We present a new method for the computation of low rank approximations to the solution of large, sparse, stable Lyapunov equations. It is based on a generalization of the classical Smith method and profits by the usual low rank property of the right hand side matrix. The requirements of the method are moderate with respect to both computational cost and memory. Hence, it provides a possibility to tackle large scale control problems. Besides the efficient solution of the matrix equation itself, a thorough integration of the method into several control algorithms can improve their performance to a high degree. This is demonstrated for algorithms for model reduction and optimal control. Furthermore, we propose a heuristic for determining a set of suboptimal ADI shift parameters. This heuristic, which is based on a pair of Arnoldi processes, does not require any a priori knowledge on the spectrum of the coefficient matrix of the Lyapunov equation. Numerical experiments show the efficiency of the iterative scheme combined with the heuristic for the ADI parameters.

Today in the scientific and technological world, physical and artificial processes are often described by mathematical models which can be used for simulation, optimization or control. As the mathematical models get more detailed and different coupling effects are required to include, usually the dimension of these models become very large. Such large-scale systems lead to large memory requirements and computational complexity. To handle these large models efficiently in simulation, control or optimization model order reduction (MOR) is essential. The fundamental idea of model order reduction is to approximate a large-scale model by a reduced model of lower state space dimension that has the same (to the largest possible extent) input-output behavior as the original system. Recently, the system-theoretic method Balanced Truncation (BT) which was believed to be applicable only to moderately sized problems, has been adapted to really large-scale problems. Moreover, it also has been extended to so-called descriptor systems, i.e., systems whose dynamics obey differential-algebraic equations. In this thesis, a BT algorithm is developed for MOR of index-1 descriptor systems based on several papers from the literature. It is then applied to the setting of a piezo-mechanical system. The algorithm is verified by real-world data describing micro-mechanical piezo-actuators. The whole algorithm works for sparse descriptor form of the system. The piezo-mechanical original system is a second order index-1 descriptor system, where mass, damping, stiffness, input and output matrices are highly sparse. Several techniques are introduced to reduce the system into a first order index-1 descriptor system by preserving the sparsity pattern of the original models. Several numerical experiments are used to illustrate the efficiency of the algorithm.

Le sujet de la thèse porte sur la mise en place d’approches numériques avancées pour la simulation et l’optimisation de structures mécaniques présentant une géométrie complexe. Il se focalise sur l’analyse isogéométrique (IGA) qui a reçu beaucoup d’intérêt cette dernière décennie dû à sa grande flexibilité, précision, et robustesse dans de nombreux contextes industriels comparé à la méthode des éléments finis (FEA) classique. En particulier, la technologie IGA fournit un lien direct avec les logiciels de CAO (les mêmes fonctions sont utilisées pour la représentation de la géométrie et l’analyse numérique) et facilite les procédures de maillage.Dans ce contexte, et comme première partie du travail, une méthode de vérification basée sur la dualité et le concept d’erreur en relation de comportement (ERC) est proposé. Il permet d’obtenir des estimateurs d’erreur a posteriori à la fois garantis et entièrement calculables pour les solutions numériques issues de simulation par IGA. Ces estimateurs, valables pour une large gamme de modèles linéaires ou non-linéaires en mécanique des structures, constituent donc des outils performants et utiles pour le contrôle quantitatif de la qualité numérique et pour la conduite de procédures adaptatives. Un intérêt particulier est porté sur la construction de champs équilibrés, qui est un point clé du concept ERC, et qui jusqu’à présent était essentiellement développée dans le cadre de la méthode des éléments finis. L’extension au contexte IGA nécessite