Orientador: Prof. Dr. André Ricardo Oliveira da Fonseca / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2014. / Our work aims to make a brief study on polyhedrons, focusing specially on solid platonics. First, we will present the historical moment in which this topic was discussed, as well as mention the mathematicians who contributed to the first studies about it. Then, we will explain what are regular polygons, dihedral angle and regular polyhedron. We will also discuss the reasons why there are only five solid platonics and we will demonstrate the Euler Characteristics, through induction. We will provide sample activities, which can be used in classrooms, in order to in uence positivetly the learning process of students. Therefore, such students will be able to better learn and understand the content, rather than just decorating the \formulas". We will also show an intuitive idea of calculating the area and volumes of solid platonics, which is something rarely demonstrated in textbooks. Further on, we will demonstrate how this topic is presented by the National Curriculum Parameters \Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)", and relate it to how it is developed and and taught since the first years of schools until the second year of High School, time in which this topic is more deeply studied. There are sample questions, which can be found in national examinations, such as Saresp (São Paulo's government exam) and ENEM (Federal government exam). Throughout this work you will be able to see imagens that were taken during a project envolving students from a second High School year, which was taken place a public school.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:02:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 4511.pdf: 2657557 bytes, checksum: 0bd43e75994792068eae8c02c5edee1a (MD5) Previous issue date: 2012-03-30 / Financiadora de Estudos e Projetos / The main goal of this investigation is to analyze students‟ speeches and writings of students in the 9th year (Ensino Fundamental) about the concept of area , from guiding educational activities (Moura, 1996), involving the contents of notable areas of polygons:rectangles, triangles, , parallelogram, trapezoid triangle and losanges, including, the composition and the decomposition of plane figures. The activities constitute a puzzle. They were elaborated and developed by the researcher in the classroom and in the context of a marble yard.The investigation is qualitative and it can be characterized as a case study. It was conducted by the researcher the whole time, since he is the class teacher. It means, the teacher not only observed the class but also took notes of the movement that happened in the class. The question guiding the study is: what do students from the 9th year (Ensino Fundamenta) say and write about the area concept while they really live those guiding educational activities, inside the class and also in a marble yard context? The analysis of speech and writing were made by observing the categories related to the contents. As a result, the researcher tried to gather information, identify and comprehend, from the speeches and writings, what the students learned by showing it, as well as their difficulties or still, the relations that they make between what happens inside class and every day, giving emphasis on the use of formulas for calculating the areas and the application of these ones in the marble yard. It was also produced: guiding educational activities about the polygons area concepts.It is noteworthy, that this investigation summarizes theoretical and methodological the movements that happened inside the class and also in the marble yard. / O objetivo desta investigação é identificar e compreender o processo de apropriação e construção do conceito de área, por estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental, analisando suas falas e suas escritas, a partir de atividades orientadoras de ensino (Moura, 1996) que envolvem os conteúdos de áreas dos polígonos notáveis: Retângulo, Triângulo, Paralelogramo, Trapézio e Losango, incluindo-se aí, a composição e a decomposição de figuras planas. As atividades se constituem por quebracabeças. Foram elaboradas pelo pesquisador , desenvolvidas na sala de aula e no contexto de uma Marmoraria. A investigação é qualitativa e pode ser caracterizada como estudo de caso. Foi conduzida pelo pesquisador em todos os momentos, uma vez que este é o professor da sala, ou seja, o professor não se limitou apenas a observar e a anotar o movimento ocorrido na sala de aula. A questão que norteia o estudo é: o que estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental falam e escrevem sobre o conceito de área enquanto vivenciam atividades orientadoras de ensino, tanto na sala de aula, quanto no contexto de uma marmoraria? A análise das falas e das escritas foi feita mediante categorias de análise relacionadas aos conteúdos envolvidos. Como resultado do trabalho, procurou-se reunir informações, identificar e compreender, a partir das escritas e das falas, o que os estudantes evidenciam que aprenderam, bem como suas dificuldades ou ainda as relações que fazem entre o que ocorre na sala de aula e no cotidiano, destacando-se o uso das fórmulas para o cálculo de áreas e aplicação destas na marmoraria. Produziram-se ainda, atividades orientadoras de ensino sobre os conceitos de área de polígonos. Ressalta-se que esta investigação sintetiza teórica e metodologicamente os movimentos ocorridos tanto na sala de aula, quanto na marmoraria.

