Orientador: Edson Ryoji Okamoto Iwaki / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, 2013

Orientador: Igor Leite Freire / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, 2013

Orientadora: Profa. Dra. Mariana Rodrigues da Silveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2014. / Neste trabalho apresentamos um estudo das Teorias de Morse e Morse-Bott no contexto de sistemas dinâmicos. Consideramos uma variedade Riemanniana suave e fechada M de dimensão finita. Dada f : M ! R uma função de Morse-Smale, associamos a f o complexo de cadeia de Morse-Smale-Witten, que recupera a homologia da variedade M (Teorema de Homologia de Morse). Mais geralmente, qualquer função de Morse- Bott-Smale f :M !R pode ser associada ao complexo de cadeia de Morse-Bott-Smale, que é um multicomplexo que se reduz ao complexo de cadeia de Morse-Smale-Witten quando f é uma função de Morse. O Teorema de Homologia de Morse-Bott mostra que a homologia deste multicomplexo também coincide com a homologia de M sua prova tem como caso particular uma prova para o Teorema da Homologia de Morse. / In this work we present a study of Morse and Morse-Bott theories in the context of dynamical systems. We consider a Riemannian smooth, closed n-dimensional manifold M. Given a Morse-Smale function f :M !R, we associate f to the Morse-Smale-Witten chain complex, which recovers the homology of the manifold M (Morse Homology Theorem). More generally, any Morse-Bott-Smale function f :M !R can be associated to the Morse-Bott-Smale chain complex, which is a multicomplex that coincides with the Morse-Smale-Witten complex when f is a Morse function. The Morse-Bott Homology Theorem shows that the homology of thismulticomplex also coincides with the homology of M and its proof has as a particular case a proof for the Morse Homology Theorem.

Orientador: Prof. Dr. Vladislav Kupriyanov / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015. / No presente trabalho estudamos as consequências físicas da não-comutatividade dependente da posição e rotacionalmente invariante em duas dimensões [x, y] = iq f (x2 + y2), usando a teoria de perturbações em mecânica quântica e considerando os modelos exatamente solúveis como o oscilador harmônico isotrópico e o problema de Landau. Nós demonstramos a consistência da abordagem proposta, em particular, derivamos a versão não-comutativa da equação de continuidade e mostramos que a probabilidade é conservada na nossa abordagem. Pesquisamos três formas gerais diferentes para a f (r): constante, monomial de r2 e exponencial Gaussiana. Obtendo resultados diversos de acordo com as características específicas de cada f (e. g. a potência do monomio, largura da Gaussiana). Para a maior parte das escolhas da f , temos encontrado quebra da degenerescência. / In the present work we study the physical consequences of the position dependent rotationally invariant noncommutativity in two dimensions [x, y] = iq f (x2 + y2), using the perturbation theory in quantum mechanics and considering the exactly solvable models in standard quantum mechanics: isotropic harmonic oscillator and Landau problem. We demonstrate the consistency of the proposed approach, in particular, we derive the noncommutative continuity equation and show that the probability is conserved in our approach. We investigate three different general forms of f (r): constant, monomial of r2 and Gaussian exponential. Obtaining diverse results according to specific characteristics of each f (e. g. monomial power and Gaussian width). Degeneracy breaking is found in most of the cases.

Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015. / Neste trabalho estudamos generalizações do Método de Melnikov para sistemas descontínuos no plano. Neste sentido, inicialmente abordamos esse problema como uma variação do estudo [1] onde um campo Hamiltoniano que admite um ciclo heteroclínico, cujo interior é folheado de órbitas periódicas, é perturbado por um campo Hamiltoniano não autonomo. Neste trabalho estendemos esse resultado para perturbações mais gerais (não conservativas) e apresentamos funções de Melnikov nesse novo contexto. Finalmente, abordamos o problema mais geral, relativo à perturbação de campos não conservativos, onde a função de Melnikov, associada a órbita heteroclínica, é obtida. / In this work we study generalizations of Melnikov's method to planar discontinuous dynamical system. Initially we study this problem as a variation of the work [1] where a Hamiltonian vector field that admits an heteroclinic cycle with its interior foliated by a family of periodic orbits is perturbed by a Hamiltonian perturbation. In this work we extended the results to more general perturbation (non conservative) and we show the Melnikov's functions in this new context. Finally, we approach a more general problem related to a perturbation of the non-conservative vector field where we obtained the Melnikov's function that is associated with a heteroclínic orbit.

