Orientadores: Marcia Assumpção Guimarães Scialom, Jaime Angulo Pava / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T19:50:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BanquetBrango_CarlosAlberto_D.pdf: 1282052 bytes, checksum: f15f0bcd3c49e3ffb900f598aafc2f73 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: O objetivo da tese é estudar algumas propriedades de soluções de equações diferenciais dispersivas. Primeiro, estabelecemos uma teoria de boa colocação local e global para a equação de Benjamin-Ono regularizada no contexto peri'odico, depois mostramos que o problema de Cauchy para esta equação (em ambos os casos periódico e não periódico) não pode ser resolvido usando um esquema iterativo baseado na fórmula de Duhamel em espaços de Sobolev com índice negativo. Adicionalmente, apresentamos a prova da existência de uma curva suave de soluções ondas viajantes periódicas, para a equação Benjamin-Ono regularizada, via o Teorema do Somatório de Poisson, com período minimal 2L fixo. Também é mostrado que estas soluções são não linearmente estáveis no espaço de energia H1/2per por perturbações do mesmo período. Como uma extensão da teoria estabelecida para a equação Benjamin-Ono regularizada é provado que as soluções ondas periódicas associadas as equações Benjamin-Bona-Mahony, Benjamin-Bona-Mahony modificada e 4-Benjamin-Bona-Mahony são não linearmente estáveis em H1per. Finalmente, provamos a existência e estabilidade não linear de uma família de soluções ondas dnoidal associadas ao sistema de Zakharov. Neste último caso, para obter as propriedades espectrais requeridas na prova da estabilidade foi usada a teoria de Floquet. / Abstract: The goal of this thesis is to study the properties of solutions of some dispersive differential equations. First, we develop a local and global well-posedness theory for the regularized Benjamin-Ono equation in the periodic setting, then, we show that the Cauchy problem for this equation (in both periodic and nonperiodic cases) cannot be solved by an iteration scheme based on the Duhamel formula for negative Sobolev indices. Additionally, a proof of the existence of a smooth curve of periodic travelling wave solutions, for the regularized Benjamin-Ono equation, with fixed minimal period 2L, is given. It is also shown that these solutions are nonlinearly stable in the energy space H1/2per by perturbations of the same wavelength. An extension of the theory developed for the regularized Benjamin-Ono equation is given and as examples it is proved that the periodic wave solutions associated to the Benjamin-Bona-Mahony, modified Benjamin-Bona-Mahony and 4-Benjamin-Bona- Mahony equations are nonlinearly stable in H1per. Finally, we prove the existence and the nonlinear estability of a family of dnoidal wave solutions associated to the Zakharov system. The Floquet theory is used in the last case to obtain the spectral properties required to prove the stability. / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Na aproximação de potencial local (L\\downarrow1) a transformação de grupo de renormalização para o modelo O(N) de Heisenberg hierárquico é descrita por uma equação a derivadas parciais (EDP). Neste trabalho investigamos, na criticalidade (sistema à temperatura inversa crítica), a somabilidade da série de potências em 1/N que formalmente satisfaz essa EDP. / In the local potential approximation (L\\downarrow1) the renormalization group transformation for the hierarchical O(N) Heisenberg model is described by a partial differential equation (PDE). In this work we investigate, at criticality (system at inverse critical temperature), the summability of the formal power series in 1/N which formally satisfies that PDE.