d’aborder plusieurs problèmes techniques, liés à l’utilisation de fonctions de base B-Spline/NURBS. Le concept ERC est aussi mis en oeuvre avec les techniques d’adjoint pour faire de l’estimation d’erreur sur des quantités d’intérêt.Dans une seconde partie du travail, la technologie IGA est couplée avec une procédure de réduction de modèle pour obtenir des solutions certifiées, et en temps réel, de problèmes avec une géométrie paramétrée. Après avoir défini le paramétrage sur la transformation permettant de passer de l’espace paramétrique IGA à l’espace physique, un modèle réduit basé sur la technique PGD (Proper Generalized Decomposition) est introduit pour résoudre le problème multi-dimensionnel. Avec une stratégie hors-ligne/en-ligne, la procédure permet alors de décrire l’ensemble des solutions paramétrées avec un coût de calcul réduit, et de faire de l’optimisation de forme en temps réel. Ici encore, l’estimation a posteriori des diverses sources d’erreur venant de la discrétisation et de la réduction de modèle PGD est menée à partir du concept ERC. Cela permet de contrôler la qualité de la solution PGD approchée (globalement ou sur des quantités d’intérêt), pour toute configuration géométrique, et de nourrir un algorithme adaptatif qui optimise l’effort de calcul pour une tolérance d’erreur donnée.Le travail de recherche dans son ensemble fournit donc des outils pertinents et pratiques pour les activités de simulation en ingénierie mécanique. Le potentiel et les performances de ces outils sont montrés à travers plusieurs exemples numériques impliquant des problèmes académiques et industriels, et des modèles linéaires et non-linéaires (endommagement). / The topic of the PhD thesis deals with the construction of advanced numerical approaches for the simulation and optimization of mechanical structures with complex geometry. It focuses on the Isogeometric Analysis (IGA) technology which has received much attention of the last decade due to its increased flexibility, accuracy, and robustness in many engineering simulations compared to classical Finite Element Analysis (FEA). In particular, IGA enables a direct link with CAD software (the same functions are used for both analysis and geometry) and facilitates meshing procedures.In this framework, and as a first part of the work, a verification method based on duality and the concept of Constitutive Relation Error (CRE) is proposed. It enables to derive guaranteed and fully computable a posteriori error estimates on the numerical solution provided by IGA. Such estimates, which are valid for a wide class of linear or nonlinear structural mechanics models, thus constitute performing and useful tools to quantitatively control the numerical accuracy and drive adaptive procedures. The focus here is on the construction of equilibrated flux fields, which is key ingredient of the CRE concept, and which was until now almost exclusively developed in the FEA framework alone. The extension to IGA requires to address some technical issues, due to the use of B-Spline/NURBS basis functions. The CRE concept is also implemented together with adjoint techniques in order to perform goal-oriented error estimation.In a second part, IGA is coupled with model reduction in order to get certified real-time solutions to problems with parameterized geometry. After defining the parametrization on the mapping from the IGA parametric space to the physical space, a reduced model based on the Proper Generalized Decomposition (PGD) is introduced to solve the multi-dimensional problem. From an offline/online strategy, the procedure then enables to describe the manifold of parametric solutions with reduced CPU cost, and to further perform shape optimization in real-time. Here again, a posteriori estimation of the various error sources inheriting from discretization and PGD model reduction is performed from the CRE concept. It enables to control the quality of the approximate PGD solution (globally or on outputs of interest), for any geometry configuration, and to feed a robust greedy algorithm that optimizes the computational effort for a prescribed error tolerance.The overall research work thus provides for reliable and practical tools in mechanical engineering simulation activities. Capabilities and performance of these tools are shown on several numerical experiments with academic and engineering problems, and with linear and nonlinear (damage) models.

