Ce mémoire d'habilitation présente des travaux qui développent une approche matricielle de la théorie de l'élimination et l'illustrent au travers d'applications à la modélisation géométrique. Cette approche matricielle, qui correspond essentiellement à un changement de représentation, permet de livrer des problèmes géométriques à la puissance des algorithmes d'algèbre linéaire numérique. Le premier chapitre traite de la représentation matricielle implicite d'une hypersurface rationnelle dans un espace projectif et propose une nouvelle méthode pour traiter le problème d'intersection entre une courbe et une surface rationnelles dans l'espace projectif de dimension trois. Le deuxième chapitre propose une représentation matricielle implicite d'une courbe rationnelle dans un espace projectif de dimension arbitraire, représentation qui est illustrée par un algorithme répondant au problème d'intersection entre deux courbes rationnelles. Le dernier chapitre est dédié à une approche matricielle du test d'irréductibilité de Ruppert qui conduit au raffinement du dénombrement des fibres réductibles dans un pinceau d'hypersurfaces algébriques génériquement irréductible.

Dans cette thèse, on étudie comment la positivité du fibré tangent d'une variété projective complexe infl uence la géométrie de la variété sous-jacente. Dans la première partie, on étudie les variétés (principalement les surfaces) dont le fibré tangent est pseudo-effectif. Dans la deuxième partie on montre que pour un entier strictement positif p, si la puissance tensorielle p-ème du fibré tangent d'une variété projective contient la puissance p-ème d'un fibré en droites ample, alors la variété est isomorphe à un espace projectif ou à une quadrique.

Cette thèse s'attaque au problème général de la calibration d'une caméra mobile en utilisant uniquement des vues quelconques de l'environnement, donc sans utiliser de mire, ni de connaissance a priori sur le mouvement de la caméra. La méthode, appelée autocalibration, est fondée sur des propriétés algébriques de géométrie projective. Elle implique dans un premier temps le calcul de la transformation épipolaire grâce à la matrice fondamentale, notion que nous avons définie, qui est d'une importance primordiale pour tous les problèmes de vision où nous ne disposons pas déjà d'une calibration métrique complète. La détermination sans ambiguïté de cette matrice nécessite un minimum de huit correspondances de points. Les premières techniques que nous avons étudiées sont fondées sur la conservation du birapport et une méthode due à Sturm. Elles visent à calculer les épipoles. Nous avons ensuite introduit de multiples critères et paramétrages permettant l'estimation robuste de la matrice fondamentale par des techniques dérivées de l'algorithme de Longuet-Higgins, que nous avons comparées. Nous mettons en évidence le fait qu'une configuration de points particulière, les ensembles de plans, se prête à d'autres méthodes de calcul qui leur sont propres, mais rend de toutes manières l'estimation moins précise. L'influence du choix des mouvements eux-mêmes sur la stabilité du calcul est importante, nous le caractérisons par des calculs de covariance, et expliquons certaines situations grâce à la surface critique dont nous proposons une étude opérationnelle. Dans un second temps, lorsqu'un minimum de trois mouvements a été effectué, nous pouvons obtenir les paramètres intrinsèques de la caméra au moyen d'un système d'équations polynomiales dites de Kruppa, dont nous avons établi quelques importantes propriétés. Nous proposons d'abord une méthode semi-analytique de résolution, puis une approche itérative performante qui nous permet de prendre en compte des longues séquences d'images, ainsi que l'incertitude. Le calcul des paramètres extrinsèques, et une extension de la méthode à la calibration d'un système stéréo par une nouvelle méthode complètent ce travail, dont la partie expérimentale comporte de très nombreuses simulations, ainsi que des exemples réels.

