GeoGebra is a free, open-source, and multi-platform software that combines dynamic geometry, algebra and calculus in one easy-to-use package. Students from middle-school to university can use it in classrooms and at home. In this workshop, we will introduce the features of GeoGebra with a special focus on not very common applications of a dynamic geometry program. We will inform about plans for developing training and research networks connected to GeoGebra. We can expect that at the time of the conference a spreadsheet will be integrated into GeoGebra which offers new ways teaching mathematics using the interplay between the features of a spreadsheet and the objects of dynamic geometry.

Einleitung: Klauenerkrankungen und Lahmheiten stellen ein großes ökonomisches sowie tierschutzrelevantes Problem in der modernen Milchviehhaltung dar. Diese werden wesentlich durch die Haltung auf harten Böden wie Beton oder Gussasphalt begünstigt. Daher werden in Rinderställen vermehrt Gummi-Laufflächenbeläge eingebaut, welche die mechanischen Belastungen und somit potentielle Schädigungen der Klauen reduzieren sollen. Die Einwirkung von Kräften in Abhängigkeit unterschiedlicher Böden auf die Klauenfußungsfläche kann mittels Druckmessung untersucht werden. Um dabei den direkten kinetischen Einfluss des Bodens auf die Fußungsfläche ermitteln zu können, sind dünne Sensorfolien nötig. Ziele der Untersuchung: Ziel der Arbeit war es, zunächst ein Ex-vivo-Belastungsmodell für isolierte Rindergliedmaßen zu etablieren, um mit einem folienbasierten Druckmesssystem den direkten kinetischen Einfluss verschiedener Untergründe auf die Fußungsfläche der Klauen zu ermitteln. Anschließend sollte dieses Messsystem erstmals unter lebenden Rindern angewendet werden. Tiere, Material und Methoden: Insgesamt wurden drei Versuche durchgeführt, in denen die kinetischen Einflüsse von Betonboden sowie mindestens einem Gummiboden der Firma Gummiwerk KRAIBURG Elastik GmbH & Co. KG anhand folgender Parameter untersucht wurden: Kraftverteilung, Belastungsfläche sowie durchschnittlicher und maximaler Druck. Die Datenerfassung erfolgte mit dem Hoof™System (Tekscan®). Zunächst wurde ein Ex-vivo-Versuch mit einem speziell für diese Messung angefertigten Belastungsgerät durchgeführt. Damit wurden zwölf linke isolierte distale Hintergliedmaßen auf Betonboden sowie drei Laufgang-Gummimatten (KARERA P, KURA P und profiKURA P) belastet. Außerdem wurde in diesem Versuch neben den oben aufgeführten Parametern zusätzlich die Kraft- und Druckverteilung innerhalb definierter Bereiche unter der Klaue analysiert. Diese Versuchsanordnung wurde anschließend in einen statischen In-vivo-Versuch mit elf auf Beton und KURA P Gummiboden stehenden, adulten Milchkühen überführt. Außerdem wurden die Sensorfolien in einem zweiten In-vivo-Versuch unter den Klauen der linken Hintergliedmaße von zehn adulten Milchkühen angebracht und die kinetischen Einflüsse von Beton und KURA P Gummiboden im Stand und beim Laufen ermittelt. Die statistischen Vergleiche zwischen den Böden wurden gepaart für die Klauen bzw. Kühe sowie zwischen den Versuchen mittels Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test mit anschließender Post-Hoc-Korrektur nach Bonferroni-Holm berechnet. Für alle Resultate mit einer Wahrscheinlichkeit von p < 0,05 wurde eine statistische Signifikanz angenommen. Zusätzlich wurden im Laufen die Kraft-Zeit-Kurven einzeln für die laterale und mediale Klaue aufgezeichnet. Ergebnisse: In