notre preuve nous a permis d'obtenir également d'autres résultats nouveaux. Le point de vue informatique s'avère également relié à la croissance, puisque la notion de semi-groupe fortement automatique, que nous avons introduit, permet de calculer les exposants critiques exactes de semi-groupes de développement en base β. Et ce point de vue donne également beaucoup d'autres informations sur ces semi-groupes. Cette notion de croissance s'avère aussi reliée à des conjectures sur les fractions continues telles que celle de Zaremba. Et c'est en étudiant certains semi-groupes de matrices que nous avons pu démontrer des résultats sur les fractions continues périodiques bornées qui permettent de petites avancées dans la résolution d'une conjecture de McMullen.

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Cette thèse porte sur l'existence de champs browniens fractionnaires indexés par des variétés riemanniennes. Ces objets héritent des propriétés qui font le succès du mouvement brownien fractionnaire classique (H-autosimilarité des trajectoires ajustable, accroissements stationnaires), mais autorisent à considérer des applications où les données sont portées par un espace qui peut par exemple être courbé ou troué. L'existence de ces champs n'est assurée que lorsque la quantité 2H est inférieure à l'indice fractionnaire de la variété, qui n'est connu que dans un petit nombre d'exemples. Dans un premier temps nous donnons une condition nécessaire pour l'existence de champ brownien fractionnaire. Dans le cas du champ brownien (correspondant à H=1/2) indexé par des variétés qui ont des géodésiques fermées minimales, cette condition s'avère très contraignante : nous donnons des résultats de non-existence dans ce cadre, et montrons notamment qu'il n'existe pas de champ brownien indexé par une variété compacte non simplement connexe. La condition nécessaire donne également une preuve courte d'un fait attendu qui est la non-dégénérescence du champ brownien indexé par les espaces hyperboliques réels. Dans un second temps nous montrons que l'indice fractionnaire du cylindre est nul, ce qui constitue un exemple totalement dégénéré. Nous en déduisons que l'indice fractionnaire d'un espace métrique n'est pas continu par rapport à la convergence de Gromov-Hausdorff. Nous généralisons ce résultat sur le cylindre à un produit cartésien qui possède une géodésique fermée minimale, et donnons une majoration de l'indice fractionnaire de surfaces asymptotiquement proches du cylindre au voisinage d'une géodésique fermée minimale. / The aim of the thesis is the study of the existence of fractional Brownian fields indexed by Riemannian manifolds. Those fields inherit key properties of the classical fractional Brownian motion (sample paths with self-similarity of adjustable parameter H, stationary increments), while allowing to consider applications with data indexed by a space which can be for example curved or with a hole. The existence of those fields is only insured when the quantity 2H is inferior or equal to the fractional index of the manifold, which is known only in a few cases. In a first part we give a necessary condition for the fractional Brownian field to exist. In the case of the Brownian field (corresponding to H=1/2) indexed by a manifold with minimal closed geodesics this condition happens to be very restrictive. We give several nonexistence results in this situation. In particular we show that there exists no Brownian field indexed by a nonsimply connected compact manifold. Our necessary condition also gives a short proof of an expected result: we prove the nondegeneracy of fractional Brownian fields indexed by the real hyperbolic spaces. In a second part we show that the fractional index of the cylinder is null, which gives a totally degenerate case. We deduce from this result that the fractional index of a metric space is noncontinuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence. We generalise this result about the cylinder to a Cartesian product with a closed minimal geodesic. Furthermore we give a bound of the fractional index of surfaces asymptotically close to the cylinder in the neighbourhood of a closed minimal geodesic.

