Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2011-2012 / Ce mémoire porte sur les groupes d'homotopie des sphères Sn. Plus précisément, on s'intéresse à la méthode des suites spectrales développée d'abord par Jean-Pierre Serre puis rafinée par la suite par d'autres mathématiciens tels que Frank Adams. On expose dans un premier temps les concepts inhérents aux suites spectrales et on introduit ensuite celles-ci pour enfin démontrer certains résultats classiques. Le premier théorème d'importance est que πk(Sn) est fini sauf si k = n ou si n paire et k = 2n — 1. Dans ce dernier cas, on a que π 4n-i(S2n) sont des groupes de type fini avec une seule composante Z. On obtient ensuite un contrôle modeste sur la p-torsion : le premier élément de p-torsion des groupes d'homotopie de Sn apparaissent en dimension n + 2p — 3 où la p-composante est Zp. On utilise enfin l'algèbre de Steenrod pour reproduire certains calculs explicites de groupes d'homotopie effectués par Jean-Pierre Serre : πn+1(Sn) = Z2, (n > 3), πn+2(Sn) = Z2 (n > 2), π6(S3) = Z12 et π7(S4) = Z 0 Z12.

Les modèles classiques en finance sont basés sur des hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiables empiriquement. L’objectif de ce mémoire est de présenter l’utilisation de la distribution de Laplace asymétrique généralisée comme une alternative intéressante à ces derniers. Pour ce faire, on utilise ses différentes propriétés afin de développer des méthodes d’estimation paramétrique, d’approximation et de test, en plus d’élaborer quelques principes d’évaluation de produits dérivés. On présente enfin un exemple d’application numérique afin d’illustrer ces différents concepts. / Classical models in finance are based on a set of hypotheses that are not always empirically verifiable. The main objective behind this master’s thesis is to show that the generalized asymmetric Laplace distribution is an interesting alternative to those models. To support this idea, we focus on some of its properties to develop parametric estimation, approximation and testing methods, then we work out some principles of derivatives pricing. Finally, we have a numerical example to illustrate these concepts.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007 / L'identification du gène responsable d'une maladie peut être facilitée par des méthodes statistiques telles que des études d'association basées sur le déséquilibre de liaison. Différentes stratégies d'analyse sont possibles pour ce type d'étude. Comme pour les tests d'association classiques, un devis d'échantillonnage de cas-témoins peut être utilisé. Un deuxième devis possible est l'échantillonnage de trios. On peut également choisir d'étudier l'association allélique ou haplotypique des marqueurs génétiques sélectionn és. La présente étude vise à comparer par voie de simulation la puissance de tests de déséquilibre de liaison selon la stratégie d'analyse choisie. Dans un premier temps, on s'est intéressé à la comparaison des devis d'échantillonnage cas-témoins et trios ; dans un deuxième temps, on a comparé les approches allélique et haplotypique.

Dans un modèle de durées de vie avec des risques concurrents, les systèmes peuvent tomber en panne dans le temps. Ces pannes sont dues à une cause parmi plusieurs possibles et il arrive parfois que celle-ci soit inconnue. C'est alors qu'on peut faire appel à l'algorithme EM pour calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance. Cette technique utilise la fonction de vraisemblance des données complètes pour trouver les estimateurs même si les données observées sont incomplètes. Pour les systèmes ayant leur cause de panne inconnue, on peut en prendre un échantillon pour une inspection plus approfondie qui dévoilera les vraies causes de panne. Cette étape peut améliorer l'estimation des probabilités de masque et des fonc- tions de risque spécifiques aux causes de panne. Après avoir expliqué la théorie de l'algorithme EM, le modèle des risques concurrents, ainsi que les travaux réalisés sur le sujet, on étudie l'impact qu'a sur les estimateurs le fait de ne pas envoyer un échantillon des systèmes masqués à un examen approfondi qui permettrait de trouver la vraie cause de panne.

Dans cette thèse, nous construisons une base du groupe Ck des unités cycolotomiques (au sens de Sinnott) d’une certaine extension abélienne finie k de Q ramifiée exactement sur trois nombres premiers distincts. La première étape consiste en la construction d’une base du goupe Dk des nombres circulaires de k. Par la suite, il sera plus simple d’obtenir une base de Ck. / In this thesis, we construct an explicit basis of the group Ck of cyclotomic units of certain finite abelian extension k of Q ramified at exactly three distinct primes. The first step consists in constructing a basis of the group Dk of circular numbers of k. From there, it is not too difficult to obtain a basis of Ck. The method is combinatorial in nature. We may visualize our construction using a three dimensional cuboid formed of j Gal(k=Q)j small cubes, each of these small cubes containing a Galois conjugate of a primitive circular unit of k. The classical norm relations give rise to some identifications on the cuboid. Using these identifications and an Ennola-type relation (a highly non-trivial relation), we manage to construct an explicit basis of Ck.

