Pour les solutions transitoires répétées des structures géométriquement nonlinéaires l’effort numérique présente souvent une contrainte importante. Ainsi, l’introduction d’un modèle d’ordre réduit, qui prend en compte les effets nonlinéaires et qui accélère considérablement les calculs, s’avère souvent nécessaire.Ce travail aboutit à une méthode qui permet des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables, à travers d’un modèle réduit de la structure initiale. La structure est discrétisée et son équilibre dynamique décrit par une équation matricielle. La projection sur une base réduite est introduite afin d’obtenir un modèle réduit. Une étude numérique complète sur plusieurs bases communes démontre que la simple introduction d’une base constante ne suffit pas pour prendre en compte le comportement nonlinéaire. Trois exigences sont déduites pour une solution transitoire accélérée, fidèle et paramétrable. L’algorithme de solution doit permettre un suivi de l’évolution nonlinéaire de la solution transitoire, la solution doit être autonome des termes nonlinéaires en éléments finis et la base doit être adaptée à des paramètres externes.Trois approches sont mises en place, chacune répondant à une exigence. Ces approches sont assemblées dans la méthode intégrée. Les approches sont la mise-à-jour et augmentation de la base , la formulation polynomiale des termes nonlinéaires et l’interpolation de la base. Un algorithme de type Newmark forme le cadre de la méthode intégrée. L’application de la méthode intégrée sur des cas test en élément finis géométriquement nonlinéaires confirme qu’elle répond au but initial d’obtenir des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables. / For repeated transient solutions of geometrically nonlinear structures the numerical effort often poses a major obstacle. Thus, the introduction of a reduced order model, which takes the nonlinear effects into account and accelerates the calculations considerably, is often necessary.This work yields a method that allows for rapid, accurate and parameterisable solutions by means of a reduced model of the original structure. The structure is discretised and its dynamic equilibrium described by a matrix equation. The projection on a reduced basis is introduced to obtain the reduced model. A comprehensive numerical study on several common reduced bases shows that the simple introduction of a constant basis is not sufficient to account for the nonlinear behaviour. Three requirements for an rapid, accurate and parameterisable solution are derived. The solution algorithm has to take into account the nonlinear evolution of the solution, the solution has to be independent of the nonlinear finite element terms and the basis has to be adapted to external parameters.Three approaches are provided, each responding to one requirement. These approaches are assembled to the integrated method. The approaches are the update and augmentation of the basis, the polynomial formulation of the nonlinear terms and the interpolation of the basis. A Newmark-type time-marching algorithm provides the frame of the integrated method. The application of the integrated method on test-cases with geometrically nonlinear finite elements confirms that this method leads to the initial aim of a rapid, accurate and parameterisable transient solution.

Une méthode innovante pour simuler des interactions fluide-structure complexes tout en gardant un bon compromis temps de calcul/précision est présenté.Pour réduire le temps de simulation des modèles d’ordre réduits sont utilisés au lieu des modèles complets aussi bien pour les modèles structuraux que pour les modèles aérodynamiques. Un des challenges de base était d'utiliser des modèles industrielles hautes fidélités. La technique de condensation dynamique est utilisée pour réduire la taille du modèle éléments finis structures et la décomposition aux valeurs propres est utilisé sur une base de données aérodynamiques construite à partir de simulations CFD.Les non-linéarités structurelles sont réintroduites à posteriori.Une comparaison poussée des méthodes classique d'interpolation comme des méthodes de spline, d’interpolation sur des Manifold de Grassmann avec des méthodes innovantes d'apprentissage statistiques a été amené.Afin de valider complètement la méthodologie développée, une maquette expérimentale visant à imiter le comportement du carénage au sol avant le décollage a été conçue.Ce cas a pu être assimilé à une plaque avec des raideurs de liaisons dans une couche de mélange.La validation de cette méthode est réalisée en comparant les résultats des simulations numériques avec les données enregistrées pendant des essaies en soufflerie. On pourra ainsi comparer aussi bien des champs que des mesures locales. L'ensemble des essais a permis d'améliorer la compréhension de ce phénomène vibratoire qui mène à des problèmes récurrents de fatigue dans cette sous structures.Cette méthode est enfin appliquée à une structure aéronautique: les carénages de volet hypersustentateur / An innovative method for numerical simulating complex problems of fluid structure interaction, such as non-linear transients, characterized by good performances and high precision is presented in this manuscript. To cut down the simulation time, reduced order models are used for both the aerodynamic and structural modules. High fidelity industrial models have been used. A technique of dynamic condensation is employed to reduce the size of the finite element model while the technique of Proper Orthogonal Decomposition is used on a database of aerodynamic pressures built from CFD simulations. Structural non-linearities are reintroduced a posteriori. Different interpolation techniques such as the classic spline interpolation, interpolation on a Grassmann Manifold with more innovative methods of statistical learning have been compared. In order to validate the developed methodology a test campaign has been designed to reproduce a simplified mechanism of interaction inspired by a flap track fairing in take-off configuration. A plate whose stiffness depends on the springs at its attachment to the wind tunnel test section floor is immersed in a mixing layer. In parallel to the test activities a numerical model of the test rig has been developed. The validation of the methodology of fluid structure interaction is done through direct comparison between test data and simulation results. The testing activities have granted a deeper comprehension of the vibratory phenomenon that has led to recurrent fatigue problems on the impacted structures. The methodology is ultimately applied to an industrial problem: the load prediction on flap track fairings excited by engine exhaust.

