El presente trabajo trata sobre un estudio experimental de la dinámica de una capa granular delgada cuasi unidimensional, fluidizada vía un flujo gaseoso modulado periódicamente en el tiempo, con énfasis en las transiciones dinámicas que ocurren en la capa y los efectos que tiene el ruido sobre ellas. Para ello se construyó una celda de vidrio tipo Hele-Shaw con un material poroso dispuesto horizontalmente sobre la cual se depositó una capa de granos. Por la parte inferior de la celda se inyectó un flujo gaseoso, cuya modulaci ón fue controlada por una válvula que responde a una señal de voltaje. Al variar el grosor de la capa de granos, la amplitud, tiempo de duración y la frecuencia de la modulación, se encuentra un cambio de comportamiento entre un estado homogéneo, correspondiente al vuelo principalmente vertical de los granos, a una estructura periódica espacialmente ordenada. Esta estructura muestra una longitud de onda bien definida, y debido a la naturaleza de la modulación es subarmónica. A una frecuencia fija se estudió el diagrama de fases para diferentes grosores al variar la amplitud y la duración de la modulación. Se observan zonas donde la transición es de segundo orden (bifurcación supercrítica), y otras zonas donde es de primer orden (bifurcación subcríıtica). Se propone un mecanismo tentativo para la sustentación de la estructura en el tiempo y se compara con diversas aproximaciones teóricas. Se realiza una caracterización cuantitativa de las transiciones descritas vía un parámetro de orden. Finalmente, se muestran fenómenos propios de dinámicas con ruido observados en la capa.

Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se estudia la ecuación (I-\Delta)^{\alpha} u = f(x,u) en R^N, con \alpha\in(0,1). Se establece la existencia de una solución débil mediante un resultado del tipo paso de la montaña y usando las propiedades del kernel del operador (I-\Delta)^{-\alpha} se estudia la regularidad de dicha solución. Mediante un argumento de comparación junto con uno de punto fijo se determina que esta solución posee decaimiento exponencial. También se establece la existencia de infinitas soluciones cuando f(x,u)=|u|^{p-1}u utilizando las propiedades del género de Krasnoselskii y finalmente se demuestra una identidad del tipo Pohozaev con la cual se obtiene la no existencia de soluciones positivas en los casos crítico y supercrítico. Se analizan también las principales propiedades de los operadores (-\Delta)^{\alpha} y (I-\Delta)^{\alpha} junto con los núcleos asociados y su relación con el laplaciano. Finalmente se entrega una breve discusión con respecto a la ecuación (-\Delta)^{\alpha} u + u = f(x,u) en R^N y se plantea el problema de estudiar el límite cuando \alpha\to 1^-. Se discute la posible utilidad de la supersolución usada en el argumento de comparación que determina el decaimiento de la solución.

Magíster en Ciencias, Mención Física / El objetivo de esta Tesis es dar una descripción sobre los comportamientos no variacionales mostrados por sistemas extendidos que presentan patrones como soluciones de equilibrio. En particular, se estudiaron dos fenómenos presentes en este tipo de sistemas: 1)La transición entre un patrón estático y uno con dinámica permanente, caótica en el espacio y en el tiempo. Utilizando el modelo Forma Normal de Lifshitz, se encontró y estudió numéricamente, en una dimensión espacial, la transición. En ella se encontraron dos bifurcaciones que fueron estudiadas numéricamente. La transición completa es propuesta como una generalización de la ruta al caos por quasiperiodicidad para sistemas extendidos. 2) La existencia, estabilidad y mecanismo de creación de una solución tipo partícula, constituida por un patrón con dinámica permanente, el cual se encuentra localizado y sostenido sobre un estado homogéneo. Solución a la que llamaremos Caoticón . En el experimento de una válvula de cristal líquido con retro-inyección óptica, se encontró experimentalmente la solución Caoticón y el espacio de parámetros en que existe. La forma normal de Lifshitz, que puede ser derivada del modelo teórico de este experimento, se utilizó para estudiar numéricamente las soluciones Caoticón en una dimensión. Fue encontrada una dependencia entre la talla de la estructura localizada y el máximo exponente de Lyapunov, lo que revel ́ la existencia de una talla crítica a partir de la cual existe dinámica permanente para estas estructuras localizadas. Finalmente, se propuso un modelo fenomenológico que reproduce cualitativamente el Caoticón . En este modelo, a partir del análisis débilmente no lineal realizado, se obtuvo una descripción de las soluciones Caoticón como la interacción de dos frentes bloqueados por la presencia de la longitud de onda del patrón e inducidos a una dinámica permanente por los comportamientos no variacionales sobre el patrón.

