L'objectif est d'améliorer la stabilité et la précision de la discrétisation spatiale de type volumes finis sur des maillages non structurés. La thèse fournit une analyse générale de la reconstruction des polynômes de degré k en maillage non structuré et présente plusieurs algorithmes permettant de reconstruire des polynômes sur de petits voisinages compacts. Une étude théorique de la stabilité établit des principes pour concevoir des méthodes de reconstruction stables. Une étude théorique de la précision caractérise les erreurs induites par le maillage non structuré à l'aide de l'approche de l'équation modifiée. L'étude formule également des algorithmes de limitation en maillage non structuré basés sur une approche géométrique. Toutes les études théoriques sont complétées par des expériences numériques. Les calculs LES d'un écoulement subsonique au-dessus d'une cavité et d'un jet supersonique permettent de valider et comparer plusieurs options de discrétisation spatiale.

Dans ce travail, on s'intéresse à plusieurs aspects de l'approximation numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation. La première partie est dédiée à la construction de schémas d'ordre élevé sur des maillages 2D non structurés. On développe une nouvelle technique de reconstruction de gradients basée sur l'écriture de deux schémas MUSCL sur deux maillages imbriqués. Cette procédure augmente le nombre d'inconnues numériques, mais permet d'approcher la solution avec une grande précision. Dans la deuxième partie, on étudie la stabilité des schémas d'ordre élevé. On montre dans un premier temps que les inégalités d'entropie discrètes usuelles vérifiées par les schémas d'ordre élevé ne sont pas pertinentes pour assurer le bon comportement dans le régime de convergence. On propose alors une extension des techniques de limitation {\it a posteriori} pour forcer la vérification des inégalités d'entropie discrètes requises. Dans la dernière partie, on s'intéresse à la construction de schémas well-balanced pour le modèle de Saint-Venant, le modèle de Ripa et les équations d'Euler avec gravité. On propose plusieurs stratégies permettant d'obtenir des schémas numériques capables de préserver tous les régimes stationnaires au repos. On développe également des extensions d'ordre élevé.

In this thesis, we have analyzed the accuracy and stability aspects of weak boundary and interface conditions (WBCs) for high order finite difference methods on Summations-By-Parts (SBP) form. The numerical technique has been applied to wave propagation and flow problems. The advantage of WBCs over strong boundary conditions is that stability of the numerical scheme can be proven. The boundary procedures in the advection-diffusion equation for a boundary layer problem is analyzed. By performing Navier-Stokes calculations, it is shown that most of the conclusions from the model problem carries over to the fully nonlinear case. The work was complemented to include the new idea of using WBCs on multiple grid points in a region, where the data is known, instead of at a single point. It was shown that we can achieve high accuracy, an increased rate of convergence to steady-state and non-reflecting boundary conditions by using this approach. Using the SBP technique and WBCs, we have worked out how to construct conservative and energy stable hybrid schemes for shocks using two different approaches. In the first method, we combine a high order finite difference scheme with a second order MUSCL scheme. In the second method, a procedure to locally change the order of accuracy of the finite difference schemes is developed. The main purpose is to obtain a higher order accurate scheme in smooth regions and a low order non-oscillatory scheme in the vicinity of shocks. Furthermore, we have analyzed the energy stability of the MUSCL scheme, by reformulating the scheme in the framework of SBP and artificial dissipation operators. It was found that many of the standard slope limiters in the MUSCL scheme do not lead to a negative semi-definite dissipation matrix, as required to get pointwise stability. Finally, high order simulations of shock diffracting over a convex wall with two facets were performed. The numerical study is done for a range of Reynolds numbers. By monitoring the velocities at the solid wall, it was shown that the computations were resolved in the boundary layer. Schlieren images from the computational results were obtained which displayed new interesting flow features.