Support for this work from Praxair; the McMaster Advanced Control Consortium; and the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC), Grant CRDPJ 445717, is gratefully acknowledged. / In the air separation industry, cryogenic distillation is the dominant technology for separating large quantities of air into individual high purity component products. Due to the complexity of the process, in addition to significant energy input, air separation units (ASUs) also have high degrees of material and thermal integration and low process agility. As markets become more competitive and dynamic, especially after electricity market deregulation, ASUs can no longer practice mostly stationary operations, and are in need for design and control strategies to achieve high adaptability. In this study, we address such issues through a dynamic optimization framework. The use of rigorous dynamic models is important for developing economically beneficial designs and operating practices. The first part of this study focuses on the modeling aspect. For the column section of the plant, a full-order stage-wise model and a collocation based reduced order model are proposed. Model size, simulation time and predication accuracy are compared. For the primary heat exchanger, a novel moving boundary model is derived to handle the phase change in such a multi-stream heat exchanger. Simulation results demonstrate the capability of the proposed model in tracking the boundary points of the phase change occurrence, as well as the potential pinch point, along the length of the heat exchanger. The second part of the study addresses the operation aspects of ASUs through conducting dynamic optimization studies with collocation based dynamic models. We first performed a comprehensive analysis for a storage-then-utilization strategy on a nitrogen plant, following a two-tier multi-period formulation. As the parameter varies with time, the plant collects liquid, either directly from liquid product or by liquefaction of overproduced gas product, and then redistributes it for meeting gas product demand or as additional reflux. Effects of electricity price and demand profiles, additional operation costs, as well as product specifications are explored. Then we investigated the economic incentive for employing preemptive actions on a super-staged argon system, which allows the plant to take actions before external changes arrive. In the evaluation, changes are in the gas oxygen product demand. During the preemptive period, the plant takes either a single set or multiple sets of control actions. In the demand increase case, operation degrees of freedom are introduced to or removed from the set of decision variables. The demand decrease scenarios are explored with an under-supplied or saturated liquid oxygen market. / Dissertation / Doctor of Philosophy (PhD)

Driven by the need for automation and autonomy as well as the need to reduce resources and emissions, the automotive industry is currently undergoing a major transformation. Technologically, this transformation is addressing a wide range of challenges and opportunities. The optimal control of all components is significant for the sustainable development and eco-friendly operation of vehicles. Additionally, robust control of the actuators forms the basis for the development of driver assistance systems and functions for autonomous driving. The actuators of the steering system are particularly important, as they enable safe and comfortable lateral vehicle control. Therefore, the model-based development and virtual simulation of an innovative highly robust control approach for modern Steer-by-Wire systems were conducted in this thesis. The approaches and algorithms described in this thesis allow the design of robust Steer-by-Wire systems and offer the opportunity to conduct many investigations in a computer-aided virtual environment at an early stage in the development process. This reduces time- and cost-intensive testing on prototypes, avoids unnecessary iterations in the design and significantly increases the efficiency and quality of the development. The desired high degree of robustness of the steering control also ensures that the parameterization of the steering feel generator can be freely selected for the individual application. This enables safe and comfortable vehicle lateral control.In summary, the research results described in this thesis accelerate the development of new, modern Steer-by-Wire systems whose robust design forms the basis for the realization of functions for highly automated and autonomous driving.

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Les dernières décennies ont donné lieux à d'énormes progrès dans la simulation numérique des phénomènes physiques. D'une part grâce au raffinement des méthodes de discrétisation des équations aux dérivées partielles. Et d'autre part grâce à l'explosion de la puissance de calcul disponible. Pourtant, de nombreux problèmes soulevés en ingénierie tels que les simulations multi-physiques, les problèmes d'optimisation et de contrôle restent souvent hors de portée. Le dénominateur commun de ces problèmes est le fléau des dimensions. Un simple problème tridimensionnel requiert des centaines de millions de points de discrétisation auxquels il faut souvent ajouter des milliers de pas de temps pour capturer des dynamiques complexes. L'avènement des supercalculateurs permet de générer des simulations de plus en plus fines au prix de données gigantesques qui sont régulièrement de l'ordre du pétaoctet. Malgré tout, cela n'autorise pas une résolution ``exacte'' des problèmes requérant l'utilisation de plusieurs paramètres. L'une des voies envisagées pour résoudre ces difficultés est de proposer des représentations ne souffrant plus du fléau de la dimension. Ces représentations que l'on appelle séparées sont en fait un changement de paradigme. Elles vont convertir des objets tensoriels dont la