Cette étude porte sur l'influence de la forme des particules sur le comportementmécanique des matériaux granulaires, et les mécanismes de transfert de charge quis'y développent, notamment dans les cas des conduits enterrés. La géométrie desparticules (polygones de forme convexe ou assemblage de particules de forme concaveconstitués de plusieurs disques superposés et indissociables) a été caractérisée par uncoefficient de forme α. Cette étude est basée sur une approche numérique par élémentsdiscrets. Des simulations numériques de l'essai de compression biaxiale montrent queles caractéristiques macroscopiques ou géométriques de l'échantillon granulaire, telque l'angle de frottement macroscopique, la compacité, ou la nature des bandes decisaillement, dépendent fortement du coefficient de forme α et de la convexité ou nonconvexité des grains.Les mécanismes de transfert de charge au dessus d'un conduit souple ont été étudiésexpérimentalement (rouleaux bidimensionnels en condition de déformation plane) etnumériquement (MED). Les expérimentations réalisées montrent que la présence duconduit à peu d'in_uence sur le comportement macroscopique de l'assemblée granulairelors d'une sollicitation biaxiale. Les résultats du modèle numèrique convergentavec les rèsultats expérimentaux et mettent en évidence la présence des mécanismes detransfert de charge au dessus du conduit dont les intensités dépendent du coefficientde forme α. / This study was devoted to the in_uence of grain shape on the mechanical behaviourof granular materials and its e_ect on load transfer over underground pipes. Shapeof convex polygons and concave clumps of discs was generalised with a geometricalparameter α. In the study a Discrete Element Modeling (DEM) approach was used.Biaxial compression of granular assemblies revealed that mechanical and geometricalproperties like porosity, macroscopic friction or shear localisation depends both on αand on grain (non-)convexity.The intergranular load transfer over a _exible pipe was studied both experimentally(2D rods in a plain strain apparatus) and numerically (DEM). The experimentsshowed that the pipe has no signi_cant impact on the macroscopic behaviour of theassembly. The numerical model complied with the experiments and revealed that thearching e_ect in a sheared granular medium exists above the pipe and is magni_edwith the increase of α of the grains.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1613593 bytes, checksum: 9f102a91f9dec62a3656d30b4f7a490c (MD5) Previous issue date: 2010-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This study deals with the surface of the compact quotient M2=G where the surface M2 is either the Euclidean plane or the plane spherical or the hyperbolic plane, G is a group of isometries of their surfaces, and this group is generated by matching of edges of polygons. The Poincaré theorem that provides a method of finding the group of isometries G the functions that the pair of edges of the polygons involved. By using this theorem we construct two new pairings of generalized edges (Chapter 4) associated with the tessellations {12η 8,4} e {12μ 12,4}, respectively. These tessellations provide packing of spheres whose packing density is very close to the maximum 3/π. Such pairings are the starting point for finding codes with optimal transmission rates for Multiple-Input Multiple-Output (MIMO). / Este estudo aborda a construção de superfícies compactas pelo quociente M2/G onde a superfície M2 ou é o plano euclidiano, ou é o plano esférico, ou é o plano hiperbólico, G é um grupo de isometrias das respectivas superfícies e esse grupo é gerado pelos emparelhamentos de arestas dos polígonos. O Teorema de Poincaré fornece um método de encontrar o grupo de isometrias G que consiste das funções de emparelhamento de arestas dos polígonos associados. Mediante o uso deste teorema nós construímos dois novos emparelhamentos de arestas generalizados (Capítulo 4), associados as tesselações {12η 8,4} e {12μ 12,4}, respectivamente. Estas tesselações fornecem empacotamento de esferas cuja densidade de empacotamento é bem próxima do valor máximo 3/π. Tais emparelhamentos são o ponto de partida para a busca de códigos com ótimas taxas de transmissão para canais de múltiplas entradas e múltiplas e saídas (MIMO).

