Dans la première partie de ma thèse, en adaptant l'idée de Jien et Ma (2010), l'objectif principal est étudier les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades, semi-linéaires ou nonlinéaires, régies par un mouvement brownien standard et un mouvement brownien fractionnaire indépendant, ainsi que les équations différentielles partielles stochastiques associées régies par le mouvement brownien fractionnaire. Pour le cas semi-linéaire, dans un papier en collaboration avec Jorge A. Leόn (CINVESTAV, Mexique), nous utilisons le calcul de Malliavin dans le cadre du mouvement brownien fractionnaire et la transformation de Girsanov anticipative. Pour le cas nonlinéaire, nous appliquons la transformation de Doss-Sussmann. Dans la deuxième partie nous étudions la régularité, à savoir la continuité de Lipschitz conjointe et la semiconcavité conjointe, de la solution de viscosité pour une classe générale d'équations aux dérivées partielles-intégrales non locales de type Hamilton-Jacobi-Bellman. Pour cette fin nous employons l'interprétation stochastique par une équation différentielle stochastique rétrograde contrôlée avec sauts, en appliquant du changement de temps pour le mouvement brownien et la transformation de Kulik pour la mesure aléatoire de Poisson. Notre travail est une généralisation des travaux de Buckdahn, Cannarsa et Quincampoix (2010) et Buckdahn, Huang et Li (2011).

Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future. / This thesis studies the behavior of particles that are maximal at time t in branching random walk and branching Brownian motion on R, for large values of t. Precisely, we look at the behavior of the maximum in a branching random walk in a time-inhomogeneous environment, where the law of the increments varies with respect to time. We compare with known or simplified models such as the model where random walks are taken to be i.i.d. and the branching random walk in a time-homogeneous environment model. We then take a look at the correlations between maximal particles in a branching brownian motion. Specifically, we look at the branching time between those maximal particles. Finally, we apply results and methods from the first chapters to study those same correlations in branching Brownian motion in a inhomogeneous environment. The thesis’ main result establishes existence of branching time at the center of the interval [0, t] for the branching Brownian motion in a inhomogeneous environment, which is not the case for standard branching brownian motion.We also present results of simulations that agree with theoretical results and help establishing new hypotheses for future research.

Thèse (doctorat)--Université Louis Pasteur, Strasbourg, 1992. / "Cette thèse se compose de cinq mémoires originaux, deux articles ..., et deux courtes notes de probabilités non commutatives"--4e de couv. Notes bibliogr.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles. / The work presented in this thesis concerns the study of the fractal geometry of stochastic processes using the formalism of 2-microlocal analysis. The latter has been introduced in another branch of mathematics -functional analysis- but has also proved to be relevant to describe the geometry of deterministic functions or random processes, extending in particular the classic Hölder exponents. Several classes of processes are investigated in this manuscript, beginning with continuous martingales and Ito integrals. In particular, the characterisation of the 2-microlocal regularity of the latter leads to the introduction of a closely related concept: the pseudo 2-microlocal frontier. We also investigate using this formalism a class of Gaussian processes called multifractional Brownian motion and obtain a fine description of its Hölder and 2-microlocal behaviours. In addition, we characterize entirely the Hausdorff and Box dimensions of its graph. In our study of Lévy processes, we combine the 2-microlocal formalism and multifractal analysis to describe their regularity, exhibiting in particular some subtle geometrical behaviours which are not captured by classic tools. Furthermore, as a corollary of this result, we also determine the multifractal spectrum of another family of processes: the fractional Lévy processes. Lastly, we also define a class of multiparameter and set-indexed Markov processes and study its properties.

Ces travaux de thèse ont pour but d'étudier l'état de dispersion de particules colloïdales dans des cristaux liquides nématiques lyotropes. Ces solvants organisés sont constitués de micelles nanométriques anisotropes. Dans un premier temps, nous montrons qu'il est possible de réaliser des suspensions cinétiquement stables en jouant notamment sur la forme des inclusions micrométriques. Un modèle, développé dans le cadre de cette étude, permet de rendre compte de nos observations. Dans un second temps, nous nous intéressons à l'influence de la diminution de taille de particules sur l'état de dispersion du système. A l'échelle nanométrique, le mouvement brownien, anisotrope dans ce type de milieu, semble gouverner les phénomènes observés. / The present PhD work aims at studying the dispersion state of colloidal particles in lyotropic nematic liquid crystals. These organized solvents are made of anisotropic nanometric micelles. Firstly, we show that kinetically stable suspensions may be achieved by playing on the shape of micrometric inclusions in particular. A model, which is developed for this study, can catch well our observations. Secondly, we are interested in the influence of a diminution of the particle size on the dispersion state of the system. At the nanometric scale, the Brownian motion, which is anisotropic in such media, seems to govern the observed phenomena.

