Dans cette thèse, nous étudions les propriétés du transport de particules chargées de haute énergie dans des champs électromagnétiques turbulents.Ces champs ont été générés en utilisant le code magnétohydrodynamique (MHD) RAMSES, résolvant les équations de la MHD idéales compressibles. Nous avons développé un module pour générer la turbulence MHD, en utilisant une technique de forçage à grande échelle. Les propriétés des équations de la MHD font cascader l'énergie des grandes échelles vers les petites, développant un spectre en énergie suivant une loi de puissance, appelée zone inertielle. Nous avons développé un module permettant de calculer les trajectoires de particule chargée une fois le spectre turbulent établi. En injectant les particules à une énergie telle que l'inverse du rayon de Larmor des particules corresponde à un mode du spectre de Fourier dans la zone inertielle, nous avons cherché à mettre en évidence un effet systématique lié à la loi de puissance du spectre. Cette méthode a montré que le libre parcours moyen est indépendant de l'énergie des particules jusqu'à des valeurs de rayon de Larmor proches de l'échelle de cohérence de la turbulence. La dépendance du libre parcours moyen avec le nombre de Mach alfvénique des simulations MHD a également produit une loi de puissance.Nous avons également développé une technique pour mesurer l'effet de l'anisotropie de la turbulence MHD sur les propriétés du transport des rayons cosmiques, au travers le calcul de champs magnétiques locaux. Cette étude nous a montré un effet sur coefficient de diffusion angulaire, accréditant l'hypothèse que les particules sont plus sensible aux variations de petites échelles. / In this thesis, we study the transport properties of high energy charged particles in turbulent electromagnetic fields.These fields were generated by using the magnetohydrodynamic (MHD) code RAMSES, which solve the compressible ideal MHD equations. We have developed a module for generating the MHD turbulence, by using a large scale forcing technique. The MHD equations induce a cascading of the energy from large scales to small ones, developing an energy spectrum which follows a power law, called the inertial range.We have developed a module for computing the charged particle trajectories once the turbulent spectrum is established. By injecting the particles to energy such as the inverse of the particle Larmor radius corresponds to a mode in the inertial range of the Fourier spectrum, we have highlighted systematic effects related to the power law spectrum. This method showed that the mean free path is independent of the particules energy until the Larmor radius takes values close to the turbulence coherence scale. The dependence of the mean free path with the alfvénic Mach number produced a power law.We have also developed a technique to measure the anisotropy effect of the MHD turbulence in the cosmic rays transport properties through the calculation of local magnetic fields. This study has shown an effect on the pitch angle scattering coefficient, which confirmed the assumption that the particles are more sensitive to changes in small scales fluctuations.

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques. / In this thesis, we study various aspects of martingale optimal transport in dimension greater than one, from duality to local structure, and finally we propose numerical approximation methods.We first prove the existence of irreducible intrinsic components to martingal transport between two given measurements, as well as the canonicity of these components. We have then proved a duality result for optimal martingale transport in any dimension, point by-point duality is no longer true but a form of quasi safe duality is demonstrated. This duality makes it possible to demonstrate the possibility of decomposing the quasi-safe optimal transport into a series of optimal transport subproblems point by point on each irreducible component. Finally, this duality is used to demonstrate a principle of martingale monotony, analogous to the famous monotonic principle of classical optimal transport. We then study the local structure of optimal transport, deduced from differential considerations. We thus obtain a characterization of this structure using tools of real algebraic geometry. We deduce the optimal martingal transport structure in the case of the power costs of the Euclidean norm, which makes it possible to solve a conjecture that dates from 2015. Finally, we compared the existingnumerical methods and proposed a new method which proves more efficient and allows to treat an intrinsic problem of the martingale constraint which is the defect of convex order. Techniques are also provided to manage digital problems in practice.

