In this study, experimental modal analysis was studied. Experimental modal analysis includes modal testing, modal parameter estimation and calibration. For this purpose a 4 span skewed steel frame was constructed in Structural Mechanics Laboratory of Civil Engineering Department of METU. The model was transported to Vibration and Acoustic Laboratory of Mechanical Engineering Department of METU. The tests were conducted by cooperation with Vibration and Acoustics Laboratory. Due to lack of experimental modal analysis software in Structural Mechanics Laboratory, modal parameter estimation and finite element updating softwares were written in Matlab platform. The written softwares were executed on the data obtained from modal testing. 15 reasonable modes are extracted from the FRFs that are obtained from modal testing. 59.23 percent consistency is found for the nominal modal comparison. At the end of calibration process 76.14 percent consistency is achieved between the experimental results and analytical results.

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The development of technologies to reduce turbofan engine noise reveals the fan noise, the first stage of an engine, as a great contributor for the total noise of an airplane. So a better understanding of the fan noise generation came up and motivated the construction of a fan rig test facility at the University of São Paulo in São Carlos by a partnership between the university and EMBRAER S.A.. The fan rig is composed of a long duct (12mlong) comprising a 16-bladed fan rotor and 14-vaned stator. The rotor is powered by an 100 hp electrical motor allowing speed up to 4250 RPM resulting in 0.1Mach axial flow. A 77-microphone wall-mounted array was designed for fan noise analysis. A cooperation with NASA-Glenn allowed data and information exchanging from their similar fan rig setup, the ANCF, grating then the validation of the in-house developed software. A short guide for duct-array is proposed in this work. Complex software was developed to process the data from the microphones array. We performed 3 different types of analysis: power spectral density, noise imaging obtained by acoustic beamforming and modal analysis.We proposed a different technique for modal analysis based on beamforming images in this work.We did not find any similar technique in the references. The results obtained by this technique were validated with data from ANCF-NASA. Comparative results are presented for both fan rigs, such as: power spectral densities for different fan speeds, modal analysis at the blade passing frequency (strong tones generated by the fan), noise imaging obtained by beamforming for rotating and static noise sources. Finally, results achieved in this work are in agreement with those observed in the references consulted. / Como desenvolver de tecnologias para redução de ruído de motores aeronáuticos turbofans, o ruído gerado pelo fan (primeiro estágio do motor) vem se mostrando cada vez mais um grande contribuinte na emissão total de ruído em um avião. Com isso, a necessidade de se estudar mecanismos geradores de ruído nestes motores veio à tona e motivou a construção de uma bancada de experimentos aero-acústicos junto àUniversidade de São Paulo, campus São Carlos, oriundo da parceria entre EMBRAER S.A. e Universidade de São Paulo. A bancada de ensaios compõe um conjunto rotor/estator, sendo que o fan (rotor) é equipado com 16 pás e a estatora 14 pás, conectado a um motor elétrico de 100 hp através de um eixo ao rotor, alcançando 4250 RPM com velocidade de escoamento axial médio de 0,1 Mach. Esta bancada é composta por um longo duto e a seção de ensaio com o fan localiza-se ao centro. Uma antena dispondo de 77 microfones foi especialmente projetada para fazer aquisição do ruído gerado pelo fan. Uma parceria com a NASA-Glenn possibilitou a troca de informações e dados experimentais de sua bancada de experimentos similar (ANCF) ajudando assim a validar os códigos desenvolvidos bem como comparar resultados para ambas as bancadas. Umpequeno roteiro para projeto de antena para análise modal e beamforming em duto é apresentado neste trabalho. Um complexo software foi desenvolvido a fim de processar sistematicamente os dados aquisitados pelos microfones da antena. Três tipos de análise são feitas: Via espectro densidade de potência; Imagem de ruído acústico obtido através da técnica de beamforming, e por último, análise modal. Uma técnica diferente para análise modal baseada em imagens obtidas através de beamforming é proposta neste trabalho. Nada similar foi encontrado nas referências consultadas. Os resultados foram validados com dados de fontes sintéticas produzidas pela bancada ANCF-NASA. Resultados comparativos para ambas as bancadas são exibidas neste trabalho, tais quais: Análise do espectro densidade de potência para diferentes rotações do fan; análise modal nas frequências de passagem das pás (forte ruído tonal gerado pelo fan); imagem acústica do ruído gerado tanto por fontes rotativas quanto para fontes estáticas. Finalmente, os resultados obtidos estão de acordo com o esperado e de antemão observados nas referências consultadas.

