Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2013-2014. / Cette thèse s’inscrit dans la recherche d’une preuve modulaire du Z ∗-théorème pour p impair, dont la seule démonstration connue repose sur la classification des groupes finis simples. Soit O une extension assez grande de l’anneau p-adique Zp, et k son corps résiduel. Soit G un groupe fini, e un bloc de l’algèbre OG et H = CG(P ) le centralisateur d’un p-sous-groupe de G. Si le sous-groupe H contrôle la fusion du bloc e en un sens très fort, nous prouvons l’existence d’une équivalence stable de type Morita entre le bloc e et un bloc f de l’algèbre OH , sous réserve qu’un groupe de défaut du bloc e soit abélien ou que son centre ne soit pas cyclique. Nous étendons ainsi un résultat déjà connu pour le bloc principal. Pour construire le bimodule qui induit cette équivalence stable, nous sommes amené à étudier les modules sur une algèbre de bloc OGe qui possèdent une source d’endopermutation fusion-stable, et que nous appelons des modules «Brauer-compa- tibles». Nous montrons en particulier comment la construction «slash» de Dade peut être appliquée à ces modules, et comment cette construction peut être rendue fonctorielle si on la restreint à une sous-catégorie «Brauer-compatible» de la caté- gorie des OGe-modules. Nous prouvons qu’un OGe-module indécomposable Brauer- compatible est caractérisé par une sous-paire vortex (Q, eQ), un module source V , et un module projectif indécomposable sur l’algèbre de bloc locale k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q associée à la sous-paire (Q, eQ). Nous donnons ainsi une formulation fonctorielle de la correspondance de Puig pour les modules Brauer-compatibles. / This thesis is related to the pursuit of a modular proof of the odd Z ∗-theorem, while the only known proof of that theorem relies on the classification of finite simple groups. Let O be a big enough extension of the p-adic ring Zp, and k be its residue field. Let G be a finite group, e be a block of the algebra OG, and H = CG(P ) be the centraliser of a p-subgroup of G. If the subgroup H controls the fusion of the block e in a very strong sense, we prove the existence of a stable equivalence of Morita type between the block e and a block f of the algebra OH , provided that a defect group of the block e is abelian or has a noncyclic center. This extends a result previously known for the principal block. In order to construct the bimodule that induces this stable equivalence, we are led to study the class of modules over a block algebra OGe that admit a fusion-stable endopermutation source. We call them “Brauer-friendly” modules. In particular, we show that Dade’s “slash” construction applies to these modules, and that this construction can be turned into a functor over a “Brauer-friendly” subcategory of the category of OGe-modules. We prove that an indecomposable Brauer-friendly module is characterised by a vertex subpair (Q, eQ), a source module V , and a projective indecomposable module over the local block algebra k[NG(Q, eQ)/Q]e¯Q attached to the subpair (Q, eQ). This provides a functorial version of the Puig correspondence for Brauer-friendly modules.

Le présent document est un compte-rendu de quatre présentations que j'ai faites au congrès de Théorie des Nombres Québec-Maine entre 2013 et 2016. Au fil des ans, j'ai effectué quelques améliorations et corrections aux documents originaux. Le contenu, l'esprit et l'organisation sont restés essentiellement inchangés. Les quatre sujets sont fondamentalement distincts tout en étant dans un même cercle d'idées. Le premier chapitre traite d'un certain nombre de sujets en relation avec le comportement moyen de certaines fonctions multiplicatives, dans un ensemble bien précis, qui partagent plusieurs propriétés avec la fonction indicatrice des nombres libres de puissance k-ième. En particulier, on y établit plusieurs estimations de la variance dans des intervalles courts et dans des progressions arithmétiques. Le deuxième chapitre étudie un problème du crible combinatoire. Il y est question d'établir une majoration analogue à la célèbre inégalité de Brun-Titchmarsh, mais pour les nombres libres de puissance k-ième. Après quelques remarques élémentaires, on établit une nouvelle inégalité en supposant une conjecture forte en lien avec la densité maximale d'une suite de nombres ayant un diviseur de la forme pk 1pk 2 où p1 et p2 sont des nombres premiers qui satisfont certaines conditions. La méthode fournit aussi une majoration effective pour le nombre de nombres libres de puissance k-ième dans un intervalle [x + 1, x + h] lorsque h est petit par rapport à x. Le troisième chapitre, écrit en collaboration avec Jean-Marie De Koninck, établit des inégalités particulières pour la fonction τ(n) qui compte le nombre de diviseurs de n. L'objectif est d'obtenir une majoration de τ(n) qui ne dépend pas des facteurs premiers de n, mais seulement du nombre de facteurs premiers distincts de n et de son ordre de grandeur, i.e. de log n. L'inégalité principale (Théorèmes 3.4 et 3.5) a nécessité un bon volume de calcul sur ordinateur, et donc beaucoup de programmation avec Maple. Finalement, le Chapitre 4 est le début d'une étude du nombre de points entiers près d'une courbe dans l'espace R3. Le problème peut aussi être vu comme celui du nombre de points entiers près de deux courbes dans le plan Euclidien simultanément. L'objectif principal est d'utiliser l'information des deux courbes de façon nontriviale, soit de faire mieux que les meilleurs résultats connus pour une seule courbe. Étant donné la complexité du problème déjà en deux dimensions et du nombre de méthodes disponibles, il nous a semblé impossible de faire un traitement complet de la question. On s'est donc concentré sur une méthode qui utilise des approximations linéaires. Cette dernière peut sans doute être substantiellement améliorée. / Résumé en anglais / Théorie analytique des nombres