Ce mémoire se place dans l'étude des modèles du calcul continus. Nous y montrons que la géométrie plane permet de calculer. Nous définissons un calcul géométrique et utilisons la continuité de l'espace et du temps pour stocker de l'information au point de provoquer des accumulations. Dans le monde des automates cellulaires, on parle souvent de particules ou de signaux (qui forment des lignes discrètes sur les diagrammes espace-temps) tant, pour analyser une dynamique que, pour concevoir des automates cellulaires particuliers. Le point de départ de nos travaux est d'envisager des versions continues de ces signaux. Nous définissons un modèle de calcul continu, les machines à signaux, qui engendre des figures géométriques suivant des règles strictes. Ce modèle peut se comprendre comme une extension continue des automates cellulaires. Le mémoire commence par une présentation des automates cellulaires et des particules. Nous faisons ensuite une classification des différents modèles de calcul existants et mettons en valeur leurs aspects discrets et continus. À notre connaissance, notre modèle est le seul à temps et espace continus mais à valeurs et mises à jour discrètes. Dans la première partie du mémoire, nous présentons ce modèle, les machines à signaux, et montrons comment y mener tout calcul au sens de Turing (par la simulation de tout automate à deux compteurs). Nous montrons comment modifier une machine de manière à réaliser des transformations géométriques (translations, homothéties) sur les diagrammes engendrés. Nous construisons également les itérations automatiques de ces constructions de manière à contracter le calcul à une bande (espace borné) puis, à un triangle (temps également borné). Dans la seconde partie du mémoire, nous cherchons à caractériser les points d'accumulation. Nous reformulons de manière topologique les diagrammes espace-temps: pour chaque position, la valeur doit correspondre au voisinage sur un ouvert suffisamment petit. Muni de cet outil, nous regardons les plus simples accumulations possibles (les singularités isolées) et proposons un critère pour y prolonger le calcul; mais le déterminisme peut être perdu dans le cône d'influence. Enfin, en construisant pour tout automate à deux compteurs une machine à signaux et une configuration initiale simulant l'automate pour toutes les valeurs possibles, nous montrons que le problème de la prévision de l'apparition d'une accumulation est Σ20-complet. Le mémoire se conclut par la présentation de nombreuses perspectives de recherches.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des G2-fibrés principaux sur une courbe complexe projective connexe lisse, où G2 désigne le groupe de Lie exceptionnel de plus petit rang. Le groupe G2 est caractérisé via trois approches différentes, la première étant celle où G2 est défini comme le groupe des automorphismes de l'algèbre complexe des octaves de Cayley. Les différentes réductions et extensions que peut admettre un G2-fibré principal sont étudiées ainsi que la relation entre la stabilité d'un G2-fibré principal et celle du fibré vectoriel qui lui est associé. L'espace de modules des G2-fibrés principaux semi-stables est analysé. Nous obtenons notamment une caractérisation de son lieu lisse, une décomposition explicite de son lieu singulier en trois composantes connexes et une analyse de l'espace de Verlinde de niveau 1 pour le groupe G2.

L'accréditation des Machines à Mesurer Tridimensionnelles (MMT) est envisageable pour les engrenages à condition d'évaluer les incertitudes de mesures, les mesurandes étant parfaitement définis par la normalisation. Nos travaux s'appuient principalement sur la méthode de Monte Carlo et sur des techniques de permutations linéaires ou circulaires pour séparer les défauts et chiffrer les incertitudes de mesures associées, conformément au Guide pour l'expression des incertitudes de mesures (GUM). L'analyse de l'effet de la géométrie de la MMT sur la mesure d'une pièce de forme circulaire ou d'une roue dentée montre qu'il est impossible de caractériser complètement la géométrie de la MMT à partir d'une pièce supposée parfaite. Cependant, nous avons mis en place un concept de « défauts équivalents » propre à la géométrie de la machine et à la définition théorique de la pièce étudiée. Les systèmes de palpage utilisés ont été évalués afin de corriger les défauts systématiques identifiables et chiffrer les incertitudes associées. En prenant l'exemple d'un engrenage cylindrique droit, trois approches sont comparées : l'analyse des caractéristiques métrologiques de la MMT, la méthode de permutation et celle de comparaison. La méthode proposée permet de diminuer les incertitudes de mesures et peut être généralisée pour différentes applications. Nous proposons comme exemple l'étude des taux de pénétration et des volumes d'usure sur des explants de prothèses totales de hanches.

Dans cette thèse, nous montrons que le groupe de K-théorie $K_0$ de la $C^*$-algèbre associée aux pavages de type pinwheel est isomorphe à la somme de $\ZZ \oplus \ZZ^6$ et d'un groupe cohomologique $H$.\\ Cette $C^*$-algèbre est de plus munie d'une trace qui induit une application linéaire sur ce groupe de $K$-théorie.\\ Nous calculons explicitement l'image, sous cette application, du sommant $\ZZ \oplus \ZZ^6$, montrant que l'image de $\ZZ$ est nulle et que l'image de $\ZZ^6$ est contenue dans le module de fréquences des patchs du pavage de type pinwheel.\\ Nous montrons également que l'on peut appliquer le théorème de l'indice mesuré dû à A. Connes pour relier l'image de $H$ à une formule cohomologique plus calculable.\\ Pour l'étude de cette partie cohomologique, nous adaptons la cohomologie PV, introduite par J. Savinien et J. Bellissard, au cas des pavages de type pinwheel pour montrer que le groupe de cohomologie de \v{C}ech de dimension maximale de ces pavages est isomorphe au groupe des coinvariants entiers de la transversale canonique associée à ces pavages.\\ Ce résultat nous permet alors de prouver la conjecture du gap-labeling fait par J. Bellissard, dans le cas particulier des pavages de type pinwheel.\\ Nous terminons cette étude par un calcul explicite, montrant que le gap-labeling (ou module de fréquences des patchs) est donné par $\frac{1}{264}\ZZ \left [ \frac{1}{5} \right ]$.

