Cette thèse présente l'étude de la réduction de modèles pour les réseaux électriques et les réseaux de transmission. Un point de vue mathématique a été adopté pour la réduction de modèles. Les réseaux électriques sont des réseaux immenses et complexes, dont l'analyse et la conception nécessite la simulation et la résolution de grands modèles non-linéaires. Dans le cadre du développement de réseaux électriques intelligents (smart grids) avec une génération distribuée de puissance, l'analyse en temps réel de systèmes complexes tels que ceux-ci nécessite des modèles rapides,fiables et précis. Dans la présente étude, nous proposons des méthodes de réduction de de modèles à la fois a priori et a posteriori, adaptées aux modèles dynamiques des réseaux électriques.Un accent particulier a été mis sur la dynamique transitoire des réseaux électriques, décrite par un modèle oscillant non linéaire et complexe. La non-linéarité de ce modèle nécessite une attention particulière pour bénéficier du maximum d'avantages des techniques de réduction de modèles.Initialement, des méthodes comme POD et LATIN ont été adoptées avec des degrés de succès divers. La méthode de TPWL, qui combine la POD avec des approximations linéaires multiples, a été prouvée comme étant la méthode de réduction de modèles la mieux adaptée pour le modèle dynamique oscillant.Pour les lignes de transmission, un modèle de paramètres distribués en domaine fréquentiel est utilisé. Des modèles réduits de type PGD sont proposés pour le modèle DP des lignes de transmission. Un problème multidimensionnel entièrement paramétrique a été formulé, avec les paramètres électriques des lignes de transmission inclus comme coordonnées additionnelles de la représentation séparée. La méthode a été étendue pour étudier la solution du modèle des lignes de transmission pour laquelle les paramètres dépendent de la fréquence. / This thesis presents the study of the model order reduction for power grids and transmission networks. The specific focus has been the transient dynamics. A mathematical viewpoint has been adopted for model reduction. Power networks are huge and complex network, simulation for power grid analysis and design require large non-linearmodels to be solved. In the context of developing “SmartGrids” with the distributed generation of power, real time analysis of complex systems such as these needs fast,reliable and accurate models. In the current study we propose model order reduction methods both a-priori and aposteriori suitable for dynamic models of power grids.The model that describes the transient dynamics of the power grids is complex non-linear swing dynamics model. The non-linearity of the swing dynamics model necessitates special attention to achieve maximum benefit from the model order reduction techniques. In the current research, POD and LATIN methods were applied initially with varying degrees of success. The method of TPWL has been proved as the best-suited model reduction method for swing dynamics model ; this method combines POD with multiple linear approximations.For the transmission lines, a distributed parameters model infrequency-domain is used. PGD based reduced-order models are proposed for the DP model of transmission lines. A fully parametric problem with electrical parameters of transmission lines included as coordinates of the separated representation. The method was extended to present the solution of frequency-dependent parameters model for transmission lines.