Les sources d’énergies renouvelables représentent un gisement intéressant mais l’intermittence de leur production impose une meilleure anticipation des besoins et la mise en place d’un système de stockage d’énergie. Le stockage thermochimique par adsorption dans un système intégrant le couple zéolithe 13X/eau semble être une solution adaptée à un stockage de l’énergie à basse température pour une application aux bâtiments. Notre objectif consiste à reproduire le comportement de ce type de problèmes thermiques non-linéaires. En effet, une simulation précise et rapide du comportement du système sélectionné permettrait une régulation lors de son utilisation. Un modèle bidimensionnel de stockage d’énergie dans un adsorbeur cylindrique a été développé. La résolution numérique de ce modèle, dit d’ordre élevé, implique l’intégration d’un système de quelques centaines à quelques milliers d’équations fortement non-linéaires et couplés. Les coûts de calculs générés pouvant être prohibitifs, l’application d’une méthode de réduction a ainsi été envisagée afin de conserver les caractéristiques, le couplage des transferts de chaleur et de masse ainsi que les non-linéarités de ce modèle tout en limitant le temps de calculs. La projection de Galerkin des équations de ce dernier sur la base, obtenue grâce à une décomposition orthogonale aux valeurs propres, permet de construire un système dynamique d’ordre faible. Sa résolution est moins coûteuse que celle du modèle d’ordre élevé et reproduit correctement la dynamique de l’adsorbeur. / Renewable energy sources will play a key role in meeting future energy demand. One major criticism of those sources stands in their intermittency requiring both a more effective management of demand and efficient storage systems. We focus on thermo-chemical storage by adsorption-desorption mechanism. Eco friendly, economically viable and suitable with solar energy temperature range made the zeolite 13X - water pair ideal for buildings applications. We built an energy storage model in a cylindrical adsorber which contains the mentioned zeolite13X - water pair. Energy storage has been modeled to present coupled heat and mass transfers thanks to a bi-dimensional model. The numerical simulations lead to the time-space evolution of the heating fluid and adsorbent temperatures and pressure. These knowledge models include typically a great amount of coupled differential equations to solve and strong non linearities. The originality of this study is to build a knowledge model of coupled heat and mass transfer in an adsorber and use the Proper Orthogonal Decomposition (POD) and Galerkin projection to build a minimal model of lower dimension without significant loose of accuracy.

