Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Banca: Clotilzio Moreira dos Santos / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar resultados sobre modularidade de reticulados. Mais especificamente, apresentamos as propriedades de um reticulado modular num espaço euclidiano arbitrário e a relação entre as theta séries de reticulados modulares pares e formas modulares. Além disso, apresentamos o estudo de modularidade em reticulados ideais fornecendo condições de existência, construções e caracterização de reticulados ideais modulares para graus especiais em corpos ciclotômicos / Abstract: The aim of this work is to show results about modularity of lattices. More specifically, we show the properties of a modular lattice in an arbitrary Euclidean space and the relationship between theta series of even modular lattices and modular forms. Moreover, we show the study of modularity in ideal lattices giving existence conditions, constructions and characterization of modular ideal lattices for special levels over cyclotomic fields / Mestre

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Desde o advento da escrita, o envio de mensagens secretas tem sido uma importante maneira de guardar sigilo de informaÃÃes confidenciais. A arte de elaborar mensagens a partir de cÃdigos secretos surge na figura da criptografia que, com o passar do tempo, estende os seus serviÃos Ãs transaÃÃes comerciais realizadas pela internet. O principal algoritmo utilizado pela internet recebe o nome de RSA. Assim, a criptografia RSA codifica nÃmeros de cartÃes de crÃditos, senhas de bancos, nÃmeros de contas e utiliza para isso elementos de uma importante Ãrea da MatemÃtica: a Teoria dos NÃmeros. / Since the advent of writing, sending secret messages has been an important way to maintain confidentiality of sensitive information. The art of crafting messages from secret codes appears in the figure of encryption that over time extends its services to commercial transactions over the Internet. The main algorithm used by the internet is called RSA. Thus, the RSA Encryption encodes credit card numbers, bank passwords, account numbers and uses for that elements of an important area of mathematics: number theory.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O pi à um nÃmero de natureza singular, pois muitos homens em diversos momentos histÃricos se detiveram a calculÃ-lo e estudÃ-lo. CÃrculos podem ser vistos em quase todos os lugares, e como consequÃncia, o pi tambÃm. Por estar tÃo presente na realidade, muitos foram os matematicos que se dedicaram ao estudo desse nÃmero e de seu valor numÃrico. Este trabalho, fruto de muita pesquisa, mostrarà muitos dos diversos caminhos que os matemÃticos fizeram para encontrarem uma aproximaÃÃo para pi . Trataremos tambÃm neste trabalho as curiosas descobertas envolvendo este nÃmero, os famosos problemas em torno dele, assim como tambÃm os diversos mÃtodos que foram usados para calculÃ-lo. A busca pelo valor numÃrico de pi levou os matemÃticos a suporem sua irracionalidade, que posteriormente fora provada e tambÃm serà feita aqui. Finalizaremos tratando de como podemos calcular de uma maneira diferenciadana sala de aula. / pi is a number of singular nature because several men in different historical moments lingered themselves to calculate and study it. Circles can be seen in almost all places, and as a consequence, so can pi. Due to being so present in the reality, a huge number of mathematicians devoted themselves to the study of this number and its numerical value. This work, result of much research, will show many of the different ways that the mathematicians took to find an approximation for pi. We will also approach in this work the curious founds involving this number, the famous problems around it as well as the diverse methods which were used to calculate it. The search for the numerical value took the mathematicians to assume its irrationality which was proved afterwards and will be done here. We will finish approaching how we can calculate pi in the classroom in a different way.

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Coorientador: Trajano Pires da Nobrega Neto / Banca: Cleonice Fátima Bracciali / Banca: Reginaldo Palazzo Jr / Banca: Sueli Irene Rodrigues Costa / Banca: Carlile Campos Lavor / Resumo: Este trabalho esta relacionado com a Teoria Algébrica dos Números e aplicações em Reticulados Ideais. Descrevemos os corp os cujo condutor e potência de primo. Quando o primo e dois, descrevemos tamb em o anel de inteiros. Quando o primo e mpar calculamos o discriminante de um modo alternativo ao existente na literatura. Neste caso, e quando o corpo tem como grau o pr oprio primo mpar, descrevemos o anel de inteiros com uma base integral e a forma traço associada, além do mínimo euclidiano. Com isso, obtemos uma família de reticulados ideais de dimensão prima ímpar / Abstract: This work is relate to Algebric Number Theory and applications in Ideal Lattices. We describ e numb er elds with p ower prime conductor. In the case prime two, we showed the ring of integers. For o dd prime, we give a new pro of for formula of discrimanate. In the case that the the degree of the eld is the o dd prime, we describ e the ring of integers, the trace form asso ciated and the Euclidean minimum. With this, we have a family of ideal lattices in odd prime dimension / Doutor

