Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs de composition sur les espaces modèles. Soit φ une fonction analytique du disque unité dans lui même et soit θ une fonction intérieure, c'est à dire une fonction holomorphe et bornée par 1 dont les limites radiales sur le cercle sont de module 1 presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue. A cette fonction θ, on associe l'espace modèle Kθ, défini comme l'ensemble des fonctions f ∈ H2 qui sont orthogonales au sous-espace θH2. Ici H2 est l'espace de Hardy du disque unité. Ces sous-espaces sont importants en théorie des opérateurs car ils servent à modéliser une large classe de contractions sur un espace de Hilbert. Le premier problème auquel nous nous intéressons concerne la compacité d'un opérateur de composition Cφ vu comme opérateur de Kθ dans H2. Récemment, Lyubarskii et Malinnikova ont obtenu un joli critère de compacité pour ces opérateurs qui fait intervenir la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole φ. Ce critère généralise le critère classique de Shapiro. Dans une première partie de la thèse, nous généralisons ce résultat de Lyubarskii-Malinnikova à une classe plus générale de sous-espaces, à savoir les espaces de de Branges-Rovnyak ou certains de leurs sous-espaces. Les techniques utilisées sont en particulier des inégalités fines de type Bernstein pour ces espaces. Le deuxième problème auquel nous nous intéressons dans cette thèse concerne l'invariance de Kθ sous l'action de Cφ. Ce problème nous amène à considérer une structure de groupe sur le disque unité du plan complexe via les automorphismes qui fixent le point 1. A travers cette action de groupe, chaque point du disque produit une classe d'équivalence qui se trouve être une suite de Blaschke. On montre alors que les produits de Blaschke correspondants sont des solutions "minimales" d'une équation fonctionnelle ψ∘φ=λψ , où λ est une constante unimodulaire et φ un automorphisme du disque unité. Ces résultats sont ensuite appliqués au problème d'invariance d'un espace modèle par un opérateur de composition. / This thesis concerns the study of composition operators on model spaces. Let φ be an analytic function on the unit disc into itself and let θ be an inner function, that is a holomorphic function bounded by 1 such that the radial limits on the unit circle are of modulus 1 almost everywhere with respect to Lebesgue measure. With this function θ, we associate the model space Kθ, defined as the set of functions f ∈ H2, which are orthogonal to the subspace θH2. Here, H2 is the Hardy space on the unit disc. These subspaces are important in operator theory because they are used to model a large class of contractions on Hilbert space. The first problem which we are interested in concerns the compactness of the composition operator Cφ as an operator on H2 into H2. Recently, Lyubarskii and Malinnikova have obtained a nice criterion for the compactness of these operators which is related to the Nevanlinna counting function. This criterion generalizes the classical criterion of Shapiro. In the first part of the thesis, we generalize this result of Lyubarskii-Malinnikova to a more general class of subspaces, known as de Branges-Rovnyak spaces or some subspaces of them. The techniques that are used are particular Bernstein type inequalities of these spaces. The second problem in which we are interested in this thesis concerns the invariance of Kθ under Cφ. We present a group structure on the unit disc via the automorphisms which fix the point 1. Then, through the induced group action, each point of the unit disc produces an equivalence class which turns out to be a Blaschke sequence. Moreover, the corresponding Blaschke products are minimal solutions of the functional equation ψ∘φ=λψ , where λ is a unimodular constant and φ is an automorphism of the unit disc. These results are applied in the invariance problem of the model spaces by the composition operator.

Les polynômes orthogonaux sont introduits par la théorie de Sturm-Liouville, puis les équivalences existantes entre leurs définitions classiques sont montrées. Certains résultats de base de la théorie sont ensuite décortiqués. On termine en introduisant des résultats préliminaires de la théorie analytique des polynômes, qui étudie les liens entre les coefficients d'un polynôme, ses zéros et ses points critiques.

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Dans ce mémoire nous définissons la fonction de profondeur de Tukey d’une mesure positive et finie sur Rd. Par la suite nous étudions les propriétés de cette fonction, notamment les propriétés de continuité et de convexité. Notre objectif est d’établir une caractérisation d’une mesure par sa fonction de profondeur. Plus précisément, étant donné μ et v deux mesures de Borel positives et finies sur Rd, a-t-on μ = v si μ et v ont la même fonction de profondeur? En utilisant des propriétés de la fonction de profondeur, nous établissons une caractérisation lorsque la mesure satisfait certaines propriétés géométriques. Par la suite, nous présentons quelques approches afin de calculer la fonction de profondeur d’une mesure. Enfin nous prouvons le théorème de caractérisation d’une mesure discrète par sa fonction de profondeur de Tukey. / In this memoir we define the Tukey depth function of a positive finite measure on Rd. Then we study the properties of this function, in particular the properties of continuity and convexity. We seek to establish a characterization of a measure by its depth function. That is, given μ, v finite positive measures on Rd, do we have μ = v if μ and v have the same Tukey depth function? We use the properties of the depth function to establish such a characterization when the measure satisfies certain geometric properties. Then we exhibit some approaches for computing the Tukey depth function. Finally we prove the theorem of characterisation of a discrete measure by its Tukey depth function.

