Les comportements dynamiques d'une famille de structures réticulées, c'est-à-dire constituées d'un réseau de poutres, sont étudiés à l'aide de la méthode d'homogénéisation des milieux périodiques discrets. Cette dernière permet de construire, de façon rigoureuse et en lien avec la microstructure, un milieu continu équivalent à l'échelle macroscopique lorsque la taille de la cellule de base est très petite par rapport à la longueur d'onde. Le domaine d'application de cetteméthode est également étendu à des fréquences plus élevées pour lesquelles les éléments de la cellule peuvent entrer en résonance en flexion. Cela se traduit à l'échelle macroscopique par des propriétés apparentes qui dépendent de la fréquence et par des bandes de fréquences interdites associées aux modes de flexion des éléments. Les structures considérées sont constituées par la répétition périodique de portiques non contreventés. Contrairement aux milieux massifs, ces structures présentent une déformabilité beaucoup plus grande en cisaillement qu'en tractioncompressionet leur cinématique locale est très riche. Ainsi, il est possible de générer une grande variété de comportements en jouant sur les ordres de grandeur des propriétés des éléments et celui de la fréquence. Cette approche permet de construire différents modèles de milieux continus (ou poutres) généralisé(e)s. Ce travail apporte un cadre d'analyse pour l'étude de milieux tels que les mousses, les matières végétales, les os. . . mais aussi pour concevoir de nouveaux matériaux avec des propriétés atypiques. Ici, les modèles de poutres généralisées servent à comprendre le fonctionnement des bâtiments. Dans ce cas, la difficulté réside dans la prise en compte du cisaillement dans les murs voiles.

L'objectif de cette thèse est de proposer une démarche de modélisation à partir de niveau microstructure pour obtenir un modèle d'endommagement à gradient. Elle se fonde, d'une part, sur la méthode d'homogénéisation pour construire un milieu effectif à partir de la microstructure donnée, et d'autre part, sur la formulation variationnelle, à l'échelle macroscopique, d'une loi d'évolution d'endommagement à partir du milieu homogénéisé. Nous construisons dans un premier temps une approche basée sur le développement asymptotique et de la méthode variationnelle pour homogénéiser un milieu élastique périodique. Afin de modéliser le phénomène de localisation d'endommagement , cette approche a été étendue à un milieu hétérogène quasi périodique. Par un exemple du milieu micro fissuré quasi périodique, nous obtenons une énergie élastique qui dépend non seulement du gradient de l'endommagement mais aussi du gradient de déformation. Dans la deuxième partie, nous construisons un modèle d'endommagement à gradient à partir de l'énergie élastique homogénéisé en se basant sur la principe de minimisation d'énergie. En ajoutant des hypothèse pour simplifier le modèle, nous pouvons construit explicitement des états localisés d'endommagement et de déformation. Enfin, un schéma de résolution numérique, basé sur un algorithme de minimisation alternée, a été proposé pour le cas d'un barre en traction. A partir des résultats numériques, les avantages et les inconvénients du modèle sont discutés. / The aim of this work is to propose a general framework to obtain a gradient damage model from the micro-structural level. It is based, firstly, on the homogenization method to derive an effective medium from the microstructure, and secondly, on the variational formulation of a damage evolution law from the homogenized medium. We propose, as a first step, an approach based on asymptotic expansion and the variational method for homogenizing a periodic elastic medium. To model the localization of damage, this approach has been extended to a quasi-periodic heterogeneous medium. From an example of quasi periodically micro-cracked solid, we obtain an elastic energy that not only depends on the gradient of the damage but also the strain gradients. Based on the principle of energy minimization, we propose the construction of a gradient damage model from the elastic energy homogenized in the second part. By adding some hypothesis to simplify the model, we can construct localized damage and strain solutions in closed form. Finally, a numerical resolution scheme, which is based on an alternate minimization algorithm, is proposed for the one-dimensional traction bar test. From the numerical results, the advantages and disadvantages of the model are discussed.