Magíster en Ciencias, Mención Física / Este trabajo presenta un estudio experimental sistemático de estructuras localizadas llamadas kinks, las que corresponden a conexiones espaciales entre soluciones simétricamente estables en sistemas extendidos. Los objetivos principales de esta tesis son realizar una caracterización acabada de kinks granulares unidimensionales en una cama granular fluidizada mediante un flujo periódico de aire y realizar una descripción cuantitativa de su dinámica. El trabajo de tesis se presenta con una introducción al tema, dándose una descripción general de sistemas fuera del equilibrio y de medios granulares. En la sección siguiente, Marco Experimental, se dan a conocer los detalles del montaje, del forzamiento y la obtención de datos. En la sección Marco Teórico, se presentan las herramientas que se utilizarán en la descripción del comportamiento de la capa granular y del kink en sí. En dicha sección se tratan temas acerca de las bases del comportamiento de un sistema para la existencia de kinks y se dan resultados relativos a sistemas sometidos a fluctuaciones, de suma importancia para la descripción de la dinámica del kink. Luego se dan a conocer los resultados experimentales, donde se describe el espacio de parámetros que se explora, se realiza un estudio del comportamiento oscilatorio de la capa granular presentándose un modo de respuesta crítico el que se estudia mediante el uso de ecuaciones de amplitud. En dicho estudio se caracteriza una inestabilidad paramétrica que da la posibilidad de la existencia de kinks, los que son caracterizados, describiendo cómo cambia su talla y su amplitud en función del parámetro de control. Sobre el kink se presenta una estructura periódica espacial generada por las fluctuaciones inherentes del sistema que influye fuertemente en la dinámica del kink, el precursor. La existencia del precursor, genera que la dinámica del kink sea análoga a la de una partícula browniana que se mueve entre puntos de equilibrio dando saltos entre ellos. La dinámica del kink es estudiada utilizando herramientas estocásticas que permiten mostrar que el promedio de los tiempos que el kink tarda en realizar los saltos crece exponencialmente con el parámetro de control. Finalmente se presentan las conclusiones máas importantes, las proyecciones y un apéndice con las publicaciones que fueron originadas desde este trabajo.

Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / El presente es un estudio del fenómeno de la Inestabilidad de Faraday en una celda de Hele-Shaw especialmente delgada lo que provocó histéresis en el cambio de estado de equilibrio. Este escrito consiste de tres capítulos. El primero es teoría de la resonancia y el segundo y tercero describen dos experimentos en donde se generan patrones sobre la superficie de un fluido en una celda de Hele-Shaw sometida a vibración. En el primer capítulo se explica el concepto de resonancia en un péndulo en casos con y sin roce, luego se pasa al concepto de resonancia paramé- trica, primero en un péndulo y luego en una cadena de péndulos en donde el pivote tiene un movimiento sinusoidal vertical, llegando a obtener ecuaciones de amplitud de estos fenómenos oscilatorios. En el segundo capítulo se estudia experimentalmente la formación de patro- nes en un fluido contenido en una celda Hele-Shaw vibrada verticalmente. Se usa una celda de acrílico para que sea transparente y se pueda ver el patrón y grabar con una cámara rápida puesta a un lado del montaje. En el tercer capítulo se estudia lo mismo que en el capítulo anterior pero inclinando el sistema en un pequeño ángulo (lo que produce un efecto de agregar ruido al sistema) y en vez de una cámara puesta a un lado se usa un láser que se refleja en la superficie del fluido y luego llegando a una pantalla. Se observa la figura que hace el láser en la pantalla. / CMM - Conicyt PIA AFB170001

