Québec Université Laval, Bibliothèque 2015

Dans ce mémoire, nous considérons l’évaluation de la somme des réclamations escomptées avec conditionnement sur l’expérience et diverses quantités reliées. Au chapitre 1, nous résumons l’historique des processus de renouvellement depuis le début de leur utilisation : processus sans escompte, avec taux d’escompte constant, avec taux d’escompte stochastique et avec dépendance. Les objectifs du mémoire y sont également aussi rendus explicites. Au chapitre 2, nous décrivons les concepts préalables à l’établissement du modèle avec conditionnement, notamment les composantes du processus de renouvellement de base, les différents résultats obtenus avec des sommes de réclamations escomptées avec force constante d’intérêt net (moments simples, moments conjoints, transformées de Laplace) et les mesures de risque qui seront étudiées. Au chapitre 3, nous présentons les principaux résultats obtenus par l’approche avec conditionnement sur l’expérience, entre autres le calcul des premiers moments des accroissements conditionnels, l’évaluation de la transformée de Laplace conditionnelle et l’obtention de la fonction de répartition conditionnelle. De plus, nous présentons par la suite nos résultats dans un contexte avec dépendance. Au chapitre 4, nous discutons des principales applications du modèle par rapport à différentes mesures de risque, au processus de réserve, et à la probabilité de ruine qui lui est reliée. Au chapitre 5, nous rappelons les principaux résultats obtenus et présentons les extensions possibles du modèle. / In this thesis, we study the behavior of the aggregate discounted claims process on multiple periods while considering all the information gathered in the previous periods. In chapter 1, we point out the history of compound renewal processes, without discount rate, with constant or stochastic discount rate and with dependency relation. The objectives of the thesis are also described. In chapter 2, we enumerate the theoretical concepts needed to understand the model we intend to consider, and we present the most important results that have been obtained for aggregate discounted claims with constant discount rate (moments, joint moments, Laplace transform) and the risk measures that we will use. In chapter 3, we present the most interesting results obtained through our theoretical model. Among others, the first conditional moments of the increments, the conditional Laplace transform, and some conditional distribution functions are obtained. We then introduce dependency in the model and show how our results are affected. In chapter 4, we discuss the main applications of our model, in relation to risk measures, reserve process and ruin probability. In chapter 5, the main results are shown again, and further avenues of research are also discussed.

La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dans beaucoup d’applications en ingénierie. Pour ces applications, la précision et l’optimisation du temps de calcul sont des contraintes impératives mais souvent contradictoires. Les problèmes industriels portent généralement sur des géométries complexes et tridimensionnelles composées de matériaux au comportement non linéaire. De ce fait, si on utilise la méthode des éléments finis, ils mènent à des problèmes discrets non linéaires et de grande taille. Ces derniers, après linéarisation, entraînent des systèmes algébriques de plusieurs milliers voire de millions d’inconnues ne pouvant être résolus que par des méthodes itératives. Ceci implique que les méthodes fréquemment utilisées, la pénalisation et le lagrangien augmenté, ne peuvent être considérées en raison du mauvais conditionnement de la matrice sous-jacente donc de leur effet négatif sur la convergence des méthodes itératives. Nous proposerons une approche itérative efficace pour résoudre les problèmes de contact associés à des applications industrielles : une résolution permettant d’avoir des résultats numériques précis en un temps de calcul acceptable. Cette approche sera basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange et une méthode de résolution du système linéaire associé qui n’est pas tout à fait standard. Cette dernière s’insère dans un processus itératif à plusieurs niveaux qui représente la principale contribution de la thèse. Nous présenterons la stratégie adoptée qui est différente de celles de la littératurepour la résolution des problèmes de types point de selle et en ferons une étude complète. Pour valider notre approche, nous étudierons des exemples numériques académiques de problèmes de contact classiques. Nous présenterons aussi des problèmes industriels de très grande taille afin d’illustrer l’efficacité, la précision et la performance en temps de calcul de la méthode développée dans cette thèse. / Solving friction contact problems is of great importance in many engineering applications. For these applications, the accuracy and the optimization of the calculation cost are imperative but often contradictory. Industrial problems generally involve complex and three-dimensional geometries composed of materials that exhibit non-linear behavior. Consequently, using the finite element method, they lead to large-scale non linear discrete problems and, after linearization, to algebraic systems of several thousand or even millions of unknowns and ultimately tocalculations needing iterative methods. This implies that the frequently used methods, the penalization and the augmented Lagrangian, are to be banned because of their negative effect on the condition number of the underlying discrete systems and thus on the convergence of theiterative methods. We will propose an efficient iterative approach to solve the contact problems associated with industrial applications: a resolution allowing to have accurate numerical results in an acceptable computation time.This approach will be based on the method of Lagrange multiplier and a method for solving the associated linear system that is not quite standard. The latter is part of an iterative, multi-level process that represents the main contribution of the thesis. We will present the adopted strategy, which is different from what is found in the literature, for the resolution of saddle-type problems and will make a complete study of it. To validate our approach, we will study academic numerical examples of classical contact problems. We will also present some large-scale industrial problems in order to illustrate the efficiency, accuracy and computation performance of the method developed in this thesis.

