Dans cette thèse nous étudions la géométrie basique des feuilletages riemanniens. Nous reprenons d’abord le point de vue d’A. El Kacimi sur les opérateurs différentiels transversalement elliptiques. Nous traitons le cas particulier des feuilletages par fibration et des feuilletages par suspension. Nous traitons également des exemples de calcul d’indice basique et étudions les propriétés d’invariance de la signature basique. Nous nous intéressons ensuite au cas d’un feuilletage riemannien muni d’une action de groupe de Lie compact. Nous montrons alors qu’un opérateur différentiel basique transversalement elliptique au feuilletage et à l’action du groupe admet un indice distributionnel basique. Nous traitons le cas particulier des actions libres et établissons les propriétés de multiplicativité et excision. Nous finissons par établir le lien avec le point de vue d’A. El Kacimi / In this paper we study the basic geometry of a Riemannian foliation. First we return on A. El Kacimi’s point of view on transversally elliptic basic differential operator. We study the particular case of fibration and foliation defined by suspension. We study some examples of computation of basic index and study invariance property for the basic signature. After, we study a Riemannian foliation with the action of a compact Lie group. We prove then that a basic differential operator which is transversally elliptic to the foliation and to the group action has a distributional basic index. We study the particular case of free action and prove the multiplicativity and excision property. We end by study the link with El Kacimi’s point of view

La modélisation des objets géométriques est incontournable dans de nombreuses disciplines et applications. L'évolution des moyens l'acquisition et de stockage a produit une hausse énorme des volumes utilisés pour stocker ces objets. La réduction des tailles de ces volumes fait l'objet de plusieurs domaines de recherches ; comme la compression, qui vise à compresser le volume au maximum, et l'élaboration de structures théoriques compactes qui minimisent la taille nécessaire à la représentation. Le but de cette thèse est de concevoir, et d'évaluer des solutions pratiques et exploitables pour représenter de<br />façon compacte les triangulations. Pour ce faire, deux issues sont explorées : modifier la représentation interne en mémoire des objets géométriques, et redéfinir les types abstraits des objets géométriques correspondants. Une première solution consiste à utiliser des indices sur une taille arbitraire de bits, au lieu des références absolues. Les gains dépendent de la taille de la triangulation, et aussi de la taille du mot mémoire de la machine. Le handicap majeur est le coût élevé de la méthode en termes de temps d'exécution. Une deuxième piste consiste à utiliser des catalogues stables. L'idée consiste à regrouper les triangles dans des micro-triangulations, et de représenter la triangulation comme un ensemble de ces micro-triangulations. Le nombre des références multiples vers les sommets, et des références réciproques entre voisins est alors nettement réduit. Les résultats sont <br />prometteurs, sachant que le temps d'exécution n'est pas dramatiquement altéré par la modification des méthodes d'accés aux triangles. Une troisième solution consiste à décomposer la triangulation en plusieurs sous-triangulations permettant ainsi de coder les références dans une sous-triangulation sur un nombre réduit de bits par rapport aux références absolues. Les résultats de cette techniques sont encourageants, et peuvent être amplifiés par d'autres techniques comme le codage relatif des références, ou le partage de l'information géométrique des sommets sur les bords entre les différentes sous-triangulations. L'élaboration de structures compactes nécessite encore plus d'intérêts, et plusieurs pistes sont à explorer pour pouvoir arriver à des solutions plus économiques en termes d'espace mémoire.