croissance est exponentielle $n^d$ en fonction du nombre de dimensions $d$ en une représentation approchée dont la taille est linéaire en $d$. Pour le traitement des données tensorielles, une vaste littérature a émergé ces dernières années dans le domaine des mathématiques appliquées.Afin de faciliter leurs utilisations dans la communauté des mécaniciens et en particulier pour la simulation en mécanique des fluides, ce manuscrit présente dans un vocabulaire rigoureux mais accessible les formats de représentation des tenseurs et propose une étude détaillée des algorithmes de décomposition de données qui y sont associées. L'accent est porté sur l'utilisation de ces méthodes, aussi la bibliothèque de calcul texttt{pydecomp} développée est utilisée pour comparer l'efficacité de ces méthodes sur un ensemble de cas qui se veut représentatif. La seconde partie de ce manuscrit met en avant l'étude de l'écoulement dans une cavité entraînée à haut nombre de Reynolds. Cet écoulement propose une physique très riche (séquence de bifurcation de Hopf) qui doit être étudiée en amont de la construction de modèle réduit. Cette étude est enrichie par l'utilisation de la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Enfin une approche de construction ``physique'', qui diffère notablement des développements récents pour les modèles d'ordre réduit, est proposée. La connaissance détaillée de l'écoulement permet de construire un modèle réduit simple basé sur la mise à l'échelle des fréquences d'oscillation (time-scaling) et des techniques d'interpolation classiques (Lagrange,..). / Numerical simulation has experienced tremendous improvements in the last decadesdriven by massive growth of computing power. Exascale computing has beenachieved this year and will allow solving ever more complex problems. But suchlarge systems produce colossal amounts of data which leads to its own difficulties.Moreover, many engineering problems such as multiphysics or optimisation andcontrol, require far more power that any computer architecture could achievewithin the current scientific computing paradigm. In this thesis, we proposeto shift the paradigm in order to break the curse of dimensionality byintroducing decomposition and building reduced order models (ROM) for complexfluid flows.This manuscript is organized into two parts. The first one proposes an extendedreview of data reduction techniques and intends to bridge between appliedmathematics community and the computational mechanics one. Thus, foundingbivariate separation is studied, including discussions on the equivalence ofproper orthogonal decomposition (POD, continuous framework) and singular valuedecomposition (SVD, discrete matrices). Then a wide review of tensor formats andtheir approximation is proposed. Such work has already been provided in theliterature but either on separate papers or into a purely applied mathematicsframework. Here, we offer to the data enthusiast scientist a comparison ofCanonical, Tucker, Hierarchical and Tensor train formats including theirapproximation algorithms. Their relative benefits are studied both theoreticallyand numerically thanks to the python library texttt{pydecomp} that wasdeveloped during this thesis. A careful analysis of the link between continuousand discrete methods is performed. Finally, we conclude that for mostapplications ST-HOSVD is best when the number of dimensions $d$ lower than fourand TT-SVD (or their POD equivalent) when $d$ grows larger.The second part is centered on a complex fluid dynamics flow, in particular thesingular lid driven cavity at high Reynolds number. This flow exhibits a seriesof Hopf bifurcation which are known to be hard to capture accurately which iswhy a detailed analysis was performed both with classical tools and POD. Oncethis flow has been characterized, emph{time-scaling}, a new ``physics based''interpolation ROM is presented on internal and external flows. This methodsgives encouraging results while excluding recent advanced developments in thearea such as EIM or Grassmann manifold interpolation.

L’analyse dynamique des structures de grandes dimensions incluant de nombreux paramètres incertains et des non-linéarités localisées ou réparties peut être numériquement prohibitive. Afin de surmonter ce problème, des modèles d’approximation peuvent être développés pour reproduire avec précision et à faible coût de calcul la réponse de la structure.L’objectif de la première partie de ce mémoire est de développer des modèles numériques robustes vis-à-vis des modifications structurales (non-linéarités localisées, perturbations ou incertitudes paramétriques) et « légers » au sens de la réduction de la taille. Ces modèles sont construits, selon les approches de condensation directe et par synthèse modale, en enrichissant des bases de réduction tronquées, modale et de Craig-Bampton respectivement, avec des résidus statiques prenant compte des modifications structurales. Pour propager les incertitudes, l’accent est mis particulièrement sur la méthode du chaos polynomial généralisé. Sa combinaison avec les modèles réduits ainsi obtenus permet de créer des métamodèles mono et bi-niveaux, respectivement. Les deux métamodèles proposés sont comparés à d’autres métamodèles basés sur les méthodes du chaos polynomial généralisé et du Latin Hypercube appliquées sur des modèles complets et réduits. Les métamodèles proposés permettent d’approximer les comportements structuraux avec un coût de calcul raisonnable et sans perte significative de précision.La deuxième partie de ce mémoire est consacrée à l’analyse dynamique des structures périodiques non-linéaires en présence des imperfections : perturbations des paramètres structuraux ou incertitudes paramétriques. Deux études : déterministe ou stochastique, respectivement, sont donc menées. Pour ces deux configurations, un modèle analytique discret générique est proposé. Il consiste à appliquer la méthode des échelles multiples et la méthode de