L’utilisation de techniques numériques lors de la conception d’un produit s’est largement généralisée au cours des 30 dernières années. Pourtant, la lenteur des calculs et la spécialisation des modèles numériques restent problématiques.Nous avons donc choisi de développer des modèles réduits du comportement de balayage sur un moteur Diesel 2-temps à lumières. Ces modèles sont analytiques, génériques, rapides d’utilisation et permettent d’éliminer les problématiques de traitement numérique. Ils sont aussi des instruments performants dans la recherche de solutions de conception. Une modélisation CFD 2D a tout d’abord été développée pour servir de bases de données, avec la définition des paramètres primordiaux à suivre pour quantifier un balayage optimal.Le travail de recherche a dévoilé une méthodologie nouvelle fondée sur un méta-modèle du comportement dit « neuro-séparé » comprenant un modèle neuronal d’état, un modèle neuronal pseudo-dynamique et un modèle à variables séparées. Ensuite, un processus d'aide à la décision exploitant les modèles précédents a été mis en place au travers d’un processus d’optimisation évolutionnaire (fondé sur les algorithmes génétiques) puis de la simulation comportementale rapide des solutions optimales de conception par un krigeage.La démarche de conception multipoints de vue, multi-critères et multi-physiques appliquée au moteur intègre aussi une dimension cognitive : l’exploration évolutionnaire des espaces de solutions a été menée de façon libre et forcée. Afin de valider notre approche, nous avons mis en place des critères de qualification appliqués à chacun de nos modèles, permettant de quantifier les écarts visà-vis de la base initiale CFD qui a fondé nos modèles réduits.Notre démarche a mené à la création d’un outil d’aide à la modélisation et à la décision exploitant les modules Python et Matlab développés. / The use of numerical methods to design a product became more and more commonover the past 30 years. However, numerical models are still specialized and they do not run fastwhich make their use problematic. So some reduced models of scavenging have been developed. These models are analytical andgeneric; they run quickly and avoid the numerical treatment problems. They are also some efficienttools in the search of design solutions.The work carried out has led to a new methodology based on a behavioral meta-model called“neuro-separated” including a neuronal model of state, a pseudo-dynamic neuronal model and amodel with separated variables. Then, a process of decision aids exploiting the models previouslydeveloped in evolutionary algorithms (genetic algorithms) and the fast behavioral simulation of theoptimal design solutions thanks to the kriging approach.This design approach is multi-viewpoints, multi-criteria and multi-physics. It also includes acognitive dimension: both free and controlled evolutionary explorations of solution spaces have beendone. To validate the method, some qualification criteria have been evaluated for each model. Theyallow to understand and to assume the gap between the reduced models and the initial CFD base(where the model are coming from). Our approach has led to the development of a tool of model and decision aids using Python and Matlab software programs.

Il est connu depuis des décennies que la propagation des fissures de fatigue dans les matériaux élastoplastiques est très sensible à l’histoire du chargement car le comportement non-linéaire du matériau peut avoir une grande influence sur les vitesses de propagation. Cependant, le calcul brut de millions de cycles de fatigue avec des comportements matériaux non-linéaires sur des structures tridimensionnelles réalistes conduirait à des temps de calcul prohibitifs. Ainsi, nous proposons de coupler deux approches de réduction de modèle a priori et a posteriori, afin de diminuer considérablement le coût de calcul de ce type de problèmes. Tout d’abord, considérant l’hypothèse de plasticité confinée, une stratégie de réduction de modèle a posteriori du comportement plastique de la structure fissurée est proposée. Le modèle réduit ainsi obtenu fournit incrémentalement l’état plastique autour du front de fissure, duquel est déduite la vitesse instantanée de la fissure. De plus, une seconde approche de réduction de modèle, a priori cette fois, est aussi mise en place afin d’accélérer encore plus les temps de résolution du problème global. Cette approche a priori consiste à construire incrémentalement —et sans calculs préalables— une base réduite spécifique à chaque cas-test, en extrayant de l’information des champs de déplacement de la structure au cours du temps et pendant la propagation éventuelle de la fissure. Ainsi, les champs de déplacement solutions de la géométrie fissurée réactualisée sont vus comme une combinaison linéaire de cette base réduite de vecteurs. La méthode numérique considérée ici est la méthode des éléments finis. De fait, pendant la propagation de la fissure, la discrétisation spatiale du modèle doit être réactualisée afin d’être conforme avec le front de la fissure. Dans ce but, une technique spécifique de déformation de maillage est utilisée, et permet de discrétiser la géométrie variable du modèle avec des maillages de même topologie. Cette technique de déformation de maillage apparaît comme une étape clé de la stratégie de réduction de modèle. Finalement, une approche adaptative est construite autour de cette stratégie. Elle permet de garantir la qualité des résultats obtenus par rapport à un critère de précision donné. La précision et l’efficacité de cette stratégie globale sont démontrées à travers de nombreux exemples bidimensionnels et tridimensionnels dans le cadre de propagation de fissure en model, de même que pour un exemple industriel d’une pièce fissurée d’hélicoptère. / It has been known for decades that fatigue crack propagation in elastic-plastic media is very sensitive to load history since the nonlinear behavior of the material can have a great influence on propagation rates. However, the raw computation of millions of fatigue cycles with nonlinear material behavior on tridimensional structures would lead to prohibitive calculation times. In this respect, we propose a global model reduction strategy, mixing both the a posteriori and a priori approaches in order to drastically decrease the computational cost of these types of problems. First, the small scale yielding hypothesis is assumed, and an a posteriori model reduction of the plastic behavior of the cracked structure is performed. This reduced model provides incrementally the plastic state in the vicinity of the crack front, from which the instantaneous crack growth rate is inferred. Then an additional a priori model reduction technique is used to accelerate even more the time to solution of the whole problem. This a priori approach consists in building incrementally and without any previous calculations a reduced basis specific to the considered test-case, by extracting information from the evolving displacement field of the structure. Then the displacement solutions of the updated crack geometries are sought as linear combinations of those few basis vectors. The numerical method chosen for this work is the finite element method. Hence, during the propagation the spatial discretization of the model has to be updated to be consistent with the evolving crack front. For this purpose, a specific mesh morphing technique is used, that enables to discretize the evolving model geometry with meshes of the same topology. This morphing method appears to be a key component of the model reduction strategy. Finally, the whole strategy introduced above is embedded inside an adaptive approach, in order to ensure the quality of the results with respect to a given accuracy. The accuracy and the efficiency of this global strategy have been shown through several examples; either in bidimensional and tridimensional cases for model crack propagation, including the industrial example of a helicopter structure.