Soit $M=\{M_n\}_{n\in\bkN}$ une suite de réels positifs logarithmiquement convexe. On étudie les sous-anneaux $\Gamma_M$ de l'anneau des séries<br />formelles en $s$ variables dont la croissance des coefficients est contrôlée par la suite $M.$ Sous de faibles hypothèses sur $M,$ on obtient, tout d'abord, des théorèmes de composition. On apporte, par exemple, une réponse à la question suivante. Etant donnée une application $F$ dans $(\Gamma_M)^{s},$ si ${\cal A}\circ F$ appartient à $\Gamma_M,$ à quelle classe $\Gamma_N$ la<br />série ${\cal A}$ appartient-elle? On établit ensuite quelques propriétés algébriques de ces anneaux. On montre qu'étant donné un bon ordre sur $\bkN^{s},$ on peut diviser dans $\Gamma_M$ toute série<br />par une famille finie $f_1,\dots,f_p$ telle que les quotients et le reste appartiennent encore à $\Gamma_M.$ Cela permet d'aborder des problèmes<br />comme la division modulo un idéal, la noetherianité ou la platitude.<br />On obtient aussi des théorèmes de préparation du type Malgrange.<br />On étend également le célèbre théorème d'approximation d'Artin.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes. Le premier est de savoir si une limite d'une suite de courbes analytiques est une lamination dans un sens faible. On montre que cela se produit quand on a un contrôle du genre des courbes analytiques par leur aire. Le second concerne la dynamique holomorphe dans le plan projectif complexe. On cherche à voir si le genre des préimages d'une droite projective par un endomorphisme holomorphe se concentre dans des zones dynamiquement intéressantes. Pour un endomorphisme générique, on montre qu'il y a concentration de genre sur le support de la mesure de Green.

Fix a ground field F of characteristic neither 2 nor 3 and consider pairs (A,V) consisting of a degree 3 central simple F-algebra A and a 3-dimensional subspace V of the reduced trace zero elements of A which is totally isotropic for the trace quadratic form. Mapping an element of V to its cube defines a cubic form. This thesis is devoted to the classification of such cubic pairs - i.e. the description of a representative of each isomorphism class of cubic pairs - and the study of the associated cubic forms. First we study some geometrical aspects of ternary cubic forms in general; i.e. we study cubic curves in a projective plane. Apart from the well-known flexes of such a curve, we observe the existence of other special points and lines, which we call Hessian points, harmonic points and harmonic polars, and exhibit their remarkable properties. We consider in particular the special cases of semi-diagonal and semi-trace cubic forms, the latter being a new generalization of the former. Geometrical properties are then used to classify non-singular cubic pairs (A,V) over the separable closure of F, where we may suppose that A is a matrix algebra. Then we compute the automorphism group of such cubic pairs (which, in fact, is either the group of order three or the product of two such groups) and by means of its first Galois cohomology set we deduce a complete classification of non-singular cubic pairs over the ground field itself. By more computational methods we also give a complete classification of singular cubic pairs. As an application we deduce in particular that the cubic form associated to a cubic pair (A,V) with A a division algebra is always semi-trace; and it is semi-diagonal if the ground field contains a primitive cube root of unity. Using a result of D. Haile and J.-P. Tignol we prove moreover that such a cubic form determines the algebra up to (anti-)isomorphism.

Ce travail se consacre principalement à l'étude d'équations sur les mots ainsi qu'à leur application en géométrie discrète. Comme le rappelle Freeman en 1961, tout chemin dans le plan discret, que l'on peut voir comme une liste de déplacements parmi {→, ↑, ←, ↓}, peut être représenté par un mot pour lequel chaque lettre représente l'un des quatre déplacements élémentaires possibles. Ce point de vue offre entre autre la possibilité de décrire plusieurs objets de la géométrie discrète, tels les polyominos par exemple, en termes d'équations sur les mots. Dans cet ouvrage, nous utilisons cette correspondance pour étudier les pavages du plan par translation dont il est bien connu qu'il en existe deux réguliers : les pavages hexagonaux et les pavages carrés. Ce résultat important fut établi par Beauquier et Nivat et a permis d'étudier les pavages du point de vue algorithmique. Une classe importante est apparue naturellement, à savoir celle des polyominos qui pavent le plan par translation de plusieurs manières. Alors qu'il existe des polyominos pavants à la manière d'un hexagone d'un nombre arbitraire de façons, il en est tout autrement pour le cas des carrés: nous présentons et résolvons la conjecture selon laquelle un polyomino pave comme un carré d'au plus deux façons, puis nous étudions plus en détail la structure de ces derniers. Puisque les contours sont codés sur un alphabet fini, la combinatoire des mots s'impose comme l'outil principal pour traiter ces problèmes de nature géométrique. ______________________________________________________________________________

Les premiers travaux que je présente ici developpent des méthodes asymptotiques qui permettent d'étudier une “continuité du spectre” <br />pour l'opérateur de Laplace agissant sur les fonctions ou les formes différentielles d'une variété compacte:<br />– l'influence d'excision de petits voisinages tubulaires (avec diverses conditions au bord)<br />– l'influence d'ajout d'anses fines<br />Les résultats donnent aussi des asymptotiques des formes propres.<br />Il s'appliquent à l'étude du spectre continu sur des variétés périodiques.<br />Les travaux du second groupe concernent les opérateurs pseudo-différentiels et le calcul semi-classique :<br />– comparaison des spectres de Dirichlet et Neumann pour l'opérateur d'élasticité<br />– localisation semi-classique du spectre joint de plusieurs opérateurs pseudo-différentiels qui commutent.