L'utilisation des moyens de transport et des machines au quotidien a fortement contribué à l'amplification des phénomènes générant de la nuisance sonore. L'élimination des bruits en basses fréquences est actuellement la cible de différentes recherches. Plusieurs stratégies ont émergé comme l'utilisation des résonateurs de Helmholtz, de membranes vibrantes mais surtout des systèmes hybrides actif-passif. L'originalité de ce projet de doctorat consiste en la proposition d'une solution technologique d'un résonateur de Helmholtz adaptatif à volume variable, permettant ainsi de s'affranchir du caractère mono-fréquentiel des résonateurs de Helmholtz passifs. Le réglage de volume s'effectue grâce à l'utilisation d'une membrane en polymère électroactif (EAP), permettant ainsi d'accorder les résonances du système. Le comportement mécanique de ces matériaux est modifié lorsqu'ils sont stimulés par un champ électrique. Des améliorations significatives en perte par transmission acoustique sont obtenues en basses fréquences par deux effets: la variation de raideur de la membrane et l'augmentation de volume due à la déformation de la membrane. Des études numériques, analytiques et expérimentales sont réalisées pour déterminer le potentiel des concepts proposés. Enfin, une structure périodique contenant 9 résonateurs adaptatifs à membranes électroactives est étudiée en champs diffus permettant d'évaluer les performances acoustiques du concept distribué.

Mon travail de thèse porte sur la modélisation électromagnétique et l'imagerie de structures périodiques désorganisées. Un certain motif dans une subdivision élémentaire (une "cellule") est répété dans les autres cellules de la structure dans certaines directions de l'espace. Cette répétition est désorganisée par un changement des propriétés des matériaux et/ou géométries des parties constitutives, dans une ou plusieurs cellules. Au premier niveau de modélisation, ces panneaux sont une succession de plaques planes l'une sur l'autre. Chacun se compose d'un agencement linéaire régulier de longs cylindres avec mêmes sections circulaires finies, tous orientés dans la même direction: nous les appelons "fibres", chaque cylindre résultant de l'hypothèse d'un faisceau de fibres de petite taille. Le matériau constitutif des fibres est différent du matériau d'enrobage (matrice) et le renforce. Chaque plaque est constituée de fibres avec différents axes pour assurer la robustesse. Il y a peu ou beaucoup de plaques, avec la répétition d'une petite pile de plaques. Pour les panneaux conducteurs (à base de carbone), l'imagerie est MHz ; pour des panneaux sans pertes ou à faibles pertes (à base de verre), l'imagerie est micro-onde (quelques dizaines de GHz, voire plus, THz). Il pourrait y avoir des cylindres manquants ou déplacés à l'intérieur d'une plaque, avec des changements conséquents dans éventuellement plusieurs cellules, adjacentes ou non. Des dommages locaux peuvent également se produire, entraînant des changements dans la forme ou les propriétés électromagnétiques d'un ou plusieurs cylindres dans une ou plusieurs cellules dans une ou plusieurs plaques. Un caractère aléatoire de la distribution des inclusions pourrait tenir compte des incertitudes de positionnement par rapport aux géométries supposées. Illuminer correctement les structures et la collecte des champs résultant (dans le champ proche espérons-le, peut-être dans le champ lointain) devraient permettre leur imagerie et concourir à leur diagnostic. Ainsi, si une structure périodique sous interrogation est désorganisée, on souhaite imager cette structure tout en prenant soin au mieux de l'information préalable sur la périodicité et la désorganisation, sur les systèmes de détection, et, évidemment, à propos des besoins et des limites de l'essai. / My PhD work is about