La fonction de Möbius est définie par$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{si $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{si n est le produit de k nombres premiers distincts,}\\ 0 & \textit{si n contient un facteur carré. } \end{cases}$$Nous avons démontré que pour $x \ge \exp( 10^9) $ et $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, il existe dans chaque intervalle $[x-h,x]$ des entiers $n_1$ avec $\mu(n_1)=1$ et des entiers $n_2$ avec $\mu(n_2)=-1$.\\Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général.\\Pour $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, nous avons \\$$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x.-h\le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$la somme $\sum^*$ portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel.\\Et en particulier pour $x \ge \exp( 10^9)$,$$ \left | \sum_{x.-x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.\\$$ / The Möbius function is defined by$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{if $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{if n is a product of k distinct prime numbers,}\\ 0 & \textit{if n contains a square factor. } \end{cases}$$We demonstrate that for $x \ge \exp( 10^9) $ and $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, it exists in each interval $[x-h,x]$ integers $n_1$ with $\mu(n_1)=1$ and integers $n_2$ with $\mu(n_2)=-1$.\\This result is a consequence of a more general result. \\For $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, we have \\ $$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x-h \le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$the sum $\sum^*$ relating to primitive characters except for possible exceptional character.\\And in particular for $x \ge \exp( 10^9)$,$$\left | \sum_{x-.x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.$$

In dieser Dissertationsschrift werden Amplituden in QFTs und CFTs studiert. Zunächst wird mittels der »double copy«-Methode gezeigt, inwiefern Integranden von Gravitationsamplituden aus Integranden von Eichtheorien gewonnen werden können. Um diese Methode anzuwenden, bedarf es einer konkreten Darstellung der Eichtheorieintegranden, sodass die kinematischen Faktoren des Integranden die gleichen algebraischen Relationen erfüllen wie die Strukturkonstanten der Eichtheorie. Mithilfe dieser Methode werden Vierpunktsamplituden in N = 0 Supergravitation gekoppelt mit Yang-Mills in erster Ordnung der Störungsreihe berechnet, welche als asymptotische Zustände Gravitonen oder Gluonen positiver Helizität enthalten. Das Analogon der Amplituden in konform invarianten Theorien, genannt Mellinamplituden, wird anschließend im zweiten Teil diskutiert. Nicht nur durch ihre Beschreibung als Funktionen »lorentzinvarianter« Variablen, welche durch eine Art »LSZ-Reduktion« gewonnen werden, weisen Mellinamplituden eine formal heuristische Ähnlichkeit zu Amplituden auf, sondern auch können alle physikalischen Größen einer CFT aus ihnen berechnet werden. D.h., ebenso wie Amplituden einen Streuprozess vollständig charakterisieren, ist eine CFT eindeutig über ihre Mellinamplituden festgelegt. Fermionische Mellinamplituden wurden zum ersten Mal, in der Veröffentlichung worauf diese Dissertationsschrift basiert, studiert. Jede Komponente der fermionischen Mellinamplituden ist einer bestimmen Tensorstruktur zugeordnet, deren Polstruktur im einzelnen diskutiert wird. Es werden die analytische Eigenschaften der fermionischen Mellinamplituden der gemischten Vierpunktskorrelationsfunktion von zwei Fermionen und Skalaren, sowie von vier Fermionen studiert und darauffolgend werden diese Resultate durch störungstheoretische Rechnungen bei schwacher und starker Kopplung bestätigt. / In this thesis, amplitudes in QFT and CFT are studied. In the first chapter a modern technique to obtain integrands for gravity theories from gauge theory integrands is discussed. This formalism is called the doubly copy method and it can be applied if the gauge theory integrand is given in a specific representation where the kinematic numerator factors obey the same algebraic relations as the colour factors, e.g. the Jacobi identity. This method is applied to obtain the positive helicity sector of amplitudes in N = 0 supergravity coupled to Yang-Mills with external gravitons and gluons at one loop. Only the special case of four external particles is studied. Partial results are also obtained for pure Einstein-Yang-Mills amplitudes, where the axion and dilaton as virtual particles have been removed. In the second chapter, the natural analogue of amplitudes in CFTs is studied. These mathematical objects are called Mellin amplitudes. Mellin amplitudes can be understood as the CFT analogue of QFT amplitudes, because they are functions of “Lorentz invariant” quantities of their “momenta”. In addition all the CFT data is encoded in the Mellin amplitudes as all the data of a scattering process is included in usual amplitudes. The study of fermionic Mellin amplitudes has been carried out for the first time in the associated publication. These Mellin amplitudes have several components each associated to a certain tensor structure. The analytic properties of fermionic Mellin amplitudes corresponding to mixed four fermion-scalar conformal correlators and four fermion conformal correlators are deduced and finally these general results are confirmed by explicit perturbative calculations at weak and strong coupling.

