Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à certaines propriétés d'une classe de processus stochastiques à accroissements stationnaires et autosimilaires. Ces processus sont représentés par des intégrales multiples de Wiener-Itô. Dans le premier chapitre, nous étudions les propriétés géométriques des trajectoires de ce type de processus. En particulier, nous obtenons un développement en ondelettes presque-sûr. Celui-ci permet alors de trouver une borne supérieure pour le module de continuité uniforme, une borne supérieure pour le comportement asymptotique du processus et un résultat presque-sûr concernant les coefficients ponctuel et local de Hölder. De plus, nous obtenons des bornes inférieures et supérieures pour les dimensions de Hausdorff du graphe et de l'image des versions multidimensionnelles anisotropes de la classe de processus considérée. Dans le deuxième et le troisième chapitre de cette thèse, nous nous intéressons au calcul différentiel stochastique relatif au processus de Rosenblatt. A l'aide de la théorie des distributions de Hida, nous définissons une intégrale stochastique par rapport au processus de Rosenblatt. Nous obtenons une formule d'Itô pour certaines fonctionnelles du processus de Rosenblatt. Nous calculons explicitement la variance de l'intégrale stochastique par rapport au processus de Rosenblatt pour une classe spécifique d'intégrandes aléatoires. Enfin, nous comparons l'intégrale introduite avec d'autres définitions utilisées dans la littérature et procédons à une étude fine des termes résiduels faisant le lien entre ces différentes définitions. / In this PhD thesis, we are concerned with some properties of a class of self-similar stochastic processes with stationary increments. These processes are represented by multiple Wiener-Itô integrals. In the first chapter, we study geometric properties of the sample path of this type of processes. Specifically, we obtain an almost sure wavelet expansion which, in turn, allows us to compute an upper bound for the uniform modulus of continuity, an upper bound for the asymptotic growth at infinity of the processes and the almost sure values of the pointwise and local Hölder exponents at any points. Moreover, we obtain lower and upper bounds for the Hausdorff dimensions of the graph and the image of multidimensional anisotropic versions of the class of processes previously considered. In the second and in the third chapters, we are interested in the stochastic calculus with respect to the Rosenblatt process. Using Hida distributions theory, we define a stochastic integral with respect to the Rosenblatt process. We obtain an Itô formula for some functional of the Rosenblatt process. We compute explicitly the variance of the stochastic integral with respect to the Rosenblatt process for a specific class of stochastic integrands. At last, we compare the considered integral with other definitions used in the literature and provide a careful analysis of the residual terms linking the different definitions of integrals.

Cette thèse porte sur la diffraction d’une onde plane électromagnétique par une surface lisse parfaitement conductrice (PEC). Elle présente l’analyse des propriétés d’une nouvelle formulation des trois principales équations intégrales de frontières de la théorie de la diffraction électromagnétique (EFIE, MFIE et CFIE). L’idée est d’adapter les équations intégrales conventionnelles à la diffraction d’une onde plane en supposant que la fonction de phase de l’onde plane incidente détermine la fonction de phase de la distribution de courant induit sur la surface.L’idée d’utiliser la phase dans la diffraction d’ondes planes a déjà été étudiée pour les hautes fréquences, notamment dans les thèses de Zhou (1995) et Darrigrand (2002) qui adaptèrent les espaces d’approximation des éléments finis. Dans cette thèse, cependant, nous suivons une formulation plus récente, donnée par Herberthson (2008), où la fonction de phase est incorporée dans la distribution du noyau des opérateurs intégraux.En présentant les versions modifiées de l’EFIE et de la MFIE (dénommées HEFIE et HMFIE)dans des espaces fonctionnels appropriés, nous prouvons ici l’existence d’une solution unique à cette formulation spécifique et présentons une mise en oeuvre pratique originale qui tire parti de l’expérience acquise sur l’EFIE/MFIE. Par la suite, nous explorons une propriété importante offerte par ces nouvelles formulations: la possibilité de réduire le nombre de degrés de liberté requis pour obtenir une solution précise du problème. / This thesis is about the scattering of an electromagnetic plane wave incidenton a perfectly conducting smooth surface. It presents the analysis of the properties of a newformulation of the three principal boundary integral equations of electromagnetic scattering theory(EFIE, MFIE and CFIE). The basic idea is to adapt the conventional integral equations toplane-wave scattering by supposing that the phase function of an incident plane wave determinesthe phase function of the induced boundary current distribution.This idea of using the phase in plane wave scattering has previously been studied in highfrequencyscattering, in particular in the theses by Zhou (1995) and Darrigrand (2002) whoadapt the finite element approximation spaces. In this thesis, though, we follow a more recentformulation, given by Herberthson (2008), where the phase function is incorporated in the kerneldistribution of the integral operators.Presenting the modified version of the EFIE and the MFIE (denoted HEFIE and HMFIE) inappropriate function spaces, we prove the existence of a unique solution to this specific formulationand developp an original practical implementation which takes advantage of the gainedexperience on the EFIE/MFIE. Then, we explore another important property provided by thenew formulations: the possibility to reduce the number of degrees of freedom required to get anaccurate solution of the problem.

