O objetivo deste trabalho é calcular explicitamente a função densidade espectral do processo estocástico estacionário. α : é um parâmetro em (0,1) e X0 tem distribuição v , onde v é a (única) medida invariante absolutamente contínua em relação a Lebesgue. Mostramos ainda que vale a Lei Forte dos Grandes Números para o processo { Xt} teN e obtemos uma estimativa de α: baseada em uma série temporal. / The purpose of this work isto show explicitly the spectral density function of the stationary stochastic process. α is a parameter in (0,1) and X0 has distribution v, where vis the (unique) invariant measure for Tα absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. We also show that the Strong Law of Large Numbers holds for the process { Xt} tEN and obtain an estimate for the parameter α: based on a time senes.

Muitas vezes, é de interesse na análise de séries temporais verificar se existe periodicidade numa série dada. Para isso é empregada a análise espectral clássica, utilizando a função densidade espectral e a função periodograma. O objeti,·o desse trabalho é fornecer uma análise espectral alternativa baseada em cruzamentos de ordem superior, ou HOC. Enunciamos um teorema que mostra a relação entre análise espectral clássica e análise espectral utilizando cruzamento de ordem superior. / In the analysis of time series, it is often intercsting to seek for periodicities in a given series, where the classical spectral analysis is used through the spectral density and periodogram functions . The goal of this work is to supply an alternative spectral analysis technique based on Higher Order Crossings or HOC. A theorem showing the relationship between classical spcctral analysis and Higher Order Crossings is given.

Neste trabalho analisamos processos estocásticos com decaimento polinomial (também chamado hiperbólico) da função de autocorrelação. Nosso estudo tem enfoque nas classes dos Processos ARFIMA e dos Processos obtidos à partir de iterações da transformação de Manneville-Pomeau. Os objetivos principais são comparar diversos métodos de estimação para o parâmetro fracionário do processo ARFIMA, nas situações de estacionariedade e não estacionariedade e, além disso, obter resultados similares para o parâmetro do processo de Manneville-Pomeau. Entre os diversos métodos de estimação para os parâmetros destes dois processos destacamos aquele baseado na teoria de wavelets por ser aquele que teve o melhor desempenho. / In this work we analyze stochastic processes with polynomial (also called hyperbolic) decay of the autocorrelation function. We emphasize the class of ARFIMA processes and the one obtained from the Manneville-Pomeau iterated function processes. The main goal is to compare different estimation methods for the fractional parameter in ARFIMA process, for both stationary and non-stationary case and, moreover, to get similar results for the parameter in the Manneville-Pomeau process. Among all estimation methods for the parameters of these two processes we stress the one based on the wavelet theory since this had the best performaance.