La théorie des noeuds est une branche de la topologie algébrique. On peut imaginer un noeud comme étant une corde nouée dont les extrémités sont collées ensemble et un entrelacs comme étant une collection de noeuds. On peut déformer un entrelacs (sans utiliser de ciseau) de plusieurs façons. Par exemple, on peut l'étirer, passer une section sous une autre, etc. Deux entrelacs sont dits équivalents si l'on peut déformer l'un d'eux de manière à ce qu'il soit identique à l'autre. Le problème fondamental de la théorie des noeuds est de distinguer des entrelacs non équivalents. Pour ce faire, on utilise des invariants. Les principaux invariants qui sont étudiés dans ce mémoire sont le déterminant et la signature d'un entrelacs, le polynôme d'Alexander, le polynôme de Conway, le polynôme crochet normalisé de Kauffman ainsi que le polynôme de Jones.

Étant donné une algèbre de Lie g semi-simple de dimension finie et un élément nilpotent non nul e 2 g, on peut construire plusieurs algèbres-W associées à (g; e). Parmi eux, l’algèbre-W affine est une algèbre vertex qui peut être réalisée comme une cohomologie semi-infinie d’une sous-algèbre nilpotente de ~g, où ~g est l’algèbre de Kac-Moody associée à g. L’algèbre-W finie est l’algèbre de Zhu de l’algèbre-W affine. Dans les constructions des algèbres-W, une forme bilinéaire non dégénérée invariante et une bonne Z-graduation de g jouent des rôles essentiels. Les algèbres de courants tronqués associées à g sont des quotients de l’algèbre de courants g C[t]. On peut montrer que: (1) des formes bilinéaires non dégénérées invariantes existent sur des algèbres de courants tronqués; (2) une bonne Z-graduation de g induit des bonnes Z-graduations des algèbres de courants tronqués. Alors, les constructions des algèbres-W fonctionnent bien dans le cas des algèbres de courants tronqués. Les résultats de cette thèse sont les suivants. Premièrement, nous introduisons les algèbres-W finies et affines associées aux algèbres de courants tronqués et nous généralisons certaines propriétés des algèbres-W associées aux algèbres de Lie semi-simples. Deuxièmement, nous developpons une version ajustée de la cohomologie semi-infinie, ce qui nous permet de définir les algèbres-W affines associées à des éléments nilpotents généraux d’une façon uniforme. À la fin, nous prouvons que les algèbres de Zhu de niveaux plus hauts d’une algèbre vertex conforme sont toutes isomorphes à des sous-quotients de son algèbre enveloppante universelle. / Given a finite-dimensional semi-simple Lie algebra g and a non-zero nilpotent element e 2 g, one can construct various W-algebras associated to (g; e). Among them, the affine W-algebra is a vertex algebra which can be realized through semi-infinite cohomology, and the finite W-algebra is the Zhu algebra of the affineW-algebra. In the constructions ofW-algebras, a non-degenerate invariant bilinear form and a good Z-grading of g play essential roles. Truncated current Lie algebras associated to g are quotients of the current Lie algebra g C[t]. One can show that non-degenerate invariant bilinear forms exist on truncated current Lie algebras and a good Z-grading of g induces good Z-gradings of truncated current Lie algebras. The constructions of W-algebras can thus be adapted to the setting of truncated current Lie algebras. The main results of this thesis are as follows. First, we introduce finite and affine W-algebras associated to truncated current Lie algebras and generalize some properties of W-algebras associated to semi-simple Lie algebras. Second, we develop an adjusted version of semi-infinite cohomology, which helps us to define affine W-algebras associated to general nilpotent elements in a uniform way. Finally, we consider vertex operator algebras in general, and show that their higher level Zhu algebras are all isomorphic to subquotients of their universal enveloping algebras.