Dans cette thèse, on se propose de participer à la popularisation des méthodes de résolution de problèmes de propagation d'onde basées sur des formulations intégrales en fournissant des indicateurs d'erreur a posteriori utilisable dans le cadre d'algorithmes de raffinement autoadaptatif. Le développement de tels indicateurs est complexe du fait de la non-localité des normes associées aux espaces de Sobolev et des opérateurs entrant en jeu. Des indicateurs de la littérature sont étendus au cas de la propagation d'une onde acoustique. On étend les preuves de convergence quasi-optimale (de la littérature) des algorithmes autoadaptatifs associés dans ce cas. On propose alors une nouvelle approche par rapport à la littérature qui consiste à utiliser une technique de localisation des normes, non pas basée sur des inégalités inverses, mais sur l'utilisation d'un opérateur Λ de localisation bien choisi.On peut alors construire des indicateurs d'erreur a posteriori fiables, efficaces, locaux et asymptotiquement exacts par rapport à la norme de Galerkin de l'erreur. On donne ensuite une méthode pour la construction de tels indicateurs. Les applications numériques sur des géométries 2D et 3D confirment l'exactitude asymptotique ainsi que l'optimalité du guidage de l'algorithme autoadaptatif.On étend ensuite ces indicateurs au cas de la propagation d'une onde électromagnétique. Plus précisément, on s'intéresse au cas de l'EFIE. On propose des généralisations des indicateurs de la littérature. On effectue la preuve de convergence quasi-optimale dans le cas d'un indicateur basé sur une localisation de la norme du résidu. On utilise le principe du Λ pour obtenir le premier indicateur d'erreur fiable, efficace et local pour cette équation. On en propose une seconde forme qui est également, théoriquement asymptotiquement exacte. / The aim of this work is to participate to the popularization of methods for the resolution of wave propagation problems based on integral equations formulations by developping a posteriori error estimates in the context of autoadaptive mesh refinement strategies. The development of such estimates is difficult because of the non-locality of the norms associated to the Sobolev spaces and of the involved integral operators. Estimates from the literature are extended in the case of the propagation of an acoustic wave. The proofs of quasi-optimal convergence of the autoadaptive algorithms are established. We then introduce a new approach with respect to the literature which is based on a new norm-localization technique based on the use of a well-chosen Λ operator and not on inverse inequalities as it was the case previously.We then establish new a posteriori error estimates which are reliable, efficient, local and asymptotically exact with respect to the Galerkin norm of the error. We give a method for the construction of such estimates. Numerical applications on 2D and 3D geometries confirm the asymptotic exactness and the optimality of the autoadaptive algorithm.These estimates are extended in the case of the propagation of an electromagnetic wave. More precisely, we are interested in the EFIE. We suggest generalization of the estimates of the literature. A proof for quasi-optimal convergence is given for an estimate based on a localization of the norm of the residual. The principle of Λ is used to construct the first reliable, efficient, local error estimate for this equation. We give a second forme which is eventually theoretically asymptotically exact.