perturbation pour résoudre l’équation de mouvement et de projecter la solution obtenue sur des modes d’ondes stationnaires. Le modèle proposé conduit à un ensemble d’équations algébriques complexes couplées, fonctions du nombre et des positions des imperfections dans la structure. La propagation des incertitudes à travers le modèle ainsi construit est finalement assurée par les méthodes du Latin Hypercube et du chaos polynomial généralisé. La robustesse de la dynamique collective vis-à-vis des imperfections est étudiée à travers l’analyse statistique de la dispersion des réponses fréquentielles et des bassins d’attraction dans le domaine de multistabilité. L’étude numérique montre que la présence des imperfections dans une structure périodique renforce sa non-linéarité, élargit son domaine de multistabilité et génère une multiplicité de branches multimodale. / Dynamic analysis of large scale structures including several uncertain parameters and localized or distributed nonlinearities may be computationally unaffordable. In order to overcome this issue, approximation models can be developed to reproduce accurately the structural response at a low computational cost.The purpose of the first part of this thesis is to develop numerical models which must be robust against structural modifications (localized nonlinearities, parametric uncertainties or perturbations) and reduce the size of the initial problem. These models are created, according to the direct condensation and the component mode synthesis, by enriching truncated reduction modal bases and Craig-Bampton transformations, respectively, with static residual vectors accounting for the structural modifications. To propagate uncertainties through these first-level and second-level reduced order models, respectively, we focus particularly on the generalized polynomial chaos method. This methods combination allows creating first-level and second-level metamodels, respectively. The two proposed metamodels are compared to other metamodels based on the polynomial chaos method and Latin Hypercube method applied on reduced and full models. The proposed metamodels allow approximating the structural behavior at a low computational cost without a significant loss of accuracy.The second part of this thesis is devoted to the dynamic analysis of nonlinear periodic structures in presence of imperfections: parametric perturbations or uncertainties. Deterministic or stochastic analyses, respectively, are therefore carried out. For both configurations, a generic discrete analytical model is proposed. It consists in applying the multiple scales method and the perturbation theory to solve the equation of motion and then on projecting the resulting solution on standing wave modes. The proposed model leads to a set of coupled complex algebraic equations, depending on the number and positions of imperfections in the structure. Uncertainty propagation through the proposed model is finally done using the Latin Hypercube method and the generalized polynomial chaos expansion. The robustness the collective dynamics against imperfections is studied through statistical analysis of the frequency responses and the basins of attraction dispersions in the multistability domain. Numerical results show that the presence of imperfections in a periodic structure strengthens its nonlinearity, expands its multistability domain and generates a multiplicity of multimodal branches.

Une méthode non intrusive de construction d’un modèle de remplacement de l’écoulement dans une cavité de système d’air secondaire de turboréacteur est recherchée. Le modèle réduit doit pouvoir être intégré dans un modèle de l’ensemble du moteur et couplé à la thermique de la structure pour simuler son comportement thermique sur une mission complète sous aile. Pour cela, il doit prendre un grand nombre de paramètres en entrée, retourner autant de sorties et être utilisable sur des intervalles de variations étendus de ces paramètres. Plusieurs approches sont envisagées et implémentées, puis appliquées à la modélisation d’une cavité sous turbine fictive :— Création de surfaces de réponse des termes de la décomposition ANOVA des flux pariétaux.— Création de surfaces de réponse des flux pariétaux combinée avec une méthode de raffinement adaptative exploitant la trajectoire dans l’espace d’entrée issue du couplage modèle réduit - modèle de structure.— Réduction de dimension des champs d’interface échangés à partir de résultats des itérations du couplage des modèles thermiques de l’écoulement et de la structure, puis création de surfaces de réponse des coordonnées réduites.Cette dernière voie permets d'obtenir des résultats encourageants sur le cas test proposé d'abord dans le cas à conditions limites d'entrée de l'écoulement fixées, puis en incluant des variations de certaines d'entre-elles. / A non intrusive method to create surrogate models describing the flow in jet engines’ secondary air system is desired. The resulting model must be integrated in a thermal model describing the whole engine during a complete mission under the wing. This requires the model to use a high number of input and output parameters and to be valid on a broad domain of variation of its parameters. Several approches are explored in this thesis and applied to a simplified turbine cavity :— Surrogate modeling of terms of the ANOVA decomposition of wall fluxes.— Surrogate modeling of wall fluxes combined with an adaptive refinement method exploiting the trajectory followed by the input parameters during the coupling between the metamodel and the structural model.— Dimensionality reduction of the interface data exchanged during the coupling between flow and structure thermal model and surrogate modeling of the resulting reduced coordinate.This last approach leads to good results on the test case considered in this thesis with fixed inlet boundary conditions and then with variations of some of the inlet parameters.