Orientador: Laercio Carvalho de Barros. / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica. / Made available in DSpace on 2018-08-12T00:22:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Missio_Maristela_D.pdf: 2748963 bytes, checksum: f8fcd60a906d00c35ee8f90f26919908 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: A febre aftosa é uma patologia viral, infecto-contagiosa, caracterizada por um cenário repleto de incertezas que lhe são inerentes, resultantes da influência de fatores socioeconômicos e ambientais relacionados ao processo de transmissão, que pode ocorrer por via direta e indireta. Em epidemiologia, grande parte das incertezas são tratadas ou pela Teoria das Probabilidades ou pela Teoria de Conjuntos Fuzzy, a depender da natureza, seja ela oriunda da aleatoriedade ou de verdade parcial. O uso integrado de modelos clássicos, particularmente as Equações Diferenciais Parciais (EDP), modelos fuzzy e probabilísticos no tratamento das duas classes de incertezas ainda é muito incipiente. Com a intenção de contribuir para o aumento dos estudos nessa área, propõe-se um modelo integrado, envolvendo EDP, lógica fuzzy e métodos probabilísticos, a fim de estudar a dinâmica espacial e temporal de fenômenos epidemiológicos, cujas incertezas são importantes para sua evolução. Para tanto, tomou-se como objeto de estudo a febre aftosa em bovinos e elaborou-se um modelo SIR envolvendo EDP para estudar sua evolução espaço-temporal com parâmetros de difusão e transmissão incertos. Esses foram estimados fazendo-se uso de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF). As variáveis lingüísticas utilizadas nos SBRF apresentaram incertezas de natureza aleatória, as quais foram tratadas por modelos estocásticos. Na implementação computacional, fez-se o acoplamento dos métodos de elementos finitos para a discretização espacial, e Cranck-Nicolson para a temporal, toolbox fuzzy para os modelos fuzzy e Monte Carlo para os modelos estocásticos, todos em um mesmo algoritmo, construído nos ambientes Matlab e Fortran. / Abstract: The foot-and-mouth disease is a viral, infectum contagious pathology, characterized for a scene full of inherent uncertainties, resultants of the influence of social, economic and environmental factors related to the transmission process, that can occur for direct and indirect means. In Epidemiology, great part of the uncertainties are treated either by the Theory of Probabilities or by Fuzzy Logic Theory, depending on the nature, in accordance with the type of uncertainty which can be either deriving of the randomness or coming from the subjectivity. The integrated use of models involving Partial Differential Equations (PDE), Fuzzy Theory and Probabilistic in the treatment of the two categories of uncertainties, simultaneously, is still very incipient. Aiming to contribute to the growth of existing studies in this area, we propose an integrated model, involving PDE Models, Fuzzy Models and Stochastic Models, in order to study the space and secular dynamics of these epidemiological phenomena, whose uncertainties are important for their evolution. To do so, the foot-and-mouth disease in bovines was taken overcome as our study's object and we elaborated a SIR model involving EDP to study its space-weather evolution with uncertain parameters of diffusion and transmission. Due the uncertainties these parameters had been estimated using Rule-Based Fuzzy Systems (RBFS). The linguistic variables of the RBFSs presented uncertainties of random nature, which were treated by random models. For computational results, we coupling several models, using the method of finite elements for the space discretization and Cranck-Nicolson for time discretization, toolbox fuzzy for Fuzzy Models and Mount Carlo for Random Models, all in the same algorithm constructed in the environments Matlab and Fortran. / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-04-11T19:27:27Z No. of bitstreams: 1 daianaaparecidarodrigues.pdf: 8225936 bytes, checksum: 96ec323f343f92c319f4e261145f9c6a (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-04-24T03:34:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 daianaaparecidarodrigues.pdf: 8225936 bytes, checksum: 96ec323f343f92c319f4e261145f9c6a (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-24T03:34:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 daianaaparecidarodrigues.pdf: 8225936 bytes, checksum: 96ec323f343f92c319f4e261145f9c6a (MD5) Previous issue date: 2013-08-29 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Fenômenos biológicos são todo e qualquer evento que possa ser observado nos seres vivos. O estudo desses fenômenos permite propor explicações para o seu mecanismo, a m de entender as causas e efeitos. Pode-se citar