Initialement, la théorie du risque supposait l’indépendance entre les différentes variables aléatoires et autres paramètres intervenant dans la modélisation actuarielle. De nos jours, cette hypothèse d’indépendance est souvent relâchée afin de tenir compte de possibles interactions entre les différents éléments des modèles. Dans cette thèse, nous proposons d’introduire des modèles de dépendance pour différents aspects de la théorie du risque. Dans un premier temps, nous suggérons l’emploi des copules comme structure de dépendance. Nous abordons tout d’abord un problème d’allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk pour lequel nous supposons un lien introduit par une copule entre les différents risques. Nous obtenons des formules explicites pour le capital à allouer à l’ensemble du portefeuille ainsi que la contribution de chacun des risques lorsque nous utilisons la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Pour les autres copules, nous fournissons une méthode d’approximation. Au deuxième chapitre, nous considérons le processus aléatoire de la somme des valeurs présentes des sinistres pour lequel les variables aléatoires du montant d’un sinistre et de temps écoulé depuis le sinistre précédent sont liées par une copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous montrons comment obtenir des formes explicites pour les deux premiers moments puis le moment d’ordre m de ce processus. Le troisième chapitre suppose un autre type de dépendance causée par un environnement extérieur. Dans le contexte de l’étude de la probabilité de ruine d’une compagnie de réassurance, nous utilisons un environnement markovien pour modéliser les cycles de souscription. Nous supposons en premier lieu des temps de changement de phases de cycle déterministes puis nous les considérons ensuite influencés en retour par les montants des sinistres. Nous obtenons, à l’aide de la méthode d’erlangisation, une approximation de la probabilité de ruine en temps fini. / Initially, it was supposed in risk theory that the random variables and other parameters of actuarial models were independent. Nowadays, this hypothesis is often relaxed to take into account possible interactions. In this thesis, we propose to introduce some dependence models for different aspects of risk theory. In a first part, we use copulas as dependence structure. We first tackle a problem of capital allocation based on the Tail- Value-at-Risk where the risks are supposed to be dependent according to a copula. We obtain explicit formulas for the capital to be allocated to the overall portfolio but also for the contribution of each risk when we use a Farlie-Gumbel-Morenstern copula. For the other copulas, we give an approximation method. In the second chapter, we consider the stochastic process of the discounted aggregate claims where the random variables for the claim amount and the time since the last claim are linked by a Farlie-Gumbel- Morgenstern copula.We show how to obtain exact expressions for the first two moments and for the moment of order m of the process. The third chapter assumes another type of dependence that is caused by an external environment. In the context of the study of the ruin probability for a reinsurance company, we use a Markovian environment to model the underwriting cycles. We suppose first deterministic cycle phase changes and then that these changes can also be influenced by the claim amounts. We use the erlangization method to obtain an approximation for the finite time ruin probability.

Le problème de Steklov est un problème spectral qui provient de la mécanique des fluides. C’est un problème de valeur propre dont les paramètres spectraux sont dans la condition au bord. Son spectre coïncide avec celui de l’opérateur de Dirichlet-Neumann. Le spectre du problème de Steklov est discret lorsque l’opérateur de trace est compact, ce qui est le cas lorsque la frontière du domaine est lipschitzienne. Dans ce mémoire, nous prouvons de deux manières différentes l’effondrement vers 0 du spectre de Steklov pour un domaine en forme d’haltère dégénérant vers deux disques. On se concentre par la suite sur les domaines dont la frontière n’est pas uniformément lipschitzienne. Nous donnons deux exemples pour montrer que l’opérateur de trace n’est pas compact pour ces domaines. De plus, nous présentons une borne inférieure pour la première valeur propre σ₁ non nulle du problème de Steklov pour les domaines ayant deux axes de symétrie. Enfin, nous présentons des bornes inférieures pour le problème des valeurs propres Steklov pour les domaines étoilés. Ces résultats sont dus à J. R. Kuttler et V. G. Sigillito. [7, 8]. / The Steklov problem is a spectral problem whose origin lies in the mechanics of fluids. It is an eigenvalue problem with spectral parameters in the boundary conditions, which has various applications. Its spectrum coincides with that of the Dirichlet-to-Neumann operator. The spectrum of the Steklov’s problem is discrete when the trace operator is compact. In this master’s thesis, we prove the collapse of the Steklov spectrum for a dumbbell domain in two manners. We will focus on non-Lipschitz domains. We give two examples to show that the trace operator is not compact for non-Lipschitz domains. Furthermore, we present a lower bound to the first non-zero eigenvalue σ₁ of the Steklov problem for domains having two axes of symmetry. Finally, we present lower bounds for the Steklov eigenvalue problem for starshaped domains. These results were due to J. R. Kuttler and V. G. Sigillito restrict domains to domains with two axes of symmetry or star-shaped domains [7, 8].