La théorie du risque consiste en l'étude de modèles décrivant le processus de surplus d 'une compagnie d 'assurance. L'évaluation de différentes mesures de ruine dans le cadre de ces modèles permet d'obtenir une idée générale de la santé financière de la compagnie d'assurance et du risque assumé par celle-ci. Le modèle classique de risque pour décrire les arrivées et les coûts des sinistres est le modèle Poisson composé. Ce modèle est basé sur une hypothèse d 'indépendance entre le montant des sinistres et le temps écoulé entre chacun. Cette hypothèse facilite le calcul des mesures de ruine mais peut s'avérer trop restrictive dans différents contextes. L'objectif principal de cette thèse est l'étude d'extensions du modèle classique dans lesquelles sont introduites une structure de dépendance entre la sévérité et la fréquence des sinistres. La copule de Farlie-Gumbel-Morgenstern et une extension de cette copule sont utilisées pour définir cette structure. En raison de la forme et de la flexibilité de ces copules, il est possible d'adapter les outils développés récemment en théorie du risque dans l'évaluation et l'analyse des mesures de ruine. La fonction de Gerber-Shiu et certains cas particuliers de cette fonction , comme la transformée de Laplace du temps de la ruine et l'espérance de la valeur actualisée du déficit à la ruine sont étudiées dans le cadre de ces extensions. On s'intéresse également à l'évolution du processus de surplus en présence d'une barrière horizontale. Les mesures de ruine citées plus haut, ainsi que le montant total actualisé des dividendes distribués sont évaluées. / [Copule de Farlie-Gumbel-Morgenstern ; Modèle Poisson composé]

La confidentialité des données est devenue primordiale en statistique. Une méthode souvent utilisée pour diminuer le risque de réidentification est la génération de jeux de données partiellement synthétiques. On explique le concept de jeux de données synthétiques, et on décrit une méthode basée sur les forêts aléatoires pour traiter les variables catégoriques. On s’intéresse à la formule qui permet de faire de l’inférence avec plusieurs jeux synthétiques. On montre que l’ordre des variables à synthétiser a un impact sur l’estimation de la variance des estimateurs. On propose une variante de l’algorithme inspirée du concept de confidentialité différentielle. On montre que dans ce cas, on ne peut estimer adéquatement ni un coefficient de régression, ni sa variance. On montre l’impact de l’utilisation de jeux synthétiques sur des modèles d’équations structurelles. On conclut que les jeux synthétiques ne changent pratiquement pas les coefficients entre les variables latentes et les variables mesurées. / Confidential data are very common in statistics nowadays. One way to treat them is to create partially synthetic datasets for data sharing. We will present an algorithm based on random forest to generate such datasets for categorical variables. We are interested by the formula used to make inference from multiple synthetic dataset. We show that the order of the synthesis has an impact on the estimation of the variance with the formula. We propose a variant of the algorithm inspired by differential privacy, and show that we are then not able to estimate a regression coefficient nor its variance. We show the impact of synthetic datasets on structural equations modeling. One conclusion is that the synthetic dataset does not really affect the coefficients between latent variables and measured variables.