En mettant à profit le lien étroit entre la théorie des nombres ordinaux et la cardinalité des ensembles bien ordonnables, on présente l’arithmétique des N puis, en exploitant l’astuce de Scott, on expose la théorie des nombres cardinaux en toute généralité. Enfin, on énonce l’hypothèse du continu. Une fois cette mise en contexte effectuée, on se tourne vers les résultats exclusifs aux théories des ensembles ZF et ZFC, toutes deux enrichies de l’hypothèse du continu. On démontre d’abord que l’hypothèse du continu permet d’établir un principe de dualité entres les notions de mesure et de catégorie au sens de Baire. Puis, on observe comment des ensembles aux propriétés topologiques particulières - obtenus en supposant l’hypothèse du continu - apportent un éclairage différent sur des thèmes à saveur analytique comme le théorème d’Egoroff, le théorème de Fréchet de suite double et le problème de la mesure généralisée.

En statistique directionnelle, on utilise trois types de régression : des modèles angle-linéaire, linéaire-angle et angle-angle, selon la nature des données. Ainsi, si la variable explicative et la variable réponse sont des angles, la régression angle-angle permet d’expliquer la relation entre ces variables. Plusieurs modèles de régression ont été développés en statistique directionnelle. Trois d’entre eux font l’objet de ce mémoire : le prédicteur décentré de Rivest (1997), le modèle de Möbius de Downs & Mardia (2002) et la régression non paramétrique de Di Marzio et al. (2012). Des méthodes d’estimation sont mises de l’avant pour les paramètres de chacun de ces modèles. On compare les modèles entre eux à l’aide de simulations et d’exemples utilisant des données réelles. / For the analysis of directional data, there are three types of regression models: angular-linear, linear-angular and angular-angular. The type of regression depends on the nature of the data. Hence, if the explanatory variable and the response variable are angles, the angular-angular regression model can explain the relationship between these variables. Several models have been developed for this purpose and in this paper, three of these directional models are discussed: the decentred predictor of Rivest (1997), the Mobius model Downs & Mardia (2002) and the nonparametric regression of Di Marzio et al. (2012). Estimation procedures are highlighted for the parameters of each of these models. We compare the models together with simulations and examples using real data.

En 1987, Ingrid Daubechies a construit une famille d'ondelettes qui en plus d'être lisses, orthogonales et à coefficients réels, étaient à support compact. Pour un support donné, cette famille d'ondelettes avait même un nombre maximal de moments nuls. Ce sont ce que nous appelons aujourd'hui les ondelettes de Daubechies. Dans ce mémoire, nous nous proposons de définir les ondelettes pères et mères et de les caractériser. Nous donnerons aussi le cadre dans lequel les ondelettes de Daubechies vivent pour ensuite arriver à un système d'équations permettant de trouver leurs coefficients. Nous résolverons ce système d'équations numériquement par la méthode de Newton pour les ondelettes d'ordre N = 2 à N = 10. Finalement, nous résolverons analytiquement pour les coefficients des ondelettes d'ordre N = 1 à N = 5 et nous ferons quelques remarques à propos de l'impossibilité de le faire pour N ? 6. / [Ondelettes de Daubechies]

L'évolution et le succès qu'a connu Internet les dernières années a profondément marqué le domaine du génie logiciel et plus particulièrement des aspects tels que la conception, l'implémentation et l'exploitation de systèmes distribués. Cette ouverture qu'offre la toile aux systèmes brave les limites architecturales et géographiques pour permettre une interconnexion permanente des utilisateurs. Cependant, ce flux de communication et de code mobile comporte des risques de sécurité qui vont à l'encontre des politiques des entreprises concernées par ces échanges. Étant données la multitude et la diversité des intervenants, des mesures préventives s'imposent pour remédier à cette faille sécuritaire. Ce mémoire s'inscrit dans le cadre d'une contribution à cet effort, par la voie de la certification. En effet, le potentiel de l'approche proposée émerge de la synthèse des techniques fondamentales de ce domaine, qui sont le code incorporant une preuve (PCC), le langage assembleur typé (TAL) et le code incorporant un modèle (MCC). Toujours dans l'optique de renforcer la relation de confiance entre le producteur et le consommateur, et au-delà de la vérification du respect du code envers une politique de sécurité, notre projet qui s'intitule ±code incorporant un modèle certifié¿ (CMCC) couvre en plus des aspects pratiques jusque là souvent délaissés par les concepteurs.