This dissertation concerns the model reduction of linear periodic descriptor systems both in continuous and discrete-time case. In this dissertation, mainly the projection based approaches are considered for model order reduction of linear periodic time varying descriptor systems. Krylov based projection method is used for large continuous-time periodic descriptor systems and balancing based projection technique is applied to large sparse discrete-time periodic descriptor systems to generate the reduce systems. For very large dimensional state space systems, both the techniques produce large dimensional solutions. Hence, a recycling technique is used in Krylov based projection methods which helps to compute low rank solutions of the state space systems and also accelerate the computational convergence. The outline of the proposed model order reduction procedure is given with more details. The accuracy and suitability of the proposed method is demonstrated through different examples of different orders. Model reduction techniques based on balance truncation require to solve matrix equations. For periodic time-varying descriptor systems, these matrix equations are projected generalized periodic Lyapunov equations and the solutions are also time-varying. The cyclic lifted representation of the periodic time-varying descriptor systems is considered in this dissertation and the resulting lifted projected Lyapunov equations are solved to achieve the periodic reachability and observability Gramians of the original periodic systems. The main advantage of this solution technique is that the cyclic structures of projected Lyapunov equations can handle the time-varying dimensions as well as the singularity of the period matrix pairs very easily. One can also exploit the theory of time-invariant systems for the control of periodic ones, provided that the results achieved can be easily re-interpreted in the periodic framework. Since the dimension of cyclic lifted system becomes very high for large dimensional periodic systems, one needs to solve the very large scale periodic Lyapunov equations which also generate very large dimensional solutions. Hence iterative techniques, which are the generalization and modification of alternating directions implicit (ADI) method and generalized Smith method, are implemented to obtain low rank Cholesky factors of the solutions of the periodic Lyapunov equations. Also the application of the solvers in balancing-based model reduction of discrete-time periodic descriptor systems is discussed. Numerical results are given to illustrate the effciency and accuracy of the proposed methods.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Coarse-Graining (dt. ``Vergröberung", ``Zusammenfassung von Zuständen") für Gradientensysteme und Markov-Prozesse. Coarse-Graining ist ein etabliertes Verfahren in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und hat das Ziel, die Komplexität eines physikalischen Systems zu reduzieren und effektive Modelle herzuleiten. Die mathematischen Probleme in dieser Arbeit stammen aus der Theorie der Systeme interagierender Teilchen. Hierbei werden zwei Ziele verfolgt: Erstens, Coarse-Graining mathematisch rigoros zu beweisen, zweitens, mathematisch äquivalente Beschreibungen für die effektiven Modelle zu formulieren. Die ersten drei Teile der Arbeit befassen sich mit dem Grenzwert schneller Reaktionen für Reaktionssysteme und Reaktions-Diffusions-Systeme. Um effektive Modelle herzuleiten, werden nicht nur die zugehörigen Reaktionsratengleichungen betrachtet, sondern auch die zugrunde liegende Gradientenstruktur. Für Gradientensysteme wurde in den letzten Jahren eine strukturelle Konvergenz, die sogenannte ``EDP-Konvergenz", entwickelt. Dieses Coarse-Graining-Verfahren wird in der vorliegenden Arbeit auf folgende Systeme mit langsamen und schnellen Reaktionen angewandt: lineare Reaktionssysteme (bzw. Markov-Prozesse auf endlichem Zustandsraum), nichtlineare Reaktionssysteme, die das Massenwirkungsgesetz erfüllen, und lineare Reaktions-Diffusions-Systeme. Für den Grenzwert schneller Reaktionen wird eine mathematisch rigorose und strukturerhaltende Vergröberung auf dem Level des Gradientensystems inform von EDP-Konvergenz bewiesen. Im vierten Teil wird der Zusammenhang zwischen Gleichungen mit Gedächtnis und Markov-Prozessen untersucht. Für Gleichungen mit Gedächtnisintegralen wird explizit ein größer Markov-Prozess konstruiert, der die Gleichung mit Gedächtnis als Teilsystem enthält. Der letzte Teil beschäftigt sich mit verschieden Diskretisierungen für den Fokker-Planck-Operator. Dazu werden numerische und analytische Eigenschaften untersucht. / This thesis deals with coarse-graining for gradient systems and Markov processes. Coarse-graining is a well-established tool in mathematical and natural sciences for reducing the complexity of a physical system and for deriving effective models. The mathematical problems in this work originate from interacting particle systems. The aim is twofold: first, providing mathematically rigorous results for physical coarse-graining, and secondly, formulating mathematically equivalent descriptions for the effective models. The first three parts of the thesis deal with fast-reaction limits for reaction systems and reaction-diffusion systems. Instead of deriving effective models by solely investigating the associated reaction-rate equation, we derive effective models using the underlying gradient structure of the evolution equation. For gradient systems a structural convergence, the so-called ``EDP-convergence", has been derived in recent years. In this thesis, this coarse-graining procedure has been applied to the following systems with slow and fast reactions: linear reaction systems (or Markov process on finite state space), nonlinear reaction systems of mass-action type, and linear reaction-diffusion systems. For the fast-reaction limit, we perform rigorous and structural coarse-graining on the level of the gradient system by proving EDP-convergence. In the fourth part, the connection between memory equations and Markov processes is investigated. Considering linear memory equations, which can be motivated from spatial homogenization, we explicitly construct a larger Markov process that includes the memory equation as a subsystem. The last part deals with different discretization schemes for the Fokker–Planck operator and investigates their analytical and numerical properties.