Les ensembles turbo-alternateurs des centrales électriques sont de grandes machines tournantes de plus de 50 mètres de long et de plusieurs centaines de tonnes. Lors du fonctionnement normal d'une telle machine, une probabilité non nulle existe d'un détachement accidentel d'une aube. Dans une telle situation, un balourd important est généré et du contact apparaît entre les parties tournantes et non tournantes de la machine. Il est alors capital de pouvoir simuler efficacement la dynamique de ce type d'évènement faisant intervenir de fortes non linéarités dans le système. Cette thèse a été réalisée dans le cadre du projet ANR (Agence Nationale de la Recherche) IRINA (SImulation et maîtRise des rIsques en coNception des mAchines tournantes) et en particulier entre le LaMCoS (LAboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures) de l'INSA de Lyon et le département AMA (Analyses Mécaniques et Acoustiques) d'EDF R et D à Clamart. Elle a pour objectif de mettre au point une technique rapide de simulation du comportement des lignes d'arbres de machines tournantes en cas de présence de non linéarité de type contact entre rotor et stator. Pour atteindre cet objectif, une double démarche a été mise en place. La première consiste à mettre au point des modèles simplifiés afin de réduire le nombre de degrés de liberté du problème. De surcroît, une technique de réduction de modèle adaptée au cas de non linéarité localisée est utilisée afin de réduire encore plus la taille du système à résoudre. La seconde démarche consiste à mettre au point une technique de résolution rapide du système réduit afin d'obtenir la solution encore plus rapidement. Pour cela, au lieu d'utiliser les traditionnelles techniques d'intégration temporelle directe, c'est la méthode de la balance harmonique qui est mise à profit. Cette technique permet d'obtenir directement la réponse stabilisée du système grâce à une résolution des équations dans le domaine fréquentiel. Dans ce cadre, une maquette numérique a été mise au point mettant en oeuvre les fonctionnalités citées. Cette dernière permet de reproduire les phénomènes physiques périodiques ainsi que quasi-périodiques et de déterminer leur stabilité. Des études paramétriques sur des exemples de problèmes de contact rotor-stator viennent illustrer cette démarche. Enfin, une application sur un cas industriel de groupe turbo alternateur EDF est présentée. / Power plants turbo-generator sets are large rotating machines of more than 50 meters long and weight several hundred tons. During normal operation of such a machine, there is a nonzero probability of an accidental disconnection of a blade. In such a situation, a significant imbalance is generated and contact may occur between the rotating and non-rotating parts. It is therefore essential to be able to effectively simulate the dynamics of this type of event involving strong nonlinearities in the system. This PhD was conducted within the framework of the ANR (Agence Nationale de la Recherche) IRINA (Simulation and risk control in rotating machinery design) and in particular between the LaMCoS (LAboratory of Contact Mechanics and Structures) of the INSA Lyon and the AMA department (Mechanical and Acoustic Analysis) at EDF R and D in Clamart. It aims to develop a fast technique for simulating the behavior of shafts of rotating machinery in case of presence of non-linearity of contact between rotor and stator. To achieve this goal, a dual approach was implemented. The first is to develop simplified models to reduce the number of degrees of freedom of the problem. In addition, a model reduction technique suitable for the case of localized nonlinearity is used to further reduce the size of the system to be solved. The second approach is to develop a technique for efficient resolution of the reduced system to obtain the solution more quickly. To do this, instead of using the traditional direct temporal integration techniques, the harmonic balance method is put to use. This technique allows to directly obtain the stabilized response of the system thanks to a resolution of the equations in the frequency domain. In this context, a numerical model has been developed to implement the features mentioned. The latter allows to reproduce the physical periodic and quasi-periodic phenomena and to determine their stability. Parametric studies of examples of problems of rotor-stator contact will illustrate this approach. Finally, an application on an industrial case of turbo generator EDF is presented.