The increasing demand for energy, depletion of fossil fuels, rising global warming, and greenhouse gas emissions have stimulated the need for widespread development and adoption of renewable energy sources (RES) worldwide. Among these sources, solar energy has emerged as a major contender to meet the growing demand. It offers adaptable applications and provides an alternative to traditional energy sources. A brand-new application of solar panels is agrivoltaics. Agrivoltaics consists in installing solar panels above farming lands such as crops. The combination of solar energy production and farming on the same lands increases the overall yield of the land and brings several other opportunities. However, agrivoltaics is also very challenging. An improper installation of solar panels above crops may result in a dramatic drop of the farming yield. Thus, it is of major importance to understand how to maximize the solar energy production without harming the plants or decrease the farming yield. This master’s thesis focuses on the impact of agrivoltaic systems on the micro-climate close to the crop. The goal is to link the modified physical phenomena within an agrivoltaic system and their impact on the crops. The methodology is based on Computational Fluid Dynamics (CFD). The idea is to realize high fidelity simulations of the different physical phenomena and their coupling, and compare them to experimental data. Flow simulations coupled with radiative models and a surface model are realized in this perspective. The master’s thesis is divided in three parts. 1. Based on experimental data collected during three years at the EDF lab les Renardières, determine which physical phenomena impact the most the crop and what are the key parameters to study the growth of the plants. 2. Validate with experimental data from the atmospheric laboratory the SIRTA (Site Instrumental de Recherche par Télédétection Atmosphérique) of the engineering school Polytechnique, the radiative models and the surface model of the CFD software. 3. Study the impact of an agrivoltaic system on the identified physical phenomena with a simple geometry composed of one pitch of solar panel. The data study shows clearly that the plant temperature, the groundwater, and the radiation play crucial roles in the growth of the plant. A lack of radiation or groundwater will limit the growth of the crops. In addition, extreme temperatures can harm the crops. Consequently, this research project will firstly focus on capturing the impact of the solar panels on these three key parameters. Simulations are using a coupling of a 1D radiative model which is computationally fast and that can therefore be applied on a very large domain to compute the absorption of the atmospheric layers and the clouds, and a 3D radiative model which is able to capture the impact of an obstacle such as a solar panel. This coupling is validated for the shortwave radiation and the longwave radiation. Finally, full U-RANS simulations with the radiative models, the surface model and the - turbulence model are realized. The impact of the panels on the radiation field, the soil temperature, the specific humidity and on other fields such as the wind speed is well captured.

Dans cette thèse nous nous intéressons à la modélisation, analyse mathématique et simulation numérique d'une classe de modèles combinant différents phénomènes dissipatifs liés à la plasticité, rupture et dissipation visqueuse.Tout d'abord, nous construisons des modèles d'évolution contenant plasticité, viscoplasticité, écrouissage cinématique linéaire et rupture. En particulier, nous montrons une inégalité thermodynamique de type Clausius-Duhem pour nos modèles. Ensuite, nous montrons l'existence d'évolutions pour deux modèles: celui d'élasto-visco-plasticité avec la rupture approchée via la fonctionnelle Ambrosio-Tortorelli et celui d'élasto-viscoplasticité avec écrouissage cinématique linéaire et rupture approchée basée sur l'utilisation de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli avec un r-Laplacien. Enfin, nous étudions numériquement nos modèles en fonction de différents paramètres mécaniques. Nous proposons aussi une extension de la méthode numérique de backtracking aux matériaux à mémoire. Au final, nous effectuons des comparaisons numériques entre un de nos modèles et l'expérience géophysique de plasticine de Peltzer et Tapponnier qui modélise la propagation des failles dans la crôute terrestre. / In this work, we are interested in modeling, mathematical analysis and numerical simulation of a class of models that combine several mecanisms of dissipation: plasticity, fracture and viscous dissipation. Firslty, we construct evolution models containing plasticity, viscoplasticity, linear kinematic hardening and fracture. In particular, we show for our models a Clausius-Duhem like thermodynamical inequality. Then, we prove an existence result for evolutions for an elasto-visco-plastic model with regularized fracture using the Ambrosio-Tortorelli functional and for an elasto-viscoplastic model with kinematic hardening and fractures regularized with the modified r-Laplacian Ambrosio-Tortorelli functional. Finally, we study from a numerical point of view our models in function of various mecanical parameters. We also propose an extension of the backtracking algorithm for materials with memory. In the end, we test numerically one of our models on a geophysical Peltzer and Tapponnier's experiment of plasticine that models failure propagation in the Earth crust.