como exemplos de fenômenos biológicos o comportamento das células como respiração, reprodução, metabolismo e morte celular. Equações de reação-difusão são frequentemente utilizadas para modelar fenômenos bioló- gicos. Sistemas de reação-difusão podem produzir padrões espaciais estáveis a partir de uma distribuição inicial uniforme esse fenômeno é conhecido como instabilidade de Turing. Este trabalho apresenta a análise da instabilidade de Turing bem como resultados numéricos para a solução de três modelos biológicos, modelo de Schnakenberg, modelo de glicólise e modelo da coagulação sanguínea. O modelo de Schnakenberg é utilizado para descrever uma reação química autocatalítica e o modelo de glicólise é relativo ao processo de degradação metabólica da molécula de glicose para proporcionar energia para o metabolismo celular, esses dois modelos são frequentemente relatados na literatura. O terceiro modelo é mais recente e descreve o fenômeno da coagulação sanguínea. Nas soluções numéricas se utiliza o método das linhas onde a discretização espacial é feita através de um esquema de diferenças nitas. O sistema de equações diferencias ordinárias resultante é resolvido por um esquema de integração adaptativo, com a utilização de pacote para computação cientí ca da linguagem Python, Scipy. / Biological phenomena are all and any event that can be observed in living beings. The study of these phenomena enables us to propose explanations for its mechanisms in order to understand causes and e ects. One can cite as examples of biological phenomena the behavior of cells as respiration, reproduction, metabolism and cell death. Reactiondi usion equations are often used to model biological phenomena. Reaction-di usion systems can produce stable spatial patterns from a uniform initial distribution, this phenomenon is known as Turing instability. This dissertation presents an analysis of the Turing instability as well as numerical results for the solution of three biological models, model Schnakenberg, model of glycolysis and model of blood coagulation. The Schnakenberg model is used to describe an autocatalytic chemical reaction and glycolysis model refers to the process of metabolic breakdown of the glucose molecule to provide energy for cellular metabolism, these two models are frequently reported in the literature. The third model is newer and describes the phenomenon of blood coagulation. The method of lines is used in the numerical solutions, where the spatial discretization is done through a nite di erence scheme. The resulting system of ordinary di erential equations is then solved by an adaptive integration scheme with the use of the package for scienti c computing of Python language, Scipy.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-02-24T13:29:14Z No. of bitstreams: 1 micaelpetersxavier.pdf: 17481766 bytes, checksum: fb76bff140085a73dc148ca7493df8b3 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-02-24T15:36:12Z (GMT) No. of bitstreams: 1 micaelpetersxavier.pdf: 17481766 bytes, checksum: fb76bff140085a73dc148ca7493df8b3 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-24T15:36:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 micaelpetersxavier.pdf: 17481766 bytes, checksum: fb76bff140085a73dc148ca7493df8b3 (MD5) Previous issue date: 2013-08-26 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O desenvolvimento de sistemas computacionais que simulam o funcionamento de tecidos ou mesmo de órgãos completos é uma tarefa extremamente complexa. Um dos muitos obstáculos relacionados ao desenvolvimento de tais sistemas é o enorme poder computacional necessário para a execução das simulações. Por essa razão, o uso de estratégias e métodos que empregam computação paralela são essenciais. Este trabalho foca na simulação temporal e espacial, em uma seção tridimensional de tecido, do comportamento de algumas das células e moléculas que constituem o sistema imunológico humano (SIH) inato. Com o objetivo de reduzir o tempo necessário para realizar a simulação, foram utilizadas múltiplas unidades de processamento gráfico (Graphics Processing Unit, GPUs) em um ambiente de agregados computacionais. Apesar do alto custo de comunicação imposto pelo uso de múltiplas GPUs, as abordagens e técnicas utilizadas neste trabalho para implementar as versões paralelas do simulador mostraram-se efetivas para alcançar o objetivo de redução do tempo de simulação. / The development of computer systems that simulate the behavior of tissues or even whole organs is an extremely complex task. One of the many obstacles related to the development of such systems is the huge computational resources needed to execute the simulations. For this reason, the use of strategies and methods that employ parallel computing are essential. This work focuses on the spatial-temporal simulation of some human innate immune system (HIS) cells and molecules in a three-dimensional section of tissue. Aiming to reduce the time required to perform the simulation, multiple graphics processing units (GPUs) were used in a cluster environment. Despite of high communication cost imposed by the use of multiple GPUs, the approaches and techniques used in this work to implement parallel versions of the simulator proved to be very effective in their purpose of reducing the simulation time.