electromagnetic modeling and imaging of disorganized periodic structures. A certain pattern in an elementary subdivision (a “cell”) is repeated in the other cells of the structure into certain directions of space. This repetition is disorganized by a change of material properties and/or geometries of the constitutive parts, within one or more cells. At first level of modeling, these panels are a succession of planar plates one over the other. Each consists of a regular linear arrangement of long cylinders with same finite circular sections, all orientated into the same direction: we call them “fibers”, each cylinder resulting from the assumption of a bundle of small-size fibers. The constitutive material of the fibers differs from the embedding material (matrix) that they reinforce. Each plate is made of fibers with different axes for sturdiness. There are few or many plates, with repetition of a small stack of plates. For conductive panels (carbon-based), imaging is MHz; for lossless or weakly lossy panels (glass based), imaging is microwave (a few tens GHz, possibly more). There might be missing/displaced cylinders inside a plate, with consequent changes in possibly several cells, adjacent or not. Local damages might occur also, leading to changes in shape or electromagnetic properties of one or more cylinders in one or more cells in one or more plates. Randomness in distribution of the inclusions might account for uncertainties of positioning with respect to assumed geometries. Properly illuminating the structures and collecting the resulting fields (in the near-field hopefully, possibly in the far-field) should allow their imaging and concur to their diagnostics. So, a periodic structure under interrogation is disorganized. One wishes to successfully image the structure while taking care at best of prior information on periodicity and disorganization, on sensing systems, and obviously of needs and limitations of the testing. The PhD benefits from a grant from the Chinese Scholarship Council.

Cette thèse porte sur l’étude des solutions périodiques du problème des N-tourbillons à vorticité positive. Ce problème, formulé par Helmholtz il y a plus de 160 ans, possède une histoire très riche et reste un domaine de recherche très actif. Pour un nombre quelconque de tourbillons et sans contrainte sur les vorticités, ce système n’est pas intégrable au sens de Liouville : on ne peut trouver de solution périodique non triviale par des méthodes explicites. Dans cette thèse, à l’aide de méthodes variationnelles, nous prouvons l’existence d’une infinité de solutions périodiques non triviales pour un système de N tourbillons à vorticités positives. De plus, lorsque les vorticités sont des nombres rationnels positifs, nous montrons qu’il n’existe qu’un nombre fini de niveaux d’énergie sur lesquels un équilibre relatif pourrait exister. Enfin, pour un système de N-tourbillons identiques, nous montrons qu’il existe une infinité de chorégraphies simples. / This thesis focuses on the study of the periodic solutions of the N-vortex problem of positive vorticity. This problem was formulated by Helmholtz more than 160 years ago and remains an active research field. For an undetermined number of vortices and general vorticities the system is not Liouville integrable and periodic solutions cannot be determined explicitly, except for relative equilibria. By using variational methods, we prove the existence of infinitely many non-trivial periodic solutions for arbitrary N and arbitrary positive vorticities. Moreover, when the vorticities are positive rational numbers, we show that there exists only finitely many energy levels on which there might exist a relative equilibrium. Finally, for the identical N-vortex problem, we show that there exists infinitely many simple choreographies.