[pt] A presente tese trata da modelagem por Reversão à Média de incertezas estocásticas, e sua aplicação em opções reais. A utilização de processos estocásticos que não o caminho aleatório, ou Movimento Geométrico Browniano (MGB), geralmente não permitem a utilização de soluções analíticas fechadas para avaliar ativos contingenciais e então são usadas abordagens numéricas discretas. A tese está dividida em três capítulos que cobrem o tema. No primeiro após uma discussão sobre a validação do processo a ser usado são apresentados os modelos mais conhecidos para Movimentos de Reversão à Média (MRM): quatro de fator único, entre eles um aritmético e três geométricos, e mais um de dois fatores. Para todos são mostrados ou desenvolvidos, os processos de discretização, a expressão do valor esperado assim como a estimação de parâmetros a partir de séries históricas. A relevância desse último ponto é devida ao fato que geralmente somente séries históricas são conhecidas para as variáveis incertas nas aplicações de opções reais. O capítulo apresenta ainda o levantamento de parâmetros para os principais modelos apresentados no caso de séries históricas de preços reais de açúcar e etanol pagos ao produtor no Estado de São Paulo. O segundo capítulo trata da modelagem por árvore binomial como método numérico discreto para aproximação de processos de reversão à média. Esta aproximação permite a avaliação de ativos contingentes escritos sobre uma variável cujo valor tenha esse comportamento estocástico. Essa abordagem clássica é usada em inúmeros trabalhos e tem origem na metodologia desenvolvida por Cox, Ross e Rubinstein (1979), a qual só é aplicável a variáveis que tenham um comportamento aproximado por um MGB, excluindo toda uma gama de ativos cujo comportamento é mais bem aproximado por um processo auto regressivo. São demonstradas duas formas de aproximação binomial para reversão à média. Também é mostrado como compor em uma árvore bi-variável, dois processos estocásticos independentes sendo que pelo menos um segue um MRM, e o outro um MGB ou outro MRM. Neste capítulo as abordagens desenvolvidas são usadas para avaliar uma opção de expansão de uma usina somente de açúcar, para produzir também etanol. O terceiro capítulo usa os resultados dos dois primeiros para avaliar a opção de alternância de produção existente nas usinas flexíveis de processamento de cana de açúcar. Estas podem alternar a produção entre açúcar ou etanol, e esta flexibilidade tem valor substancial para a usina. O capítulo avalia esta opção real usando a abordagem por árvore bi-variável combinando dois processos de Reversão à Média correlacionados para os preços dos dois produtos passíveis de serem produzidos. Esta modelagem é então comparada aos resultados de uma avaliação por simulação, os quais confirmam a convergência dos dois métodos. Também é analisada a sensibilidade do valor da opção real de alternância à correlação dos dois processos estocásticos. Finalmente a tese conclui com um resumo geral sobre a importância da escolha correta do processo estocástico que modela as incertezas envolvidas na avaliação por opções reais e sugere futuras linhas de pesquisa, tal como a parametrização de processos com saltos. / [en] This dissertation covers the theme of stochastic uncertainties modeling with mean reversion, and its applications in real options valuation. The use of alternate stochastic processes other than random walk, or Geometric Brownian Motion (GBM), usually does not have analytical closed solutions for valuing contingent claims and therefore numerical approaches must be used. The dissertation is divided in three main chapters that cover this theme. In the first of these, after a discussion on the validity of stochastic process, the most widely known Mean Reversion Models (MRM) are presented: four single factor processes, one arithmetic and three geometric, and a two factor process. For all of these we show or develop the discrete process, the expression for the expected value and estimation of parameters from historical data. This last point is fundamental since generally only historical data is available for uncertainties involved in most real options applications. The chapter also estimates parameters of the main models presented for data from prices of ethanol and sugar paid to producers in the State of São Paulo. The second of these chapters deals with lattice modeling as a discrete method for approaching mean reversion processes. This approach allows the valuation of contingent claims written on a variable whose value follows this stochastic behavior. Lattice modeling is already a classic approach used in countless papers and originates from the methodology developed by Cox, Ross and Rubinstein (1979). But this latter method only fits variables showing an MGB dynamic, excluding the whole range of assets for which an autoregressive process is a better description of their price behavior. Two mean reversion lattice models are then explained. Also shown is an approach allowing the composition of a bivariate lattice with two independent yet correlated stochastic processes, of which one is a MRM and the other either an MGB or another MRM. These approaches are then used to value an expansion option available to a sugar producing plant to also produce ethanol. The third chapter uses the methodologies developed in the first two to value the switch option embedded in Brazilian sugarcane flexible plants. These can switch production from one output to another (ethanol and sugar) and this flexibility has significant value. The chapter values this real option using the bi-variate lattice approach, combining two correlated MRMs for both prices of the possible output products. This modeling is then compared to the results of a simulation method, which confirms the convergence of both results. We also analyze the sensibility of the option switch value to the correlation of both stochastic processes. Finally the dissertation concludes on the importance of the correct choice of the stochastic process when modeling the uncertainties involved in real options valuation, and suggests further research in the same line, such as parameterization of jump processes.