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In dieser Arbeit untersuchen wir mehrere Anwendungen von photonischen und plasmonischen Nanostrukturen unter Verwendung zweier verschiedener numerischer Methoden: die Fourier-Moden-Methode (FMM) und ein unstetiges Galerkin-Zeitraumverfahren (discontinuous Galerkin time-domain method, DGTD method). Die Methoden werden für vier verschiedene Anwendungen eingesetzt, die alle eine Materialmodellerweiterung in der Implementierung der Methoden erfordern. Diese Anwendungen beinhalten die Untersuchung von dünnen, freistehenden, periodisch perforierten Goldfilmen. Wir charakterisieren die auftretenden Oberflächenplasmonenpolaritonen durch die Berechnung von Transmissions- und Elektronenenergieverlustspektren, die mit experimentellen Messungen verglichen werden. Dazu stellen wir eine Erweiterung der DGTD-Methode zur Verfügung, die sowohl absorbierende, impedanzangepasste Randschichten als auch Anregung mit geglätteter Ladungsverteilung für materialdurchdringende Elektronenstrahlen beinhaltet. Darüber hinaus wird eine Erweiterung auf nicht-dispersive anisotrope Materialien für eine Formoptimierung einer volldielektrischen magneto-optischen Metaoberfläche verwendet. Diese Optimierung ermöglicht eine verstärkte Faraday-Rotation zusammen mit einer hohen Transmission. Zusätzlich untersuchen wir abstimmbare hyperbolische Metamaterialresonatoren im nahen Infrarot mit Hilfe der FMM. Wir berechnen deren Resonanzen und vergleichen sie mit dem Experiment. Zum Schluss wird die Implementierung eines nichtlinearen Vier-Niveau-System-Materialmodells in der DGTD-Methode verwendet, um die Laserschwellen eines Mikroresonators mit Bragg-Spiegeln zu berechnen. Bei Einführung eines Silbergitters mit variablen Spaltgrößen wird eine defektinduzierte Kontrolle der Laserschwellen ermöglicht. Die Berechnung der vollständigen, zeitaufgelösten Felddynamik innerhalb des Resonator gibt dabei Aufschluss über die beteiligten Lasermoden. / In this thesis, we study several applications of photonic and plasmonic nanostructures by employing two different numerical methods: the Fourier modal method (FMM) and discontinuous Galerkin time-domain (DGTD) method. The methods are used for four different applications, all of which require a material model extension for the implementation of the methods. These applications include the investigation of thin, free-standing periodically perforated gold films. We characterize the emerging surface plasmon polaritons by computing both transmittance and electron energy loss spectra, which are compared to experimental measurements. To this end, we provide an extension of the DGTD method, including absorbing stretched coordinate perfectly matched layers as well as excitations with smoothed charge distribution for material-penetrating electron beams. Furthermore, an extension to non-dispersive anisotropic materials is used for shape optimization of an all-dielectric magneto-optic metasurface. This optimization enables an enhanced Faraday rotation along with high transmittance. Additionally, we study tuneable near-infrared hyperbolic metamaterial cavities with the help of the FMM. We compute the cavity resonances and compare them to the experiment. Finally, the implementation of a non-linear four-level system material model in the DGTD method is used to compute lasing thresholds of a distributed Bragg reflector microcavity. Introducing a silver grating with variable gap sizes allows for a defect-induced lasing threshold control. The computation of the full time-resolved field dynamics of the cavity provides information on the involved lasing modes.

It is well-known that the solution of a so-called singularly perturbed differential equation exhibits layers. These are small regions in the domain where the solution changes drastically. These layers deteriorate the convergence of standard numerical algorithms, such as the finite element method on a uniform mesh. In the past many approaches were developed to overcome this difficulty. In this context it was very helpful to understand the structure of the solution - especially to know where the layers can occur. Therefore, we have a lot of analysis in the literature concerning the properties of solutions of such problems. Nevertheless, this field is far from being understood conclusively. More recently, there is an increasing interest in the numerics of optimal control problems subject to a singularly perturbed convection-diffusion equation and box constraints for the control. However, it is not much known about the solutions of such optimal control problems. The proposed solution methods are based on the experience one has from scalar singularly