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-03-02T17:47:54Z No. of bitstreams: 1 pedroaugustoferreirarocha.pdf: 4715587 bytes, checksum: dfef00badf9cc3d7c79c1b4c62d3abfd (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-03-06T19:58:07Z (GMT) No. of bitstreams: 1 pedroaugustoferreirarocha.pdf: 4715587 bytes, checksum: dfef00badf9cc3d7c79c1b4c62d3abfd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-06T19:58:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 pedroaugustoferreirarocha.pdf: 4715587 bytes, checksum: dfef00badf9cc3d7c79c1b4c62d3abfd (MD5) Previous issue date: 2012-08-27 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Dois mecanismos são utilizados pelo Sistema Imunológico Humano (SIH) para defender o organismo contra doenças causadas pelos mais distintos agentes patogênicos: o sistema inato e o sistema adaptativo. O primeiro é composto por células e substâncias químicas que utilizam um mecanismo genérico de defesa para prevenir ou limitar infecções ocasionadas pela maioria dos patógenos. Já o segundo mecanismo é ativado pelo primeiro, baseando-se na habilidade de reconhecer e de recordar agentes patogênicos específicos, colaborando para a montagem de um ataque mais potente a cada vez que o mesmo patógeno é encontrado. Apesar de ser muito estudado, muitas questões sobre o funcionamento do SIH ainda estão em aberto em virtude de sua complexidade e do grande número de interações, nos mais diversos níveis, entre seus distintos componentes. Neste sentido, ferramentas computacionais podem se constituir em um poderoso ferramental para auxiliar nas pesquisas sobre o tema. O presente trabalho está inserido neste escopo, dividindo-se em duas partes. Na primeira parte, o trabalho apresenta os resultados de uma análise de sensibilidade em um modelo matemático-computacional que simula a resposta imunológica inata ao lipopolissacarídeo (LPS), com o objetivo de encontrar os parâmetros mais sensíveis deste modelo. Além disto, a segunda parte do trabalho propõe uma adaptação do modelo original para um modelo tridimensional. As simulações realizadas nas duas partes do trabalho mostraram-se computacionalmente caras, demandando longos períodos de tempo para serem concluídas. Assim, GPGPUs (General Purpose Graphics Processing Units) foram utilizadas para reduzir os tempos de execução. O uso de GPGPUs permitiu que acelerações de 276 vezes para a análise de sensibilidade massiva e de 87 vezes para a computação do modelo em três dimensões fossem obtidas. / Two mechanisms are used by the Humman Immune System (HIS) to protect the body against diseases caused by distinct pathogens: the innate and the adaptive immune system. The first one is composed of cells and chemicals that use a generic mechanism of defense to prevent or limit infections caused by most pathogens. The second mechanism is activated by the first one. It has the ability to recognize and remember specific pathogens, contributing to the assembly of a more powerful attack each time the same pathogen is encountered again. Despite being widely studied, many questions about the functioning of the HIS are still open because of its complexity and the large number of interactions of its components on distinct levels. In this sense, computational tools are a powerful instrument to assist researchers on this field of study. This work is inserted in this scope and it is split into two parts. In the first part, this work presents the results of a sensitivity analysis on a mathematical-computational model that simulates the innate immune response to lipopolysaccharide (LPS). The main objective of the sensitivity analysis was to find the most sensitive parameters of the mathematical model. The second part of this work proposes the extension of the original model to a three-dimensional one. The simulations in the two parts of the work proved to be computationally expensive, requiring long periods of time to complete. Thus, GPGPUs (General Purpose Graphics Processing Units) were used to reduce execution times. The use of GPGPUs allowed speedups of 276 times for sensitivity analysis, when compared to the sequential one, and of 87 times for computations using the three dimensions model.