[pt] Análise modal consiste na caracterização de um sistema através dos seus parâmetros modais. Quando a principal excitação é causada pelo ambiente em que o sistema está inserido, essa caracterização é definida como análise modal operacional (OMA). Nestes casos, os forçamentos não são conhecidos (mensuráveis) e apenas as respostas são monitoradas. Por terem natureza aleatória, esses sinais precisam ser incorporados ao modelo numérico através de processos estocásticos. O principal objetivo desta dissertação consiste em descrever as técnicas de identificação em OMA. Para isso, duas vertentes foram criadas, uma teórica e outra experimental. Na parte teórica, as hipóteses necessárias para a identificação de um sistema por OMA são apresentadas. Uma análise dos erros causados por sinais ruidosos também é feita, permitindo que a sensibilidade dos métodos seja avaliada. Além de contemplar os principais métodos de identificação, dois novos métodos são propostos. Ambos foram desenvolvidos a partir da Decomposição Ortogonal Própria (POD) e combinam uma eficiência computacional com a possibilidade de quantificar as incertezas dos parâmetros. Na vertente experimental, o objetivo é ilustrar e validar a identificação de estruturas. Para isso, três diferentes bancadas foram criadas: um prédio de dois andares, uma pá eólica e uma ponte suspensa. Após a construção, essas estruturas foram devidamente instrumentadas por diferentes sensores. Um sistema de aquisição dados foi montado através de hardwares comerciais e analisados através de uma interfase gráfica desenvolvida especialmente para OMA pelo Laboratório de Vibrações. / [en] Modal analysis consists in the characterization of a system through its modal parameters. When the main excitation source is the system s environment, this characterization is defined as operational modal analysis (OMA). On those cases, the forces are unknown (not measured) and only the responses are monitored. Because of there random nature, those signals are incorporated into the numerical model as stochastic processes. The main goal of this dissertation is to describe the identification techniques in OMA. Therefore, two different approaches were created: a theoretical one and an experimental one. In the theoretical part, the required hypotheses for system s identification with OMA are presented. An analysis of the errors caused by noisy signals are also performed, allowing the method s sensibility to be evaluated. Besides the standard identification methods, two new ones are proposed. They both has been developed as extension of the Proper Orthogonal Decomposition (POD) and combine an efficient computational process with the possibility of quantify the parameters uncertainties. In the experimental approach, the goal is to illustrate and validate the identification of structures. Therefore, three different test bench were created: a two floor building, a wind turbine blade and a cable-stayed bridge. After their construction, those structures were proper instrumented with different sensors. A data acquisition system were built using commercial hardwares and analyzed through a graphic interface specially made for OMA and developed in the vibration laboratory.