Dans cette thèse, nous étudions la minimalité et la propriété chaotique de systèmes dynamiques p-adiques. Nous étudions aussi des propriétés multifractales des séries de Davenport avec translation de phases. Dans la première partie, nous commençons par l'étude des systèmes dynamiques affines sur Zp. Nous trouvons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel système soit minimal. En outre, nous exhibons toutes ses composantes strictement ergodiques si le système n'est pas minimal. De plus, nous étudions aussi les systèmes monômes sur le groupe 1+pZp. Ensuite nous étudions les polynômes localement dilatants et transitifs. Pour un tel polynôme, limité sur son ensemble de Julia, nous prouvons qu'il est conjugué à un sous-shift de type fini. Dans la deuxième partie, nous étudions les séries de Davenport avec translation de phases. Après avoir calculé le saut d'une telle série à chaque point, nous trouvons l'ensemble des points discontinus et obtenons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de Davenport avec translation de phases soit continue sur R. La convergence ponctuelle de la série est aussi étudiée. Ensuite, nous estimons la borne inférieure de l'exposant hölderien de la série de Davenport avec de phase rationnelle et la borne supérieure du spectre de la singularité / In this thesis, we study the minimality and the chaotic property of p-adic dynamical systems and some multifractal properties of phase translated Davenport series. In the first part, we begin with the study of affine dynamical systems on Zp. We find a necessary and sufficient condition for such a system to be minimal. Furthermore, all its strictly ergodic components are exhibited when it is not minimal. In addition, we study monomial systems on the group 1 + pZp. Then transitive locally expanding polynomial systems are studied. It is proved that such a polynomial system, restricted to its Julia set, is conjugate to a subshift of finite type. In the second part, we study phase translated Davenport series. After having calculated the jump of the series at each point, we characterize the set of discontinuous points and get a sufficient and necessary condition for the series to be continuous on R. Furthermore, the pointwise convergence of the series is studied. Then we estimate the lower bound of the Hölder-exponent of rational translated Davenport series and get an upper bound estimation on the spectrum of singularity. The lower bound of the Hölder-exponent are also discussed for some irrational translated series

L'augmentation des performances des futurs systèmes dynamiques nécessite la prise en compte des phénomènes physiques non linéaires. Cette thèse apporte un éclairage et des contributions sur deux sujets complémentaires liés aux phénomènes dynamiques non linéaires. Le mémoire de thèse est divisé en deux parties.La première partie porte sur les non-linéarités des amplificateurs de puissance dans le cadre d'applications destinées aux télécommunications ou à la diffusion audio-visuelle. Plusieurs méthodes de modélisation et de linéarisation des amplificateurs de puissance ont été conçues et discutées. Un banc de test a été développé afin d'évaluer les méthodes sur des amplificateurs réels. La robustesse de ces techniques à un mauvais alignement temporel des signaux ainsi que leur capacité à faire face à des artefacts spectraux ont été évaluées. Par ailleurs, nous avons effectué une étude théorique sur l'existence et la prise en compte de solutions multiples dans l'approche adaptative par apprentissage indirect. La deuxième partie traite des systèmes dynamiques non linéaires qui présentent des solutions chaotiques. Ces systèmes sont bien connus, mais les techniques d'identification de ces solutions manquent de fiabilité ou nécessitent une puissance de calcul importante. Dans cette thèse, plusieurs méthodes utilisant également le calcul parallèle sont présentées. Les systèmes à commande différentielle fractionnaire sont brièvement discutés. Il est aussi montré, qu'il existe des systèmes liés à des fonctions de transfert non linéaires avec quantification pour lesquels les méthodes d'analyse classiques échouent / In order to achieve better performance of modern communication devices, that have to be operated on its physical limits, the nonlinear phenomena need to be taken into the account. This thesis brings insight into two different subjects related with nonlinear dynamical phenomena. The thesis itself is divided into two parts : the first part is focused on the domain of nonlinear power amplifiers from the system point of view. Several methods for modelization and linearization of power amplifiers have been designed and discussed. A test-bench has been assembled in order to evaluate the proposed methods on real power amplifiers. Then the robustness to time misalignment in the system and the ability to deal with spectral artifacts in the system of presented methods have been evaluated. Also a theoretical study has been conducted on the existence and management of multiple solutions in the frame of adaptive indirect learning approach. The second part deals with nonlinear dynamical systems that are exhibiting chaotic solutions. Such systems are well known, but techniques for identifying reliable such solutions are either missing or are computational intense. In this thesis several methods using also parallel computing are presented. Systems with fractional differential order are briefly discussed. It is as well shown, that there exists systems related with quantified nonlinear transfer functions for which the standard analyzing methods fails