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019 / On propose dans cette thèse une modélisation des réseaux sociaux par des processus aléatoires à valeurs mesures. Notre démarche se base sur une approche par espace latent. Cette dernière a été utilisée dans la littérature dans le but de décrire des interactions non-observées ou latentes dans la dynamique des réseaux complexes. On caractérise les individus du réseau par des mesures de Dirac représentant leurs positions dans l’espace latent. On obtient ainsi une caractérisation du réseau en temps continu par un processus de Markov à valeurs mesures écrit comme la somme des mesures de Dirac représentant les individus. On associe au réseau trois événements aléatoires simples décrivant les arrivées et les départs d’individus suivant des horloges exponentielles en associant chaque événement à une mesure aléatoire de Poisson. Cette thèse est composée essentiellement d’un premier chapitre réservé à l’état de l’art de la littérature de la modélisation des réseaux complexes suivi d’un second chapitre introductif aux processus aléatoires à valeurs mesures. Le 3-ème et 4-ème chapitres sont constitués de deux articles co-écrits avec mon directeur de thèse, Khader Khadraoui, et sont soumis pour publication dans des journaux. Le premier article, inclus dans le chapitre 3, se compose essentiellement de la description détaillée du modèle proposé ainsi que d’une procédure de Monte Carlo permettant de générer aléatoirement des réalisations du modèle, suivi d’une analyse des propriétés théoriques du processus aléatoire à valeurs mesures sous-jacent. On explicitera notamment le générateur infinitésimal du processus de Markov qui caractérise le réseau. On s’intéressera également aux propriétés de survie et d’extinction du réseau puis on proposera une analyse asymptotique dans laquelle on démontrera, en utilisant des techniques de renormalisation, la convergence faible du processus vers une mesure déterministe solution d’un système intégro-différentiel. On terminera l’article par une étude numérique démontrant par des simulations les principales propriétés obtenues avec notre modèle. Dans le second article, inclus dans le chapitre 4, on reformule notre modèle du point de vue des graphes géométriques aléatoires. Une introduction aux graphes géométriques aléatoires est d’ailleurs proposée au chapitre 1 de cette thèse. Le but de notre démarche est d’étudier les propriétés de connectivité du réseau. Ces problématiques sont largement étudiées dans la littérature des graphes géométriques aléatoires et représentent un intérêt théorique et pratique considérable. L’idée proposée est de considérer notre modèle comme un graphe géométrique aléatoire où l’espace latent représente l’espace sous-jacent et la distribution sous-jacente est celle donnée par le processus génératif du réseau. À partir de là, la question de la connectivité du graphe se pose naturellement. En particulier, on s’intéressera à la distribution des sommets isolés, i.e. d’avoir des membres sans connexion dans le réseau. Pour cela, on pose l’hypothèse supplémentaire que chaque individu dans le graphe peut être actif ou non actif suivant une loi de Bernoulli. On démontrera alors que pour certaines valeurs du seuil de connectivité, le nombre d’individus isolés suit asymptotiquement une loi de Poisson. Aussi, la question de la détection de communautés (clustering) dans leréseau est traitée en fonction du seuil de connectivité établi. Nous terminons cette thèse par une conclusion dans laquelle on discute de la pertinence des approches proposées ainsi que des perspectives que peut offrir notre démarche. En particulier, on donne des éléments permettant de généraliser notre démarche à une classe plus large de réseaux complexes.La fin du document est consacrée aux références bibliographiques utilisées tout au long de ce travail ainsi qu’à des annexes dans lesquelles le lecteur pourra trouver des rappels utiles. / This thesis concerns the stochastic modelling of complex networks. In particular, weintroduce a new social network model based on a measure-valued stochastic processes. Individuals in the network are characterized by Dirac measures representing their positions in a virtual latent space of affinities. A continuous time network characterizationis obtained by defining an atomic measure-valued Markov process as the sum of some Dirac measures. We endow the network with a basic dynamic describing the random events of arrivals and departures following Poisson point measures. This thesis is essentially consists of a first introductory chapter to the studied problems of complex networks modelling followed by a second chapter where we present an introduction to the theory of measure-valued stochastic processes. The chapters 3 and 4 are essentially composed of two articles co-written with my thesis advisor, Khader Khadraoui and submitted to journals for publication. The first article, included in chapter 3, mainly concerns the detailed description of the proposed model and a Monte Carlo procedure allowing one to generate synthetic networks. Moreover, analysis of the principal theoretical properties of the models is proposed. In particular, the infinitesimal generator of the Markov process which characterizes the network is established. We also study the survival and extinction properties of the network. Therefore, we propose an asymptotic analysis in which we demonstrate, using a renormalization technique, the weak convergence of the network process towards a deterministic measure solution of an integro-differential system. The article is completed by a numerical study. In the second article, included in chapter 4, we reformulate our model from the point of view of random geometric graphs. An introduction to random geometric graphs framework is proposed in chapter 1. The purpose of our approach is to study the connectivity properties of the network. These issues are widely studied in the literature of random geometric graphs and represent a considerable theoretical and practical interest. The proposed idea is to consider the model as a random geometric graph where the latent space represents the underlying space and the underlying distribution is given by the generative process of the network. Therefore, the question of the connectivity of the graph arises naturally. In particular, we focus on the distribution of isolated vertices, i.e. the members with no connections in the network. To this end, we make the additional hypothesis that each individual in the network can be active or not according to a Bernoulli distribution. We then show that for some values of the connectivity threshold, the number of isolated individuals follows a Poisson distribution. In addition, the question of clustering in the network is discussed and illustrated numerically. We conclude this thesis with a conclusion and perspectives chapter in which we discuss the relevance of the proposed approaches as well as the offered perspectives.The end of the thesis is devoted to the bibliographical references used throughout this work as well as appendices in which the reader can find useful reminders.