allen Versuchen sowie auf allen untersuchten Böden lastete die Kraft signifikant mehr auf den lateralen als auf den medialen Klauen. Die belastete Fläche war auf allen Gummiböden signifikant größer als auf Betonboden. Dadurch zeigten sich auf allen Gummiböden signifikant geringere Druckbelastungen als auf Betonboden: Der durchschnittliche Druck fiel im Ex-vivo-Versuch auf allen untersuchten Gummiböden im Mittel 34 - 44 % geringer aus als auf Betonboden (44,69 ± 5,39 N/cm²), während die Durchschnittsdruckwerte in den In-vivo-Versuchen auf KURA P-Gummiboden im Mittel um 16 - 21 % geringer waren als auf Beton (statisch: 32,05 ± 4,56 N/cm² bis 35,74 ± 7,66 N/cm², dynamisch: 46,60 ± 13,94 N/cm² bis 55,60 ± 9,78 N/cm²). Der auf die Klauen wirkende Maximaldruck war im Ex-vivo-Versuch auf den getesteten Gummiböden im Mittel 33 - 45 % geringer als auf Beton (130,31 ± 23,29 N/cm²) und in den In-vivo-Versuchen auf KURA P-Gummiboden im Mittel 28 - 32 % geringer als auf dem Betonboden (statisch: 92,12 ± 8,83 N/cm² bis 104,79 ± 20,40 N/cm², dynamisch: 158,47 ± 37,66 N/cm²). Die Kraft-Zeit-Kurven des dynamischen In-vivo-Versuchs zeigten weitgehend biphasische Verläufe mit lokalen Maxima bei 29 % und 79 % der Stützphase. Es traten jedoch interindividuell sowie jeweils zwischen lateralen und medialen Klauen deutliche Unterschiede im Kurvenverlauf auf. Schlussfolgerungen: Das Hoof™System konnte erfolgreich bei Rindern eingesetzt werden. Mit dem Belastungsgerät konnten standardisierte Messwiederholungen auf verschiedenen Untergründen durchgeführt werden. Künftig können damit weitere Untergründe sowie neue Klauenpflegetechniken zunächst ex vivo evaluiert werden, bevor sie an lebenden Rindern Anwendung finden. In allen Versuchen war auf Gummiboden eine mechanische Entlastung der Klauenfußungsfläche zu verzeichnen, was die Vermutung nahelegt, dass diese Böden einen Beitrag zur nachhaltigen Verbesserung der Klauengesundheit in der konventionellen Milchviehhaltung leisten können. / Introduction: Claw lesions and lameness are amongst the major problems in modern dairy husbandry. They are mainly caused by keeping the cows on hard, unyielding floors like concrete or mastic asphalt. Therefore preventively, an increasing number of farmers install rubber floorings in the walking alleys to minimize the mechanical stress to the sole and consequently reduce damage of the claws. The kinetic effect of different flooring types to the sole can be analyzed by means of pressure measurement. In order to detect the direct kinetic impact of the tested flooring, thin sensor foils capturing the interactions between claw and floor are required. Aims of the study: In the present study, an ex vivo load applicator was to be developed in order to use a foil-based pressure measurement system to determine the direct kinetic effect of different flooring types on the claws’ soles. Furthermore, this system was to be applied to live dairy cows for the first time. Materials and Methods: Three trials were conducted in which the kinetic effects of concrete and at least one rubber flooring (Gummiwerk KRAIBURG Elastik GmbH & Co. KG) were analyzed considering the following parameters: force balance, contact area, mean pressure and maximum pressure. Data acquisition was performed with the Tekscan® Hoof™System. Initially, an ex vivo trial was carried out with a purpose-built load applicator. Using this method, twelve left isolated distal hind limbs were loaded on concrete and three rubber