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Mariana Rodrigues da Silveira / Banca: Jéfferson Luiz Rocha Bastos / Neste trabalho apresentamos a evolução histórica do conceito de número real. Partindo de noções preliminares para quantificações e representações numéricas, introduzimos sistemas de numeração, com enfoque especial aos sistemas de numeração decimal e também sistema de numeração ternário. A partir do problema de medição, abordamos o conceito de grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis. Especial ênfase é dada aos números irracionais e e π, evidenciando conceitos, propriedades e particularidades desses números. Além disso, discutimos como abordar o estudo de números irracionais no ensino médio, finalizando com propostas de atividades pertinentes aos temas apresentados / In this work, we present the historical evolution of the concept of real number. From the preliminary sense of quantifications we introduce numerical systems, specially the decimal one and the ternary one. From the measure problem we introduce the concept of commensurable and incommensurable magnitudes. It is given special emphasis to the irrational numbers e and π, for which we discuss the concepts, properties and some particularities. Moreover, we discuss how to introduce the study of irrational numbers at high school and we propose some activities connected to the presented themes / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:27Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2012-08-02Bitstream added on 2014-06-13T18:40:35Z : No. of bitstreams: 1 favaro_er_dr_sjrp.pdf: 449730 bytes, checksum: 66f6b6e8876e035dcd2e6aa8db337bbd (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Este trabalho esta relacionado com a Teoria Algébrica dos Números e aplicações em Reticulados Ideais. Descrevemos os corp os cujo condutor e potência de primo. Quando o primo e dois, descrevemos tamb em o anel de inteiros. Quando o primo e mpar calculamos o discriminante de um modo alternativo ao existente na literatura. Neste caso, e quando o corpo tem como grau o pr oprio primo mpar, descrevemos o anel de inteiros com uma base integral e a forma traço associada, além do mínimo euclidiano. Com isso, obtemos uma família de reticulados ideais de dimensão prima ímpar / This work is relate to Algebric Number Theory and applications in Ideal Lattices. We describ e numb er elds with p ower prime conductor. In the case prime two, we showed the ring of integers. For o dd prime, we give a new pro of for formula of discrimanate. In the case that the the degree of the eld is the o dd prime, we describ e the ring of integers, the trace form asso ciated and the Euclidean minimum. With this, we have a family of ideal lattices in odd prime dimension

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-04-30Bitstream added on 2014-06-13T19:55:22Z : No. of bitstreams: 1 nunes_rso_me_sjrp.pdf: 433378 bytes, checksum: 58b9cb2328012880486c9f1011d4714a (MD5) Bitstreams deleted on 2014-12-19T18:32:50Z: nunes_rso_me_sjrp.pdf,Bitstream added on 2014-12-19T18:33:36Z : No. of bitstreams: 1 000592541.pdf: 548568 bytes, checksum: df983105ba2c1be9b281439d3ea72a48 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Dado um número inteiro positivo d, encontrar um corpo de grau d que tenha, em valor absoluto, o menor discriminante é um problema clássico e poucos resultados se tem até hoje no sentido de se resolver tal desafio. O principal interesse deste trabalho consiste em estudar o problema acima sobre os corpos de números Abelianos, particularmente aqueles de grau primo. Para tanto será preciso dominar algumas técnicas referentes ao cálculo do discriminante de corpos de números, em especial, dos corpos Abelianos. / Given a positive interger d, finding a field of degree d which has, to absolute value, the smallest discriminant it is a classical problem and few results has been got until at present time, to solve this challenge. The main purpose of this paper it is to study the problem above on Abelian numbers fields in special that ones of prime degree. However, it is necessary to know any techniques for calculating the numbers fiel discriminant, specially, to Abelian fields.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-02-22Bitstream added on 2014-06-13T20:27:28Z : No. of bitstreams: 1 ferrari_aj_me_sjrp.pdf: 927602 bytes, checksum: 80285856c8ad55e7993124cb6f12c22f (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Dado um ideal A do anel dos inteiros algébricos de um corpo de números, tem-se que a imagem deste ideal via o homomorfissmo de Minkowski é um reticulado no Rn, chamado de reticulado algébrico. Deste modo, o principal objetivo do presente trabalho é a construção de reticulados algébricos no Rn que sejam versões rotacionadas de reticulados conhecidos na literatura, e trabalhamos de modo particular até a dimensão 8. Além disso, vimos também reticulados obtidos via perturbações do homomorfismo de Minkowski. / We stablished that the image of an ideal A of the algebraic integer ring of a number field by the Minkowski homomorphism is a lattice in Rn, named algebraic lattice. In this way, the main goal of this work is the construction of algebraic lattices in Rn that be rotated versions of known lattices in the literature, and particularly we worked in dimensions up to 8. We also studied lattices obtained by perturbations of Minkowski homomorphism.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2003-07-18Bitstream added on 2014-06-13T18:06:55Z : No. of bitstreams: 1 rodrigues_tm_me_sjrp.pdf: 669881 bytes, checksum: d646ae2e14ccda760ac3fe6d775927d1 (MD5) / O propósito deste trabalho é abordar as cúbicas galoisianas as quais, pelo Teorema de Kronecker-Weber, estão contidas em uma extensão ciclotômica Q(dn), para algum n. Estudamos a representação geométrica do seu anel dos inteiros algébricos, que são reticulados de posto 3. Visando calcular a densidade de centro de tais reticulados, é necessário o estudo do discriminante dessas cúbicas e a minimização da função traço. / The purpose of this work is to deal with the galoisian cubics which, by Kronecker-Weber Theorem, are contained in a cyclotomic extension Q(dn); for some n. We study the geometric representation of their algebraic integer ring, which are lattices with rank 3. For calculating the center density of these lattices, it is necessary to study the discriminant of those cubics and the minimization of trace form.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-03-09Bitstream added on 2014-06-13T19:47:24Z : No. of bitstreams: 1 mardegan_ac_me_sjrp.pdf: 499238 bytes, checksum: d9c0e0982af5ffcd38c898ae17d59066 (MD5) / Uma grande parte desse projeto é voltada para o estudo de corpos de funções algébricas e suas propriedades elementares. Inicialmente estudaremos valorizações discretas sobre um corpo qualquer. Seguiremos com o estudo de divisores e provaremos o teorema de Riemann-Roch. Como aplicações deste teorema, calcularemos o gênero de alguns corpos de funções algébricas e classificaremos corpos de funções algébricas de gênero um e dois. / The main goal is classification algebraic function fields of genus one and two. First of all, we will study discreet valuations over any field. Then we will prove the Riemann-Roch Theorem for algebraic function fields. Finally we will use this theorem for computing the genera of some algebraic function fields and classifying algebraic function fields of genus one and two.