perturbed differential equations, but so far, the analysis presented does not use the structure of the solution and in fact, the provided bounds are rather meaningless for solutions which exhibit boundary layers, since these bounds scale like epsilon^(-1.5) as epsilon converges to 0. In this thesis we strive to prove bounds for the solution and its derivatives of the optimal control problem. These bounds show that there is an additional layer that is weaker than the layers one expects knowing the results for scalar differential equation problems, but that weak layer deteriorates the convergence of the proposed methods. In Chapter 1 and 2 we discuss the optimal control problem for the one-dimensional case. We consider the case without control constraints and the case with control constraints separately. For the case without control constraints we develop a method to prove bounds for arbitrary derivatives of the solution, given the data is smooth enough. For the latter case we prove bounds for the derivatives up to the second order. Subsequently, we discuss several discretization methods. In this context we use special Shishkin meshes. These meshes are piecewise equidistant, but have a very fine subdivision in the region of the layers. Additionally, we consider different ways of discretizing the control constraints. The first one enforces the compliance of the constraints everywhere and the other one enforces it only in the mesh nodes. For each proposed algorithm we prove convergence estimates that are independent of the parameter epsilon. Hence, they are meaningful even for small values of epsilon. As a next step we turn to the two-dimensional case. To be able to adapt the proofs of Chapter 2 to this case we require bounds for the solution of the scalar differential equation problem for a right hand side f only in W^(1,infty). Although, a lot of results for this problem can be found in the literature but we can not apply any of them, because they require a smooth right hand side f in C^(2,alpha) for some alpha in (0,1). Therefore, we dedicate Chapter 3 to the analysis of the scalar differential equations problem only using a right hand side f that is not very smooth. In Chapter 4 we strive to prove bounds for the solution of the optimal control problem in the two dimensional case. The analysis for this problem is not complete. Especially, the characteristic layers induce subproblems that are not understood completely. Hence, we can not prove sharp bounds for all terms in the solution decomposition we construct. Nevertheless, we propose a solution method. Numerical results indicate an epsilon-independent convergence for the considered examples - although we are not able to prove this.

L'objective de la thèse est de comprendre s'il est envisageable d'utiliser les modèles qui décrivent la croissance tumorale (systèmes d'EDP) pour des applications médicales. En particulier, les modèles paramétriques sont calibrés en utilisant les données d'imagerie médicale d'un patient. Une fois calibré, le modèle donne une représentation de la croissance tumorale. Des techniques différentes sont proposées. Un approche classique basé sur la sensibilité est comparé à un approche réduit basé sur la Proper Orthogonal Decomposition. Des cas réalistes concernants l'étude des métastases dans les poumons ont été mis à point en collaboration avec l'Institut Bergonié. Des exigence pratique de traitement de l'image ont motivé l'étude des méthodes de recalage non-rigide des images et parmi ceux là, le transport optimale. Un étude de la numérique du problème de Monge-Kantorovich est décrit, avec des cas test numérique. Des applications concernants l'application de la distance de Wasserstein à la réduction de modèle sont envisagées. / The main purpose of this work was to understand if and wether PDE based modeling of tumor growth may be used in realistic applications. Models proposed in the literature are parametric. The goal is to identify parameters in such a way that the pathology evolution of a given patient is recovered. The identification is performed by means of inverse problems, taking medical images as data.Different techniques were tested: a classical Sensitivity approach is compared to a reduced one, based on Proper Orthogonal Decomposition. Realistic cases were set up in collaboration with Institut Bergonié, concerning lung metastasis evolution.Practical needs when dealing with medical images pushed us to interest to Optimal transport theory and Monge-Kantorovich problem. A numerical study was carried out and a family of lagrangian methods proposed. A perspective on the using of Wasserstein distance in model reduction concludes this work.