La dynamique d'un difféomorphisme d'une variété compacte est essentiellement concentrée sur l'ensemble récurrent par chaînes, qui est partitionné en classes de récurrence par chaînes, disjointes et indécomposables. Le travail de Bonatti et Crovisier [BC] montre que, pour les difféomorphismes C¹-génériques, une classe de récurrence par chaînes ou bien est une classe homocline, ou bien ne contient pas de point périodique. Une classe de récurrence par chaînes sans point périodique est appelée classe apériodique.Il est clair qu'une classe homocline hyperbolique ni contient d'orbite périodique faible ni supporte de mesure non hyperbolique.Cette thèse tente de donner une caractérisation des classes homoclines non hyperboliques en montrant qu'elles contiennent des orbites périodiques faibles ou des mesures ergodiques non hyperboliques. Cette thèse décrit également les décompositions dominées sur les classes apériodiques.Le premier résultat de cette thèse montre que, pour les difféomorphismes C¹-génériques, si les orbites périodiques contenues dans une classe homocline H(p) ont tous leurs exposants de Lyapunov bornés loin de zéro, alors H(p) doit être (uniformément) hyperbolique. Ceci est dans l'esprit des travaux sur la conjecture de stabilité, mais il y a une différence importante lorsque la classe homocline H(p) n'est pas isolée. Par conséquent, nous devons garantir que des orbites périodiques "faibles'', crées par perturbations au voisinage de la classe homocline, sont contenues dans la classe. En ce sens, le problème est de nature "intrinsèque'', et l'argument classique de la conjecture de stabilité est impraticable.Le deuxième résultat de cette thèse prouve une conjecture de Díaz et Gorodetski [DG]: pour les difféomorphismes C¹-génériques, si une classe homocline n'est pas hyperbolique, alors elle porte une mesure ergodique non hyperbolique. C'est un travail en collaboration avec C. Cheng, S. Crovisier, S. Gan et D. Yang. Dans la démonstration, nous devons appliquer une technique introduité dans [DG], et qui améliore la méthode de [GIKN], pour obtenir une mesure ergodique comme limite d'une suite de mesures périodiques.Le troisième résultat de cette thèse énonce que, génériquement, une décomposition dominée non-triviale sur une classe apériodique stable au sens de Lyapunov est en fait une décomposition partiellement hyperbolique. Plus précisément, pour les difféomorphismes C¹-génériques, si une classe apériodique stable au sens de Lyapunov a une décomposition dominée non-triviale Eoplus F, alors, l'un des deux fibrés est hyperbolique: soit E contracté, soit F dilaté.Dans les démonstrations des résultats principaux, nous construisons des perturbations qui ne sont pas obtenues directement à partir des lemmes de connexion classiques. En fait, il faut appliquer le lemme de connexion un grand nombre (et même un nombre infini) de fois. Nous expliquons les méthodes de connexions multiples dans le Chapitre 3. / The dynamics of a diffeomorphism of a compact manifold concentrates essentially on the chain recurrent set, which splits into disjoint indecomposable chain recurrence classes. By the work of Bonatti and Crovisier [BC], for C¹-generic diffeomorphisms, a chain recurrence class either is a homoclinic class or contains no periodic point. A chain recurrence class without a periodic point is called an aperiodic class.Obviously, a hyperbolic homoclinic class can neither contain weak periodic orbit or support non-hyperbolic ergodic measure.This thesis attempts to give a characterization of non-hyperbolic homoclinic classes via weak periodic orbits inside or non-hyperbolic ergodic measures supported on it. Also, this thesis gives a description of the dominated splitting on Lyapunov stable aperiodic classes.The first result of this thesis shows that for C¹-generic diffeomorphisms, if the periodic orbits contained in a homoclinic class H(p) have all their Lyapunov exponents bounded away from 0, then H(p) must be (uniformly) hyperbolic. This is in spirit of the works of the stability conjecture, but with a significant difference that the homoclinic class H(p) is not known isolated in advance. Hence the "weak'' periodic orbits created by perturbations near the homoclinic class have to be guaranteed strictly inside the homoclinic class. In this sense the problem is of an "intrinsic" nature, and the classical argument of the stability conjecture does not pass through.The second result of this thesis proves a conjecture by Díaz and Gorodetski [DG]: for C¹-generic diffeomorphisms, if a homoclinic class is not hyperbolic, then there is a non-hyperbolic ergodic measure supported on it. This is a joint work with C. Cheng, S. Crovisier, S. Gan and D. Yang. In the proof, we have to use a technic introduced in [DG], which developed the method of [GIKN], to get an ergodic measure by taking the limit of a sequence of periodic measures.The third result of this thesis states that, generically, a non-trivial dominated splitting over a Lyapunov stable aperiodic class is in fact a partially hyperbolic splitting. To be precise, for C¹-generic diffeomorphisms, if a Lyapunov stable aperiodic class admits a non-trivial dominated splitting Eoplus F, then one of the two bundles is hyperbolic: either E is contracted or F is expanded.In the proofs of the main results, we construct several perturbations which are not simple applications of the connecting lemmas. In fact, one has to apply the connecting lemma several (even infinitely many) times. We will give the detailed explanations of the multi-connecting processes in Chapter 3.