Orientador: Prof. Dr. Norberto Anibal Maidana / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015. / Neste trabalho propomos um modelo matemático para estudar a proliferação e a propagação tumoral no tecido hospedeiro. Modelamos o processo mediante um sistema de três equações diferenciais, descrevendo a interação entre as células tumorais, a matriz extracelular e as enzimas degradadoras da matriz extracelular. Inicialmente, descrevemos a produção (ou a ativação) das enzimas de degradação pelas células cancerígenas, assim como seu decaimento, a degradação e a remodelação da matriz extracelular e o crescimento celular. No modelo espacial, consideramos a dispersão por difusão das células tumorais e das enzimas degradadoras, considerando também a resposta migratória das células tumorais à matriz extracelular, haptotaxia. Fazemos um estudo da dinâmica temporal mediante seus pontos de equilíbrio e a estabilidade, obtendo uma classificação qualitativa. Simulações numéricas são analisadas e interpretadas biologicamente. Nas simulações espaciais, em dimensão um, obtemos a formação de uma frente de onda, para a qual analisamos a velocidade, as mudanças de velocidades em alguns cenários e as implicações biológicas destas variações. / In this work, we propose a mathematical model to study the proliferation and tumor spread in a host tissue. We model the process using three differential equations, describing the interaction between tumor cells, the extracellular matrix and the degrading enzymes of the extracellular matrix. At first, we describe the production (or activation) of degradative enzymes by the cancer cells as well as its decay, the degradation and remodeling of the extracellular matrix and cell growth. Then, in the spatial model, we consider the dispersion by diffusion of tumor cells and of the degradative enzymes, as well as the migratory response of tumor cells to the extracelular matrix, haptotaxia. We make a study of the temporal dynamics through their points of equilibrium and the stability, obtaining a qualitative classification. We show numerical simulations, in dimension one, being analyzed and interpreted biologically. In the spatial simulation, in one dimension, we obtain a wavefront, which we analyze the speed, the variations of the speed considering some scenarios and the implications of these changes.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Fresneda / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2016. / O modelo de Ponzano-Regge é um modelo de gravitação quântica em três dimensões. O principal objetivo deste trabalho é apresentar os fundamentos para construção desse modelo. Buscamos introduzir conceitos necessários para entendê-lo, abordando a teoria de representações de grupos de Lie compactos, tais como: redutibilidade de uma representação, representações de produto direto, e representações no espaço de funções. Tratamos especialmente do caso particular do grupo SU(2). Nesse contexto particular, apresentamos os símbolos 3j e 6j e suas propriedades. O modelo de Ponzano-Regge descreve uma geometria tridimensional discretizada, dada em termos de uma triangulação por simplexos (tetraedros, em três dimensões), de tal forma que o comprimento de cada aresta corresponde a uma representação irredutível do grupo de Lie SU(2). Estes tetraedros são descritos como símbolos 6j, cuja fórmula assintótica possibilita a passagem ao limite clássico, levando a uma expressão para a função de partição que representa uma soma sobre geometrias em três dimensões. / The Ponzano-Regge model is a quantum gravity model in three dimensions. The main goal of this work is to present the foundations for the construction of this model. We aim at introducing the necessary concepts to understand it, taking into account the theory of representations of compact Lie groups, such as: reducibility of representations, direct product representations, and representations in function spaces. We treat the particular case of the SU(2) group. In this special case, we present the 3j and 6j symbols and their properties. The Ponzano-Regge model describes a discretized 3-geometry, given in terms of a triangulation through simplices (tetrahedrons, in 3 dimensions), such that the length of each edge corresponds to an irreducible representation of the Lie group SU(2). These tetrahedrons are described as 6j symbols, whose asymptotic formula allows taking the classical limit, leading to an expression of the partition function that represents a sum over 3-geometries.

Orientador: Rafael Ribeiro Dias Vilela de Oliveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2016. / No espaço de fases de sistemas dinâmicos, podem existir diferentes regiões as quais correspondem a diferentes comportamentos futuros do sistema: as bacias de atração. Separando essas regiões, há um conjunto de pontos, o qual chamamos de fronteira, que pode possuir uma geometria regular ou fractal, essa última caracterizada por uma dimensão D não inteira. A principal consequência de um sistema dinâmico possuir uma fronteira fractal em seu espaço de fases está na dificuldade em se determinar o comportamento futuro do sistema. De fato, dado que a precisão com a qual conseguimos medir um ponto é finita, existe uma área no espaço de fases em que não sabemos ao certo a qual bacia de atração o ponto pertence. Em especial, caso a fronteira seja fractal, essa área é proporcional a N..D, onde é o erro de medição e N é a dimensão do sistema. Dessa forma, percebemos a importância de conseguirmos calcular a dimensão D da fronteira fractal. Nesse trabalho, primeiro apresentamos os principais conceitos de sistemas dinâmicos e geometria fractal, relacionando essas estruturas geométricas ao comportamento dinâmico caótico. Em seguida, definimos as fronteiras e estendemos a elas o conceito de geometria fractal. Por último, apresentamos os métodos vigentes para o cálculo numérico da dimensão de fronteiras fractais, a saber, o método da incerteza e o método da avaliação da função de saída e, baseados no primeiro método, desenvolvemos um método alternativo: o método da incerteza condicional. Observamos que o método desenvolvido nesse trabalho é válido como um novo método para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais, podendo ser utilizado tanto em sistemas de tempo contínuo quanto discreto. / In the phase space of dynamical systems there may exist different regions which correspond to different final states: the basins of attraction. Between different basins of attraction, there is a set of points which we call basin boundary. Basin boundaries can be either smooth or fractal, the latter being characterized by a non-integer dimension D. The main consequence of fractal basin boundaries in the phase space of a dynamical system is the difficulty of determining the system¿s final state. Indeed, knowing that we can only measure a point with a finite precision, there is a phase space region where we cannot know in which of the basins of attraction the point really is by looking at the system¿s final state alone. In particular, for a fractal basin boundary, the area of the phase space where we cannot predict the final state with certainty is proportional to N..D, with being the measurement error and N the system¿s dimension. Therefore, it is important to know the dimension D of the fractal basin boundary. In this work, we first present the main concepts of dynamical systems and fractal geometry, linking these geometric structures to chaotic behavior in the system. Later, we define basin boundaries, both regular and fractal. At last, we present the two methods currently available to calculate the dimension of fractal basin boundaries in dynamical systems, namely the uncertainty method and the output function evaluation method. We propose a new method that is based on the former one called the conditional uncertainty method and we show that this method can calculate fractal dimensions of basin boundaries to a good accuracy either on continuous or discrete-time dynamics.