Cette thèse traite de problèmes d'intégration symbolique en calcul formel. L'objectif principal est de mettre au point des algorithmes permettant de calculer rapidement des fonctions qui sont présentées sous la forme d'intégrales de contour dépendant d'un paramètre.On commence par aborder le problème du calcul de l'intégrale d'une fraction rationnelle bivariée par rapport à l'une de ses variables. Le résultat est alors une fonction algébrique qui s'exprime comme une somme de résidus de l'intégrande. On met au point deux algorithmes qui calculent efficacement un polynôme annulateur pour chacun des résidus, et ensuite pour la somme, ce qui donne accès à un polynôme annulateur pour l'intégrale elle-même.Ces algorithmes s'appliquent presque directement au calcul d'un polynôme annulateur pour la diagonale d'une fraction rationnelle bivariée, c'est-à-dire la série univariée obtenue à partir du développement en série d'une fraction rationnelle bivariée en ne gardant que les coefficients diagonaux. En effet, ces diagonales peuvent s'écrire comme des intégrales de fractions rationnelles. Dans une autre application, on donne un nouvel algorithme pour le développement des séries génératrices de plusieurs familles de marches unidimensionnelles sur les entiers. Il repose sur une analyse fine des tailles des équations algébriques et différentielles satisfaites par ces séries.Dans un second temps, on s'intéresse au calcul de l'intégrale d'un terme mixte hypergéométrique et hyperexponentiel. Cette fois-ci le résultat est une suite polynomialement récursive. On élabore une méthode pour mettre sous forme normale les divers décalages d'un terme donné. Ceci permet d'appliquer la méthode du télescopage créatif par réductions pour calculer efficacement une récurrence à coefficients polynomiaux satisfaite par l'intégrale. / In this thesis, we provide solutions to some symbolic integration problems in computer algebra. The main objective is to effectively and efficiently compute functions that appear as contour integrals depending on one parameter.First, we consider the computation of the integral of a bivariate rational function with regard to one of the variables. The result is then an algebraic function that can be expressed as a sum of residues of the integrand. We design two algorithms that efficiently compute an annihilating polynomial for each residue, and then for their sum, which yields an annihilating polynomial for the integral itself.These algorithms apply almost directly to the computation of an annihilating polynomial for the diagonal of a rational function, that is, the univariate power series obtained from the expansion of a bivariate rational function by only keeping the diagonal coefficients. Indeed, these diagonals can be written as integrals of rational functions. In another application, we give a new algorithm for the Taylor expansion of the generating functions for several families of unidimensional lattice walks. It relies on a fine analysis of the sizes of the algebraic and differential equations satisfied by these generating functions.Secondly, we consider integrals of mixed hypergeometric and hyperexponential terms. In this case, the result is a polynomially recursive sequence. We devise a method to rewrite the various shifts of a given term under a normal form. This allows us to apply the method of reduction-based creative telescoping in order to efficiently compute a recurrence with polynomial coefficients for the integral.

Motivée par le développement de diverses applications déployant des antennes près d'une interface, comme les systèmes militaires UGS, les réseaux corporels sans fil BAN et la surveillance environnementale impliquant des capteurs au sol, cette thèse porte sur la modélisation de la propagation des ondes électromagnétiques près d'une interface. Tout d'abord, la méthode classique de l'optique géométrique est confrontée à des formules approchées fournies par Norton et par Bannister. Cette étude met en évidence les cas où l'optique géométrique ne décrit pas correctement la propagation près de la surface. Pour une compréhension plus exhaustive, les fonctions de Green de ce type de propagation, présentées sous forme d'intégrales de Sommerfeld, sont évaluées à la lumière de la méthode de la plus grande pente. Cette évaluation permet d'extraire trois équations importantes pour la propagation près d'une interface. La première est la condition essentielle pour que la proximité au sol puisse profiter au bilan de liaison grâce à l'excitation d'une composante de l'onde diffractée qui se propage près de l'interface. Les deux autres identifient des distances critiques qui bornent le début et la fin de la zone présentant un affaiblissement de trajet amélioré. L'ensemble de ces trois équations permet d'évaluer le rôle de certains paramètres physiques, notamment les propriétés électromagnétiques du sol, la fréquence de travail et la hauteur des antennes. Cette thèse inclut également les pistes pratiques envisagées pour