En el área de Ingeniería de Procesos abundan los problemas de optimización no lineales. En busca de formulaciones más realistas ha aumentado la exigencia de un modelado riguroso. Como complejidades incorporadas, al aumento de la cantidad de variables continuas y restricciones no lineales se le suman la presencia de variables binarias. En muchos casos los problemas se resuelven mediante la relajación de variables y condiciones, así generando subproblemas no lineales cuya resolución se realiza a través de aproximaciones lineales y cuadráticas. La pregunta formulada en esta tesis es la siguiente ¿Podemos lograr eficiencia sin tener que relajar el problema? Es decir ¿podemos conseguir soluciones del modelo original en tiempos razonables? En esta tesis proponemos explotar el Método del Gradiente Espectral Proyectado (SPG) mediante su refundación a partir del paradigma paralelo. El SPG es un método de optimización global no monótono para problemas de programación no lineal, con características diferentes a las exhibidas por los métodos clásicos de gradiente proyectado. La no monotonicidad y una elección particular de la longitud del paso permiten aprovechar situaciones especiales que se presentan en muchos problemas, acelerando la convergencia con mínimos costos de almacenamiento de datos. Entre sus características más atractivas aparece su bajo costo en operaciones: SPG no calcula matrices hessianas ni resuelve sistemas lineales. SPG sólo utiliza productos matriz vector y una estrategia de búsqueda lineal no monótona para garantizar convergencia global. Combinado con un esquema de Lagrangiano Aumentado, el método se muestra como una herramienta muy prometedora para el abordaje de problemas muy exigentes en cuanto a esfuerzo computacional y eficiencia. Sus puntos débiles se encuentran en el requerimiento de muchas búsquedas lineales para obtener un nuevo iterado, y en la necesidad de una buena aproximación del gradiente cuando éste no está disponible en forma analítica. En problemas de aplicaciones industriales estos dos aspectos pueden devenir en verdaderos cuellos de botella del algoritmo. En consecuencia, el bajo costo aritmético por iteración no se ve reflejado en el tiempo total de resolución. El auge del desarrollo en la programación en paralelo hace que este paradigma se presente como un recurso que ofrece una gran oportunidad para superar estos inconvenientes. El objetivo de esta tesis fue el desarrollo y análisis del desempeño de una versión eficiente del algoritmo SPG programado en paralelo, asumiendo desconocimiento de expresiones analíticas de la función objetivo o de los gradientes. Este escenario a menudo se presenta en los problemas de optimización en ingeniería de procesos con gran cantidad de variables y restricciones no lineales. La nueva versión del algoritmo SPG genera una sucesión de iterados que es alternativa a la que genera la versión secuencial lo que lo hace más competitivo, pero manteniendo la robustez de convergencia que posee el método SPG original. Se desarrollaron e implementaron dos versiones del algoritmo paralelo: una fue concebida para ejecutarse eficientemente sobre una arquitectura distribuida mediante pasaje de mensajes sobre una red de área local estándar, y la otra fue diseñada para ejecutarse sobre una arquitectura de memoria local compartida. La experimentación numérica se realizó sobre un cluster de 8 procesadores y en una computadora multicore de 12 núcleos. Se demostró en forma teórica la eficiencia esperada. Además, hemos contrastado estos desarrollos teóricos con resultados empíricos obtenidos en algunos problemas de diseño relacionados a plantas de procesos industriales, ubicando así a este resolvedor paralelo como una herramienta competitiva frente a los resolvedores clásicos de paquetes comerciales. / There are many nonlinear optimization problems in the area of Process Engineering. In the search of more realistic formulations the need of more rigorous modeling has grown. The presence of binary variables, the increasing amount of continuous variables and nonlinear constraints count among the incorporated complexities. In many cases the problems are solved by relaxing variables and conditions, thus generating nonlinear subproblems whose resolution is carried out through linear and quadratic approximations. The question posed in this thesis is the following: Can we achieve efficiency without having to relax the problem? I mean: Can we get the original model solutions in reasonable time? In this thesis we propose to exploit the Spectral Projected Gradient method (SPG) by its relaunching from the parallel paradigm. SPG is a non-monotone global optimization method for nonlinear programming problems, its features being different from those exhibited by the classical projectedgradient methods. The non-monotonicity and a particular choice of the step length allow to exploit special situations that arise in many problems, accelerating the convergence with minimal data-storage costs. Its low operating cost features among its most attractive attributes SPG neither calculates Hessian matrices nor solves linear systems. SPG just performs matrix vector products and a non-monotone line-search strategy in order to ensure global convergence. When combined with an Augmented Lagrangian scheme, the method looks like a promising tool for addressing demanding problems in terms of computational effort and efficiency. Its weaknesses lie in the requirement of too many line-searches for a new iterate, and in the need for a good approximation of the gradient when it is not available in analytical form. In industrial application these two mentioned aspects may become real bottlenecks in the algorithm. In consequence, the low arithmetic cost per iteration is not reflected in the total elapsed time of resolution. The boom development in parallel programming presents this paradigm as a resource that provides a great opportunity to overcome these drawbacks. The goal of this thesis was the development and analysis of the performance of an efficient version of the SPG algorithm programmed in parallel, assuming lack of knowledge about the analytical expressions of the objective function or gradients. This scenario often appears in process engineering optimization problems with many variables and non-linear constraints. The new version of the SPG algorithm generates a sequence of iterates that is alternative to the one generated by the sequential version. In this way, the proposed version becomes more competitive, while maintaining the robustness of the original method. Two versions of the parallel algorithm were developed and implemented: one of them was conceived to run efficiently on a distributed architecture by using message passing on a standard local area network, and another one was designed to run on a shared local-memory architecture. The numerical experiments were performed on a cluster of 8 processors and a 12-core multicore computer. We have proved the expected efficiency theoretically. Besides, we have contrasted these theoretical developments with empirical results in some design problems related to industrial plants processes. thus placing this parallel solver as a competitive tool against classical commercial packages.