En géométrie spectrale, on s’intéresse aux liens entre le spectre d’une variété riemannienne et sa géométrie. On recherche notamment des bornes supérieures et inférieures pour les va-leurs propres qui font intervenir des quantités géométriques, comme l’aire et le périmètre. On se questionne aussi sur l’isospectralité : Quelles sont les variétés riemanniennes non iso-métriques qui possèdent le même spectre ? Au cours des dernières années, le problème de Steklov, problème introduit au tout début du 20e siècle en mécanique des fluides, a suscité l’intérêt de plusieurs mathématiciens. Le but de ce mémoire est de donner une banque de variétés riemanniennes Steklov-isospectrales. On y présente aussi une preuve d’une borne supérieure pour la première valeur propre de Steklov pour un domaine borné du plan, sans hypothèse sur sa connexité. / In spectral geometry, we are interested in the links between the spectrum of a Riemannian manifold and its geometry. We are looking for geometric upper and lower bounds for the eigenvalues. These bounds are geometric, for they involve geometric quantities such as area and perimeter. Isospectrality is also a subject of interest in spectral geometry: What are thenon isometric Riemannian manifolds that share the same spectrum? In the last few years, the Steklov problem, introduced in the beginning of the 20th century in fluid mechanics, raised the interest of many mathematicians. In this memoir, we present a bank of Steklov-isospectral Riemannian manifolds. We also give a proof of an upper bound for the first Steklov eigenvalue for a bounded domain of the plane without any connectedness assumption.

Ce mémoire traite de la théorie des représentations d’une certaine classe d’algèbres de Lie de dimension infinie, les algèbres de courants tordues. L’objet du travail est d’obtenir une classification des blocs d’extensions d’une catégorie de modules de dimension finie pour une algèbre de courants tordue donnée. Les principales sources de cette étude sont les récentes classifications des modules simples de dimension finie pour ces algèbres et des blocs d’extensions pour les modules de dimension finie dans le cas des algèbres d’applications équivariantes. Ces algèbres de courants tordues comprennent entre autres les familles d’algèbres de Lie des formes tordues et des algèbres d’applications équivariantes, donc aussi les incontournables généralisations multilacets, tordues ou non, de la théorie de Kac-Moody affine. / This master’s thesis is about the representation theory of a certain class of infinite dimensional Lie algebras, the twisted current algebras. The object of this work is to obtain a classification of the extension blocks of the category of finite dimensional modules for a given twisted current algebra. The principal motivations for this study are the recent classifications of simple finite dimensional modules for these algebras and of the extension blocks of the category of finite dimensional modules in the case of equivariant map algebras. The class of twisted current algebras includes, amongst others, the families of Lie algebras of twisted forms and equivariant map algebras, therefore the key multiloop generalisations, twisted or not, of the affine Kac-Moody setting.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016 / La théorie de la ruine est un des domaines des sciences actuarielles où la complexité mathématique est un facteur limitant les chercheurs. Dans ce mémoire, on s'intéresse donc à des méthodes numériques permettant d'approximer différentes quantités d'intérêt. Cependant, avant d'aborder le coeur du sujet, on fournit une revue de la littérature concernant la théorie de la ruine et on étudie certaines mesures de ruine en temps infini pour des modèles de risque où il y a dépendance entre les temps inter-sinistres et les montants de sinistre. On présente aussi les bases mathématiques nécessaires à la compréhension de ce mémoire pour toute personne ayant des connaissances de bases en science actuarielle et en statistiques. Puis, le c÷ur de ce travail, l'évaluation numérique de mesures de ruine à l'aide de trois méthodes numériques basées sur la simulation, respectivement (1) la méthode de Monte Carlo simple, (2) la méthode basée sur l'expression exacte de Gerber pour la probabilité de ruine, et (3) la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel. Nous discuterons également de la qualité respective de chaque méthode. En particulier, nous montrerons que la méthode basée sur l'échantillonnage préférentiel fournit des résultats sans biais et avec une erreur relative bornée. On présentera aussi plusieurs illustrations numériques. / Ruin theory is a field in actuarial science where researchers are often impeded by mathematical complexity. In this thesis, we look at some numerical methods that can be used to alleviate this problem. Before getting to the core of this work, we provide a review of the litterature concerning ruin theory and we study some infinite-time ruin measures within risk models assuming dependence between interclaim times and claim amounts. We also present the mathematical background necessary to understand this memoir for anyone with a basic understanding of actuarial science and statistics. The main focus of this work is the computation of ruin measures via three different methods based on simulations, namely (1) the crude Monte Carlo method, (2) a variant of the previous method based on Gerber's exact expression for the ruin probability, and (3) the importance sampling method based on change of measure techniques. Another topic that is discussed is the quality of the approximation of each method. In particular, we show that the importance sampling method provides unbiased approximations for the Gerber-Shiu function and bounded relative errors. We also present numerous numerical illustrations.