Il est bien connu que la synchronisation de l’activité oscillatoire dans les réseaux de neurones joue un rôle important dans le fonctionnement du cerveau et pour le traitement des informations données pas les neurones. Cette thèse porte sur l’analyse de l’activité de synchronisation en utilisant des outils et des méthodes issues de la théorie du contrôle et de la théorie de la stabilité. En particulier, deux modèles ont été étudiés pour décrire l’activité oscillatoire des réseaux de neurones : le modèle de Kuramoto et le modèle de Hindmarsh-Rose. Une partie de ce manuscript est consacrée à l’étude du modèle de Kuramoto, qui est un des systèmes les plus simples utilisé pour modéliser un réseau de neurones, avec une connexion complète (all-to-all). Il s’agit d’un modèle classique qui est utilisé comme une version simplifiée d’un réseau de neurones. Nous construisons un système linéaire qui conserve les informations sur les fréquences naturelles et sur les gains d’interconnexion du modèle original de Kuramoto. Les propriétés de stabilité de ce modèle sont ensuite analysées et nous montrons que les solutions de ce nouveau système linéaire convergent vers un cycle limite périodique et stable. Finalement, nous montrons que contraint au cycle limite, les dynamiques du système linéaire coïncident avec le modèle de Kuramoto. Dans une seconde partie, nous avons considéré un modèle de réseau de neurones plus proche de la réalité d’un point de vue biologique, mais qui est plus complexe que le modèle de Kuramoto. Plus précisément, nous avons utilisé le modèle de Hindmarsh-Rose pour décrire la dynamique de chaque neurone que nous avons interconnecté par un couplage diffusif (c’est à dire linéaire). A partir des propriétés de semi-passivité du modèle de Hindmarsh- Rose, nous avons analysé les propriétés de stabilité d’un réseau hétérogène de Rindmarsh-Rose. Nous avons également montré que ce réseau est pratiquement synchronisé pour une valeur suffisamment grande du gain d’interconnexion. D’autre part, nous avons caractérisé le comportement limite des neurones synchronisés et avons établi une approximation de ce comportement par une moyenne des dynamiques de tous les neurones. / It is widely recognized that rhythmic oscillatory activity in networks of neurons plays an important role in the brain functionning and a key role in processing neural information. This thesis is devoted to the analysis of this synchronized activity by using tools and methods issued from automatic control and stability theory. Two models are used to describe oscillatory activity of neural networks : Kuramoto model and network of Hindmarsh-Rose neurons. First, we consider Kuramoto model with complete (all-to-all) coupling, which is one of the simplest systems used to model neural network. For this model we construct an auxiliary linear system that preserves information on the natural frequencies and interconnection gains of the original Kuramoto model. Next, stability properties of this model are analyzed and we show that the solutions of the new linear system converge to a stable periodic limit cycle. Finally, we show that constrained to the limit cycle, dynamics of the linear system coincide with the original Kuramoto model. Second, a model for the network (population) with a better behavior, with respect to the Kuramoto model, from a biological point of view but more complex is considered. Particularly, we consider a network of diffusively coupled neurons where we use a Hindmarsh-Rose model to describe the dynamics of each individual neuron. Based on semi-passivity of individual Hindmarsh-Rose neurons, we analyse stability properties of a heterogeneous network of such neurons and show that network is practically synchronized for sufficient large values of interconnection gains. Moreover, we characterize the limiting synchronized behavior by using an averaging of all neuron dynamics.