[pt] As employee stock options (ESOs) podem ser consideradas um dos instrumentos de remuneração e retenção mais importantes do mundo corporativo. Contudo, a crise financeira internacional desencadeada em 2008 despertou a atenção da sociedade para antigas práticas das empresas. Em particular a discussão a respeito dos pacotes de remuneração dos executivos tem ganhado cada vez mais importância. Enquanto muitos defendem que as ESOs forneceram incentivos à tomada irresponsável de decisões por parte dos executivos das grandes corporações, o presente trabalho tomou a crise mundial como motivador para apresentar uma modalidade de opção ainda pouco utilizada: a ESO com preço de exercício atrelado a um índice. Ainda que seu valor seja menor que o de uma opção tradicional, seu desenho fornece incentivos mais poderosos à tomada de decisões que visem à maximização de valor para o acionista. Neste sentido, ESOs indexadas figuram como uma interessante possibilidade na resolução do problema entre principal e agente, neste caso representado pelos acionistas e executivos, respectivamente. O presente trabalho apresenta e desenvolve modelos de apreçamento para ESOs indexadas em linha com as diretrizes gerais definidas pelos padrões contábeis nacionais e internacionais, tais como a política de exercício antecipado e o cancelamento de opções. O objetivo é, portanto servir como motivador para a utilização de modelos de apreçamento mais precisos por parte das empresas. / [en] Employee stock options (ESOs) can be considered one of the most important compensation and retention instruments of the corporate world. The credit crunch crisis of 2008, though, has drawn society’s attention towards certain practices of corporations. In particular, the debate over the compensation packages granted to executives has gained importance. While many stand that ESOs have given incentives to the irresponsible decisions made by large corporation executives, this dissertation takes the economic crisis as a motivator and presents an option that is still barely used: an ESO with an exercise price that follows an index. Even though the value of an indexed ESO is less than the value obtained by a traditional option, its design provides stronger incentives to decisions that maximize shareholder value. In this sense, indexed ESOs appear as an interesting alternative in solving the principal-agent problem, in this case represented by shareholders and executives, respectively. This dissertation presents and develops option pricing models for indexed ESOs that are acceptable under the general guidelines defined by national and international accounting standards; such as premature exercise and option forfeiture. The objective is therefore to motivate corporations in the adoption of more adequate pricing models.

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Neste trabalho analisamos processos de longa dependência com parâmetro fracionário variando no tempo. Estes processos exibem dois comportamentos de longa dependência distintos: até uma certa observação k, o parâmetro de longa dependência do processo tem valor A partir da observação k + 1, este parâmetro assume um valor d(2). Propomos neste trabalho um estimador para localizar o ponto de mudança de regime k. Apresentamos simulações de Monte Cario para as estimações dos parâmetros k, (i(1) e 5 = d(2) - d(1). / In this work we analyze long memory processes with fractional parameter varying in time. These processes show two long memory behaviors: until a certain observation k, the fractional parameter of the process has d(1) value. From the observation fc + 1, this parameter takes the ri(2) value. In this work we propose an estimator to locate the regime-change point k. We present Monte Cario simulations for estimation of the parameters k, ri(1) and = ^(2) _ (^(1).

Neste trabalho analisamos processos estocásticos com decaimento polinomial (também chamado hiperbólico) da função de autocorrelação. Nosso estudo tem enfoque nas classes dos Processos ARFIMA e dos Processos obtidos à partir de iterações da transformação de Manneville-Pomeau. Os objetivos principais são comparar diversos métodos de estimação para o parâmetro fracionário do processo ARFIMA, nas situações de estacionariedade e não estacionariedade e, além disso, obter resultados similares para o parâmetro do processo de Manneville-Pomeau. Entre os diversos métodos de estimação para os parâmetros destes dois processos destacamos aquele baseado na teoria de wavelets por ser aquele que teve o melhor desempenho. / In this work we analyze stochastic processes with polynomial (also called hyperbolic) decay of the autocorrelation function. We emphasize the class of ARFIMA processes and the one obtained from the Manneville-Pomeau iterated function processes. The main goal is to compare different estimation methods for the fractional parameter in ARFIMA process, for both stationary and non-stationary case and, moreover, to get similar results for the parameter in the Manneville-Pomeau process. Among all estimation methods for the parameters of these two processes we stress the one based on the wavelet theory since this had the best performaance.

Neste trabalho formulamos uma versão do princípio variacional de pressão no contexto de operadores densidade em mecânica quântica. Tal princípio relaciona um potencial e um conceito de entropia, que é induzido por um sistema de funções iteradas quântico (QIFS), de forma análoga ao que é feito em formalismo termodinâmico com a entropia métrica do operador shift e um potencial contínuo. Iremos definir um conceito de processo estocástico quântico induzido por tais QIFS de forma natural, e faremos considerações sobre funções de Wigner discretas e certos canais quânticos obtidos no nosso contexto. / In this work we formulate a version of the variational principle of pressure in the context of density operators in quantum mechanics. Such principle relates a potential and a concept of entropy, which is induced by a quantum iterated function system (QIFS), in a way which is analogous to what is done in thermodynamic formalism with the metric entropy of the shift operator and a continuous potential. We will de ne a concept of quantum stochastic process induced by such QIFS in a natural way, and we make some considerations on discrete Wigner functions and certain quantum channels obtained in our setting.

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