En esta tesis se estudia a fondo el modelo más realista posible que describe la propagación de luz, en los regímenes lineal y no lineal, paraxial, en celdas planares de cristales líquidos nemáticos. Se tratan los casos unidimensionales y bidimensionales, así como la evolución de campo óptico en estas estructuras de tamaños micrométricos. De esta forma se detallan aspectos como la influencia de la no linealidad no local en estos dispositivos, o el efecto de la anisotropía, tanto en el plano de evolución en el régimen unidimensional, como en el plano transversal del estudio bidimensional de dispositivos. Además se estudian regímenes de trabajo, inexplorados hasta ahora, de las ecuaciones que definen la posición del cristal líquido unidimensional, al hacer uso de condiciones de contorno asimétricas. Esta configuración permite la aparición de un régimen lineal fuertemente confinante, basado en la inducción de guías de variación gradual del índice de refracción. La condición de frontera define el número de guías inducidas para un mismo dispositivo. Se caracteriza el comportamiento de estos dispositivos en los regímenes lineal y no lineal. Desde el punto de vista numérico, se emplea el método de diferencias finitas para resolver las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales involucradas. Los sistemas de ecuaciones no lineales a que nos conduce el método numérico se resuelven con técnicas iterativas estándar como el método Newton-Raphson. Se emplean técnicas numéricas avanzadas como el empleo de métodos de dirección alternada (o métodos semi-implícitos) para mejorar las prestaciones computacionales de nuestros códigos. Además introducimos una novedosa condición de contorno transparente que aplicamos con éxito a las ecuaciones de distribución de campo eléctrico bidimensional y la ecuación de distribución del ángulo de torsión del cristal líquido. Esto nos permite mejorar aún más los tiempos de cómputo en la simulación de dispositivos complejos. Por último, en el ter / Orquín Serrano, I. (2012). Simulación de dispositivos ópticos de cristal líquido. Análisis de la propagación lateral en el régimen lineal y en el no lineal [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/16381

Company Calleja, P. (1989). Aplicación de las tecnologias C.A.D al diseño optimo interactivo de estructuras mediante programación matemática no lineal [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/60770