Les marches aléatoires avec recherche de cible peuvent modéliser des réactions nucléaires ou la quête de nourriture par des animaux. Dans cette thèse, nous identifions des stratégies qui minimisent le temps moyen de première rencontre d’une cible (MFPT) pour plusieurs types de marches aléatoires. Premièrement, pour des marches symétriques ou avec biais, nous déterminons la distribution des temps de première sortie par une ouverture dans une paroi en forme de secteur angulaire, d’anneau ou de rectangle. Nous concluons sur la minimisation du MFPT en termes de la géométrie du confinement. Deuxièmement, pour des marches alternant entre diffusions volumique et surfacique, nous déterminons le temps moyen de première sortie par une ouverture dans la surface de confine- ment. Nous montrons qu’il existe un taux de désorption optimal qui minimise le MFPT. Nous justifions la généralité de l’optimalité par l’étude des rôles de la géométrie, de l’adsorption sur la surface et d’un biais en phase volumique. Troisièmement, pour des marches actives composées de phases balistiques entrecoupées par des réorientations aléatoires, nous obtenons l’expression du taux de réorientation qui minimise le MFPT en géométries sphériques de dimension deux ou trois. Dans un dernier chapitre, nous modélisons le mouvement de cellules eucaryotes par des marches browniennes actives. Nous expliquons pourquoi le temps de persistance évolue expo- nentiellement avec la vitesse de la cellule. Nous obtenons un diagramme des phases des types de trajectoires. Ce modèle minimal permet de quantifier l’efficacité des processus de recherche d’antigènes par des cellules immunitaires. / Random search processes can model nuclear reactions or animal foraging. In this thesis, we identify optimal search strategies which minimize the mean first passage time (MFPT) to a target for various processes. First, for symmetric and biased Brownian particles, we compute the distribution of exit times through an opening within the boundary of angular sectors, annuli and rectangles. We conclude on the optimizability of the MFPT in terms of geometric parameters. Second, for walks that switch between volume and surface diffusions, we determine the mean exit time through an opening inside the bounding surface. Under analytical criteria, an optimal desorption rate minimizes the MFPT. We justify that this optimality is a general property through a study of the roles of the geometry, of the adsorption properties and of a bias in the bulk random walk. Third, for active walks composed of straight runs interrupted by reorientations in a random direction, we obtain the expression of the optimal reorientation rate which minimizes the MFPT to a centered spherical target within a spherical confinement, in two and three dimensions. In a last chapter, we model the motion of eukaryotic cells by active Brownian walks. We explain an experimental observation: the persistence time is exponentially coupled with the speed of the cell. We also obtain a phase diagram for each type of trajectories. This model is a first step to quantify the search efficiency of immune cells in terms of a minimal number of biological parameters.

Cette thèse est consacrée à l'étude asymptotique d'objets liés au mouvement brownien sur le groupe unitaire en grande dimension, ainsi qu'à l'étude, dans le cadre des probabilités libres, des versions non-commutatives de ces objets. Elle se subdivise essentiellement en trois parties.Dans le chapitre 2, nous résolvons le problème initial de cette thèse, à savoir la convergence de la transformation de Hall sur le groupe unitaire vers la transformation de Hall libre, lorsque la dimension tend vers l'infini. Pour résoudre ce problème, nous établissons des théorèmes d'existence de noyaux de transition pour la convolution libre. Enfin, nous utilisons ces résultats pour prouver que, pareillement au mouvement brownien sur le groupe unitaire, le mouvement brownien sur le groupe linéaire converge en distribution non-commutative vers sa version libre. Nous étudions les fluctuations autour de cette convergence dans le chapitre 3. Le chapitre 4 présente un morphisme entre les mesures infiniment divisibles pour la convolution libre additive d'une part et multiplicative de l'autre. Nous montrons que ce morphisme possède une version matricielle qui s'appuie sur un nouveau modèle de matrices aléatoires pour les processus de Lévy libres multiplicatifs. / This thesis focuses on the asymptotic of objects related to the Brownian motion on the unitary group in large dimension, and on the study, in free probability, of the non-commutative versions of those objects. It subdivides into essentially three parts.In Chapter 2, we solve the original problem of this thesis: the convergence of the Hall transform on the unitary group to the free Hall transform, as the dimension tends to infinity. To solve this problem, we establish theorems of existence of transition kernel for the free convolution. Finally, we use these results to prove that, exactly as the Brownian motion on the unitary group, the Brownian motion on the linear group converges in noncommutative distribution to its free version. Then we study the fluctuations around this convergence in Chapter 3. Chapter 4 presents a homomorphism between infinitely divisible measures for the free convolution, in respectively the additive case and the multiplicative case. We show that this homomorphism has a matricialversion which is based on a new model of random matrices for the free multiplicative Lévy processes.

Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés / In this thesis, we are interested on the one hand in the theory of Gaussian multiplicative chaos introduced by Kahane in 1985 and on the other hand in random matrix theory whose pioneers are Wigner, Wishart and Dyson. The first part of this manuscript constitutes a brief introduction to those two theories and also contains the personal contributions of this work rapidly explained. The following parts contain the texts of the published articles [1], [2], [3], [4], [5] and pre-prints [6], [7], [8] on those results where the reader can find more detailed developments