une démonstration de faisabilité de l'amélioration d'une liaison sans fil par la proximité des antennes à l'interface. La couverture du sol ayant une importance prépondérante, nous présentons des recherches préliminaires sur la réalisation et la caractérisation d'un matériau approprié pour ce type de propagation. Dans un axe de recherche parallèle, cette thèse évalue également l'exactitude et la pertinence d'une nouvelle formulation théorique pour la propagation près du sol. Cette formulation dite « de Schelkunoff » suscite des controverses dans la communauté scientifique / Motivated by the development of various applications deploying antennas near an interface, such as military systems (UGS), wireless body area networks (BAN) and environmental monitoring involving ground sensors, this thesis deals with the near-ground wave propagation modelling. First, the results of the geometrical optics are confronted with the approximations provided by Norton and Bannister. This study reveals the cases where geometrical optics does not correctly describe the wave propagation near the surface. For a more comprehensive understanding, Green's functions of this type of propagation, presented as Sommerfeld integrals, are evaluated using the steepest descent technique. This evaluation offers the possibility to extract three important equations for near-ground wave propagation. The first one presents the essential condition under which the link budget can benefit from the ground proximity through the excitation of a diffracted wave component propagating near the interface. The other two equations identify critical distances indicating the beginning and the end of the zone with an improved path loss. All these three equations highlight the role of certain physical parameters, in particular the electromagnetic properties of the ground, the working frequency and the heights of the antennas. This thesis also includes the practical solutions that can be considered to demonstrate the feasibility of improving a wireless link by the proximity of the antennas to the interface. Since floor coating is of major importance, we present preliminary research on the realisation and characterisation of a suitable material for this type of propagation. In a parallel research axis, this thesis also evaluates the accuracy and relevance of a new theoretical formulation for near-ground propagation. The "so-called Schelkunoff" formulation has become a controversial issue in the scientific community

La spectroscopie est un outil primordial pour le diagnostic des plasmas, qu'il s'agisse de ceux des étoiles, permettant d'espérer comprendre toujours mieux leurs formations et leurs évolutions, ou celui des laboratoires, tout spécialement ceux rencontrés dans le cadre des expérimentations visant la fusion thermonucléaire contrôlée, telles que le projet ITER.La modélisation des profils de raie Lyman-alpha de l'hydrogène conduit à élaborer différentes approches dont le formalisme mérite d'être toujours investigué, et possiblement enrichi, en vue d'améliorer nos capacités de diagnostic. Nous avons donc successivement exploré une approche par intégrale de chemin, en vue de conserver au maximum l'information liée à la nature quantique des processus d'interaction, puis le rôle de la chronologie, le potentiel d'interaction du système atomique avec le plasma ne commutant pas à deux instants différents, et enfin une approche modélisant le champ électrique par des processus stochastiques dont les propriétés statistiques déterminent les caractéristiques des profils de raie des plasmas étudiés. Dans ce dernier cas, le travail réalisé montre que la modélisation du champ électrique par des processus stochastiques contient de sérieuses pistes de recherche de nature à améliorer encore les résultats obtenus. / Spectroscopy is an essential tool for plasma diagnostics, especially for studying stars, allowing hope to understand always better their origin and their evolution, or for laboratory plasmas, especially those encountered in the experiments for controlled thermonuclear fusion, such as ITER.Modeling profiles of Lyman-alpha hydrogen leads to develop different approaches whose formalism deserves to still remain under investigation, and can possibly be enriched, to improve our diagnostic capabilities. We therefore explored the subject successively by a path integral approach, in order to retain maximum information related to the quantum nature of the interaction process, then the role of chronology, as the interaction potential of the atomic system with the plasma does not commute at two different times, and finally we worked on an approach modeling the electric field by stochastic processes whose statistical properties determine the characteristics of the line profiles of the studied plasmas. In the latter case, the work shows that the modeling of the electric field by stochastic processes contains serious research possibilities which should be able to further improve present results.