El trabajo se enmarca dentro del estudio de ciertas propiedades ópticas con vistas a su inclusión en el diseño de dispositivos de conmutación de señales ópticas. En particular se ha prestado atención a los medios que exhiben no linealidad de segundo orden, denominada comúnmente tipo Kerr. Este tipo de medios pueden ser explotados en la actualidad por dos motivos principales: primero, debido a los avances tecnológicos en crecimiento de capas delgadas y en la fabricación de guías de onda dieléctricas por diferentes técnicas, en función del tipo de material utilizado y de su particular estructura cristalina. Y en segundo lugar, por la posibilidad de contar con fuentes intensas de luz miniaturizadas, como son los diodos láser de media (o alta) potencia. La conmutación de señales de información óptica mediante señales de control también ópticas (all-optical switching) significaría un avance de grandes consecuencias tanto en el propio campo de las comunicaciones ópticas como en el más nuevo de la computación óptica. El dispositivo al que se le ha prestado particular atención en la Tesis ha sido el acoplador direccional no lineal (NLDC, non-linear directional coupler), debido a su sencillez y a su potencial versatilidad. Se ha desarrollado un modelo de modos acoplados con un término perturbativo no lineal, para obtener una visión general de los modos de funcionamiento del acoplador. Se elaboró una herramienta de simulación para corroborar los resultados y, finalmente, se propuso un modo particular de funcionamiento como puerta lógica AND, haciendo un esbozo de la relación existente entre los parámetros físicos del sistema y los parámetros externos de la puerta. / This work may be framed within the design of optical switching devices, by means of the use of certain special properties of some optical materials. Particular interest has arisen with respect to the non-linear media exhibiting the Kerr effect. This effect is known from many years ago, but solely now it could be exploited, due to two main reasons. First, the actual advances in fabrication of optical waveguides by means of a wide fan of different techniques, depending of the specific type of materials used. And second, due to the current easy availability of miniaturized intense light sources, namely, the medium or high-power laser diodes. Switching information optical signals by means of other optical control signals, the so called all-optical switching, would mean a technological advance with enormous consequences in the field of optical communications and in the new area of optical computing. Along this work special attention has been drawn to the non linear directional coupler (NLDC), which is probably one of the most versatile devices in non-linear guided optics. An analytical study was performed by means of the coupled-mode theory, in which the non-linearity was added as a perturbative term. This study let to establish clearly the different running modes of the device. Results were tested with a simulation tool, based on the well-known split-step technique. Finally a particular design to implement an AND logic gate has been proposed, where the physical parameters of the NLDC were related with the external figures of the logical gate.

En el presente trabajo se estudió y rediseñó una implementación existente del algoritmo Filter-SDP, el cual resuelve problemas de programación semidefinida no lineal de la forma: donde f : Rn → R, h : Rn → Rp y G : Rn → Sm son funciones de clase C2 y Sm denota el espacio lineal de las matrices simétricas de m×m dotado del producto interno A·B = . El algoritmo resuelve en cada iteración una aproximación local representada por un problema de programación semidefinida lineal, y adicionalmente se utiliza un esquema de penalización multi-objetivo, en el cual se minimiza la función objetivo y una función de mérito utilizando un filtro. Se estudió la introducción de cálculo paralelo en partes específicas del algoritmo, con el objetivo de disminuir el tiempo de ejecución. Se reimplementó el algoritmo utilizando el lenguaje C y la librería de cálculo paralelo MPI. Esa nueva implementación se comparó con un desarrollo ya existente, realizado sobre la plataforma MATLAB, y se midió su speedup en los problemas más pesados de una batería de tests escogida. Como apoyo al desarrollo del algoritmo, se diseñaron nuevas fases de restauración sobre la plataforma MATLAB, con el objetivo de mejorar la calidad de las soluciones obtenidas. Se diseñaron 4 nuevos métodos para la fase de restauración del algoritmo, cuyas principales áreas de influencia son la restauración inexacta, el diseño de controladores retroalimentados de salida estática y el posicionamiento de polos. Dentro de los resultados obtenidos, se logró visualizar las ventajas de la nueva implementación con respecto al desarrollo ya existente, así como demostrar el beneficio que se obtiene en el speedup para problemas pesados. También se realizó una comparación entre los métodos diseñados para la fase de restauración, con la cual se llegó a conclusiones que pueden abrir nuevas áreas de investigación y trabajo a futuro. Finalmente, se aprendió a utilizar una herramienta de álgebra lineal que funciona sobre ambientes de cálculo paralelo, ScaLAPACK, y se perfeccionó el proceso de desarrollo de software que ya se tenía sobre este tipo de plataformas.