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1007963 bytes, checksum: 8fb51039076c92104d50598359cf19d8 (MD5) Previous issue date: 2011-02-24 / This work has as main objective the study of side-pairing patterns for hyperbolic polygons with 12g−6 edges and angles 2π/3 generated by trivalent graphs, in the case when the quotient of the hyperbolic plane by a Fuchsian group Γ (generated by the side-pairing of the polygon), H2/Γ , is a closed surface of genus g, g ≥ 2. So we did a study in case of g = 2, based on [10] and for the case of g = 3, based on [17]. In this work, we deduce two ways to get closed paths in the trivalent graphs cited in [10] and [17] and we contribute with exemples and results for cases of g > 3. Moreover, we find generalizations for some of these side-pairing patterns. / Este trabalho tem como objetivo principal o estudo de emparelhamentos de arestas para polígonos hiperbólicos com 12g − 6 arestas e ângulos iguais a 2π/3 gerados por meio de grafos trivalentes, no caso em que o quociente do plano hiperbólico por um grupo Fuchsiano Γ (gerado pelo emparelhamento do polígono), H2/Γ , é uma superfície fechada de gênero g, g ≥ 2. Assim, fizemos um estudo para o caso de g = 2 baseado em [10] e para o caso de g = 3, baseado em [17]. Neste trabalho, nós deduzimos duas formas de obter os caminhos fechados nos grafos trivalentes citados em [10] e [17] e contribuímos com exemplos e resultados para casos em que g > 3. Além disso, encontramos generalizações para alguns desses emparelhamentos de arestas.

Neste trabalho estudamos o Modelo de van Hiele, os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico e fases de aprendizagem. Utilizando esse conhecimento elaboramos um Instrumento de Pesquisa a fim de identificar o Nível de Desenvolvimento do Pensamento Geométrico (Níveis de van Hiele) dos alunos do Ensino Fundamental II em relação ao conteúdo de Polígonos. Aplicamos este Instrumento de Pesquisa a 237 alunos de um colégio público (estadual) em Curitiba e realizamos uma análise dos dados obtidos. Aperfeiçoamos as questões do Instrumento de modo que possa ser utilizado pelo professor em sala de aula, auxiliando no diagnóstico do nível que o aluno de encontra em relação ao conteúdo proposto. / This work studies the van Hiele model, the levels of development of geometric thinking and its learning phases. Using this knowledge, we prepared a Research Instrument to identify the Level of Development in Geometric Thinking (Levels of van Hiele) of Middle School students, related to contents of Polygons. We have applied this Research Instrument to 237 students from a public school (state) in Curitiba, and we made an analysis of the acquired data. We have improved the Instrument’s questions so that it can be used by teachers during the class. Helping to identify to which level content the student belongs, related to the proposed.

A presente dissertação tem o objetivo de mostrar a arte Origami sob um contexto matemático, apresentando um pequeno resumo dos aspectos história e o desenvolvimento do Origami ao longo do tempo e dando maior destaque às suas aplicações na matemática, com o emprego dos axiomas de Huzita e a proposta de ampliação deste conjunto de axiomas com a inclusão da circunferência no papel Origami. Com o uso das técnicas de dobraduras, este trabalho mostra várias aplicações do Origami na matemática, tais como: a solução de alguns problemas clássicos, a construção de polígonos, a demonstração da soma dos ângulos internos de um triângulo, cálculo de algumas áreas, a solução de alguns problemas de máximos e mínimos, seguidos dos conceitos matemático envolvidos em cada um deles. E a inclusão da circunferência no plano Origami permitiu ainda, o estudo das construções das cônicas por dobraduras / This work aims to demonstrate the Origami art in a mathematical context, with a brief summary of the historical aspects and its development over time, giving more prominence to applications in mathematics, with the use of the axioms of Huzita and proposal to expand this set of axioms to include the circle in Origami paper. As the use of folding techniques, this work shows various applications of Origami in mathematics, such as the solution of some classical problems; the construction of polygons; the demonstration of the sum of the interior angles of a triangle; the calculation of some areas and the solution of some problems of maximum and minimum, followed by mathematical concepts involved in each of them. The inclusion of the circle in Origami plan allowed also to study the constructions of conic by folding

A presente dissertação tem o objetivo de mostrar a arte Origami sob um contexto matemático, apresentando um pequeno resumo dos aspectos história e o desenvolvimento do Origami ao longo do tempo e dando maior destaque às suas aplicações na matemática, com o emprego dos axiomas de Huzita e a proposta de ampliação deste conjunto de axiomas com a inclusão da circunferência no papel Origami. Com o uso das técnicas de dobraduras, este trabalho mostra várias aplicações do Origami na matemática, tais como: a solução de alguns problemas clássicos, a construção de polígonos, a demonstração da soma dos ângulos internos de um triângulo, cálculo de algumas áreas, a solução de alguns problemas de máximos e mínimos, seguidos dos conceitos matemático envolvidos em cada um deles. E a inclusão da circunferência no plano Origami permitiu ainda, o estudo das construções das cônicas por dobraduras. / This work aims to demonstrate the Origami art in a mathematical context, with a brief summary of the historical aspects and its development over time, giving more prominence to applications in mathematics, with the use of the axioms of Huzita and proposal to expand this set of axioms to include the circle in Origami paper. As the use of folding techniques, this work shows various applications of Origami in mathematics, such as the solution of some classical problems; the construction of polygons; the demonstration of the sum of the interior angles of a triangle; the calculation of some areas and the solution of some problems of maximum and minimum, followed by mathematical concepts involved in each of them. The inclusion of the circle in Origami plan allowed also to study the constructions of conic by folding.