Les systèmes embarqués sont des équipements électroniques et informatiques, soumis à de nombreuses contraintes et dont le fonctionnement doit être continu. Pour définir le comportement de ces systèmes, les modèles de programmation dataflows sont souvent utilisés. Ce choix de modèle est motivé d'une part, parce qu'ils permettent de décrire un comportement cyclique, nécessaire aux systèmes embarqués ; et d'autre part, parce que ces modèles s'apprêtent à des analyses qui peuvent fournir des garanties de fonctionnement et de performance essentielles. La société Kalray propose une architecture embarquée, le MPPA. Il est accompagné du langage de programmation ΣC. Ce langage permet alors de décrire des applications sous forme d'un modèle dataflow déjà très étudié, le modèle Cyclo-Static Dataflow Graph(CSDFG). Cependant, les CSDFG générés par ce langage sont souvent trop complexes pour permettre l'utilisation des techniques d'analyse existantes. L'objectif de cette thèse est de fournir des outils algorithmiques qui résolvent les différentes étapes d'analyse nécessaires à l'étude d'une application ΣC, mais dans un temps d'exécution raisonnable, et sur des instances de grande taille. Nous étudions trois problèmes d'analyse distincts : le test de vivacité, l'évaluation du débit maximal, et le dimensionnement mémoire. Pour chacun de ces problèmes, nous fournissons des méthodes algorithmiques rapides, et dont l'efficacité a été vérifiée expérimentalement. Les méthodes que nous proposons sont issues de résultats sur les ordonnancements périodiques ; elles fournissent des résultats approchés et sans aucune garantie de performance. Pour pallier cette faiblesse, nous proposons aussi de nouveaux outils d'analyse basés sur les ordonnancements K-périodiques. Ces ordonnancements généralisent nos travaux d'ordonnancement périodiques et nous permettrons dans un avenir proche de concevoir des méthodes d'analyse bien plus efficaces.

Dans une première partie, nous étudions la stabilité des solutions d'une inégalité variationnelle de la forme cône normal perturbé par une fonction. Pour ce faire, nous généralisons la méthode de S. Robinson, basée sur le degré topologique, aux espaces de Hilbert et à une classe de multi-applications non nécessairement convexes, appelées multi-applications prox-régulières.  Dans une deuxième partie, nous étudions des problèmes de contrôle optimal liés à la modélisation de problèmes de bio-procédés, et l'on s'intéresse à des contraintes périodiques sur l'état. Ainsi, nous étendons les résultats d'existence de solutions périodiques des EDOs de Kolmogorov au cadre du contrôle en rajoutant un paramètre contrôlé à ces équations. Ceci nous permet d'étudier par la suite un problème de commande optimale d'un chemostat sous forçage périodique, et d'en déduire la synthèse optimale pour ce problème. / In the first part, we study stability of solutions of a variational inequality of the form normal cone perturbed by a mapping. To do so, we generalize the method introduced by S. Robinson, based on the topological degree, to the general Hilbert setting on the class of non-necessarily convex set-valued mapping, called prox-regular set-valued mapping. In the second part, we study optimal control problems connected to the modelization of bio-processes and we consider periodic constraints on the state variable. We first extend the existence result of periodic solutions of Kolmogorov ODEs to the setting of control by adding a controlled parameter to those ODEs. This allows us to study an optimal control problem modeling a chemostat under a periodic forcing for which we give the optimal synthesis.

Dans les systèmes de télécommunications l'isolateur est le seul élément qui n'a pas encore été intégré, en raison du traitement thermique élevé (~ 700 °C) nécessaire à la cristallisation des matériaux magnétiques le constituant. Ce composant autorise le passage de la lumière dans une seule direction, en bloquant la propagation dans le sens retour et évite les risques des dommages ou d’instabilités. Il est basé sur l'effet non-réciproque de la rotation Faraday des matériaux magnéto-optiques. Pour surmonter ce problème de compatibilité tout en exaltant l'effet magnéto-optique, un matériau composite structuré en cristal photonique 3D a été élaboré par imprégnation d’un opale direct de polystyrène avec une solution de précurseurs métalliques dopés avec des nanoparticules magnétiques (CoFe2O4) à basse température en utilisant le procédé sol-gel. Premièrement, nous avons montré par le calcul, que l'utilisation d'un matériau magnétique diluée avec un indice de réfraction relativement faible dans un cristal photonique 1D, peut augmenter le facteur de mérite