Dans ma thèse, je propose plusieurs contributions à l'étude de la cohomologie des variétés projectives complexes ainsi qu'à la construction de cycles algébriques. Le mémoire se compose de plusieurs parties qui, si elles sont indépendantes, essaient toutes trois de tirer parti de la nature multiple de ces variétés, à la fois variétés kähleriennes, donc objets analytiques, variétés algébriques, et enfin objets arithmétiques, étant toujours définies sur un corps de type fini sur $\Q$. La première partie de ce texte, parue au journal de Crelle, s'intéresse au problème de la topologie des variétés conjuguées. On y répond à une question de Grothendieck en y exhibant deux variétés conjuguées dont les algèbres de cohomologie réelles ne sont pas isomorphes. Dans une deuxième partie, on aborde le problème de la construction des cycles algébriques dont l'existence est prévue par les conjectures standards, pour ensuite examiner de manière plus détaillée le cas des variétés hyperkahleriennes. Nous utilisons principalement des méthodes infinitésimales en théorie de Hodge. Enfin, dans la troisième partie, parue aux International Mathematical Research Notices, on s'intéresse au problème du lieu de définition des fonctions normales associées aux familles de cycles dans les variétés projectives complexes. On y prolonge des résultats récents de Brosnan et Pearlstein qui démontrent l'algébricité de ce lieu en prouvant des théorèmes de comparaison avec la cohomologie étale $l$-adique et en démontrant, sous certaines hypothèses de monodromie, que ces lieux sont définis sur un corps de nombres.

Cette thèse est une étude de la géométrie de l'interaction dans le facteur hyperfini (GdI5), introduite par Jean-Yves Girard, et de ses liens avec les constructions plus anciennes. Nous commençons par montrer comment obtenir des adjonctions purement géométriques comme une identité entre des ensembles de cycles apparaissant entre des graphes. Il est alors possible, en choisis- sant une fonction qui mesure les cycles, d'obtenir une adjonction numérique. Nous montrons ensuite comment construire, sur la base d'une adjonction numérique, une géométrie de l'interaction pour la logique linéaire multiplicative additive où les preuves sont interprétées par des graphes. Nous expliquons également comment cette construction permet de définir une sémantique dénotationnelle de MALL, et une notion de vérité. Nous étudions finalement une généralisation de ce cadre utilisant des outils de théorie de la mesure afin d'interpréter les exponentielles et le second ordre. Les constructions sur les graphes étant paramétrées par une fonction de mesure des cycles, nous entreprenons ensuite l'étude de deux cas particuliers. Le premier s'avère être une version combinatoire de la GdI5, et nous obtenons donc une interprétation géométrique de l'orthogonalité basée sur le déterminant de Fuglede-Kadison. Le second cas particulier est une version combinatoire des constructions plus anciennes de la géométrie de l'interaction, où l'orthogonalité est basée sur la nilpotence. Ceci permet donc de comprendre le lien entre les différentes versions de la géométrie de l'interaction, et d'en déduire que les deux adjonctions -- qui semblent à première vue si différentes -- sont des conséquences d'une même identité géométrique. Nous étudions ensuite la notion de vérité subjective. Nous commençons par considérer une version légè- rement modifiée de la GdI5 avec une notion de vérité dépendant du choix d'une sous-algèbre maximale commutative (masa). Nous montrons qu'il existe une correspondance entre la classification des masas introduite par Dixmier (regulière, semi-régulière, singulière) et les fragments de la logique linéaire que l'on peut interpréter dans cette géométrie de l'interaction. Nous étudions alors la vérité subjective de la GdI5, qui dépends du choix d'une représentation du facteur hyperfini de type II1, à la lumière de ce résultat. Finalement, nous détaillerons une proposition de Girard pour étudier les classes de complexité et dé- taillons la caractérisation obtenue par ce dernier de la classe de complexité co-NL, en montrant comment coder un problème complet pour cette classe à l'aide d'opérateurs.

Les écoulements de fluides complexes à l'échelle sub-micronique est une problématique rencontrée dans des domaines aussi divers que la récupération assistée du pétrole ou la lubrification des surfaces. Un fluide complexe a des propriétés rhéologiques riches, dues à la présence d'objets déformables en solution, comme les pelotes de polymère. Les phénomènes de surface, comme le glissement jouent un rôle important aux petites échelles. La question de l'effet du confinement sur la rhéologie de solutions de polymères est abordée. Nous caractérisons la taille des objets en solution et la rhéologie volumique des fluides. Grâce au développement d'une technique de photobleaching de fluorescence pour la mesure de vitesse d'écoulement dans des canaux sub-microniques, nous déterminons la viscosité effective des fluides en géométrie confinée. Cette approche expérimentale nous permet de montrer que le confinement induit une diminution de la viscosité effective des fluides. Une mesure directe des vitesses et longueurs de glissement est réalisée en microcanaux par vélocimétrie de particules (micro-PIV). Ces données mettent en évidence une réduction du glissement en géométrie confinée, qui est interprétée en termes de modification du mécanisme de glissement. Une distinction entre le comportement volumique et les phénomènes de surface ne permet plus de rendre compte du comportement du fluide à l'échelle sub-micronique. Une étude préliminaire des écoulements de solutions de tensioactifs à l'échelle sub-micronique est également proposée.