Orientador: José Luiz Boldrini / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-21T14:27:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Entringer_ArianePiovezan_D.pdf: 26392944 bytes, checksum: d4993ec89fdc9c9a41cd6fd1e6b28dd1 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Neste trabalho analisaremos dois sistemas de equações diferenciais parciais não lineares de evolução associados a modelos de interação fluido-estrutura; esses sistemas foram obtidos utilizando as equações alfa-Navier-Stokes e a metodologia do campo de fases. O primeiro de tais sistemas modela um processo de mudanças de fases envolvendo solidificação e fusão de certos materiais e leva em conta tanto os fenômenos de condução do calor quanto o da convecção da fase não sólida. Esse sistema é formado pelo acoplamento das equações alfa-Navier-Stokes para fluidos viscosos incompressíveis com uma equação para a variável campo de fases, cujos valores determinam a fase do material (sólida, líquida ou mushy), e também com uma equação de balanço de energia interna, a qual determina a evolução da temperatura. O segundo sistema a ser estudado modela a dinâmica de vesículas em um fluido viscoso e incompressível. Tal sistema consiste do acoplamento das equações alfa-Navier-Stokes com uma equação para uma variável campo de fases, a qual neste caso determina a posição da membrana da vesícula que é deformada pela ação do fluido, bem como seu interior e exterior; esta última equação tem um termo descrevendo a interação do fluido com a membrana da vesícula. Para ambos os sistemas, provaremos a existência e a unicidade das soluções em espaços funcionais adequados / Abstract: In this work we analyze two systems of nonlinear evolution partial differential equations associated to models of fluid-structure interaction; such systems were obtained by using the alfa-Navier-Stokes equations and the phase field methodology. The first of such systems models a process of phase change involving solidification and fusion of certain materials and take in consideration both the phenomena of heat conduction and convection of the non-solid phase. Such a system is formed by coupling the alfa-Navier- Stokes equations for incompressible viscous fluids to an equation for the phase field variable whose values determine the phase of the material (solid, liquid or mushy), and also to an equation for the balance of internal energy, which determines the evolution of the temperature. The second system to be studied models the dynamics of vesicles in an incompressible viscous fluid. This system consists of the coupling of alfa-Navier- Stokes equation with an equation for the phase field variable, which in this case determines the position of vesicle membrane that is deformed by the action of the fluid, as well as it's interior and exterior; this last equation has a term describing the interaction of the fluid with the vesicle membrane. For both systems, we will prove the existence and uniqueness of solutions in suitable functional spaces. / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Francisco Odair Vieira de Paiva / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T19:28:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Malavazi_MazilioCoronel_D.pdf: 1741221 bytes, checksum: becbc428943851a9a63bba6d406db3ca (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: O resumo poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: The abstract is available with the full electronic document / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

De nombreux systèmes physiques complexes sont modélisés à l’aide de systèmes d’équations aux dérivées partielles comprenant éventuellement des couplages et des non linéarités. Dans ce cadre, les problématiques de commande qui cherchent à définir quels sont les moyens d’actions (éventuellement en dimension infinie) permettant d’atteindre un état désiré ne sont pas triviales.Il en est de même pour l’identification en ligne de caractéristiques du système physique à partir d’informations fournies par des observations pertinentes. Cet aspect est souvent considéré comme un problème inverse dont la résolution pose de nombreuses questions spécifiques et ardues.Afin d’illustrer la problématique du déplacement judicieux d’un ensemble de capteurs mobiles pour reconstruire un terme source dans une équation aux dérivées partielles paraboliques, un dispositif est décrit dans cette étude. Il décrit des phénomènes de convection et diffusion éventuellement non linéaires.Le travail décrit dans ce document est destiné à développer une