Le sujet de cette thèse est l'étude des produits d'opérateurs de Toeplitz, aussi bien ceux définis sur l'espace de Hardy du cercle unité que ceux définis sur l'espace de Bergman du disque unité. Les deux questions soulevées dans mon travail sont les suivantes :<br />1) Sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz est-il un opérateur de Toeplitz?<br />2) Sous quelles conditions le produits de deux opérateurs de Toeplitz est-il commutatif?<br />Pour chacune de ces deux questions, nous commençons par rappeler les travaux antérieurs avec tout ce qu'ils nécessitent comme outils techniques, puis nous exposerons notre contribution dans ce domaine. Notamment, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes soit encore un opérateurs de Toeplitz. De plus, nous caractérisons les opérateurs de Toeplitz bornés qui commutent avec un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Pour motiver cette caractérisation, nous introduisons une nouvelle notion à savoir la T-racine d'un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Cette notion, nous permet de donner une construction effective d'opérateurs de Toeplitz non triviaux dont toutes les puissances sont des opérateurs de Toeplitz.

In this thesis, rotation, scale and translation (RST) invariant automatic target recognition (ATR) for satellite imagery is presented. Template matching is used to realize the target recognition. However, unlike most of the studies of template matching in the literature, RST invariance is required in our problem, since most of the time we will have only a small number of templates of each target, while the targets to be recognized in the scenes will have various orientations, scaling and translations. RST invariance is studied in detail and implemented with some of the competing methods in the literature, such as Fourier-Mellin transform and bipectrum combined with log-polar mapping. Phase correlation and normalized cross-correlation are used as similarity metrics. Encountered drawbacks were overcome with additional operations and modifications of the algorithms. ATR using reconstruction of the target image with respect to the template, based on bispectrum, log-polar mapping and phase correlation outperformed the other methods and successful recognition was realized for various target types, especially for targets on relatively simpler backgrounds, i.e. containing little or no other objects.

This thesis explores one possible method of preventing helicopter crashes caused by brownout using the noise generated by the helicopter rotor as an altimeter. The hypothesis under consideration is that the helicopter's height, velocity, and obstacle locations with respect to the helicopter, can be determined by comparing incident and reflected rotor noise signals, provided adequate bandwidth and signal to noise ratio. Heights can be determined by measuring the cepstrum of the reflected helicopter noise. The velocity can be determined by measuring small amounts of Doppler distortion using the Mellin-Scale Transform. Height and velocity detection algorithms are developed, optimized for this application, and tested using a microphone array. The algorithms and array are tested using a hemianechoic chamber and outside in Georgia Tech's Burger Bowl. Height and obstacle detection are determined to be feasible with the existing array. Velocity detection and surface mapping are not successfully accomplished.

Disertacijoje gautas Dirichlė L funkcijų modifikuotosios Melino transformacijos pratęsimas į visą kompleksinę plokštumą. / In the thesis a meremorphic continuation of Dirichlet L- functions to the whole complex plane have been obtained.