Dans cette thèse, nous étudions des transformées de type Radon sur certains espaces symétriques. Une transformée de type Radon associe à toute fonction continue à support compact sur une variété $M$ ses intégrales sur une classe $Xi$ de sous-variétés de $M$. Le problème sur lequel nous nous concentrons est l'inversion d'une telle transformée, c'est-à-dire déterminer la fonction à partir de ses intégrales sur les sous-variétés dans $Xi$. Nous présentons d'abord la solution de ce problème inverse due à Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, lorsque $M$ est un espace symétrique riemannien isotrope et $Xi$ une certaine orbite de sous-variétés totalement géodésiques de $M$ sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de $M$. La transformée de Radon associée est qualifiée de totalement géodésique.Sur les espaces symétriques pseudo-riemanniens semisimples, nous considérons une autre transformée de type Radon, qui associe à toute fonction continue à support compact ses intégrales orbitales, c'est-à-dire ses intégrales sur les orbites du sous-groupe d'isotropie du groupe des transvections. L'inversion des intégrales orbitales, qui est donnée par une formule-limite, a été obtenue par Sigurdur Helgason sur les espaces symétriques lorentziens à courbure sectionnelle constante et par Jeremy Orloff sur tout espace symétrique pseudo-riemannien semisimple de rang un. Nous résolvons le problème d'inversion des intégrales orbitales sur les espaces de Cahen-Wallach, qui sont les modèles d'espaces symétriques lorentziens indécomposables résolubles.Pour finir, nous nous intéressons aux transformées de type Radon sur les espaces symétriques symplectiques à courbure de type Ricci. L'inversion des orbitales intégrales sur ces espaces lorsqu'ils sont semisimples a déjà été obtenue par Jeremy Orloff. En revanche, lorsque ces espaces ne sont pas semisimples, la transformée donnée par les intégrales orbitales n’est pas inversible. Ensuite, nous déterminons les orbites de sous-variétés totalement géodésiques symplectiques ou lagrangiennes sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de l'espace de départ. Dans ce contexte, la méthode d'inversion développée par Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, ne fonctionne que pour les transformées de Radon totalement géodésiques symplectiques sur les espaces symétriques kählériens à courbure holomorphe constante. Les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces hyperboliques complexes sont dues à François Rouvière. Nous calculons les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces projectifs complexes. / In this thesis, we study Radon-type transforms on some symmetric spaces. A Radon-type transform associates to any compactly supported continuous function on a manifold $M$ its integrals over a class $Xi$ of submanifolds of $M$. The problem we address is the inversion of such a transform, that is determining the function in terms of its integrals over the submanifolds in $Xi$. We first present the solution to this inverse problem which is due to Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, when $M$ is an isotropic Riemannian symmetric space and $Xi$ a particular orbit of totally geodesic submanifolds of $M$ under the action of a Lie transformation group of $M$. The associated Radon transform is qualified as totally geodesic.On semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces, we consider an other Radon-type transform, which associates to any compactly supported continuous function its orbital integrals, that is its integrals over the orbits of the isotropy subgroup of the transvection group. The inversion of orbital integrals, which is given by a limit-formula, has been obtained by Sigurdur Helgason on Lorentzian symmetric spaces with constant sectional curvature and by Jeremy Orloff on any rank-one semisimple pseudo-Riemannian symmetric space. We solve the inverse problem for orbital integrals on Cahen-Wallach spaces, which are model spaces of solvable indecomposable Lorentzian symmetric spaces.In the last part of the thesis, we are interested in Radon-type transforms on symplectic symmetric spaces with Ricci-type curvature. The inversion of orbital integrals on these spaces when they are semisimple has already been obtained by Jeremy Orloff. However, when these spaces are not semisimple, the orbital integral operator is not invertible. Next, we determine the orbits of symplectic or Lagrangian totally geodesic submanifolds under the action of a Lie transformation group of the starting space. In this context, the technique of inversion that has been developed by Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, only works for symplectic totally geodesic Radon transforms on Kählerian symmetric spaces with constant holomorphic curvature. The inversion formulas for these transforms on complex hyperbolic spaces are due to François Rouvière. We compute the inversion formulas for these transforms on complex projective spaces. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les supernovae de type Ia (SNe Ia) sont de puissants indicateurs de distance cosmologique. Elles sont à l'origine de la découverte de l'énergie noire dans l'univers et restent aujourd'hui la meilleure méthode pour contraindre son équation d'état. Cependant, nous ignorons toujours le phénomène exact donnant naissance à ces supernovae. Notamment, nous ne connaissons pas l'influence de l'évolution des paramètres stellaires avec le redshift sur la luminosité de ces objets et donc sur les ajustements cosmologiques. De récentes études ont mis en évidence évidence des biais environnementaux ayant un impact significatif sur les mesures des paramètres cosmologiques. Cependant, ces études analysent les hôtes des SNe Ia dans leur globalité en négligeant les variations pourtant connues des propriétés stellaires et gazeuses au sein de ces galaxies. ! Dans cette thèse je montre comment les données de spectrographie à champ intégral de la collaboration The Nearby Supernova Factory permettent l'étude de l'environnement immédiat (~kpc) de la SNe Ia. Dans une première partie, j'introduis les bases physiques et le contexte scientifique dans lesquels ma thèse s'inscrit. Dans la seconde partie, je commence par détailler les techniques d'extraction des données environnementales locales et, une fois ces données extraites, je développe la mesure du taux de formation stellaire environnant les SNe Ia à partir du signal Hα. Dans mon analyse, je montre comment les propriétés des SNe Ia, et notamment leur luminosité standardisée, dépendent de la présence de formation stellaire à proximité. Ce biais, duquel découlent les biais environnementaux précédemment évoqués, a un impact significatif sur la cosmologie. En se basant sur les évolutions des propriétés stellaires des galaxies, je construit un modèle d'évolution de la luminosité moyenne des SNe Ia en fonction du redshift pour estimer cet impact; les données de la littérature semblent confirmer mes hypothèses. Ces résultats ont été publiés dans le journal européen Astronomy & Astrophysics (Rigault et al. 2013). Dans une troisième partie, je présente des analyses supplémentaires sur l'environnement local des SNe Ia et je suggère de nouvelles approches. ! Cette thèse a mis en évidence un biais environnemental important sur les propriétés des SNe Ia que seule l'analyse locale permet d'aborder. Cette découverte est une étape importante dans la compréhension de ces objets et dans l'amélioration de leur utilisation cosmologique / Type Ia supernovae (SNe Ia) are powerful cosmological distance indicators. They were key tools for the discovery of the accelerating expansion of the Universe and today they remain the strongest demonstrated technique for measuring the dark-energy equation of state. However, a major issue remains: despite decades of study, their progenitors are as yet undetermined. Notably, we still ignore the influence of the redshift-evolution of stellar properties on the absolute luminosity of the SNe Ia and therefore on the fitted cosmological parameters. Recent studies have highlighted potential biases correlated with the global properties of their host galaxies, large enough to induce systematic errors into cosmological measurements if not properly treated. However, those studies analyse hosts of Type Ia supernovae globally thus neglecting the known stellar and gas property variations across galaxies. ! In this thesis, I show how integral field spectroscopy data from the Nearby Supernova Factory allow the study of the local environment of the SNe Ia (~kpc). In the first part of this document, I introduce the physical principals and the scientific context of this work. In a second part, I start by detailing the technical extraction tools developed in order to extract the local host properties. Then, I show how one could measure the star formation activity in the SN vicinity from those data. I focus the analysis on this star formation activity and notably I show how the SNe Ia properties -- particularly their standardised Hubble residuals -- depend on the local host environment, which corresponds to a significant cosmological bias. I finish this second part by introducing a simple model based on the known evolution of the galactic star formation activity. This model enables me to estimate the potential influence of the aforementioned environmental bias on cosmology. I also show that this model can be tested using public data and a first analyses tend to confirm our hypotheses. Those results have been published in Astronomy & Astrophysics (Rigault et al. 2013). The third and last part of the document introduces new approaches and future work perspectives. ! In this thesis, I have highlighted significant environmental biases in SNe Ia properties, thanks to the local approach. However, those biases are less an issue for the cosmological analyses using Type Ia supernovae than a new opportunity to improve them as cosmological probes. ! This Document is written in French. The figures are in English