En 2008, Losert [3] résout le fameux problème de dérivation, resté ouvert depuis les années 1960. Le raisonnement de Losert s'articule autour d'un résultat central pour lequel Bader, Gelander et Monod [1] arrivent à trouver une courte preuve en 2012. Celle-ci découle d'un nouveau théorème de point fixe qui, outre son rôle dans la résolution du problème de dérivation, est intéressant en soi car il ne fait intervenir que les propriétés géométriques de l'espace ambiant, et non un argument de compacité ou un quelconque principe de contraction. Le présent mémoire donne une démonstration détaillée de ce nouveau théorème, tout en rappelant préalablement les bases topologiques et algébriques sur lesquelles il repose.

La notion de dérivée hyperbolique est bien connue en théorie géométrique des fonctions et s'applique aux fonctions appartenant à la classe, dite de Schur, des fonctions / qui sont analytiques dans le disque unité ED := {z : \z\ < 1} et telles que \f(z)\ < 1 pour tout 2 _D. Une fonction appartenant à cette classe est appelée une fonction de Schur. Le but principal de cette thèse est de présenter une nouvelle théorie, celle des dérivées hyperboliques d'ordre supérieur d'une fonction de Schur. Dans ce nouveau contexte, la dérivée hyperbolique précédente est maintenant considérée comme la dérivée hyperbolique d'ordre un. Différentes applications de ces nouvelles dérivées seront explorées et nous aborderons, notamment, des problèmes d'interpolation : étant donnés des points distincts dans le disque unité, on veut déterminer les fonctions de Schur qui font correspondre ces points vers des points images aussi donnés, tout en ayant des dérivées prescrites aux points initiaux. Nous nous intéresserons à ces problèmes d'interpolation exprimés en termes des dérivées hyperboliques plutôt qu'en termes des dérivées classiques. De plus, certains résultats classiques de l'analyse complexe seront considérés dans le contexte des dérivées hyperboliques. D'une part, cela permettra de les généraliser dans certains cas et, d'autre part, d'interpréter certains d'entre eux en vertu des dérivées hyperboliques, fournissant ainsi des démonstrations plus géométriques de ces résultats. En particulier, une version du théorème de Schwarz-Pick sera donnée pour les dérivées hyperboliques d'ordre supérieur et également une version analogue du lemme de Dieudonné. Finalement, le cas du lemme de Rogosinski sera aussi traité et nous en donnerons une démonstration différente en utilisant les nouveaux outils développés dans cette thèse.

Cette thèse contribue au développement de l'estimation non paramétrique de la fonction de survie conditionnelle étant donné une covariable continue avec données censurées. Elle est basée sur trois articles écrits avec mon directeur de thèse, le professeur Thierry Duchesne. Le premier article, intitulé "Une généralisation de l'estimateur de Turnbull pour l'estimation non paramétrique de la fonction de survie conditionnelle avec données censurées par intervalle, " a été publié en 2011 dans Lifetime Data Analysis, vol. 17, pp. 234 - 255. Le deuxième article, intitulé "Sur la performance de certains estimateurs nonparamétriques de la fonction de survie conditionnelle avec données censurées par intervalle, " est parru en 2011 dans la revue Computational Statistics & Data Analysis, vol. 55, pp. 3355-3364. Le troisième article, intitulé "Estimation de la fonction de survie conditionnelle d'un temps de défaillance étant donné une covariable variant dans le temps avec observations censurées par intervalles", sera bientôt soumis à la revue Statistica Sinica.