In this thesis is presented mathematical model of stratified 2D flow of viscous incopressible fluid and its program realization. Basic equations of fluid flow in Boussinesq approximation were solved by finite volume method on structured nonortogonal grid. Discretization was done by the principle of semi-discretisation. The space derivative was solved by AUSM me- thod with MUSCL velocity reconstruction. The viscid terms were solved through auxiliary grids. During time discretization artificial compressibility method was used in dual time. The resulting system of ODEs is integrated in time by a suitable Runge-Kutta multistage scheme. Numerical experiments were calculated for flow with Reynolds number equals 1000. Further 3 numerical experiments are presented with different boundary conditions. 1

La Physique des Hautes Densités d’Énergies (HEDP) est caractérisée par desécoulements multi-matériaux fortement compressibles. Le domaine contenant l’écoulementsubit de grandes variations de taille et est le siège d’ondes de chocs et dedétente intenses. La représentation Lagrangienne est bien adaptée à la descriptionde ce type d’écoulements. Elle permet en effet une très bonne description deschocs ainsi qu’un suivit naturel des interfaces multi-matériaux et des surfaces libres.En particulier, les schémas Volumes Finis centrés Lagrangiens GLACE (GodunovtypeLAgrangian scheme Conservative for total Energy) et EUCCLHYD (ExplicitUnstructured Cell-Centered Lagrangian HYDrodynamics) ont prouvé leur efficacitépour la modélisation des équations de la dynamique des gaz ainsi que de l’élastoplasticité.Le travail de cette thèse s’inscrit dans la continuité des travaux de Maireet Nkonga [JCP, 2009] pour la modélisation de l’hydrodynamique et des travauxde Kluth et Després [JCP, 2010] pour l’hyperelasticité. Plus précisément, cettethèse propose le développement de méthodes robustes et précises pour l’extension3D du schéma EUCCLHYD avec une extension d’ordre deux basée sur les méthodesMUSCL (Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) et GRP(Generalized Riemann Problem). Une attention particulière est portée sur la préservationdes symétries et la monotonie des solutions. La robustesse et la précision duschéma seront validées sur de nombreux cas tests Lagrangiens dont l’extension 3Dest particulièrement difficile. / High Energy Density Physics (HEDP) flows are multi-material flows characterizedby strong shock waves and large changes in the domain shape due to rarefactionwaves. Numerical schemes based on the Lagrangian formalism are good candidatesto model this kind of flows since the computational grid follows the fluid motion.This provides accurate results around the shocks as well as a natural tracking ofmulti-material interfaces and free-surfaces. In particular, cell-centered Finite VolumeLagrangian schemes such as GLACE (Godunov-type LAgrangian scheme Conservativefor total Energy) and EUCCLHYD (Explicit Unstructured Cell-CenteredLagrangian HYDrodynamics) provide good results on both the modeling of gas dynamicsand elastic-plastic equations. The work produced during this PhD thesisis in continuity with the work of Maire and Nkonga [JCP, 2009] for the hydrodynamicpart and the work of Kluth and Després [JCP, 2010] for the hyperelasticitypart. More precisely, the aim of this thesis is to develop robust and accurate methodsfor the 3D extension of the EUCCLHYD scheme with a second-order extensionbased on MUSCL (Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)and GRP (Generalized Riemann Problem) procedures. A particular care is taken onthe preservation of symmetries and the monotonicity of the solutions. The schemerobustness and accuracy are assessed on numerous Lagrangian test cases for whichthe 3D extensions are very challenging.

