Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007 / Soit sq(n) la somme des chiffres d'un entier positif n dans l'écriture en base q. On dit que n est un g-nombre de Niven ou un nombre de Niven en base q si sq(n)\n. On pose Nq(x) comme le nombre de g-nombres de Niven inférieurs à x. Au chapitre 1, on prouve les propriétés de la cardinalité de l'ensemble {n < x : sq(n) = t} qui seront nécessaires aux démonstrations des résultats principaux des chapitres ultérieurs. Il s'agit d'une synthèse de résultats bien connus présentés avec de nouvelles preuves élémentaires. Au chapitre 2, on démontre quelques résultats élémentaires à propos de la fonction Nq(x) et au chapitre 3, on établit une formule asymptotique pour la valeur de la fonction Nq(x), soit en démontrant qu'il existe une constante positive X) = rj(q) telle que Nq(x) = (1 + o{l))r}-^-^ lorsque x —> oo. La fonction rj(q) fait l'objet d'une étude approfondie au chapitre 4. On définit également Nq^r(x) comme le nombre d'entiers positifs n inférieurs à x tels que n, n + 1,... ,n + r — 1 sont tous des nombres de g-Niven. Grundman [14] a démontré que valeur maximale de r pour laquelle Nq:r(x) est strictement positif est r = 2q. Au chapitre 5, on établit une formule asymptotique pour la valeur de Nq^r(x) soit en démontrant que, pour chaque r G [2, 2q], il existe une constante positive C\ — c\{q,r) telle que NqiT(x) = (1 + o(l))^|f|f lorsque x -> oo. / Let sq(n) stand for the sum of the digits of a positive integer n written in base q. We say that n is a ç-Niven number or a Niven number in base q if sq(n) divides n. Let Nq(x) stand for the number of g-Niven numbers less than x. In chapter 1, we présent the various proprieties of the size of the set {n < x : sq(n) = t} that will be needed in the proofs of the main results of the following chapters. It is a collection of well-known results given with original elementary proofs. In chapter 2, we establish elementary results about the behaviour of the Nq(x) function and in chapter 3, we prove the asymptoptic value of Nq(x) to be Nq(x) = (1 + o(l))r]^— for some positive constant r\ = r](q) as x —> oo. The r)(q) function is extensively studied in chapter 4. Furthermore, we let NqtT(x) be the number of integers n less than x such that n,n + 1,..., n + r — 1 are ail ç-Niven numbers. The maximal value of r for which Nq^r(x) is nonzero is known to be r = 2q. In chapter 5, we establish the asymptotic value of JVrg(a;) for every r G [2,2g] namely by proving that there exists a positive constant cx - cx(q,r) such that Nq,r{x) = (1 + o(l))ci(g,r)(lojfx)

L’objectif de ce mémoire est de définir et de développer des notions diverses sur la théorie des fonctions presque périodiques sur la droite réelle, d’utiliser ses propriétés comme outils importants dans la compréhension et la preuve des principaux résultats, soit particulièrement le critère de Bochner, le théorème d’approximation et la relation de Parseval pour ce type de fonction. Nous terminerons par l’étude des séries de Dirichlet pour les fonctions presque périodiques holomorphes dans une bande du plan complexe C. / L’objectif de ce mémoire est de définir et de développer des notions diverses sur la théorie des fonctions presque périodiques sur la droite réelle, d’utiliser ses propriétés comme outils importants dans la compréhension et la preuve des principaux résultats, soit particulièrement le critère de Bochner, le théorème d’approximation et la relation de Parseval pour ce type de fonction. Nous terminerons par l’étude des séries de Dirichlet pour les fonctions presque périodiques holomorphes dans une bande du plan complexe C.

Québec Université Laval, Bibliothèque 2019

En 2008, Romik a publié un article très intéressant sur les triplets pythagoriciens et l'équation diophantienne a2 + b2 — c2. Il identifie une transformation à partir de cette équation qui possède plusieurs propriétés dynamiques intéressantes. Il démontre, en autre, que ce système dynamique est conservatif et ergodique et ce, en utilisant des résultats sur la théorie ergodique infinie contenus dans un livre d'Aaronson. L'étude qui suit a deux objectifs généraux. D'une part, nous voulons rassembler les résultats nécessaires à la compréhension du travail de Romik tout en exposant la démarche pour le cas du système dynamique issue de l'équation a2 + b2 = c2. D'autre part, nous voulons répondre à la question suivante de Romik : pouvons-nous identifier une transformation et un système dynamique à partir de l'équation diophantienne a2 + ab + b2 = c2 ? Nous définissons une telle transformation et terminons en étudiant les propriétés de conservativité et d'ergodicité de ce nouveau système dynamique.

Dans cette thèse, nous combinons des méthodes itératives basées sur l'élément fini P₂ hiérarchique et une stratégie d'adaptation de maillage anisotrope fondée sur l'intersection de métriques pour résoudre les écoulements turbulents avec ou sans surface libre. Les métriques sont obtenues en considérant la matrice hessienne des différentes composantes du gradient de chaque variable. Le modèle k-e , en formulation logarithmique, est utilisé pour modéliser la turbulence, et la surface libre est calculée par la méthode des surfaces de niveau («level sets»). Après avoir résolu quelques problèmes classiques qui mettent en évidence l'efficacité du solveur itératif et de la stratégie d'adaptation de maillage anisotrope, nous résolvons un problème d'écoulement tourbillonnaire entrant dans un diffuseur conique. Cette simulation a beaucoup d'intérêt pour les écoulements dans un aspirateur hydraulique. L'ensemble de notre approche est ensuite appliquée pour simuler un écoulement turbulent autour d'un cylindre perçant la surface libre. Finalement, les résultats positifs obtenus dans cette étude nous permettent d'aborder le phénomène d'aquaplanage en simulant l'écoulement turbulent à surface libre autour d'un pneu.