Neste trabalho estudamos o Modelo de van Hiele, os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico e fases de aprendizagem. Utilizando esse conhecimento elaboramos um Instrumento de Pesquisa a fim de identificar o Nível de Desenvolvimento do Pensamento Geométrico (Níveis de van Hiele) dos alunos do Ensino Fundamental II em relação ao conteúdo de Polígonos. Aplicamos este Instrumento de Pesquisa a 237 alunos de um colégio público (estadual) em Curitiba e realizamos uma análise dos dados obtidos. Aperfeiçoamos as questões do Instrumento de modo que possa ser utilizado pelo professor em sala de aula, auxiliando no diagnóstico do nível que o aluno de encontra em relação ao conteúdo proposto. / This work studies the van Hiele model, the levels of development of geometric thinking and its learning phases. Using this knowledge, we prepared a Research Instrument to identify the Level of Development in Geometric Thinking (Levels of van Hiele) of Middle School students, related to contents of Polygons. We have applied this Research Instrument to 237 students from a public school (state) in Curitiba, and we made an analysis of the acquired data. We have improved the Instrument’s questions so that it can be used by teachers during the class. Helping to identify to which level content the student belongs, related to the proposed.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-09-21T11:54:22Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Gilsimar Francisco de Souza - 2016.pdf: 5111737 bytes, checksum: 2e0ffd66e7c26eab9faf95d0c82c5b4c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-09-21T11:55:12Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Gilsimar Francisco de Souza - 2016.pdf: 5111737 bytes, checksum: 2e0ffd66e7c26eab9faf95d0c82c5b4c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-21T11:55:12Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Gilsimar Francisco de Souza - 2016.pdf: 5111737 bytes, checksum: 2e0ffd66e7c26eab9faf95d0c82c5b4c (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-09-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The geometry study is important because it allows people to think more logically and opens the mind to a new level of thinking and reasoning skills. However, for various reasons, this area of mathematics is little explored in the classes of basic education. In this sense, it woke up the interest in developing studies that could be interesting and relevant to the geometry teaching in basic education, in order to collaborate with the classes. And the theme was the area of plane figures and equidecomposable polygons. Thus, the main objective of this work is the proposal of problems that can be solved with the decomposition of polygons, as suggested activities for the general education teacher can apply them in their practice. The methodology used was the development of bibliographic research relating to fundamental concepts of geometry, as well as equidecomposable polygons, followed the presentation of activities involving area of plane figures and decomposition of polygons. It is expected this work, assisting the work of teachers of basic education and thus contribute to the improvement of geometry teaching in basic school. / O estudo de geometria é importante porque permite às pessoas pensar com mais lógica e abre a mente para um novo nível de pensamento e capacidade de raciocínio. No entanto, por diversos motivos, essa área da matemática é pouca explorada nas aulas do ensino básico. Neste sentido, espertou-se o interesse em desenvolver estudos que poderiam ser interessantes e relevantes para o ensino de geometria na educação básica, de modo a colaborar com as aulas. E o tema escolhido foi área de figuras planas e polígonos equidecomponíveis. Assim, o objetivo principal deste trabalho é a proposta de problemas que possam ser resolvidos com a decomposição de polígonos, como sugestões de atividades para que o professor do ensino básico possa aplicá-las em sua prática pedagógica. A metodologia utilizada foi o desenvolvimento de pesquisa bibliográfica referentes a conceitos fundamentais de geometria, bem como de equidecomposição de polígonos, seguidos da apresentação de atividades que envolvem área de figuras planas e decomposição de polígonos. Espera-se, com este trabalho, auxiliar o trabalho do professor do ensino básico e, consequentemente, contribuir para a melhoria do ensino de geometria na escola básica.