La mécanique computationnelle est un outil incontournable pour le monde de l’ingénierie mécanique. Motivé par un désir de réalisme et soumis à un perpétuel gigantisme, les modèles numériques doivent aujourd’hui inclure des phénomènes physiques de plus en plus complexes. Par conséquence, d’importantes capacités calculatoires sont requises afin de traiter des problèmes à la fois non-linéaires mais aussi de grande taille. Pour atteindre cet objectif, il convient de développer les stations de calculs mais aussi les méthodes algorithmiques utilisées afin de résoudre efficacement ces types de problèmes. Récemment, les méthodes de réduction de modèle se révèlent comme d’excellentes options au développement d’algorithmes de résolution performants. Le problème du contact frottant entre solides élastiques est particulièrement bien connu pour sa complexité et dont les temps de calcul peuvent devenir prohibitifs. En effet, les lois qui le régissent sont très hautement non-linéaires (non différentiables). Dans ce mémoire, nous nous proposons d’appliquer différentes méthodes de réduction de modèle (a posteriori et a priori) à ce type de problème afin de développer des méthodes de calculs accélérées dans le cadre de la méthode des éléments finis. Tout d’abord, en se plaçant dans le cadre des petites perturbations en évolution quasistatique, la réductibilité de diverses solutions impliquant du contact frottant est mise en évidence via leur décomposition en valeur singulière. De plus, leur contenu à échelle séparée est exhibé. La méthode non-incrémentale et non-linéaire à large incrément de temps (LATIN) est par la suite présentée. Dans un second temps et à partir des observations faites précédemment, une méthode LATIN accélérée est proposée en s’inspirant des méthodes multigrilles non-linéaires de type “full approximation scheme” (FAS). Cette méthode s’apparente en partie aux méthodes de réduction de modèle de type a posteriori. De plus, une stratégie de calcul de modes à partir d’un modèle de substitution est proposée. Par la suite, la décomposition propre généralisée (PGD) est utilisée afin de développer une méthode de résolution non-linéaire efficace reposant fondamentalement sur une approche de réduction de modèle de type a priori. Enfin, quelques extensions sont proposées telle que la résolution de problème faisant intervenir des études paramétriques, ou encore la prise en charge de non-linéarités supplémentaires telle que la plasticité. / Computational mechanics is an essential tool for mechanical engineering purposes. Nowadays, numerical models have to take into account complex physical phenomenons to be even more realistic and become larger and larger. As a consequence, more and more computing capacities are required in order to tackle not only non-linear problems but also large scale problems. For that purpose, both computers and numerical methods have to be developed in order to solve them efficiently. In the last decades, model reduction methods show great abilities to assign such challenges. The frictional contact problem between elastic solids is particularly well-known for its difficulty. Because its governing laws are highly non-linear (non-smooth), prohibitive computational time can occur. In this dissertation, model reduction methods (both a posteriori and a priori approaches) are deployed in order to implement efficient numerical methods to solve frictional contact problem in the finite element framework. First, small perturbations hypothesis with a quasi-static evolution are assumed. Then, reducibility of some frictional solutions is emphasized and discussed using the singular value decomposition. In addition, a scale separability phenomenon is enlightened. Then, the non-linear large time increment method (LATIN) is introduced. Secondly, an accelerated LATIN method is suggested by drawing an analogy between previous scale separability observations and the non-linear multigrid full approximation scheme (FAS). This accelerated non-linear solver relies essentially on the a posteriori model reduction approach. A precomputation strategy for modes relying on surrogate models is also suggested. Next, the proper generalized decomposition (PGD) is used to implement a non-linear solver relying fundamentally on an a priori model reduction method. Finally, some extensions are given to assign parametric studies and to take into account an additional non-linearity such as elastoplastic constitutive laws.