In the thesis moromorphic continuation of modified Mellin transforms of Dirichlet L-functions to the whole complex plane have been obtained. / Disertacijoje gauta modifikuotosios Melino transformacijos L- funkcijai meromorfinis pratęsimas į visą kompleksinę plokštumą.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第21559号 / 理博第4466号 / 新制||理||1641(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻 / (主査)教授 川合 光, 教授 田中 貴浩, 教授 高柳 匡 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

In dieser Dissertation stellen wir moderne analytische Methoden zur Untersuchung von konformen Feldtheorien (CFTs) in mehr als zwei Dimensionen vor. Mit Hilfe dieser Methoden können das Spektrum der Theorie und die Operatorprodukt-Koeffizienten (OPE-Koeffizienten) ermittelt werden. Zunächst untersuchen wir das Spektrum lokaler Operatoren in CFTs auf einem Defekt mit Kodimension größer eins. Wir zeigen, dass für großen transversalen Spin s das Spektrum jeder Theorie abzählbar unendlich viele Häufungspunkte aufweist. Der Spin s ist die Quantenzahl, die zu der Untergruppe der Lorentzgruppe gehört, welche den Defekt invariant lässt. Des Weiteren finden wir die OPE-Koeffizienten und die anomalen Dimensionen der zu den Häufungspunkten gehörenden Operatoren in einer Entwicklung in 1/s mit Hilfe von Lichtkegel-Bootstrap-Techniken. Außerdem leiten wir aus der Diskontinuität der kausalen Zweipunktfunktion die Operatordimensionen und OPE-Koeffizienten als analytische Funktionen von s her. Im zweiten Teil dieser Arbeit führen wir die Mellindarstellung von konformen Korrelationsfunktionen ein. In dieser Darstellung sind das Spektrum und die OPE-Koeffizienten manifest enthalten. Wir legen den Fokus auf die Beschreibung von Vierpunktfunktionen in drei Dimensionen von entweder ausschließlich Spin 1/2 Operatoren oder einer Mischung aus Spin 1/2 und skalaren Operatoren. Nachdem wir für diese Vierpunktfunktionen die Mellinamplituden definieren, untersuchen wir die Polstruktur dieser genauer. Im Anschluss illustrieren wir die Analyse an konkreten Mellinamplituden von fermionischen Wittendiagrammen und konformen fermionischen Feynmandiagrammen. Im letzten Teil untersuchen wir die OPE im Kontext der Holographie. Hierbei leiten wir theorieunabhängige Beziehungen zwischen den OPE-Koeffizienten der Weltflächen-CFT einer Stringtheorie in Anti-de-Sitter-Raumzeit und der dualen CFT her. / In this thesis, we discuss some modern analytical approaches to studying conformal field theories (CFTs) in dimensions greater than two. The results thus derived pertain to the dynamical data that define a generic CFT, namely the spectrum of operators and the coefficients in the operator product expansion (OPE). We begin with an investigation of the spectrum of local operators supported on conformal defects of codimension greater than one and establish the existence therein of a countably infinite number of universal accumulation points at large transverse spin s. Here, s is a quantum number associated with the symmetry under the Lorentz transformations that preserve the defect. Using lightcone bootstrap techniques, we calculate the anomalous dimensions and OPE coefficients of the operators that populate these accumulation points in a large s expansion. Furthermore, we derive an integral formula to obtain the CFT data associated with the defect theory from the discontinuity in the causal two-point function of scalar operators in the ambient theory, thereby inverting the expansion of this correlator in the defect channel. This formula extracts the operator dimensions and OPE coefficients in an analytic function in s and also enables us to resum the large s expansion obtained using lightcone bootstrap. Thereafter we move on to a discussion of the Mellin representation of fermionic conformal correlators. The dynamical data in CFTs is manifest in the analytic properties of Mellin amplitudes. We define, concretely for three spacetime dimensions, the Mellin amplitudes associated with the four-point function of spin-half operators and the mixed four-point function of spin-half and scalar operators. We analyze the pole structure of these Mellin amplitudes and illustrate the general features thus unraveled with some explicit computations of Mellin amplitudes associated with Witten diagrams and conformal Feynman integrals with fermionic legs. Finally we look at the OPE in the context of holography and derive a set of theory independent relations between OPE coefficients in the worldsheet CFT of a string theory in anti-de Sitter spacetime and those in the dual CFT.

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables : g(s_1,s_2,a,r)=∑ (d≥1) r(d)a(d)^{-s_1}d^{-s_2}, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons la limite lorsque X tend vers l'infini de X^{-1}∑ (d≤X, a(d)≤z) r(d) (0