La France Métropolitaine est composée de régions à sismicité modérée mais néanmoins vulnérables aux tremblements de terre. En effet, 85% des bâtiments existants ont été construits avant l’apparition des règles de construction parasismique. Pour évaluer la vulnérabilité sismique de ces structures, il existe différentes méthodes à grande échelle telles que Hazus ou Risk-UE, non adaptées à l’échelle d’un bâtiment. Deux typologies de structures ont été étudiées dans ce travail : les structures récentes en béton armé représentatives des grands bâtiments stratégiques, et les structures en maçonnerie non renforcée, représentatives des centres villes historiques. Compte-tenu de la sismicité modérée, les structures récentes en béton armé ont un comportement linéaire élastique. Dans ce cadre, l’instrumentation d’un bâtiment, tel que la Tour de l’Ophite, est essentielle car elle permet de déterminer les vibrations ambiantes d’une structure et d’en extraire les paramètres modaux (fréquences propres, amortissements et déformées modales) qui incluent naturellement des informations sur la qualité des matériaux utilisés, leur vieillissement, leur endommagement, etc. De plus, un outil, basé sur la méthode stochastique par sous-espaces à l’aide des matrices de covariance (SSI-COV), a été développé afin de détecter au mieux les modes propres très proches (modes doubles), lors du traitement des données issues de l’instrumentation de la Tour de l’Ophite. Un modèle numérique par Eléments Finis est également proposé afin de prédire, dans le domaine linéaire, les déplacements de la Tour de l’Ophite soumise à un séisme identique à celui des Abruzzes en Italie en 2009. Pour les structures en maçonnerie non renforcée, un modèle de comportement non-linéaire des matériaux, avec une approche de type endommagement fragile, a été développé et utilisé pour la simulation numérique du comportement ductile des panneaux, remplaçant ainsi la mise en œuvre d’essais expérimentaux lourds et coûteux. A partir des travaux précédents, une méthodologie analytique d’évaluation de la vulnérabilité sismique des bâtiments existants, validée par comparaison avec le code numérique TreMuRi, est proposée et appliquée à un bâtiment. Par exemple, la généricité de notre méthodologie a permis de mener une investigation sur un matériau local, les murs en galets. / France is a country composed of moderate seismic hazard regions however vulnerable to earthquakes. 85% of existing buildings have been built before the application of paraseismic codes. Several current large-scale seismic vulnerability assessment methods are used, such as Hazus or Risk-UE, but they are inappropriate for specific building analysis. Two structure types have been evaluated in this thesis; the recent reinforced concrete structures for high strategic buildings, and the unreinforced masonry structures, for historical city centres. In view of the moderate seismic risk, recent reinforced concrete structures have an elastic behaviour. In this context, the instrumentation of a building, such as the Ophite Tower, is essential as it determines the ambient vibrations of a structure and extracts modal parameters (natural frequencies, modal shapes and damping), which naturally include information such as quality of materials, ageing, damage, etc. Moreover, as a tool based on the Covariance driven Stochastic Subspace Identification method (SSI-COV), it was developed in order to improve the detection of very close natural modes (double modes), during data processing from the instrumentation of Ophite Tower. A Finite Element numerical model (linear) was also proposed to predict the displacements of Ophite Tower under a seismic motion similar to Abruzzes earthquake (Italy, 2009). For unreinforced masonry structures, a model for nonlinear behaviour of materials with a brittle cracking approach has been developed. This is used for the numerical simulation of the ductile behaviour of panels and replaces the expensive experimental tests. From previous works, an analytical seismic vulnerability assessment method of existing buildings, validated par comparison with TreMuRi code, was proposed and applied to a building. For example, the genericity of this methodology has led to an investigation of a local material (pier walls).

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-07-30Bitstream added on 2014-06-13T19:55:34Z : No. of bitstreams: 1 freitas_tc_me_ilha.pdf: 1484818 bytes, checksum: 9f0ca1d5825d93918e44fc9b31aae513 (MD5) / Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) / Este trabalho apresenta o estudo, a implementação e a aplicação de duas técnicas de identificação de parâmetros modais utilizando apenas as respostas da estrutura, denominadas: Identificação Estocástica de Subespaço (IES) e Decomposição no Domínio da Freqüência (DDF). A IES é baseada na Decomposição em Valores Singulares (DVS) da projeção ortogonal do espaço das linhas das saídas futuras no espaço das linhas das saídas passadas. Uma vez realizada a DVS da projeção ortogonal é possível obter o modelo de espaço de estado da estrutura e os parâmetros modais são estimados diretamente através da decomposição em autovalores e autovetores da matriz dinâmica. A DDF é baseada na DVS da matriz de densidade espectral de potência de saída nas linhas de freqüências correspondentes a região em torno de um modo. O primeiro vetor singular obtido para cada