Nous étudions les semi-groupes de matrices avec des points de vue variés qui se re-coupent. Le point de vue de la croissance s’avère relié à un point de vue géométrique : nous avons partiellement généralisé aux semi-groupes un théorème de Patterson-Sullivan-Paulin sur les groupes, qui donne l’égalité entre exposant critique et dimension de Hausdorff de l’ensemble limite. Nous obtenons cela dans le cadre général des semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique, et notre preuve nous a permis d’obtenir également d’autres résultats nouveaux. Le point de vue informatique s’avère également relié à la croissance, puisque la notion de semi-groupe fortement automatique, que nous avons introduit, permet de calculer les exposants critiques exactes de semi-groupes de développement en base β. Et ce point de vue donne également beaucoup d’autres informations sur ces semi-groupes. Cette notion de croissance s’avère aussi reliée à des conjectures sur les fractions continues telles que celle de Zaremba. Et c’est en étudiant certains semi-groupes de matrices que nous avons pu démontrer des résultats sur les fractions continues périodiques bornées qui permettent de petites avancées dans la résolution d'une conjecture de McMullen. / We study matrix semigroups with different point of view that overlaps. The growth point of view seems to be related with the geometric point of view : we partially generalize to the semigroups a theorem on groups of Patterson-Sullivan-Paulin, that give the equality between the critical exponent and the Hausdorff dimension of the limit set. We obtain this in the general framework of isometries of a Gromov-hyperbolic space, and our proof give also others new results. The computer science point of view is also related to the growth, since we obtain a way to calculate exact values of critical exponents of somes β-adic development semigroups, from a notion of automatic semigroups that we introduce. Furthermore this point of view give a lot of information on these semigroups. This notion of growth shows to be also related to conjectures on continued fractions like Zaremba’s one. And by studing some matrix semigroups we were able to prove some results on bounded periodic continued fractions, doing a little step in the resolution of a conjecture of McMullen.