Les différentes structures composant les moteurs aéronautiques requièrent des analyses dynamiques afin de prédire leur durée de vie. Pour des raisons d'allègement, les roues aubagées fixes de turbomachines, appelées redresseurs, sont conçus comme des ensembles de secteurs comportant plusieurs aubes. Cette architecture rompt la symétrie cyclique empêchant l'application des méthodes numériques l'exploitant. De plus, les dispersions géométriques et matériaux génèrent un désaccordage involontaire impliquant des zones de forte densité modale, dans lesquelles est observée une amplification de la réponse vibratoire, accrue par le caractère monobloc, et donc peu amorti, des secteurs. Une méthodologie statistique de prédiction du niveau vibratoire d'un secteur de redresseur désaccordé aléatoirement est développée ici. La modélisation des incertitudes est basée sur une approche paramétrique de la théorie probabiliste : des paramètres matériaux aléatoires suivant une loi uniforme sont associés à différentes parties du secteur. Une expansion de Karhunen-Loève permet de réduire le champ stochastique à un petit nombre de variables aléatoires et donc de diminuer les temps de calcul. Les modes stochastiques sont ensuite projetés sur ces espaces aléatoires par le biais de deux méthodes d'interpolation non-intrusives. La première est basée sur une projection sur une base du chaos polynomial tandis que la deuxième est une méthode de régression non-paramétrique (méthode MARS). Afin d'appliquer les deux méthodes de calcul à un modèle industriel, une méthode de double synthèse modale est appliquée permettant de diviser le temps de calcul des modes par un facteur d'environ 300. La sous-structuration adoptée s'adapte à la méthode de modélisation des incertitudes et s'avère robuste vis-à-vis du désaccordage. De plus, les deux méthodes permettent d'obtenir des résultats prédictifs en termes de moments statistiques tout en réduisant les temps de calculs. Enfin, la méthodologie est validée expérimentalement puisque l'enveloppe vibratoire numérique encadre la réponse fréquentielle expérimentale au niveau de la zone des modes d'intérêt. Une stratégie de positionnement des jauges de déformation est proposée à partir d'une distribution statistique des déplacements maximaux à mi-hauteur de veine sur une plage fréquentielle donnée. / Aircraft engine components necessitate extensive dynamical analyses in order to obtain life cycle prediction. In order to lighten the structure, turbomachinery stator bladed disks, called stator vanes, are designed as a set of multiple blades clusters. This architecture implies a loss of cyclic symmetry condition and prevents the use of numerical methods using it. Moreover, geometric dispersions and materials defaults generate an involuntary mistuning involving high modal density areas, in which is observed an amplification of the vibratory response, enhanced by the monobloc character - and hence low damped - of stator vanes. A statistical methodology for predicting the vibratory level of a randomly mistuned industrial stator vanes is developed here. Uncertainties modelization is based on a parametric approach of the probability theory : material random parameters following a uniform distribution are associated with different cluster's parts. A Karhunen-Loeve expansion reduces the stochastic field to a small number of random variables and therefore reduces the computation time. Stochastic modes are then projected on these random spaces through two non-intrusive methods of interpolation. The first is based on a projection on a polynomial chaos basis while the second is non-parametric regression method (MARS method). In order to implement both numerical methods to an industrial model, a double modal synthesis method is applied to divide the calculation time of modes by a factor around 300. The sub-structuring way adopted fits the uncertainties modelization method and is robust towards mistuning. Moreover, both methods yield predictive results in terms of statistical moments while reducing computation time. Finally, the methodology is experimentally validated because the numerical vibratory envelope frames the experimental frequency response at the area of the modes of interest. A positioning strategy of strain gauges is proposed based on a statistical distribution of the maximum displacements in vein halfway over a given frequency range.