Orientador: Prof. Dr. Cristian Fabio Coletti / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2017. / Nessa dissertação estudamos a Dinâmica de Melhor Resposta de Evilsizor e Lanchier (3). Foram revisadas as demonstrações em busca de equilíbrios evolucionariamente estáveis e analisando simulações para todos os casos pertinentes. Além desta revisão, neste trabalho introduzimos o conceito de nós teimosos e os adicionamos ao modelo a fim de desestabilizar o equilíbrio no caso estudado em (3). Através das simulações, criamos a intuição de que até nos casos onde não existem equilíbrios evolucionariamente estáveis há também um equilíbrio, porém com coexistência de estratégias. Conjecturamos que esse resultado vale para o caso geral, porém conseguimos prová-lo apenas para dois casos particulares. / In this thesis we studied the Best-Response Dynamics model of Evilsizor e Lanchier (3). We reviewed proofs in search for an Evolutionary Stable Equilibrium analysing simulations for all relevant cases. Besides this revision, we introduced the concept of stubborn players and added it to the Best-Response Dynamics model hoping destabilize the Evolutionary Stable Equilibrium. Through those simulations, we conjectured that even when there is not an Evolutionary Stable Equilibrium, the model converges to another kind of equilibrium, that has coexistent strategies. We conjectured that it states for all altruistic/altruistic cases, but we only could prove it for two specific sub-cases.

Orientadora: Profa. Dra. Juliana Militão Berbert / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2017. / Neste trabalho, procuramos compreender um pouco mais sobre movimentação animal. Uma das formas de se estudar movimentação animal é a partir de modelos de equação de reação-difusão, na qual a parte reativa representa a dinâmica populacional e parte difusiva a dispersão aleatória da população. Existem mecanismos que influenciam essa dispersão como por exemplo, a memória espacial, que induz um movimento direcional na população. Assim, nosso modelo apresenta um termo de advecção induzida pela memória dos indivíduos a qual se recordam dos locais visitados recentemente e pretendem evitá-los, um termo de dispersão aleatória e um termo reativo, para o qual consideramos quatro funções de crescimento populacional são elas: (i) Exponencial; (ii) Logística; (iii) Efeito Allee Fraco e (iv) Efeito Allee Forte. Logo, nosso modelo é dado por um sistema de duas equações diferenciais acopladas não-lineares: uma que descreve a dinâmica da memória e outra para a população. Neste trabalho, apresentamos estudos analíticos da velocidade de onda viajante para as diferentes dinâmicas populacionais e os estudos numéricos das soluções do espaço unidimensional, estudamos o alcance populacional para compreendermos numericamente o efeito que os parâmetros considerados têm na dispersão dos indivíduos. Nossos resultados mostram que as velocidades de onda mínimas para o crescimento exponencial e logístico são iguais independente da presença de memória e que a dispersão populacional é dependente das taxas de memória, de crescimento, capacidade de suporte e limiar dessa população; ou seja, a combinação destes parâmetros alteram os comportamentos dispersivos da população, podendo ser sub-difusivo, difusivo ou super-difusivo. / The reaction-diffusion equation is one of the possible ways for modeling animal movement, where the reactive part stands for the population growth and the diffusive part for random dispersal of the population. There are some mechanisms that affect the movement, such as spatial memory, which results in a bias for one direction of dispersal. Thus a spatial memory can be modelled as an advective term on a population movement dynamics. Our model is composed of a coupled partial differential equation system with two equations, one for the population dynamics and the other for the memory density distribution. The population is modelled by a reaction-diffusion-advection equation where the diffusive term is the population random movement, the advective term is due to spatial memory and the reactive term is one of the following growth functions: (i) Exponential; (ii) Logistic; (iii) Weak Allee Effect and (iv) Strong Allee Effect. In the analytic studies of the system, we have obtained the travelling wave speed for each case above. We show that the travelling wave speeds of the exponential and logistic growth are the same with or without memory. In the numerical analysis, we have studied how the reach of the population is affected by different values of the parameters: memory, growth rate, carrying capacity and threshold. The combination of these parameters causes the population to have normal or anomalous diffusion: subdiffusion and supperdiffusion.