Les systèmes physiques sont représentés par des modèles mathématiques qui peuvent être utilisés pour simuler, analyser ou contrôler ces systèmes. Selon la complexité du système qu’il est censé représenter, un modèle peut être plus ou moins complexe. Une complexité trop grande peut s’avérer problématique en pratique du fait des limitations de puissance de calcul et de mémoire des ordinateurs. L’une des façons de contourner ce problème consiste à utiliser l’approximation de modèles qui vise à remplacer le modèle complexe par un modèle simplifié dont le comportement est toujours représentatif de celui du système physique.Dans le cas des modèles dynamiques Linéaires et Invariants dans le Temps (LTI), la complexité se traduit par une dimension importante du vecteur d’état et on parle alors de modèles de grande dimension. L’approximation de modèle, encore appelée réduction de modèle dans ce cas, a pour but de trouver un modèle dont le vecteur d’état est plus petit que celui du modèle de grande dimension tel que les comportements entrée-sortie des deux modèles soient proches selon une certaine norme. La norme H2 a été largement considérée dans la littérature pour mesurer la qualité d’un modèle réduit. Cependant, la bande passante limitée des capteurs et des actionneurs ainsi que le fait qu’un modèle est généralement représentatif d’un système physique dans une certaine bande fréquentielle seulement, laissent penser qu’un modèle réduit dont le comportement est fidèle au modèle de grande dimension dans un intervalle de fréquences donné,peut être plus pertinent. C’est pourquoi, dans cette étude, la norme H2 limitée en fréquence,ou norme H2, Ω, qui est simplement la restriction de la norme H2 sur un intervalle de fréquences Ω, a été considérée. En particulier, le problème qui vise à trouver un modèle réduit minimisant la norme H2, Ω de l’erreur d’approximation avec le modèle de grande dimension a été traité.Deux approches ont été proposées dans cette optique. La première est une approche empirique basée sur la modification d’une méthode sous-optimale pour l’approximation H2. En pratique, ses performances s’avèrent intéressantes et rivalisent avec certaines méthodes connues pour l’approximation de modèles sur intervalles de fréquences limités.La seconde est une méthode d’optimisation basée sur la formulation pôles-résidus de la norme H2, Ω. Cette formulation généralise naturellement celle existante pour la norme H2 et permet également d’exprimer deux bornes supérieures sur la norme H∞ d’un modèle LTI, ce qui est particulièrement intéressant dans le cadre de la réduction de modèle. Les conditions d’optimalité du premier ordre pour le problème d’approximation optimale en norme H2, Ω ont été exprimées et utilisées pour créer un algorithme de descente visant à trouver un minimum local au problème d’approximation. Couplée aux bornes sur la norme H∞ de l’erreur d’approximation,cette méthode est utilisée pour le contrôle de modèle de grande dimension.D’un point de vue plus pratique, l’ensemble des méthodes proposées dans cette étude ont été appliquées, avec succès, dans un cadre industriel comme élément d’un processus global visant à contrôler un avion civil flexible. / Physical systems are represented by mathematical models in order to be simulated, analysed or controlled. Depending on the complexity of the physical system it is meant to represent and on the way it has been built, a model can be more or less complex. This complexity can become an issue in practice due to the limited computational power and memory of computers. One way to alleviate this issue consists in using model approximation which is aimed at finding a simpler model that still represents faithfully the physical system.In the case of Linear Time Invariant (LTI) dynamical models, complexity translates into a large dimension of the state vector and one talks about large-scale models. Model approximation is in this case also called model reduction and consists in finding a model with a smaller state vector such that the input-to-output behaviours of both models are close with respect to some measure. The H2-norm has been extensively used in the literature to evaluate the quality of a reduced-order model. Yet, due to the limited band width of actuators, sensors and the fact that models are generally representative on a bounded frequency interval only, a reduced-order model that faithfully reproduces the behaviour of the large-scale one over a bounded frequency interval only, may be morerelevant. That is why, in this study, the frequency-limited H2-norm, or H2,Ω-norm, which is the restriction of theH2-norm over a frequency interval, has been considered. In particular, the problem of finding a reduced-ordermodel that minimises the H2, Ω-norm of the approximation error with the large-scale model has been addressed here. For that purpose, two approaches have been developed. The first one is an empirical approach based on the modification of a sub-optimal H2 model approximation method. Its performances are interesting in practice and compete with some well-known frequency-limited approximation methods. The second one is an optimisationmethod relying on the poles-residues formulation of the H2,Ω-norm. This formulation naturally extends the oneexisting for the H2-norm and can also be used to derive two upper bounds on the H∞-norm of LTI dynamical models which is of particular interest in model reduction. The first-order optimality conditions of the optimal H2,Ω approximation problem are derived and used to built a complex-domain descent algorithm aimed at finding a local minimum of the problem. Together with the H∞ bounds on the approximation error, this approach isused to perform control of large-scale models. From a practical point of view, the methods proposed in this study have been successfully applied in an industrial context as a part of the global process aimed at controlling a flexible civilian aircraft.