Cette recherche vise à résoudre un problème particulier du contrôle de vibration des structures intelligentes. Notre objectif est de réduire les vibrations dans une zone spécifique de la structure intelligente avec une perturbation qui couvre une large gamme de fréquences. De plus, dans cette zone spécifique, ni l'actionnement ni la détection ne sont possibles.Ici, nous faisons face à plusieurs défis principaux. Premièrement, nous devons contrôler les vibrations d’une zone spécifique de la structure, alors que nous n’avons accès aux mesures que dans d’autres zones. Deuxièmement, la large bande passante de la perturbation implique que nombreux modes doivent être contrôlés au même temps, ce qui nécessite l'utilisation de plusieurs actionneurs et capteurs. Cela conduit à un contrôleur MIMO difficile à obtenir avec les méthodes classiques de conception de contrôleur. Troisièmement, il faut éviter le problème de propagation, qui consiste à garantir la stabilité en boucle fermée lorsque le contrôleur basé sur un modèle est appliqué à la configuration réelle. Pour relever ces défis, nous étudions deux stratégies de contrôle: le contrôle centralisé et le contrôle distribué.Pour le contrôle centralisé, nous proposons une méthodologie qui nous permet d’obtenir un contrôleur MIMO simple permettant de relever ces défis. Tout d'abord, plusieurs techniques de modélisation et d’identification sont appliquées pour obtenir un modèle précis d'ordre faible de la structure intelligente. Ensuite, une méthode de synthèse basée sur le contrôle H_∞ avec un critère H_∞ particulièrement proposé est appliquée. Ce critère H_∞ intègre plusieurs objectifs de contrôle, y compris les défis principaux. En particulier, le problème de débordement se transforme en un problème de stabilité robuste et sera garanti en utilisant ce critère. Le contrôleur H_∞ obtenu est une solution standard du problème H_∞. Le contrôleur final est obtenu en simplifiant ce contrôleur H_∞ sans perdre la stabilité en boucle fermée ni dégrader les performances. Cette méthodologie est validée sur une structure de poutre avec des transducteurs piézoélectriques et la zone centrale est celle où les vibrations devraient être réduites. L'efficacité du contrôleur obtenu est validée par des simulations et des expériences.Pour le contrôle distribué, on considère la même structure de poutre et les mêmes objectifs de contrôle. Il existe des méthodes visant à concevoir des contrôleurs distribués pour les systèmes spatialement interconnectés. Cette recherche propose une méthode basée sur la FEM, associée à plusieurs techniques de réduction de modèle, permettant de discrétiser spatialement la structure de poutre et d'en déduire les modèles d’espace d'état des sous-systèmes interconnectés. La conception des contrôleurs distribués ne sera pas abordée dans cette recherche. / This research aims at solving a particular vibration control problem of smart structures. We aim at reducing the vibration in a specific zone of the smart structure under the disturbance that covers a wide frequency band. Moreover, at this specific zone, neither actuation nor sensing is possible.Here we face several main challenges. First, we need to control the vibration of a specific zone of the structure while we only have access to measurements at other zones. Second, the wide bandwidth of the disturbance implies that numerous modes should be controlled at the same time which requires the use of multiple actuators and sensors. This leads to a MIMO controller which is difficult to obtain using classical controller design methods. Third, the so-called spillover problem must be avoided which is to guarantee the closed-loop stability when the model-based controller is applied on the actual setup. To tackle these challenges, we investigate two control strategies: the centralized control and the distributed control.For centralized control, we propose a methodology that allows us to obtain a simple MIMO controller that accomplishes these challenges. First, several modeling and identification techniques are applied to obtain an accurate low-order model of the smart structure. Then, an H_∞ control based synthesis method with a particularly proposed H_∞ criterion is applied. This H_∞ criterion integrates multiple control objectives, including the main challenges. In particular, the spillover problem is transformed into a robust stability problem and will be guaranteed using this criterion. The obtained H_∞ controller is a standard solution of the H_∞ problem. The final controller is obtained by further simplifying this H_∞ controller without losing the closed-loop stability and degrading the performance. This methodology is validated on a beam structure with piezoelectric transducers and the central zone is where the vibration should be reduced. The effectiveness of the obtained controller is validated by simulations and experiments.For distributed control, we consider the same beam structure and the same control objectives. There exist methods aiming at designing distributed controllers of spatially interconnected system. This research proposes a FEM based method, combined with several model reduction techniques, that allows to spatially discretize the beam structure and deduce the state-space models of interconnected subsystems. The design of distributed controllers will not be tackled in this research.