floorings (KARERA P, KURA P and profiKURA P). Beside the parameters mentioned above, force and pressure distribution were analyzed within the separate areas of the claw’s sole. Afterwards, this test setting was transposed into a static in vivo trial with eleven adult dairy cows standing on concrete and KURA P rubber mats, respectively. Subsequently, the sensor foils were attached under the left hind limbs of ten adult dairy cows and the kinetic impacts of concrete and KURA P rubber flooring were determined during standing and walking. Statistical analysis was conducted using the Wilcoxon signed-rank test in combination with Holm-Bonferroni post hoc correction. Differences were considered to be significant at p < 0.05. In addition to the parameters mentioned above, force-time-curves of the walking cows were captured separately for the lateral and medial claw. Results: In all trials and on all tested floorings load was distributed unevenly between the claws at the expense of the lateral claw. The contact area was larger on all rubber floorings than on concrete. Therefore, the mean and maximum pressure loads were lower on all rubber floorings compared to concrete: In the ex vivo trial the mean pressure was, on average, 34 - 44 % lower on all rubber floorings than on concrete (44.69 ± 5.39 N/cm²), while in the in vivo measures the mean pressure was, on average, 16 - 21 % lower on KURA P rubber flooring compared to concrete (static: between 32.05 ± 4.56 N/cm² and 35.74 ± 7.66 N/cm², dynamic: between 46.60 ± 13.94 N/cm² and 55.60 ± 9.78 N/cm²). The maximum pressure loads in the ex vivo measures were, on average, 33 - 45 % lower on the tested rubber floorings than on concrete (130.31 ± 23.29 N/cm²) and in the in vivo trials, on average, 28 - 32 % lower on KURA P rubber flooring compared to concrete (static: between 92.12 ± 8.83 N/cm² and 104.79 ± 20.40 N/cm², dynamic: 158.47 ± 37.66 N/cm²). The force-time-curves of the dynamic in vivo study essentially showed biphasic curve progression with local peaks at 29 and 79 % of the stance phase. However, considerable differences in the curve progression between individuals as well as between the respective lateral and medial claw were found. Conclusions: The Hoof™System was applied successfully in dairy cattle claws for the first time. With the load applicator standardized repeated measurements on different floorings were conducted. In the future, more flooring systems as well as novel claw trimming methods can be evaluated using this setup before they are applied on live cattle. In all trials, a mechanical relief for the sole on the rubber floorings was determined. This leads to the conclusion that these floorings may contribute to a sustainable improvement of claw health in conventional dairy husbandry.

GeoGebra is a free, open-source, and multi-platform software that combines dynamic geometry, algebra and calculus in one easy-to-use package. Students from middle-school to university can use it in classrooms and at home. In this workshop, we will introduce the features of GeoGebra with a special focus on not very common applications of a dynamic geometry program. We will inform about plans for developing training and research networks connected to GeoGebra. We can expect that at the time of the conference a spreadsheet will be integrated into GeoGebra which offers new ways teaching mathematics using the interplay between the features of a spreadsheet and the objects of dynamic geometry.