La machine à réluctance variable peut être utilisée dans les véhicules électriques où pour des considérations d’autonomie, le rendement est crucial. En raison du fort champ de fuite dans la région de l’entrefer de la machine à réluctance variable due à sa géométrie particulière à pôles saillants, les pertes « cuivre » peuvent devenir conséquentes. Il est alors recommandé de ne pas placer les conducteurs au voisinage de l’entrefer. Cependant, des instructions concrètes pour la conception d’un enroulement optimal sont manquantes. Généralement, les pertes « cuivre » dans les machines électriques sont la somme des pertes Ohm DC classiques et des pertes additionnelles dites par courants de Foucault. Les pertes DC étant constantes à un point de fonctionnement donné, l’optimisation est axée alors sur la réduction des pertes par courants de Foucault en jouant sur la configuration géométrique de l’enroulement. Dans le cas de calculs répétitifs fastidieux, rencontrés par exemple lors des processus de conception et d’optimisation du bobinage des machines électriques, il y a un intérêt significatif à réduire le temps de calcul. Dans ce travail, on présente trois techniques de réduction du modèle et leurs applications dans les analyses par la méthode des éléments finis. Outre l’influence de la fréquence d’alimentation et de la section du conducteur, plusieurs facteurs liés à la configuration de l’enroulement influent sur les pertes additionnelles par courants de Foucault :i) la position du conducteur dans l’encoche au voisinage de la dent du stator ou de la zone de l’entrefer .ii) la disposition des conducteurs envers les lignes du champ magnétique bidimensionnelles de l’encoche .iii) l’utilisation d’un conducteur massif ou multi filamentaire; les filaments sont connectés en parallèle et peuvent permuter leurs positions périodiquement au sein du conducteur tout au long du bobinage. Dans cette thèse, on étudie principalement l’influence de la disposition géométrique des spires dans l’encoche et du type du conducteur utilisé s’il s’agit d’un conducteur massif, en fils de Litz ou en fils torsadés. Les pertes par courants de Foucault sont la conséquence d’un couplage fort électrique-magnétique entre la densité du courant et la variation en fonction du temps du champ magnétique. En utilisant le modèle de Maxwell, ce couplage est décrit par une équation différentielle à dérivée partielle qui ne peut être résolue simplement. La résolution de cette équation utilisant l’approche analytique n’est possible que sous certaines hypothèses simplificatrices qui peuvent dégrader la fiabilité de la solution. La modélisation par la méthode des éléments finis permet quant à elle de prendre en compte le mouvement du rotor et la non-linéarité du circuit magnétique garantissant ainsi une meilleure précision. Néanmoins, cela conduit à une large capacité de stockage et à un temps de calcul substantiel qui peut entraver tout processus de conception ou d’optimisation. Pour surmonter ce problème, on propose dans ce manuscrit trois techniques de réduction du modèle. Ces techniques assurent une réduction efficace de la taille du système matriciel associé à la modélisation par la méthode des éléments finis et diminuent par conséquent le temps de calcul : i) une réduction spatiale qui évite une modélisation en 3D des conducteurs complexes en fils torsadés et en fils de Litz et propose une modélisation 2D satisfaisante .ii) la technique de la perturbation. iii) la réduction de l’ordre du modèle utilisant la méthode de la décomposition orthogonale aux valeurs propres combinée à la méthode d’interpolation empirique discrète. La comparaison du modèle réduit à un modèle complet de référence montre l’efficacité de la réduction du modèle à réduire le temps de calcul tout en restant en deçà d’une erreur de précision acceptable. / The switched reluctance machine can be used in hybrid or electric vehicle where, for autonomy considerations, energy efficiency is crucial. Because of the strong stray field in the air-gap region of the switched reluctance machine due to its salient pole geometry, the copper losses can become substantial. It is firmly recommended therefore not to place the coil conductors near the air-gap region. Nevertheless, concrete instructions for optimal winding design are missing. The copper losses in electrical machines are subdivided into classical DC ohmic losses and additional eddy current losses occurring due to the time varying magnetic fields penetrating the copper conductors. Based on the fact that the DC losses are constant at a given operating point, the optimization is focused on reducing the eddy current losses by modifying the winding geometry configuration. In the case of tedious repetitive calculations, met for example during design and optimization processes of electrical machine windings, there is a significant interest in reducing the computation time. This work suggests three model reduction techniques and their applications in the finite element analyses.Besides the frequency of the excitation current and the cross section of the coil conductors, several factors related to the winding configuration can affect the addition al eddy current losses:i) the coil conductor position in the winding slot especially near the stator pole or close to the air gapii) the disposition of the coil conductor against the two-dimensional flux lines in the slot windingiii) the subdivision of the solid