Climate change and densification of cities are two major global challenges. Inthe building and construction industry, there are great expectations that tall timberbuildings will constitute one of the most sustainable solutions. First, verticalurban growth is energy and resource-efficient. Second, forest-based productsstore carbon and have one of the highest mechanical strength to density ratios.If the structural substitution of concrete and steel with wood in high-rise buildingsawakens fears of fire safety issues, engineers and researchers are particularlyworried about the dynamic response of the trendy tall timber buildings.Indeed, due to the low density of wood, they are lighter, and for the same height,they might be more sensitive to wind-induced vibrations than traditional buildings.To satisfy people’s comfort on the top floors, the serviceability design oftall timber buildings must consider wind-induced vibrations carefully. Architectsand structural engineers need accurate and verified calculation methods,useful numerical models and good knowledge of the dynamical properties oftall timber buildings. Firstly, the research work presented hereby attempts to increase the understandingof the dynamical phenomena of wind-induced vibration in tall buildings andevaluate the accuracy of the semi-empirical models available to estimate alongwindaccelerations in buildings. Secondly, it aims at, experimentally and numerically,studying the impact of structural parameters – masses, stiffnesses anddamping – on the dynamics of timber structures. Finally, it suggests how talltimber buildings can be modeled to correctly predict modal properties and windinducedresponses. This research thesis confirms the concerns that timber buildings above 15-20stories are more sensitive to wind excitation than traditional buildings with concreteand steel structures, and solutions are proposed to mitigate this vibrationissue. Regarding the comparison of models from different standards to estimatewind-induced accelerations, the spread of the results is found to be very large.From vibration tests on a large glulam truss, the connection stiffnesses are foundto be valuable for predicting modal properties, and numerical reductions withsimple spring models yield fair results. Concerning the structural models of conceptualand real tall timber buildings, numerical case studies emphasize the importanceof accurately distributed masses and stiffnesses of structural elements,connections and non-structural building parts, and the need for accurate dampingvalues. / Klimatförändringar och förtätning av städer är två stora globala utmaningar. Inom bygg- och anläggningsbranschen finns det stora förväntningar på att höga trähus ska utgöra en av de mest hållbara lösningarna. Dels är vertikal förtätning i städer energi- och resurseffektiv, dels lagrar skogsbaserade produkter kol och har dessutom ett av de högsta förhållanden mellan mekanisk styrka och densitet. Om den strukturella ersättningen av stål och betong med trä i höghus väcker farhågor ur brandsäkerhetssynpunkt, är ingenjörer och forskare särskilt oroliga för den dynamiska responsen i de trendiga högre trähusen. På grund av träets låga densitet blir de lättare, och för samma höjd kan de vara känsligare för vindinducerade vibrationer än traditionella byggnader. För att tillfredsställa människors komfort på de översta våningarna måste projektören av höga trähus noga överväga vindinducerade vibrationer i bruksgränstillstånd. Arkitekter och byggnadsingenjörer behöver noggranna och verifierade beräkningsmetoder, användbara numeriska modeller och goda kunskaper om höga träbyggnaders dynamiska egenskaper. För det första avser detta forskningsarbete att öka förståelsen för den dynamiska effekten av vindinducerade vibrationer i höga byggnader och utvärdera noggrannheten hos de semi-empiriska modeller som finns tillgängliga för att uppskatta byggnadens accelerationer i vindriktningen. För det andra syftar det till att, experimentellt och numeriskt, studera effekterna av strukturella parametrar – massor, styvheter och dämpning – på