linha de freqüência contém as respectivas informações daquele modo e os correspondentes valores singulares levam a função densidade espectral de um sistema equivalente de um grau de liberdade (1GL), permitindo a obtenção dos parâmetros do respectivo modo. Os métodos são avaliados utilizando dados simulados e experimentais. Os resultados mostram que as técnicas implementadas são capazes de estimar os parâmetros modais de estruturas utilizando apenas as respostas. / This work presents the study, implementation and application of the two techniques for the modal parameters identification using only response data: Stochastic Subspace Identification (SSI) and Frequency Domain Decomposition (FDD). The SSI is based on Singular Value Decomposition (SVD) of the orthogonal projection of the future output row space in the past output row space. After the completion of the SVD of the orthogonal projection, is possible to get the state space model of the structure and the modal parameters are estimated directly through the eigenvalues and eigenvectors decomposition of the dynamic matrix. The FDD is based on the SVD of the output power spectral density matrix in the frequencies lines around a mode. The first singular vector obtained for each frequency line contains the respective information about this mode and the corresponding spectral density function leads to an equivalent system of one degree of freedom (1 DOF), allowing the calculation of the parameters of the mode. The methods are evaluated using simulated and experimental data. The results show that the techniques implemented are capable to estimate the modal parameters of structures using only response data.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-12-22Bitstream added on 2014-06-13T19:14:29Z : No. of bitstreams: 1 jardim_mf_me_ilha.pdf: 2211660 bytes, checksum: 2278321e3f739e77b4a47c1e179ff125 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Em muitos problemas do nosso cotidiano ocorre acoplamento entre a resposta acústica no interior de uma cavidade e a excitação estrutural em um de seus contornos flexíveis, bem como a resposta estrutural nestes contornos também está relacionada à fonte acústica da cavidade. Interior de automóveis, cabine de caminhões e fuselagem de aviões são apenas alguns exemplos práticos destes tipos de sistemas. Acoplamento implica que o comportamento dos sistemas acústico e estrutural não são independentes um do outro, e ambos devem ser considerados como um único sistema global. O propósito deste trabalho é avaliar a técnica de matrizes compactas na solução de problema de acoplamento vibroacústico em cavidades de geometria regular e irregular. Preliminarmente, a análise do acoplamento vibro-acústico é baseado no método dos elementos finitos e o conjunto de equações não simétricas que modela o movimento é discutida. A aproximação vibro-acústica por matrizes compactas é feita utilizando conceitos de impedância e mobilidade. No modelo de matrizes compactas, o acoplamento é obtido através da avaliação dos modos acústicos e estruturais desacoplados da cavidade e da estrutura flexível, respectivamente. Simulações numéricas utilizando o método dos elementos finitos e a técnica de matrizes compactas são apresentadas para modelos vibro-acústicos de geometria regular e irregular. Testes experimentais são realizados em uma cavidade irregular feita de PVC e aço. A metodologia de análise dos resultados é baseada nas FRF(s) definidas pelas relações entre a resposta em pressão acústica da cavidade e a força estrutural e entre a resposta em velocidade e a força estrutural aplicada sobre a superfície flexível. A comparação dos modelos numéricos e experimentais mostra o potencial da técnica de matrizes compactas. / In many systems of day-life occurs the coupling between the acoustical response in a cavity and a structural excitation on a flexible boundary, whereas the structural response in this same boundary is also related to acoustical excitation source. Car interiors, cabs of trucks and aircraft fuselage are a just a few practical examples of this sort of systems. Coupling implies that the acoustical and structural system behavior is not independent from each other, and therefore they must be considered as a global system behavior. The aim of this work is to evaluate a compact matrix formulation to solve vibro-acoustic problems in regular and irregular shape cavity. Preliminary, the vibro-acoustic coupling analysis is based on finite element method and the set of non-symmetric equation that represents the movement is discussed. The compact matrix formulation approaches have been done using impedance and mobility concepts. In compact matrix model, the coupling is obtained by evaluating the uncoupled acoustic modes and structural modes of the cavity and flexible structure, respectively. Numerical simulation using the finite element method and the compact matrix formulation are shown for regular and irregular shape cavity model. Experimental tests are evaluated in an irregular rigid cavity made of PVC and steel. The results analysis methodology is based on FRF(s) defined by the relationship between the pressure acoustic response in the cavity and structural force and between the velocity response and structural force applied on the flexible boundary. The comparison of numerical and experimental models shows the potential of the compact matrix formulation.