Les méthodes de type mortier, introduites en 1987 par Bernardi, Maday et Patera, font partie de la grande famille des méthodes par décomposition de domaine. Combinées à la méthode des éléments finis, elles consistent à construire une discrétisation non conforme des espaces fonctionnels du ou des problèmes étudiés. Les trente dernières années de recherche portant sur ces méthodes ont permis d'acquérir des connaissances solides tant au point de vue théorique que pratique. Aujourd'hui, elles sont naturellement utilisées pour résoudre des problèmes d'une grande complexité. Comme applications, nous pouvons simplement penser à des problèmes de contact entre divers solides, à des problèmes d'interaction fluide-structure ou à des problèmes impliquant des mécanismes en mouvement tel des engrenages ou des alternateurs. Cette thèse de doctorat a pour objectif d'expliquer en détail la construction des méthodes de type mortier et de développer des algorithmes adaptés à la résolution des systèmes ainsi créés. Nous avons décidé d'employer l'algorithme du GCR (Generalized Conjugate Residual method) comme solveur de base pour nos calculs. Nous appliquons d'abord une factorisation du système linéaire global grâce à son écriture naturelle en sous-blocs. Cette factorisation génère un système utilisant un complément de Schur qu'il faut résoudre. C'est sur ce sous-système que nous employons l'algorithme du GCR. Le complément de Schur est préconditionné par une matrice masse redimensionnée, mais il est nécessaire de modifier l'algorithme du GCR pour obtenir des résultats théoriques intéressants. Nous montrons que la convergence de ce solveur modifié est indépendante du nombre de sous-domaines impliqués ainsi que de ses diverses composantes physiques. Nous montrons de plus que le solveur ne dépend que légèrement de la taille des éléments d'interface. Nous proposons une solution élégante dans le cas de sous-domaines dits flottants. Cette solution ne requiert pas la modification du solveur décrit plus haut. Des tests numériques ont été effectués pour montrer l'efficacité de la méthode du GCR modifiée dans divers cas. Par exemple, nous étudions des problèmes possédant plusieurs échelles au niveau de la discrétisation et des paramètres physiques. Nous montrons aussi que ce solveur a une accélération importante lorsqu'il est employé en parallèle. / The mortar methods, introduced in 1987 by Bernadi, Maday and Patera, are part of the large family of domain decomposition methods. Combined to the finite element method, they consist in constructing a nonconforming discretization of the functional space of the problem under consideration. The last thirty years of research about these methods has provided a solid knowledge from a theoretical and practical point of view. Today, they are naturally used to solve problems of great complexity such as contact problems between deformable solids, fluid-structure interaction problems or moving mechanisms problems like gears and alternators. The aim of this thesis is to explain in details the principles of mortar methods and to develop adapted algorithms to solve the generated linear systems. We use the GCR algorithm (Generalized Conjugate Residual method) as our basic solver in our computations. We first apply a factorization of the global linear system using the natural sub-block structure of the matrix. This factorization generates a system using a Schur complement. It is on this sub-system that we use the GCR algorithm. The Schur complement is preconditioned by a rescaled mass matrix, but it is necessary to slightly modify the GCR algorithm to obtain theorical results. We show that the convergence of this modified solver is independent of the number of subdomains involved and of the diverse physical parameters. We also show that the solver slightly depends on the size of the interface mesh. We present a strategy to take care of the so called floating subdomains. The proposed solution does not require any modification to the solver. Numerical tests have been performed to show the efficiency of the modified GCR method in various cases. We consider problems with several discretization and physical parameter scales. We finally show that the solver presents an important speedup in parallel implementation.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la structure multiplicative des nombres entiers par le biais des deux fonctions arithmétiques sqk(n) :=Ypjjn<kp et powk(n) :=Ypjjnkp; nommées respectivement la partie k-libre de n et la partie k-puissante de n. DXans le premier chapitre, nous évaluons le comportement asymptotique de la sommation nx sqa k(n)powbk (n) pour k 2 fixé et avec différentes valeurs réelles de a et b. Nous obtenons par exemple que X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k tandis que X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , d'où nous pouvons conclure que la partie k-libre est fréquemment plus grande que la partie k-puissante. De plus, l'ordre de grandeur de la somme dépend généralement du maximum entre a et b. Dans le deuxième chapitre, nous obtenons divers résultats en lien avec les deux fonctions sqk(n) et powk(n) lorsque k = 2. Nous touchons en particulier à la distribution de leurs valeurs, à la densité des nombres satisfaisant pow2(n) > sq2(n), ainsi qu'à la valeur moyenne asymptotique de ces deux fonctions sur les nombres n'ayant aucun facteur premier plus grand que y, et ce pour différents ordres de grandeur de y. D'ailleurs, nous montrons que l'égalité log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA est valide uniquement lorsque y = 2 log x auquel cas nous obtenons que ces expressions sont égales à (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x lorsque x ! 1: Finalement, dans le troisième et dernier chapitre, nous généralisons les résultats du chapitre précédent aux valeurs de k supérieures à 2. / In this thesis, we study the multiplicative structure of integers by using the two arithmetical functions sqk(n) := Y pjjn <k p and powk(n) := Y pjjn k p; named respectively the k-free part of n and the k-full part of n. In the first chapter, we evaluate the asymptotic behavior of the summation X nx sqa k(n)powbk (n) for k 2 fixed and for different real values of a and b. For example, we obtain that X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k while X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , which means the k-free part is frequently greater than the k-full part. Furthermore, the order of magnitude of the sum generally depends on the maximum between a and b. In the second chapter, we get various results related to the functions sqk(n) and powk(n) when k = 2. We study in particular the distribution of their values, the density of numbers satisfying pow2(n) > sq2(n), and also the asymptotic mean value of those two functions on the numbers without any prime factor greater than y, and for different values of y. In fact, we show that the equality log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA holds only for y = 2 log x. And for this value of y, those expressions are in fact equal to (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x as x ! 1: Finally, in the third and last chapter, we generalize the results of the previous chapter to k greater than 2.