conductor into multiple parallel strands swapping their positions periodically in the conductor cross section throughout the length of the machine winding.This thesis mainly studies the influence of the geometric coils disposition in the slot windings and the type of the conductor used whether it is solid or stranded, with Litz or twisted wires.The eddy current losses exit through the strong electro-magnetic coupling between the electric current density and the time dependent magnetic flux lines penetrating the conductors; it is described mathematically by a partial differential equation that cannot be solved easily. The analytical approach, which is used practically for a quick resolution of the strong electro-magnetic coupling equation, is only possible under certain simplifying assumptions that deteriorate brutally the reliability of the copper losses calculation. The finite element modeling as for it, allows taking into account the rotor motion and the non-linear behavior of the magnetic circuit, thus ensuring a higher accuracy. However, it leads under these conditions to a substantial calculation time and requires large storage capacity. These constraints are critical and may hinder therefore any process of conception or optimization. In this thesis, we suggest three different model reduction techniques that can be effective in reducing the size of large scale complete finite element models and enable therefore to shorten the computational time:i) the spatial reduction avoiding the 3D modeling which seems required in the case of twisted and Litz wires and suggesting an alternative satisfactory 2D modeling.ii) the perturbation technique.iii) the model order reduction using the proper orthogonal decomposition combined with the discrete empirical interpolation method.The comparison between the reduced model solutions to that of the complete finite element model has proved the effectiveness of the proposed model reduction techniques; they allow shrinking the required computational time while staying below an acceptable error of accuracy.

Le cycle de division cellulaire et l'horloge circadienne sont deux processus fondamentaux de la régulation cellulaire qui génèrent une expression rythmique des gènes et des protéines. Dans les cellules mammifères, les mécanismes qui sous-tendent les interactions entre le cycle cellulaire et l'horloge restent très mal connus. Dans cette thèse, nous étudions ces deux oscillateurs biologiques, à la fois individuellement et en tant que système couplé, pour comprendre et reproduire leurs principales propriétés dynamiques, détecter les composants essentiels du cycle cellulaire et de l'horloge, et identifier les mécanismes de couplage. Chaque oscillateur biologique est modélisé par un système d'équations différentielles ordinaires non linéaires et ses paramètres sont calibrés par rapport à des données expérimentales: le modèle du cycle cellulaire se base sur les modifications post-traductionnelles du complexe Cdk1-CycB et mène à un oscillateur de relaxation dont la dynamique et la période sont contrôlés par les facteurs de croissance; le modèle de l'horloge circadienne reproduit l'oscillation antiphasique BMAL1/PER:CRY et l'adaptation de la durée des états d'activation et répression par rapport à deux signaux d’entrée hormonaux déphasés. Pour analyser les interactions entre les deux oscillateurs nous étudions la synchronisation des deux rythmes pour des régimes de couplage uni- ou bi-directionnels. Les simulations numériques reproduisent les ratios entre les périodes de l'horloge et du cycle cellulaire, tels que 1:1, 3:2 et 5:4. Notre étude suggère des mécanismes pour le ralentissement du cycle cellulaire avec des implications pour la conception de nouvelles chronothérapies. / The cell division cycle and the circadian clock are two fundamental processes of cellular control that generate cyclic patterns of gene activation and protein expression, which tend to be synchronous in healthy cells. In mammalian cells, the mechanisms that govern the interactions between cell cycle and clock are still not well identified. In this thesis we analyze these two biological oscillators, both separately and as a coupled system, to understand and reproduce their main dynamical properties, uncover essential cell cycle and clock components, and identify coupling mechanisms. Each biological oscillator is first modeled by a system of non-linear ordinary differential equations and its parameters calibrated against experimental data: the cell cycle model is based on post-translational modifications of the mitosis promoting factor and results in a relaxation oscillator whose dynamics and period are controlled by growth factor; the circadian clock model is transcription-based, recovers antiphasic BMAL1/PER:CRY oscillation and relates clock phases to metabolic states. This model shows how the relative duration of activating and repressing molecular clock states is adjusted in response to two out-of-phase hormonal inputs. Finally, we explore the interactions between the two oscillators by investigating the control of synchronization under uni- or bi-directional coupling schemes. Simulations of experimental protocols replicate the oscillators’ period-lock response and recover observed clock to cell cycle period ratios such as 1:1, 3:2 and 5:4. Our analysis suggests mechanisms for slowing down the cell cycle with implications for the design of new chronotherapies.