Neste trabalho é apresentado um procedimento para a análise modal de compósitos. Uma revisão da literatura a este respeito revela que os procedimentos usualmente empregados para este fim baseiam-se em métodos por balanço de massa, análise de imagem ou por análise ponto-a-ponto. Os métodos de análise modal por balanço de massa se baseiam na determinação da composição química da amostra e no conhecimento prévio da composição de cada fase para, então, proceder à determinação da concentração das fases resolvendo um sistema de equações lineares. Isto, no entanto, nem sempre é possível, especialmente quando as composições químicas de mais de uma fase são semelhantes. Os métodos por análise de imagem utilizam de diferentes contrastes para diferenciar as fases de uma amostra e, a partir da área ocupada por cada uma delas, estimar sua fração em volume. Estes métodos estão sujeitos a interpretações incorretas dos tons de cinza das imagens obtidas, o que pode ser contornado utilizando-se imagens resultantes do mapeamento de elementos por fluorescência de raios X, ao custo de um maior tempo de aquisição. O método proposto neste trabalho faz uso da técnica de contagem de pontos com a identificação automática das fases, a partir de seus espectros de fluorescência de raios X, por meio de uma rede neural previamente treinada. A quantidade de cada fase é estimada a partir da frequência com a qual ela é identificada em diferentes pontos da amostra. A precisão da análise pode ser controlada de acordo com o número de pontos analisados. O procedimento de análise ponto-a-ponto foi quase inteiramente automatizado. A análise dos dados é realizada por um programa ("Sherlock") desenvolvido para esta finalidade. Para avaliação do procedimento proposto, foram analisadas amostras de compósitos cerâmicos e um compósito metálico. A partir destas análises foi possível avaliar a precisão e algumas das limitações do método, que se mostrou comparável à técnica de mapeamento de elementos por fluorescência de raios X. O método proposto apresenta ainda a versatilidade da inclusão de outras fontes de informações acerca das fases que compõem a amostra, tais como micro-Raman e micro-FTIR, facilitando assim a sua expansão para a inclusão de fases orgânicas na análise modal de materiais compósitos. / Submitted by Marcelo Teixeira (mvteixeira@ucs.br) on 2014-05-14T18:47:08Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao Felipe G Pandolfo.pdf: 2368255 bytes, checksum: 92253593dc32d9f87309283b10c7eac7 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-05-14T18:47:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Felipe G Pandolfo.pdf: 2368255 bytes, checksum: 92253593dc32d9f87309283b10c7eac7 (MD5) / A modal analysis procedure for composites is presented in this work. Procedures employed to aim this objective can be divided into three groups: mass-balance, image analysis and point-counting. The mass-balance methods are based on the determination of the chemical composition of the sample and on the prior knowledge of the composition of each phase, so to determine the phase concentration by solving a matrix of linear equations. Unfortunately, sometimes it is not possible, specially when two or more phases presentes similar compositions. Image analysis is done using different contrast settings to dicriminate phases and to estimate its volume fraction, based on the area filled by each one. The method may lead to wrong results due to overlapping grey levels. One may employ x-ray fluorescence maps to avoid such errors, although the technique is often very slow. The procedure proposed in this work uses the point-counting method with an automated phase identification, using x-ray spectral data, by means of a formerly trainned neural network. The phase quantities are estimated from the identification frequency of each phase in several points of the sample. The precision of the analysis can be controlled by the number of acquisition points. Almost all procedure has been automated. Data analysis is performed by a software ("Sherlock") developed for this purpose. To evaluate the proposed procedure, ceramic composite samples and a metal composite sample were analysed. These analyses supported the precision evaluation and some limitations of the technique, which may be compared to X-ray element mapping. Further, the proposed procedure can deal with other sources of phase data, making it easy to include organic phase identification into the modal analysis of composite material.