Dans cette thèse, nous étudions comment la présence de parois affecte les ondes de surface. La dissipation associée au mouillage, objet central des premiers chapitres, est abordée expérimentalement. Nous mesurons son évolution avec la taille du ménisque et montrons qu’en mouillage total des non-linéarités apparaissent dès que l’oscillation du ménisque atteint l’épaisseur des couches limites. Dans un deuxième temps, nous quantifions les échanges d’énergie ayant lieu lors de laréflexion d’une onde de surface sur une paroi oscillante, appelés effet Doppler généralisé. Après une mise en évidence expérimentale, une approche théorique les évalue et illustre comment leurs effets cumulatifs peuvent mener à des spectres en compétition avec ceux de la turbulence d’ondes. Finalement, nous traitons les interactions entre paquets d’ondes. En géométrie confinée, nous montrons que des résonances à trois ondes gravitaires sont autorisées. Dépassant la problématique des parois, nous caractérisons les interactions entre ondes gravitaires en milieu infini, puis décrivons les grandes échelles de la turbulence d’ondes capillaire. / In this thesis, we study the impact of solid boudaries on surface waves. We first consider the dissipation caused by dynamical wetting. We experimentally show how the damping of surface waves evolves with the size of the meniscus and demonstrate that in perfect wetting it leads to a nonlinear behavior as soon as the meniscus oscillation amplitude compares to the thickness of the boundary layer. Secondly, we investigate energy exchanges through scales occuring when a surface wave reflects on an oscillating wall, the so-called generalized Doppler effect. We evidence the creation of Doppler-shifted waves, compute their amplitudes and illustrate how the continuous bouncing of surface waves on wavemakers may lead to self-similar spectra competing with the ones of wave turbulence. Finally, we focus on nonlinear interaction between surface waves. We prove that gravity waves can undergo triad resonances in confined geometry. Going beyond the consequencies of solid boundaries, we perform experiments on four-wave interactions in the gravity regime and describe large scales in capillary wave turbulence.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à ”l’exposant de Lyapu-nov” pour deux modèles en milieu aléatoire : la marche aléatoire en potentiel aléatoire, le mouvement brownien en potentiel poissonnien.Dans la première partie de la thèse (chapitre II), on étudie une marche aléatoire dans un potentiel aléatoire donné par une famille de variables aléa¬toires i.i.d. non-négatives. La continuité des exposants de Lyapunov par rap¬port à la loi du potentiel est démontrée dans le cas transient, c’est-à-dire en dimension d ≥ 3 ou en dimension 2 pour un potentiel borné inférieurement. On poursuit avec l’étude des exposants critiques : l’exposant de volume ξ et l’exposant de fluctuation X. On obtient l’une des inégalités suggérée par la conjecture de KPZ sous une condition de courbure de la forme asymptotique. Les exposants de Lyapunov jouent un rôle important dans cette étude.La deuxième partie de la thèse (chapitre III) est surtout consacrée à l’étude du brownien dans un potentiel aléatoire de longue portée. On débute cependant par un potentiel classique à portée finie. Sznitman (1987-1998) a étudié plusieurs aspects de ce modèle. Un premier résultat de cette partie est la continuité des exposants de Lyapunov par rapport au paramètre du pro¬cessus de Poisson. On étudie ensuite le modèle proposé par Lacoin (2012) qui est un modèle avec un potentiel à longue portée. Il a obtenu des estimations des exposants critiques sensiblement différentes de celles de Wüthrich (1998) pour le modèle de Sznitman. Dans cette thèse, on poursuit l’étude du modèle de Lacoin. On montre l’existence des exposants de Lyapunov, le théorème de la forme limite et une estimation de grandes déviations. / In this thesis, we are interested in Lyapunov exponent for two models in random media : random walk in random potential, Brownian motion in Poisson potential.In the first part (chapter II), we study a random walk in a random potential given by a family of i.i.d random non-negative variables. The continuity of Lyapunov exponents with respect to the law of potential is shown in the case transient, that is, in the dimension d ≥ 3 or in the dimension d = 2 for a lower bounded potential. Next, we consider the critical exponents : the exponent of volume ξ and the exponent of fluctuation X. We give an inequality suggested by the KPZ conjecture under a condition of asymptotic form. Lyapunov exponents play an important role in this work.The second part (chapter III) is mainly devoted to the study Brownian motion in a long-range random potential. However, we begin with a classical finite-range potential. Sznitman (1987-1998) investigated several aspects of this model. The first result of this part is the continuity of the Lyapunov exponents with respect to the parameter of the Poisson process. Then, we study the model proposed by Lacoin (2012) which is a long-range potential model. He obtained some estimations of critical exponents that are significantly different from those of Wüthrich (1998) for the model of Sznitman.In this thesis, we pursue the study of Lacoin model. We show the existence of Lyapunov exponents, the shape limit theorem and an estimation of large deviations

Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l'étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu'est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes : la pluie qui génère la masse d'eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s'appuyant d'une part sur des résultats d'observations expérimentaux et d'autre part sur de la modélisation inspirée par l'analyse des données d'observation. La première partie du travail est consacrée à l'élaboration d'un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l'analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l'INRA d'Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d'attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d'événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d'attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d'espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l'équation différentielle d'Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l'objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l'analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d'observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit : Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d'eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d'estimer l'état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l'impact de la pluie sur les fluctuations de la nappe