Le but de cette thèse est d'étudier les structures symplectiques dans la catégorie des variétés linéaires par morceaux (PL). La question centrale est de déterminer si toute variété symplectique lisse $(M,omega)$ peut être triangulée de manière symplectique, au sens où il existe une variété linéaire par morceaux $K$ et une triangulation $h :K -> M$ telle que $h^*omega$ est une forme symplectique constante par morceaux. Nous étudions d'abord un problème plus simple, qui consiste à trianguler les formes volumes lisses. Étant donnée une variété lisse $M$ munie d'une forme volume $Omega$, nous montrons qu'il existe une triangulation lisse $h :K -> M$ telle que $h^*Omega$ est une forme volume constante par morceaux. En particulier, les variétés symplectiques lisses de dimension 2 admettent donc des triangulations symplectiques. Étant donnée une variété symplectique fermée $(M,omega)$, nous montrons ensuite que pour certaines triangulations lisses $h :K -> M$, on peut, par une modification arbitrairement petite du complexe $K$, supposer que la forme $h^*omega$ est de rang maximal le long de tous les simplexes de $K$. Ce résultat permet d'approximer arbitrairement bien toute variété symplectique fermée par une variété symplectique PL. Nous nous intéressons finalement au cas d'une sous-variété symplectique $M$ d'un espace ambiant qui admet lui-même une triangulation symplectique. Nous montrons qu'il est possible de construire un cobordisme entre la sous-variété $M$ considérée et une approximation lisse par morceaux de celle-ci, triangulée par un complexe symplectique. / In this thesis, we study symplectic structures in a piecewise linear (PL) setting. The central question is to determine whether a smooth symplectic manifold can be triangulated symplectically, in the sense that there exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*omega$ is a piecewise constant symplectic form on $K$. We first focus on a simpler related problem, and show that any smooth volume form $Omega$ on $M$ can be triangulated. This means that there always exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*Omega$ is a piecewise constant volume form. In particular, symplectic surfaces admit symplectic triangulations. Given a closed symplectic manifold $(M,omega)$, we then prove that there exists triangulations $h :K -> M$ for which the piecewise smooth form $h^*omega$ has maximal rank along all the simplices of $K$. This result allows to approximate arbitrarily closely any closed symplectic manifold by a PL one. Finally, we investigate the case of a symplectic submanifold $M$ of an ambient space which is itself symplectically triangulated, and give the construction of a cobordism between $M$ and a piecewise smooth approximation of $M$, triangulated by a symplectic complex. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse présente une étude numérique des interactions hydrodynamiques entre des particules et une paroi plane dans un fluide Newtonien, dans l'hypothèse d'un petit nombre de Reynolds. Les équations de Stokes sont d'abord transformées sous la forme classique d'une équation intégrale de surface donnant les contraintes sur la surface entourant le fluide. Nous avons calculé ainsi les forces et les couples exercés sur les particules. Une étude préliminaire correspond au problème axisymétrique pour une chaîne de particules sphériques arrangées suivant une ligne perpendiculaire à la paroi et en mouvement suivant cette ligne dans un fluide au repos. Puis nous avons abordé le problème général de particules non sphériques, la position des particules étant quelconque et le fluide loin des particules pouvant être en écoulement. Pour le cas axisymétrique, les points de collocation (qui sont aussi les emplacements des singularités de Stokes ou ``stokeslets'') sont choisis sur les surfaces des particules de façon que leurs distance relatives soient proportionnelles à la distance entre surfaces proches. Pour traiter le cas général, nous avons mis au point un code de calcul utilisant la méthode des éléments de frontière (BEM). Les stokeslets sont ici répartis de façon à prendre en compte les interactions hydrodynamiques et la complexité géométrique des configurations. En effet, le maillage est adapté à la variation du gradient de contraintes de façon que les zones de la surface qui entrent en forte interaction hydrodynamique soient les plus raffinées. La technique de raffinement dynamique de maillages que nous avons mise au point nous a permis de mieux détecter les zones de lubrification entre particules et paroi ainsi que les interactions entre particules. Les contraintes ont ainsi été calculées pour de nouvelles configurations géométriques. Enfin, les relations linéaires entre les forces et couples qui s'exercent sur les particules et leurs vitesses de translation et rotation sont exprimées au moyen de la « grande matrice de résistance » (ou de son inverse la « grande matrice de mobilité ») qui est alors introduite dans la relation fondamentale de la dynamique. En intégrant, nous avons déterminé les trajectoires des particules dans diverses configurations: en sédimentation dans un fluide au repos au voisinage d'une paroi, tournant librement dans un écoulement donné, ... La méthode permet aussi d'obtenir les champs de vitesse du fluide dans ces conditions.