Este trabalho tem por objetivo analisar as perspectivas do estudo de vibrações de estruturas, empregando sistemas sensores baseados em redes de Bragg em fibras óticas. O entendimento das vibrações nas estruturas possibilita o estudo de novos materiais e de novos sistemas construtivos que possam otimizar o dimensionamento e a segurança nos projetos de engenharia. Para as medidas de vibração é apresentado um sistema de leitura de redes de Bragg que tem como características o baixo custo e a facilidade de implementação, quando comparado a outros instrumentos. O aparelho pode ser acoplado a sistemas de aquisição comerciais, pois o sinal analógico de saída está condicionado entre 0 V e 5 V. Os resultados obtidos demonstram a capacidade do sistema em monitorar vibrações em diferentes tipos de materiais, tais como: madeira, aço, concreto e osso. Os resultados das medições feitas com modelos de laboratório mostram-se promissores na análise de vibrações em estruturas, quando comparados aos obtidos por sensores comerciais dos tipos, extensômetro elétrico de resistência e acelerômetro. Para além de estruturas civis, foram realizados estudos para o desenvolvimento de uma nova técnica de ensaio, in vitro, para caracterizar um novo conceito de implante dentário. Os resultados de ensaios de vibrações livres foram realizados com uma barra metálica, com vigas de madeira laminada colada, com vigas de concreto e implantes dentários onde as redes de Bragg foram empregadas. Esses resultados demonstram a capacidade do sensor em monitorar os efeitos de degradação das estruturas através de diferentes técnicas de análise modal. / This work deals with the analysis of perspectives of dynamic study in structures using a sensor system based on fibre optic Bragg gratings. The understanding of vibrations in structures enables the development of new materials, and of new design concepts that improves the sizing and security in engineering projects. The vibration measurements are carried out with a fibre optic Bragg grating demodulation system. The system has a low cost and easiness of implementation when compared to other available instruments. The output range signal of the instrument is between 0 V to 5 V, compatible to standard PC interfacing systems. The results show that the system is able to monitor vibrations in different types of materials, such as wood, steel, reinforced concrete and bone. The sensor is compared to commercial sensors (strain gauges and accelerometer). Beyond of civil structure, studies have been carried out to develop a technique, in vitro, to evaluate a new dental implant concept. The modal analysis techniques employed in the characterization of the different structures studied show the necessity of instrumentation able to measure low amplitude signals with high signal noise ratio. These characteristics are considered essential in material degradation studies by modal analysis technique.

CAPES / Neste trabalho é abordado um problema acoplado fluido-estrutura, comparando o resultado com a análise modal de uma estrutura. O objetivo do trabalho consiste em analisar o fenômeno físico da interação fluido-estrutura em estruturas flexíveis, adotando um modelo compatível com essa situação. Para tal, o problema acoplado é resolvido utilizando uma abordagem Lagrangeana-Euleriana para o domínio do fluido, enquanto que, para o domínio do sólido é utilizado uma abordagem Lagrangeana. Como apoio para resolução das equações matemáticas do problema acoplado, foi utilizado o software de análises físicas ANSYS®. Uma análise modal utilizando o método Rational Fractional Polynomial foi desenvolvida para uma estrutura de aço em escala reduzida, e o resultado desta foi comparado com o resultado obtido do modelo feito no software. Seus modos de vibrar e frequências naturais são utilizados para comparar com o ocorrido no problema acoplado. O problema acoplado consiste em analisar o comportamento dinâmico da estrutura quando ela está sujeita à uma carga de ventos aleatórios, gerados pela incidência de uma rajada de vento em obstáculos. Constatou-se que uma estrutura submetida à cargas de ventos aleatórios tende a se movimentar conforme seus modos de vibração. Além disso, se a oscilação da carga de ventos aleatórios tiver uma frequência próxima da frequência natural da estrutura, esta tende a obter grandes deslocamentos. / In this work, a coupled fluid-structure problem is approached, comparing the result with the modal analysis of a structure. The objective of this work is to analyze the physical phenomenon of fluid-structure interaction in flexible structures, adopting a model compatible with this situation. The coupled problem is solved using a Lagrangean-Eulerian approach for the fluid domain, whereas for the solid domain an Lagrangean approach is used. As support for solving the mathematical equations of the coupled problem, ANSYS® physical analysis software was used. A modal analysis using the Rational Fractional Polynomial method was developed for a small-scale steel structure, and the result was compared to the result obtained from the software model. Its vibrating modes and natural frequencies are used to compare with what occurred in the coupled problem. The coupled problem consists of analyzing the dynamic behavior of the structure when it is subjected to a load of random winds, generated by the incidence of a gust of wind in obstacles. It was found that a structure subjected to loads of random winds tends to move according to its modes of vibration. In addition, if the oscillation of the random wind load has a frequency close to the natural frequency of the structure, it tends to obtain large displacements.