Ziel dieser Arbeit ist die explizite Berechnung gewisser geometrischer Zykel in Modulräumen von Kurven. In den letzten Jahren wurden Divisoren auf $\Mbar_{g,n}$ ausgiebig untersucht. Durch die Berechnung von Klassen in Kodimension 1 konnten wichtige Ergebnisse in der birationalen Geometrie der Räume $\Mbar_{g,n}$ erzielt werden. In Kapitel 1 geben wir einen Überblick über dieses Thema. Im Gegensatz dazu sind Klassen in Kodimension 2 im Großen und Ganzen unerforscht. In Kapitel 2 betrachten wir den Ort, der im Modulraum der Kurven vom Geschlecht 2k durch die Kurven mit einem Büschel vom Grad k definiert wird. Da die Brill-Noether-Zahl hier -2 ist, hat ein solcher Ort die Kodimension 2. Mittels der Methode der Testflächen berechnen wir die Klasse seines Abschlusses im Modulraum der stabilen Kurven. Das Ziel von Kapitel 3 ist es, die Klasse des Abschlusses des effektiven Divisors in $\Mbar_{6,1}$ zu berechnen, der durch punktierte Kurven [C, p] gegeben ist, für die ein ebenes Modell vom Grad 6 existiert, bei dem p auf einen Doppelpunkt abgebildet wird. Wie Jensen gezeigt hat, erzeugt dieser Divisor einen extremalen Strahl im pseudoeffektiven Kegel von $\Mbar_{6,1}$. Ein allgemeines Ergebnis über gewisse Familien von Linearsystemen mit angepasster Brill-Noether-Zahl 0 oder -1 wird eingeführt, um die Berechnung zu vervollständigen. / The aim of this thesis is the explicit computation of certain geometric cycles in moduli spaces of curves. In recent years, divisors of $\Mbar_{g,n}$ have been extensively studied. Computing classes in codimension one has yielded important results on the birational geometry of the spaces $\Mbar_{g,n}$. We give an overview of the subject in Chapter 1. On the contrary, classes in codimension two are basically unexplored. In Chapter 2 we consider the locus in the moduli space of curves of genus 2k defined by curves with a pencil of degree k. Since the Brill-Noether number is equal to -2, such a locus has codimension two. Using the method of test surfaces, we compute the class of its closure in the moduli space of stable curves. The aim of Chapter 3 is to compute the class of the closure of the effective divisor in $\M_{6,1}$ given by pointed curves [C,p] with a sextic plane model mapping p to a double point. Such a divisor generates an extremal ray in the pseudoeffective cone of $\Mbar_{6,1}$ as shown by Jensen. A general result on some families of linear series with adjusted Brill-Noether number 0 or -1 is introduced to complete the computation.

Diese Dissertation befasst sich mit Fragen über den Modulraum M_{0,n} der stabilen punktierten rationalen Kurven, die durch das Mori-Programm motiviert sind. Insbesondere studieren wir den nef-Kegel (Chapter 2), den Cox-Ring (Chapter 3), und den Kegel der beweglichen Kurven (Chapter 4). In Kapitel 2 beweisen wir Fultons Vermutung für M_{0,n}, n / We investigate questions motivated by Mori''s program for the moduli space of stable pointed rational curves, M_{0,n}. In particular, we study its nef cone (Chapter 2), its Cox ring (Chapter 3), and its cone of movable curves (Chapter 4). In Chapter 2, we prove Fulton''s conjecture for M_{0,n} for n less than or equal to 7, which states that any divisor on these moduli spaces non-negatively intersecting all so-called F-curves is linearly equivalent to an effective sum of boundary divisors. As a corollary, it follows that a divisor is nef if and only if the divisor intersects all F-curves non-negatively. By duality, we thus recover Keel and McKernan''s result that the F-curves generate the closed cone of curves when n is less than or equal to seven, but with methods that do not rely on negativity properties of the canonical bundle that fail for higher n. Chapter 3 initiates a study of relations among generators of the Cox ring of M_{0,n}. We first prove a `relation-free'' result that exhibits polynomial subrings of the Cox ring in boundary section variables. In the opposite direction, we exhibit multidegrees such that the corresponding graded parts meet the ideal of relations non-trivially. In Chapter 4, we study the so-called complete intersection cone for the three-fold M_{0,6}. For a smooth projective variety X, this cone is defined as the closure of curve classes obtained as intersections of the dimension of X minus one very ample divisors. The complete intersection cone is contained in the cone of movable curves, which is dual to the cone of pseudoeffective divisors. We show that, for a series of toric birational models for M_{0,6}, the complete intersection and movable cones coincide, while for M_{0,6}, there is strict containment.

Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.