Les méthodes de type mortier, introduites en 1987 par Bernardi, Maday et Patera, font partie de la grande famille des méthodes par décomposition de domaine. Combinées à la méthode des éléments finis, elles consistent à construire une discrétisation non conforme des espaces fonctionnels du ou des problèmes étudiés. Les trente dernières années de recherche portant sur ces méthodes ont permis d'acquérir des connaissances solides tant au point de vue théorique que pratique. Aujourd'hui, elles sont naturellement utilisées pour résoudre des problèmes d'une grande complexité. Comme applications, nous pouvons simplement penser à des problèmes de contact entre divers solides, à des problèmes d'interaction fluide-structure ou à des problèmes impliquant des mécanismes en mouvement tel des engrenages ou des alternateurs. Cette thèse de doctorat a pour objectif d'expliquer en détail la construction des méthodes de type mortier et de développer des algorithmes adaptés à la résolution des systèmes ainsi créés. Nous avons décidé d'employer l'algorithme du GCR (Generalized Conjugate Residual method) comme solveur de base pour nos calculs. Nous appliquons d'abord une factorisation du système linéaire global grâce à son écriture naturelle en sous-blocs. Cette factorisation génère un système utilisant un complément de Schur qu'il faut résoudre. C'est sur ce sous-système que nous employons l'algorithme du GCR. Le complément de Schur est préconditionné par une matrice masse redimensionnée, mais il est nécessaire de modifier l'algorithme du GCR pour obtenir des résultats théoriques intéressants. Nous montrons que la convergence de ce solveur modifié est indépendante du nombre de sous-domaines impliqués ainsi que de ses diverses composantes physiques. Nous montrons de plus que le solveur ne dépend que légèrement de la taille des éléments d'interface. Nous proposons une solution élégante dans le cas de sous-domaines dits flottants. Cette solution ne requiert pas la modification du solveur décrit plus haut. Des tests numériques ont été effectués pour montrer l'efficacité de la méthode du GCR modifiée dans divers cas. Par exemple, nous étudions des problèmes possédant plusieurs échelles au niveau de la discrétisation et des paramètres physiques. Nous montrons aussi que ce solveur a une accélération importante lorsqu'il est employé en parallèle. / The mortar methods, introduced in 1987 by Bernadi, Maday and Patera, are part of the large family of domain decomposition methods. Combined to the finite element method, they consist in constructing a nonconforming discretization of the functional space of the problem under consideration. The last thirty years of research about these methods has provided a solid knowledge from a theoretical and practical point of view. Today, they are naturally used to solve problems of great complexity such as contact problems between deformable solids, fluid-structure interaction problems or moving mechanisms problems like gears and alternators. The aim of this thesis is to explain in details the principles of mortar methods and to develop adapted algorithms to solve the generated linear systems. We use the GCR algorithm (Generalized Conjugate Residual method) as our basic solver in our computations. We first apply a factorization of the global linear system using the natural sub-block structure of the matrix. This factorization generates a system using a Schur complement. It is on this sub-system that we use the GCR algorithm. The Schur complement is preconditioned by a rescaled mass matrix, but it is necessary to slightly modify the GCR algorithm to obtain theorical results. We show that the convergence of this modified solver is independent of the number of subdomains involved and of the diverse physical parameters. We also show that the solver slightly depends on the size of the interface mesh. We present a strategy to take care of the so called floating subdomains. The proposed solution does not require any modification to the solver. Numerical tests have been performed to show the efficiency of the modified GCR method in various cases. We consider problems with several discretization and physical parameter scales. We finally show that the solver presents an important speedup in parallel implementation.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Dans la première partie, nous étudions le comportement au bord des fonctions dans les espaces de Dirichlet pondérés D(u). Une fonction analytique f sur le disque unité appartient à D(u) si le carré du module de sa dérivée est integrable par rapport à la mesure Pu dA, où Pu est l'intégrale de Poisson de la mesure positive u et dA est la mesure d'aire sur le disque unité. Pour étudier ces fonctions, nous introduisons une capacité cu qui généralise la capacité logarithmique. Nous prouvons que cu est une capacité au sens de Choquet. Nous montrons que les fonctions de D(u) sont quasi-continues par rapport à la capacité cu, permettant de définir une fonction f(ei0) sur le cercle unité à un ensemble de cu capacité nulle près. À l'aide de cette fonction, nous pouvons étudier les sous-espaces invariants pour l'opérateur shift sur D(u). Dans le cas où u est une somme finie de mesures de Dirac, nous donnons une description complète des sous-espaces invariants. Dans la deuxième partie, nous étudions les espaces de de Branges-Rovnyak H(b) lorsque b est un point non extrême de la boule unité de H°°. Lorsque u est une mesure de Dirac, l'espace D(u) coïncide avec un tel espace, avec égalité des normes. Nous prouvons que c'est le seul cas possible. Nous étudions ensuite la relation qui existe entre les espaces de Dirichlet et les espaces de de Branges-Rovnyak. Nous prouvons une formule de transfert permettant d'exprimer la norme dans 1i(b) comme une intégrale de Dirichlet. Nous montrons aussi une formule pour la norme dans H (b) analogue à une formule donnée par Shimorin pour l'intégrale de Dirichlet locale. Finalement, nous étudions la validité de l'approximation fr(z) = f(rz) ?¿ f(z) lorsque r ?¿ 1- dans H(b).