Le sujet principal de ce mémoire est la théorie de Hodge symplectique que Tseng et Yau ont développée pour des variétés symplectiques. Nous commençons par un rappel d'algèbre linéaire et de géométrie avant de résumer les concepts introduits par Tseng et Yau. Nous présentons des résultats classiques comme le théorème de Moser et celui de Darboux. Nous démontrons aussi l'existence d'une métrique compatible pour chaque variété symplectique. Nous citons aussi la décomposition de Hodge. Nous allons, par la suite, résumer les idées de base de la théorie de Hodge symplectique, qui est inspirée de la décomposition de Hodge riemannienne, en appliquant ses résultats aux variétés presque-kählériennes. Pour ce faire, nous rappelons les résultats de Merkulov et de Mathieu à propos de la propriété forte de Lefschetz. Nous présentons les formes primitives et la représentation sl(2,C) de celles-ci. Nous allons présenter la démonstration de Lejmi d'une proposition de McDuff à propos des zéros de champs de Killing sur une variété compact presque-kählérienne. Par la suite, nous allons présenter les travaux de Tseng et Yau en débutant par les différentes cohomologies qu'ils ont définies et nous présentons différents résultats qu'ils ont obtenus. Après un bref rappel de l'algèbre de Lie, nous présentons 2 exemples de variétés que nous allons pouvoir classifier à partir de cette théorie. Nous allons présenter un exemple de 4-variété non-kählérienne où nous utilisons le résultat de McDuff et Lejmi pour y parvenir et nous reprenons l'exemple de Tseng et Yau d'une 6-variété qui ne possède pas la propriété forte de Lefschetz en utilisant les outils présentés le long de ce mémoire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : variété presque-complexes, géométrie symplectique, théorie de hodge.

Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Une difféologie sur un ensemble arbitraire X, déclare, pour tout entier n,quelles applications de R[exposant n] vers X sont lisses. Cette idée est structurée par trois axiomes naturels : recouvrements, localité et compatibilité lisse. L’un des objectifs de cette thèse est de développer et d’étudier des outils classiques de la topologie algébrique dans le cadre difféologique. Parmi ces outils on se penche particulièrement sur les théories homologiques et cohomologiques généralisées. Un autre objectif est de montrer que les espaces difféologiques offrent un cadre assez naturel afin d’étudier les espaces singuliers : pseudo-variétés contrôlées à la Thom-Mather. On met en place les définitions de théories (co)homologiques généralisées dans la catégorie Diff . On définit une nouvelle notion "CW-difféologie" liée à la notion de CW-complexes. P. Iglesias Zemmour a introduit l’homologie cubique et cohomologie de De Rham dans la cadre difféologique. On développe en outre l’homologie singulière, l’homologie cellulaire et la cohomologie de Rham difféologique. On étudie les pseudo-variétés contrôlées qui sont des espaces singuliers en difféologie. / A diffeology on an arbitrary set X declares, for any integer n, which applications in R[exponent n] to X are smooth. This idea is structured by three natural axioms covering, locality and smooth compatibility. One objective of this thesis is to develop and study classical tools of algebraic topology in the diffeological framework. These tools are particularly looking at the generalized homology and cohomology theories. Another objective is to show that diffeological spaces offer a fairly natural frame to study the singular spaces : Thom-Mather stratified space. We set up the definitions of generalized (co)homology theories in the category Diff. We define a new notion of " CW- diffeology " linked to the notion of CW- complexes. P.Iglesias Zemmour introduced cubic homology and De Rham cohomology in the diffeological framework. We develop in addition the singular homology, cellular homology and diffeological de Rham cohomology. We study Thom-Mather stratified spaces which are singular spaces, with diffeology.