Étant donné des paires de variables aléatoires dont les valeurs ont été dichotomisées, le coefficient de corrélation tétrachorique approxime la corrélation de Pearson sous l'hypothèse que la loi conjointe des observations est gaussienne. Pour vérifier la nécessité de cette hypothèse, Gréer et al. (2003) ont étudié la robustesse du coefficient tétrachorique en supposant que la structure de dépendance des observations est normale mais que leurs marges ne le sont pas. Ce mémoire complète ces travaux en proposant une évaluation de plusieurs approximations du coefficient tétrachorique dans le cas où les lois marginales des variables sont normales mais leur structure de dépendance n'est pas gaussienne. Le biais et l'erreur quadratique moyenne de ces estimations sont mesurés par voie de simulation sous différents modèles de copules.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Dans la première partie, nous étudions le comportement au bord des fonctions dans les espaces de Dirichlet pondérés D(u). Une fonction analytique f sur le disque unité appartient à D(u) si le carré du module de sa dérivée est integrable par rapport à la mesure Pu dA, où Pu est l'intégrale de Poisson de la mesure positive u et dA est la mesure d'aire sur le disque unité. Pour étudier ces fonctions, nous introduisons une capacité cu qui généralise la capacité logarithmique. Nous prouvons que cu est une capacité au sens de Choquet. Nous montrons que les fonctions de D(u) sont quasi-continues par rapport à la capacité cu, permettant de définir une fonction f(ei0) sur le cercle unité à un ensemble de cu capacité nulle près. À l'aide de cette fonction, nous pouvons étudier les sous-espaces invariants pour l'opérateur shift sur D(u). Dans le cas où u est une somme finie de mesures de Dirac, nous donnons une description complète des sous-espaces invariants. Dans la deuxième partie, nous étudions les espaces de de Branges-Rovnyak H(b) lorsque b est un point non extrême de la boule unité de H°°. Lorsque u est une mesure de Dirac, l'espace D(u) coïncide avec un tel espace, avec égalité des normes. Nous prouvons que c'est le seul cas possible. Nous étudions ensuite la relation qui existe entre les espaces de Dirichlet et les espaces de de Branges-Rovnyak. Nous prouvons une formule de transfert permettant d'exprimer la norme dans 1i(b) comme une intégrale de Dirichlet. Nous montrons aussi une formule pour la norme dans H (b) analogue à une formule donnée par Shimorin pour l'intégrale de Dirichlet locale. Finalement, nous étudions la validité de l'approximation fr(z) = f(rz) ?¿ f(z) lorsque r ?¿ 1- dans H(b).

Québec Université Laval, Bibliothèque 2015