Diese Arbeit befasst sich mit der theoretischen Beschreibung nichtlinearer optischer Phänomene in Hinblick auf das (numerische) unstetige Galerkin-Zeitraumverfahren. Insbesondere werden zwei Materialmodelle behandelt: das hydrodynamische Modell für Metalle und das Modell für Raman-aktive Materialien. Im ersten Teil der Arbeit wird das hydordynamische Modell für Metalle unter Verwendung eines störungstheoretischen Ansatzes behandelt. Insbesondere wird dieser Ansatz genutzt, um die nichtlinearen optischen Effekte, Erzeugung zweiter Harmonischer und Summenfrequenzerzeugung, mit Hilfe des unstetigen Galerkin-Verfahrens zu studieren. In diesem Zusammenhang wird demonstriert, wie das optische Signal zweiter Ordnung von Nanoantennen optimiert werden kann. Hierzu wird ein hier erarbeitetes Schema für die Abstimmung des eingestrahten Lichtes angewandt. Zudem führt eine intelligente Wahl des Antennendesigns zu einem optimierten Signal. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird das Modell für Raman-aktive Dielektrika behandelt. Genauer wird die nichtlineare Antwort dritter Ordnung für stimulierte Raman-Streuung hergeleitet. Diese wird dazu genutzt, um ein System aus Hilfsdifferentialgleichungen für das unstetige Galerkin-Verfahren zu konstruieren. Die Ergebnisse des erweiterten numerischen Verfahrens werden im Anschluss gezeigt und diskutiert. / This thesis is concerned with the theoretical description of nonlinear optical phenomena with regards to the (numerical) discontinuous Galerkin time-domain (DGTD) method. It deals with two different material models: the hydrodynamic model for metals and the model for Raman-active dielectrics. In the first part, we review the hydrodynamic model for metals, where we apply a perturbative approach to the model. We use this approach to calculate the second-order nonlinear optical effects of second-harmonic generation and sum-frequency generation using the DGTD method. In this context, we will see how to optimize the second-order response of plasmonic nanoantennas by applying a deliberate tuning scheme for the optical excitations as well as by choosing an intelligent nanoantenna design. In the second part, we examine the material model for Raman-active dielectrics. In particular, we see how to derive the third-order nonlinear response by which one can describe the process of stimulated Raman scattering. We show how to incorporate this third-order response into the DGTD scheme yielding a novel set of auxiliary differential equations. Finally, we demonstrate the workings of the modified numerical scheme.

Le calcul rigoureux vise à produire des représentations certifiées pour les solutions de nombreux problèmes, notamment en analyse fonctionnelle, comme des équations différentielles ou des problèmes de contrôle optimal. En effet, certains domaines particuliers comme l’ingénierie des systèmes critiques ou les preuves mathématiques assistées par ordinateur ont des exigences de fiabilité supérieures à ce qui peut résulter de l’utilisation d’algorithmes relevant de l’analyse numérique classique.Notre objectif consiste à développer des algorithmes à la fois efficaces et validés / certifiés, dans le sens où toutes les erreurs numériques (d’arrondi ou de méthode) sont prises en compte. En particulier, nous recourons aux approximations polynomiales rigoureuses combinées avec des méthodes de validation a posteriori à base de points fixes. Ces techniques sont implémentées au sein d’une bibliothèque écrite en C, ainsi que dans un développement de preuve formelle en Coq, offrant ainsi le plus haut niveau de confiance, c’est-à-dire une implémentation certifiée.Après avoir présenté les opérations élémentaires sur les approximations polynomiales rigoureuses, nous détaillons un nouvel algorithme de validation pour des approximations sous forme de séries de Tchebychev tronquées de fonctions D-finies, qui sont les solutions d’équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Nous fournissons une analyse fine de sa complexité, ainsi qu’une extension aux équations différentielles ordinaires linéaires générales et aux systèmes couplés de telles équations. Ces méthodes dites symboliques-numériques sont ensuite utilisées dans plusieurs problèmes reliés : une nouvelle borne sur le nombre de Hilbert pour les systèmes quartiques, la validation de trajectoires de satellites lors du problème du rendez-vous linéarisé, le calcul de polynômes d’approximation optimisés pour l’erreur d’évaluation, et enfin la reconstruction du support et de la densité pour certaines mesures, grâce à des techniques algébriques. / Rigorous numerics aims at providing certified representations for solutions of various problems, notably in functional analysis, e.g., differential equations or optimal control. Indeed, specific domains like safety-critical engineering or computer-assisted proofs in mathematics have stronger reliability requirements than what can be achieved by resorting to standard numerical analysis algorithms. Our goal consists in developing efficient algorithms, which are also validated / certified in the sense that all numerical errors (method or rounding) are taken into account. Specifically, a central contribution is to combine polynomial approximations with a posteriori fixed-point validation techniques. A C code library for rigorous polynomial approximations (RPAs) is provided, together with a Coq formal proof development, offering the highest confidence at the implementation level.After providing basic operations on RPAs, we focus on a new validation algorithm for Chebyshev basis solutions of D-finite functions, i.e., solutions of linear ordinary differential equations (LODEs) with polynomial coefficients. We give an in-depth complexity analysis, as well as an extension to general LODEs, and even coupled systems of them. These symbolic-numeric methods are finally used in several related problems: a new lower bound on the Hilbert number for quartic systems; a validation of trajectories arising in the linearized spacecraft rendezvous problem; the design of evaluation error efficient polynomial approximations; and the support and density reconstruction of particular measures using algebraic techniques.