Les écoulements diphasiques jouent un rôle prépondérant dans les moteurs-fusées à ergols liquides cryogéniques, équipant par exemple les lanceurs de la famille Ariane. L'étude expérimentale de tels engins propulsifs étant complexe et onéreuse, disposer d'outils numériques à même de simuler fidèlement leur fonctionnement se révèle être un objectif aussi important qu'ambitieux. La difficulté majeure réside dans le caractère fortement multi-échelles du problème, si bien qu’aucune approche numérique existante n'est capable à elle seule de décrire parfaitement l'ensemble des échelles liquides. Partant de ce constat, les travaux présentés dans cette thèse visent à mettre en place une stratégie de couplage entre des modèles bien adaptés aux différentes topologies d'écoulement diphasique, et ce dans le cadre de la plateforme logicielle multi-physique CEDRE développée par l'ONERA. La démarche adoptée consiste précisément à coupler un modèle à interface diffuse de type ``4 équations'' pour les zones à phases séparées, et un modèle cinétique eulérien pour la phase dispersée, rendant ainsi possible la description de l’atomisation primaire. Par ailleurs, les conditions sévères qui règnent dans les moteurs cryotechniques, où de forts gradients de température, vitesse et densité sont rencontrés, mettent à l'épreuve la robustesse des méthodes numériques. Une nouvelle méthode MUSCL multipente pour maillages non structurés généraux a ainsi été développée, permettant d’améliorer la robustesse et la précision des schémas de discrétisation spatiale. L’ensemble de la stratégie de couplage est finalement appliquée à la simulation du banc Mascotte de l'ONERA pour la combustion cryotechnique. / Two-phase flows play a significant role for the proper functioning of cryogenic liquid-propellant rocketengines, such as those that equip the launchers of the Ariane family. Since the experimental investigationof such propulsion devices is complex and expensive, developing numerical tools able to accuratelysimulate their functioning, is a crucial but nonetheless ambitious objective. The major difficulty is due tothe multiscale nature of the problem, as a result of which there is currently no numerical approach ableto perfectly describe all the liquid scales on its own. Based on this observation the work presented in thisthesis aims at setting up a coupling strategy between models well-adapted to each two-phase flowtopology, in the framework of the ONERA’s multiphysics CEDRE software. The approach adoptedprecisely consists in coupling a 4-equation diffuse interface model for the separated phases and aeulerian kinetic model for the dispersed phase, thus making it possible to describe primary atomization.Besides, the harsh conditions within cryogenic rocket engines, where large temperature, velocity anddensity gradients are encountered, severely challenge the robustness of numerical methods. A newmultislope MUSCL method for general unstructured meshes is thus developed in order to improve therobustness and accuracy of space discretization schemes. The whole coupling strategy is finally appliedto the numerical simulation of the ONERA’s Mascotte test bench for cryogenic combustion research.

L'objectif de ce travail est le développement d'un modèle et d'une méthode numérique adaptés à la simulation du ruissellement d'eau de pluie sur des surfaces agricoles. Pour cela, nous utilisons un système d'équations aux dérivées partielles pour les eaux peu profondes : le système de Saint Venant. La pluie et l'infiltration y sont pris en compte par l'ajout de termes source et le couplage avec un modèle d'infiltration. Le système étant hyperbolique et conservatif nous choisissons d'utiliser un schéma aux volumes finis avec reconstruction hydrostatique. Avec cette reconstruction nous obtenons un schéma permettant de traiter les équilibres stationnaires et les interfaces sec/mouillé dues aux événements pluvieux. Tout d'abord, nous effectuons une comparaison systématique de différents flux numériques, de différentes reconstructions d'ordre deux (MUSCL et ENO modifiées) et de différentes méthodes de traitement des frottements sur des solutions analytiques unidimensionnelles. Ces comparaisons nous permettent de choisir une méthode numérique adaptée à la simulation du ruissellement qui en outre capture les phénomènes de type roll-waves. Ensuite nous nous intéressons au traitement de la pluie et de l'infiltration à l'aide du modèle de Green-Ampt. Cette méthode généralisée en dimension deux est validée sur des résultats expérimentaux obtenus à l'INRA d'Orléans et à l'IRD. La méthode numérique choisie et validée a été implémentée dans FullSWOF_2D un logiciel libre écrit en C++ pour la simulation de ruissellement d'eau de pluie sur des surfaces agricoles.