In dieser Arbeit untersuchen wir Varietäten singulärer, quadratischer Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, und effektive Divisoren im Modulraum von Kurven, die mittels verschiedener Eigenschaften von quadratischen Hyperflächen definiert werden. In Kapitel 2 berechnen wir die Klasse des effektiven Divisors im Modulraum von Kurven mit Geschlecht g und n markierten Punkten, der als der Ort von solchen markierten Kurven definiert ist, dass das Projektion der kanonischen Abbildung der Kurve von den markierten Punkten auf einer quadratischen Hyperfläche liegt. Mithilfe dieser Klasse zeigen wir, dass die Modulräume mit Geschlecht 16, 17 und 8 markierten Punkten Varietäten von allgemeinem Typ sind. In Kapitel 3 stratifizieren wir den Raum von quadratischen Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, mithilfe des Rangs dieser Hyperflächen. Wir zeigen, dass jedes Stratum die erwartete Dimension hat, falls die Kurve ein allgemeines Element des Hilbertschemas ist. Mit Rücksicht auf Rang von quadratischen Hyperflächen, eine ähnliche Konstruktion wie in Kapitel 2 ergibt neue Divisoren im Modulraum von Kurven. Wir berechnen die Klasse von diesen Divisoren und zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 15 und 9 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. In Kapitel 4 präsentieren wir unterschiedliche Resultate, die mit Themen von vorigen Kapiteln im Zusammenhang stehen. Zum Ersten berechnen wir die Klasse von Divisoren im Modulraum von Kurven, die als die Orte von Kurven definiert sind, wo die maximale Rang Vermutung nicht gilt. Zweitens zeigen wir, dass jedes Geradenbündel als Tensorprodukt von zwei Geradenbündeln mit zwei Schnitten geschrieben werden kann, falls die Kurve allgemein ist und eine gewisse numerische Bedingung erfüllt ist. Zuletzt benutzen wir bekannte Divisorklassen zu zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 12 und 10 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. / In this thesis, we study varieties of singular quadrics containing a projective curve and effective divisors in the moduli space of pointed curves defined via various constructions involving quadric hypersurfaces. In Chapter 2, we compute the class of the effective divisor in the moduli space of n-pointed genus g curves, which is defined as the locus of pointed curves such that the projection of the canonical model of the curve from the marked points lies on a quadric hypersurface. Using this class, we show that the moduli spaces of 8-pointed genus 16 and 17 curves are varieties of general type. In Chapter 3, we stratify the space of quadrics that contain a given curve in the projective space, using the ranks of the quadrics. We show, in a certain numerical range, that each stratum has the expected dimension if the curve is general in its Hilbert scheme. By incorporating the datum of the rank of quadrics, a similar construction as the one in Chapter 2 yields new divisors in the moduli space of pointed curves. We compute the class of these divisors and show that the moduli space of 9-pointed genus 15 curves is a variety of general type. In Chapter 4, we present miscellaneous results, which are related with our main work in the previous chapters. Firstly, we consider divisors in the moduli space of genus g curves, which are defined as the failure locus of maximal rank conjecture for hypersurfaces of degree greater than two. We illustrate three examples of such divisors and compute their classes. Secondly, using the classical correspondence between rank 4 quadrics and pencils on curves, we show that the map that associates to a pair of pencils their tensor product in the Picard variety is surjective, when the curve is general and obvious numerical assumptions are satisfied. Finally, we use divisor classes, that are already known in the literature, to show that the moduli space of 10-pointed genus 12 curves is a variety of general type.