Lorsqu'on s'intéresse aux processus lents dans l'océan et dans l'atmosphère, il est important de calculer avec une grande précision les modes lents de Rossby. Dans cette thèse, la méthode semi-lagrangienne est combinée à la méthode des éléments finis pour simuler les ondes de Rossby lentes en modélisation océanographique. Ces ondes sont modélisées par les équations hyperboliques de Saint-Venant, étudié dans cette thèse, et obtenue à partir des équations de Navier Stokes. L'application de la méthode semi-lagrangienne conduit à un problème d'interpolation. Dans cette thèse, nous construisons des schémas d'interpolation d'ordre élevé pour traiter les opérateurs d'advection. Pour pouvoir obtenir de tels schémas, nous avons choisi de faire appel aux éléments finis de classe C1 . Nous nous limitons à l'élément fini de Bell et à la famille d'éléments finis de Hseih-Clough-Tocher, réduit et complet. Des tests numériques sont effectués pour l'équation d'advection linéaire bidimensionelle afin de mesurer le gain apporté par les interpolants C1 . Différentes approches sont proposées pour réinterpoler au pied d'une caractéristique. Une étude théorique de l'analyse de la stabilité et de la précision de ces approches est faite dans le cas de l'équation de transport unidimensionelle. Une comparaison des différentes méthodes de calcul au pied des caractéristiques est également faite à travers des essais numériques. Après avoir validé la construction des interpolants C1 et les différentes approches de remontée des caractéristiques sur des problèmes linéaires simples, nous nous attaquons aux cas non linéaires. Cette fois-ci les domaines de calcul sont complexes et réalistes, le golfe du Mexique en est une illustration. Nous avons choisi deux types d'éléments finis pour résoudre les équa tions de Saint-Venant non linéaires : les paires d'éléments finis P2 — -Pi1 et P1nc — P1. Des simulations numériques faites avec ces deux types d'approximation permettent de bien représenter les ondes de Rossby à un coût de calcul relativement faible et sans l'emploi de la viscosité artificielle.

Le but de ce mémoire est de présenter une généralisation des algorithmes Zipper et Géodésique, dans les cas de calculs d'applications conformes entre deux domaines doublement connexes. Nous aurons donc besoin dans un premier temps, de connaître les domaines doublement connexes et de classifier les domaines multiplement connexes de référence, ainsi que les applications analytiques permettant de s'y ramener. On définira brièvement, par la suite, les notions de capacité et de capacité hyperbolique. Ceci nous permettra d'énoncer un théorème de représentation conforme en connectivité 2. Nous travaillerons ensuite sur les revêtements universels des domaines considérés, de sorte à pouvoir récupérer les algorithmes existants dans le cas simplement connexe, et principalement, les algorithmes Zipper et Géodésique.