par rapport à une seule monocouche magnéto-optique. Pour obtenir une rotation Faraday suffisante, la fraction volumique de nanoparticules magnétiques dans la couche composite a tout d’abord été augmentée de quelques pour cent à une valeur aussi importante que 40%. Le résultat principal de cette thèse est enfin que la rotation de Faraday des cristaux magnéto-photoniques réalisés a montré une amélioration sur les bords de la bande interdite photonique en comparaison à la seule monocouche / For telecommunication systems the isolator is the only element, which has not been integrated yet, because of the high temperature (~700 °C) annealing process which is required for the crystallization of magnetic materials. Due to the non-reciprocal behavior of the magneto-optical effects, this device assures that the transmitted light passes in one direction, but it blocks the backward propagation into the laser and avoids damage risk or instabilities. To overcome this compatibility problem and increase the magneto-optical effect, a composite material arranged as 3D photonic crystal has been elaborated by impregnating polystyrene direct opals with magnetic nanoparticles(CoFe2O4) doped metallic precursor solution using low temperature sol-gel process. Firstly, we have shown by calculation, that the use of a dilute magnetic material with a relatively low refractive index in a 1D photonic crystal can increase the merit factor compared to a single magnetic monolayer. To obtain a sufficient Faraday rotation, the volume fiaction of magnetic nanoparticles had to be increased. We managed to reach 40%, whereas this rate was only a few percent at the beginning of this work. The main result of this thesis is that the Faraday rotation of the realized magneto-photonic crystals showed an enhancement at the edges of the photonic band gap comparing to the single monolayer

Dans cette thèse les théories spectrale et de la diffusion sur des graphes périodiques sont investigué. Le chapitre 1 présente des résultats de préservation de la nature fine du spectre pour des opérateurs de Schrödinger perturbés dans le cadre de cristaux topologiques perturbés. Le chapitre 2 étend ses résultats à des opérateurs du première ordre connu sous le nom de opérateurs de Gauss-Bonnet discrets. Finalement, le chapitre 3 présente des résultats de continuité de composantes spectrales pour des familles de opérateurs de Schrödinger magnétiques sur Z^d / In this thesis we investigate the spectral and scattering theories for crystal lattices. In chapter one we present results concerning the preservation of the nature of the spectrum for perturbed Schrödinger operators acting con perturbed topological crystals. In Chapter 2 we extend this results to some first order operators knowns as discrete Gauss-Bonnet operators. Finally, in chapter 3 we give some results dealing with the continuity of the spectrum for a family of magnetic Schrödinger operators acting on Z^d

Cette thèse a pour objectif de modéliser les déformations saisonnières de la Terre associées aux redistributions de masses d’eau de l’hydrosphère. Pour cela, nous tirons profit de la mesure des déplacements saisonniers du sol par Global positioning system (GPS) et de l’estimation des variations spatio-temporelles de l’hydrosphère déduite du champs de gravité terrestre mesuré par la mission Gravity and recovery climate experiment (GRACE). Ces données ouvrent la voie à des modèles précis de la déformation saisonnière, discutés dans le chapitre 1, qui auront des implications importantes pour la définition des référentiels terrestres, l’identification d’évènements tectoniques de glissement de période comparable ou encore pour la compréhension du lien entre déformation et sismicité saisonnière. Dans le chapitre 2, nous montrons que les déformations saisonnières mesurées en Himalaya sont expliquées par la réponse de la Terre à la charge saisonnière de GRACE qui produit des déplacements de surface cohérents au premier ordre avec les observations horizontales et verticales simultanément à condition d’utiliser un modèle de Terre réaliste, sphérique et stratifié. Nous étendons ensuite le modèle à l’échelle globale dans le chapitre 3, et comparons les déplacements induits par la charge saisonnière à 195 stations GPS, en tenant compte des contributions de degré-1 dans le signal GRACE (Swenson et al., 2008). Alors que la composante verticale est raisonnablement prédite, les composantes horizontales sont systématiquement sous-estimées et leur phase est mal reproduite. Nous montrons que ce désaccord entre modèle et observations horizontales à l’échelle mondiale peut être associé au premier ordre à une contribution de degré-1 sous-estimée, et