In dieser Arbeit untersuchen wir drei Fragestellungen. Zwei beschäftigen sich mit Divisoren auf Modulräumen von Kurven mit Levelstruktur, die dritte handelt von Stabilitätseigenschaften der Normalenbündel von kanonischen Kurven. Die erste Frage, die in Kapitel 2 studiert wird, beschäftigt sich mit der Kodairadimension des Modulraums R15,2 von Prym-Varietäten vom Geschlecht 15. Wir studieren einen neuen Divisor auf diesem Modulraum und berechnen seine Klasse in der Standardbasis der Picardgruppe. Mit Hilfe dieser Klasse können wir schlussfolgern, dass R15,2 von allgemeinem Typ ist. In Kapitel 3 setzen wir unsere Untersuchung von Kurven mit Levelstruktur fort und untersuchen für jede Primzahl l Theta-Divisoren auf den Modulräumen R6,l und R8,l. Die Divisoren werden mit Hilfe der Mukai-Bündel von Kurven vom Geschlecht 6 beziehungsweise 8 definiert. Diese Bündel liefern kanonische Einbettungen unserer Kurven in Grassmann-Varietäten und beschreiben fundamentale geometrische Aspekte von Kurven dieser Geschlechter. Indem wir die Klasse des Divisors für g = 8 und l = 3 berechnen, können wir zeigen, dass R8,3 ebenfalls von allgemeinem Typ ist. Schließlich studieren wir in Kapitel 4 die Stabilität des Normalenbündels kanonischer Kurven vom Geschlecht 8 und beweisen, dass das Bündel auf einer generischen Kurve stabil ist. Für kanonische Kurven vom Geschlecht 9 beweisen wir die Stabilität zumindest im Bezug auf Unterbündel von niedrigem Rang. Ebenfalls liefern wir zusätzliche Hinweise für die Vermutung von M. Aprodu, G. Farkas und A. Ortega, die besagt, dass eine generische kanonische Kurve jedes Geschlechts g >= 7 ein stabiles Normalenbündel besitzt. / In this thesis we investigate three questions. Two are about divisors on moduli spaces of level curves, and about the consequences for the birational geometry of these spaces. The third asks about the stability properties of normal bundles of canonical curves. The first question, to be studied in Chapter 2, is about the Kodaira dimension of the moduli space R15,2 of Prym varieties of genus 15. We study a new divisor on this space and calculate its class in terms of the standard basis of the Picard group. This allows us to conclude that R15,2 is of general type. Continuing the study of level curves in Chapter 3, we investigate, for every l, theta divisors on R6,l and R8,l defined in terms of the Mukai bundle of genus 6 and 8 curves, respectively. These bundles provide canonical embeddings of our curves in Grassmann varieties and describe fundamental aspects of the geometry of curves of these genera. Using the class of the divisor for g = 8 and l = 3, we are able to prove that R8,3 is of general type as well. Finally, in Chapter 4 we study the stability of the normal bundle of canonical genus 8 curves and prove that on a general curve the bundle is stable. For canonical genus 9 curves we prove stability at least with respect to subbundles of low ranks. We also provide some more evidence for the conjecture of M. Aprodu, G. Farkas, and A. Ortega that a a general canonical curve of every genus g >= 7 has stable normal bundle.

Inspired by work of Hubery [Hub] and Fomin, Shapiro and Thurston [FST06] related to cluster algebras, we construct a bijection between certain curves on a cylinder and the string modules over a path algebra of type Ãn. We show that under this bijection irreducible maps and the Auslander-Reiten translation have a geometric interpretation. Furthermore we prove that the dimension of extension groups can be expressed in terms of intersection numbers. Finally we explain the connection to cluster algebras and apply our results to describe the exchange graph in type Ãn. / Angeregt durch Arbeiten zu Cluster-Algebren von Hubery [Hub] und Fomin, Shapiro und Thurston [FST06] konstruieren wir eine Bijektion zwischen gewissen Kurven auf einem Zylinder und den Fadenmoduln über einer Wege-Algebra vom Typ Ãn. Wir zeigen, daß unter dieser Bijektion sowohl irreduzible Abbildungen als auch die Auslander-Reiten-Verschiebung eine geometrische Interpretation haben. Weiterhin beweisen wir, daß sich die Dimension der Erweiterungsgruppen mittels Anzahlen von Schnittpunkten ausdrücken läßt. Schließlich erklären wir die Verbindung zu Cluster-Algebren und verwenden unsere Ergebnisse um den Austauschgraph im Typ Ãn zu beschreiben.

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