träkonstruktioners dynamik. Slutligen undersöks hur höga träbyggnader kan modelleras för att korrekt förutsäga modala egenskaper och vindinducerade respons. Denna forskningsuppsats bekräftar farhågorna om att träbyggnader över 15-20 våningar är mer känsliga för vindexcitation än vanliga byggnader med betong- och stålstomme. Några lösningar föreslås för att mildra detta vibrationsproblem. När det gäller jämförelsen av modeller från olika standarder för att beräkna vindinducerade accelerationer visar sig spridningen av resultaten vara mycket stor. Från tester på ett stort limträfackverk visar sig förbandsstyvheterna vara viktiga för att förutsäga modala egenskaper och numeriska reduktioner med enkla fjädermodeller ger rättvisande resultat. När det gäller de strukturella modellerna av konceptuella och verkliga höga träbyggnader, betonar numeriska fallstudier vikten av exakt fördelade massor och styvheter hos byggnadselement, förband och icke-strukturella byggnadsdelar, samt behovet av exakta dämpningsvärden. / Le changement climatique et la densification des villes sont deux défis mondiaux majeurs. Dans le domaine de la construction, les bâtiments en bois de grande hauteur sont perçus comme l'une des solutions les plus durables. D'une part la croissance urbaine verticale est économe en énergie et en ressources, d'autre part les produits forestiers stockent le carbone et ont l'un des rapports résistance mécanique/densité les plus élevés. Si la substitution structurelle du bois au béton ou à l’acier dans les immeubles de grande hauteur suscite des craintes pour les problèmes de sécurité incendie, les ingénieurs et les chercheurs s'inquiètent particulièrement de la réponse dynamique des immeubles en bois de grande hauteur à la mode. En effet, du fait de la faible densité du bois, ils sont plus légers, et à hauteur égale, ils pourraient être plus sensibles aux vibrations induites par le vent que les immeubles traditionnels. Pour satisfaire le confort des personnes aux étages supérieurs, la conception des bâtiments en bois de grande hauteur doit tenir compte judicieusement des vibrations induites par le vent. Les architectes et les ingénieurs en structure ont besoin de méthodes de calcul précises et vérifiées, de modèles numériques utiles et d'une bonne connaissance des propriétés dynamiques des bâtiments en bois de grande hauteur. Premièrement, les travaux de recherche présentés ici tentent d’approfondir la compréhension des phénomènes dynamiques des vibrations induites par le vent dans les immeubles de grande hauteur et d'évaluer la précision des modèles semi-empiriques disponibles pour calculer les accélérations dans la direction du vent. Deuxièmement, ils visent à étudier expérimentalement et numériquement les impacts des paramètres structuraux – masses, rigidités et amortissements – sur la dynamique des structures bois. Finalement, ils suggèrent comment modéliser les bâtiments en bois de grande hauteur pour prédire correctement les propriétés modales et les réponses induites par le vent. Cette thèse de recherche confirme les inquiétudes selon lesquelles les bâtiments en bois de plus de 15-20 étages sont plus sensibles à l'excitation du vent que les bâtiments traditionnels en béton armé ou en acier, et des solutions sont proposés pour atténuer ce problème vibratoire. Concernant la comparaison de différentes méthodes normalisées pour estimer les accélérations induites par le vent, la grande dispersion des résultats n'est pas négligeable. À partir d'essais expérimentaux sur un grand poteau-treillis en lamellé-collé, les rigidités de connexion s’avèrent importantes pour prédire les propriétés modales et les réductions numériques avec de simples modèles à ressort donnent des résultats acceptables. Concernant la précision des modèles structuraux de bâtiments en bois de grande hauteur conceptuels ou réels, des études de cas numériques soulignent l'importance des répartitions exactes des masses et des rigidités des éléments structuraux, des connexions et des éléments de construction non structuraux, ainsi que la nécessité de valeurs d'amortissement précises.