non à la grande résolution spatiale de GRACE. Nous proposons de l’estimer à posteriori grâce à une transformation d’Helmert, représentant le mouvement du géocentre ainsi qu’une partie de la déformation de degré-1. La corrélation entre modèle et données horizontales est nettement améliorée, sans que les prédictions verticales soient affectées. Au second ordre, nous montrons que les variations de volume dans le manteau terrestre liées aux changements de phase des minéraux qui le composent peuvent jouer un rôle dans la déformation saisonnière. Enfin, nous montrons qu’il est possible d’utiliser la déformation saisonnière pour déterminer une borne inférieure de la viscosité transitoire de l’asthénosphère, paramètre clé des modèles de déformation postsimique. Afin de tester l’hypothèse d’un impact des charges saisonnières sur la sismicité, nous examinons les variations de contrainte liées aux chargements saisonniers de surface. Nous menons également des expériences de déformation triaxiale sur des grès de Fontainebleau, saturés en eau soumis à des paliers de contrainte simulant un chargement tectonique, ainsi qu’à des oscillations sinusoïdales de la pression de pore simulant les marées ou l’hydrologie continentale. Nos observations expérimentales, détaillées dans le chapitre 4 suggèrent que les chargements périodiques de faible amplitude peuvent jouer un rôle important dans la longue phase de nucléation des séismes. / In this thesis, we aim at modeling accurately seasonal deformation of the Earth induced by redistribution of hydrosphere masses. We take advantage of seasonal ground displacements measured by continuous stations of the Global Positioning System (cGPS) and the estimate of the spatio-temporal evolution of surface hydrology derived from the Gravity and Recovery Climate Experiment (GRACE) measurements. Precise geophysical models of the seasonal deformation, discussed in Chapter 1, of the Earth have far-reaching implications in defining international terrestrial reference frame, detecting potential transient deformation with comparable period or even understanding the link between induced stress perturbations and seasonal seismicity. In Chapter 2, we show that seasonal ground displacements recorded by cGPS stations in the Himalaya are fairly well explained by the Earth’s response to seasonal hydrology derived from GRACE, which induces coherent surface displacements, in first orderapproximation, with horizontal and vertical observations simultaneously, provided that a realistic elastic, spherical and layered model for Earth is used. We extend the model to a global scale in Chapter 3, and compare displacements induced by the seasonal load at 195 cGPS stations globally distributed. We account for the degree-1 contribution in GRACE using results from Swenson et al. (2008). We find that, while the vertical displacements are well predicted by the model, the horizontal components are systematically underpredicted and out-of-phase with the observations. We show a significant improvement when we do not apply a priori degree-1 coefficients but estimate and apply a posteriori a Helmert transformto the horizontal components. The fit in phase and amplitude of the seasonal deformation model to the horizontal components is improved and does not affect the fit to the vertical measurements. We conclude that horizontal misfits result mostly from degree-one deformation plus reference frame differences between model and observations, and not from the limited spatial resolution of GRACE. However, the amplitude of global seasonal horizontal displacement remains slightlyunderpredicted. We show that mantle volume variations due to mineral phase transitions may play a role in the seasonal deformation and, as a by-product, use this seasonal deformation to provide a lower bound of the transient astenospheric viscosity. Finally, in order to test the impact of seasonal forcing on seismicity, we estimate the amplitude of periodic stress perturbations induced by seasonal loading. To further investigate the question, we performa set of triaxial deformation experiments on water-saturated Fontainebleau sandstones. Rock samples are loaded by the combined action of steps of constant stress, intended to simulate tectonic loading and small sinusoidal pore pressure variations, analogous to tides or seasonal loading. Our experimental results suggest that the correlation of small stress perturbations and acoustic emissions depends primarily on the state stress of the rock and that emissions occur more likely when cracks are unclamped. In other words, our observations suggest that tidal triggering might occur favorably during the long nucleation phase of earthquake.