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Le présent mémoire a pour but de présenter deux techniques permettant l'obtention d'une estimation de la distribution d'une variable aléatoire lorsque les données historiques sont inexistantes ou confidentielles. Les modèles proposés se basent sur la consultation de plusieurs spécialistes du domaine dont les avis sont combinés afin d'obtenir une estimation de la distribution inconnue. Dans les deux cas, la distribution finale est le résultat d'un processus mathématique d'évaluation des experts réalisé à l'aide de variables de calibration. Le premier modèle utilise des techniques statistiques classiques alors que le second fait appel à la règle de Bayes. Le mémoire propose également une mise en oeuvre informatique des modèles ainsi que des exemples commentés.

Dans cette thèse, nous sommes intéressés par des problèmes de préservation des applications non-linéaires entre deux algèbres de Banach complexes unitaires A et B. En général, ces problèmes demandent la caractérisation des applications φ : A → B non nécessairement linéaires, qui laissent invariant une propriété, une relation ou un sous-ensemble. Dans le Chapitre 3, la description des applications surjectives φ de B(X) sur B(Y), qui satisfont c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S, T ∈ B(X)), est donnée, où c(·) représente soit le module minimal, ou le module de surjectivité ou le module maximal et B(X) (resp. B(Y)) dénote l’algèbre de tous les opérateurs linéaires et bornés sur X (resp. sur Y). Dans le Chapitre 4, une question similaire pour la conorme des opérateurs, est considérée. La caractérisation des applications bicontinues et bijectives φ deB(X) surB(Y), qui satisfont γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S, T ∈ B(X)), est obtenue. Le Chapitre 5 est consacré à la description des applications surjectives φ1, φ2 d’une algèbre de Banach semisimple A sur une algèbre de Banach B avec un socle essentiel, qui satisfont σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a, b ∈ A). Aussi, la caractérisation des applications φ de A sur B, sous les mêmes hypothèses sur A et B, qui satisfont σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a, b ∈ A), est donnée. Comme conséquences, nous incluons les résultats obtenus au cas des algèbres B(X) et B(Y). / In this thesis, we are interested in nonlinear preserver problems. In a general formulation, these demand the characterization of a map φ : A → B, which is not supposed to be linear and leaves a certain property, particular relation, or even a subset invariant, where A and B are complex Banach algebras with unit. In Chapter 3, the description of maps φ from B(X) onto B(Y) satisfying c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S, T ∈ B(X)), is given, where c(·) stands either for the minimum modulus, or the surjectivity modulus, or the maximum modulus and B(X) (resp. B(Y)) denotes the algebra of all bounded linear operators on a Banach space X (resp. on Y). In Chapter 4, a similar question for the reduced minimum modulus of operators, is considered. The characterization of bijective bicontinuous maps φ from B(X) to B(Y) satisfying γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S, T ∈ B(X)), is obtained. Chapter 5 is devoted to description of maps φ1, φ2 from a semisimple Banach algebra A onto a Banach algebra B with an essential socle, that satisfy σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a, b ∈ A). Also, the characterization of maps φ from A onto B, under the same assumptions on A and B, satisfying σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a, b ∈ A), is given. The corollaries for algebras B(X) and B(Y), that follow immediately from the results, are included.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016 / Dans ce mémoire, une méthode assistée numériquement est introduite et utilisée afin de montrer l'existence d'une connexion homocline à zéro pour l'équation du pont suspendu. Cette méthode, basée sur l'utilisation du théorème de contraction de Banach, permet d'obtenir les points fixes de l'opérateur de Newton légèrement modifié. La méthode ainsi que son cadre théorique sont introduits au premier chapitre. L'espace de Banach sur lequel sera définit l'opérateur ainsi que la manière de construire l'approximation de l'inverse utilisée pour l'opérateur sont les éléments majeurs du cadre théorique. Par la suite, la méthode est utilisée dans le Chapitre 2 pour prouver rigoureusement la validité de l'approximation numérique utilisée pour la variété stable locale. Puis cette approximation est réutilisée pour prouver l'existence de la connexion homocline. Cette preuve est à nouveau effectuée en utilisant la méthode introduite au premier chapitre. Finalement, certains résultats des calculs numériques sont présentés pour conclure ce mémoire. / In this work, a numerically assisted technique is introduced in order to prove the existence of a homoclinic connexion to zero for the suspension bridge equation. This technique, based on the use of the Banach fixed point theorem, can provide the fixed point of a slightly modified version of the Newton operator. The technique and its theorical background are introduced in the first chapter. The Banach space on which the operator is defined and the way to construct the approximation of the inverse needed to define the operator are the major parts of the theoretical background. The method is then used to rigorously validate the numerical approximation used to parametrize the local stable manifold. This parametrization is used to find the homoclinic connexion we are looking for. This proof is also completed using the technique from the first chapter. Finally, some results and numerical approximations will be presented in the last chapter.

Le problème de Steklov est un problème spectral dont l'origine se situe en mécanique des fluides (oscillations de faibles amplitudes). En géométrie spectrale, on s'intéresse aux liens entre les fréquences de vibrations propres d'un espace et la géométrie de celui-ci. L'objet de ce mémoire consiste à donner une preuve succincte et accessible du théorème spectral pour le problème de Steklov qui stipule, entre autres, que le spectre de ce problème est discret. En effet, ce théorème est très important puisqu'il est le point de départ de toute étude du problème de Steklov en géométrie spectrale. Néanmoins, la preuve n'est pas facilement accessible dans la littérature et demande un travail bibliographique considérable.