méthodologie complète en vue de réaliser une conception optimale d'expériences dans le cadre de problèmes mal posés non linéaires associés à l'évaluation de paramètres inconnus dans des systèmes décrits par des équations aux dérivées partielles. Le prototype expérimental a pour objet de tester les performances des stratégies de déploiement optimal d'un ensemble de capteurs mobile afin d’identifier des paramètres de plusieurs sources chauffantes en mouvement. / Many complex physical systems are modeled using systems of partial differential equations including possibly coupling and non-linearity. In this context, the determination of control strategies (in infinite dimension) in order to achieve a desired state is not trivial. It is obvious that quasi on-line identification of characteristics of the physical system from information provided by relevant sensors is quite complex. This optimization problem is often formulated as an inverse problem, whose resolution raises many specific questions. To illustrate the problem of the moving of a set of mobile sensors to identify a term source in parabolic partial differential equations, an experimental device is proposed in this study. Both phenomena of convection and diffusion (possibly non-linear) are taken into account. The work described in this document is intended to develop a comprehensive methodology to achieve an optimal design of experiments for nonlinear ill-posed problems associated with the evaluation of unknown parameters in systems described by partial differential equations. The experimental prototype is intended to test the performance of strategies for optimal deployment of a mobile set of sensors to identify parameters of multiple heating sources in movement.

Prédire la statistique des grandes échelles des écoulements turbulents constitue un enjeu important. Pour l'équation d'Euler 2D et des modèles analogues d'écoulements géophysiques, une auto-organisation est observée (formation de cyclones/anticyclones, jets intenses). La mécanique statistique d'équilibre des écoulements bidimensionnels s'est avérée fondamentale et pertinente même en présence de forçage et dissipation, dans la limite inertielle. La thèse est motivée par le phénomène de transitions aléatoires entre deux topologies différentes, lié à une bistabilité. Il s'agit de prédire la multiplicité des équilibres d'un écoulement (quasi) bidimensionnel. On développe une classification des transitions de phase, pour des équilibres (statistiques et/ou dynamiques) d'un tel écoulement. Les diagrammes de phase font apparaître la présence générique de points critiques et tricritiques, et des domaines d'inéquivalence d'ensembles statistiques. Dans le cas d'une géométrie annulaire, on décrit les effets de la topographie et de la conservation de deux circulations. Des analogies avec la bistabilité du courant océanique Kuroshio sont proposées à partir de cette étude académique. Enfin, pour le système Euler 2D, on détaille un résultat de mécanique statistique dans l'ensemble énergie-enstrophie : la distribution microcanonique, construite à partir du théorème de Liouville en dimension finie, correspond à la maximisation d'une entropie de mélange de la vorticité. / A most challenging problem in turbulence is to predict the statistics of flows at the large scales. In the case of the 2D Euler equation and analogous models for geophysical flows, the flow is observed to self-organize: cyclones/anticyclones and intense jets form. Equilibrium statistical mechanics has proven to be fundamental and relevant even in the presence of forcing and dissipation, in the inertial limit. The thesis is motivated by the phenomenon of random transitions between two different topologies. This phenomenon implies bistability. The goal is to predict the multiplicity of equilibria for a (quasi) two-dimensional flow. We develop a classification of phase transitions for the (statistical and/or dynamical) equilibria of this flow. Phase diagrams show critical and tricritical points as well as domains of statistical ensemble inequivalence, all this generically. In the case of an annular geometry, the effects of topography and of conserving two circulations are described. Analogies between the bistability of the ocean current Kuroshio and this academic study are suggested. Lastly, for the 2D Euler system, a statistical-mechanical result in the energy-enstrophy ensemble is detailed: the microcanonical distribution, constructed from Liouville's theorem in finite dimension, corresponds to the maximization of a vorticity-mixing entropy.