Pour une fonction additive f et une fonction multiplicative g , soit E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . Dans cette thèse, nous améliorons le résultat de De Koninck, Doyon et Letendre relatif à l’ordre de grandeur de E ( ω, g ; x ) et E (Ω , g ; x ) . Nous obtenons aussi des résultats généralisant l’inégalité d’Hardy-Ramanujan et le théorème de Landau. De plus, nous appliquons la méthode de Selberg-Delange de façon à obtenir une formule relative à la fréquence des fonctions ω ( n ) et Ω( n ) en progression arithmétique. Finalement, nous trouvons une condition suffisante pour qu’une fonction arithmétique quel- conque possède une fonction de répartition et obtenons une version quantitative du théorème d’Erdős-Wintner. / For an additive function f and a multiplicative function g , let E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . In this thesis, we improve the result of De Koninck, Doyon and Letendre regarding the order of magnitude of E ( ω, g ; x ) and E (Ω , g ; x ) . We also obtain results which generalise the Hardy-Ramanujan inequalities and the Landau theorem. Moreover, we use the Selberg-Delange method in order to obtain a formula on the frequency of the fonctions ω ( n ) and Ω( n ) in arithmetic progression. Finaly, we find a sufficient condition for an arithmetical function to possess a distribution function and obtain a quantitative version of the Erdős-Wintner theorem.

Dans cette thèse, on s’intéresse à l’évaluation et l’allocation du risque dans le cadre de modèles avancés en actuariat. Dans le premier chapitre, on présente le contexte général de la thèse et on introduit les différents outils et modèles utilisés dans les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à un portefeuille d’assurance dont les composantes sont dépendantes. Ces composantes sont distribuées selon une loi mélange d’Erlang multivariée définie à l’aide de la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). On évalue le risque global de ce portefeuille ainsi que l’allocation du capital. En utilisant certaines propriétés de la copule FGM et la famille de distributions mélange d’Erlang, on obtient des formules explicites de la covariance entre les risques et de la Tail-Value-at-Risk du risque global. On détermine aussi la contribution de chacun des risques au risque global à l’aide de la régle d’allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk et celle basée sur la covariance. Dans le troisième chapitre, on évalue le risque pour un portefeuille sur plusieurs périodes en utilisant le modèle de Sparre Andersen. Pour cette fin, on étudie la distribution de la somme escomptée des ladder heights sur un horizon de temps fini ou infini. En particulier, on trouve une expression ferme des moments de cette distribution dans le cas du modèle classique Poisson-composé et le modèle de Sparre Andersen avec des montants de sinistres distribués selon une loi exponentielle. L’élaboration d’une expression exacte de ces moments nous permet d’approximer la distribution de la somme escomptée des ladder heights par une distribution mélange d’Erlang. Pour établir cette approximation, nous utilisons une méthode basée sur les moments. À l’aide de cette approximation, on calcule les mesures de risque VaR et TVaR associées à la somme escomptée des ladder heights. Dans le quatrième chapitre de cette thèse, on étudie la quantification des risques liés aux investissements. On élabore un modèle d’investissement qui est constitué de quatre modules dans le cas de deux économies : l’économie canadienne et l’économie américaine. On applique ce modèle dans le cadre de la quantification et l’allocation des risques. Pour cette fin, on génère des scénarios en utilisant notre modèle d’investissement puis on détermine une allocation du risque à l’aide de la règle d’allocation TVaR. Cette technique est très flexible ce qui nous permet de donner une quantification à la fois du risque d’investissement, risque d’inflation et le risque du taux de change. / In this thesis, we are interested in risk evaluation and risk allocation blems using advanced actuarial models. First, we investigate risk aggregation and capital allocation problems for a portfolio of possibly dependent risks whose multivariate distribution is defined with the Farlie-Gumbel-Morgenstern copula and with mixed Erlang distributions for the marginals. In such a context, we first show that the aggregate claim amount has a mixed Erlang distribution. Based on a top-down approach, closed-form expressions for the contribution of each risk are derived using the TVaR and covariance rules. These findings are illustrated with numerical examples. Then, we propose to investigate the distribution of the discounted sum of ascending ladder heights over finite- or infinite-time intervals within the Sparre Andersen risk model. In particular, the moments of the discounted sum of ascending ladder heights over a finite- and an infinite-time intervals are derived in both the classical compound Poisson risk model and the Sparre Andersen risk model with exponential claims. The application of a particular Gerber-Shiu functional is central to the derivation of these results, as is the mixed Erlang distributional assumption. Finally, we define VaR and TVaR risk measures in terms of the discounted sum of ascending ladder heights. We use a moment-matching method to approximate the distribution of the discounted sum of ascending ladder heights allowing the computation of the VaR and TVaR risk measures. In the last chapter, we present a stochastic investment model (SIM) for international investors. We assume that investors are allowed to hold assets in two different economies. This SIM includes four components: interest rates, stocks, inflation and exchange rate models. First, we give a full description of the model and we detail the parameter estimation. The model is estimated using a state-space formulation and an extended Kalman filter. Based on scenarios generated from this SIM, we study the risk allocation to different background risks: asset, inflation and exchange rate risks. The risk allocation is based on the TVaR-based rule.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2009-2010 / L'objectif principal de ce travail est, d'une part, d'étudier l'image numérique d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert H et, d'autre part, d'établir que, pour toute matrice carrée A et pour tout polynôme p : C C, on a ||p(A)||< 11,08 sup \p(z)\. z€W(A) On prouve aussi que cette inégalité est valide pour n'importe quel opérateur borné A sur H et n'importe quelle fonction p continue sur W(A) et holomorphe en son intérieur. Comme application, on montre que chaque opérateur borné T est semblable à un opérateur ayant une 9l4y (T)-dilatation normale.

Nous allons étudier la résolution de problèmes linéaires en trois dimensions à l'aide de la méthode optimisée de Schwarz. Pour ce faire, nous allons d'abord présenter la méthode classique de Schwarz. Nous ferons une étude de convergence pour un problème type à l'aide de l'analyse de Fourier. Par la suite, nous expliquerons brièvement la méthode de discrétisation utilisée dans nos calculs, c'est-à-dire celle des éléments finis. Nous en profiterons pour présenter les problèmes à l'étude, soit les problèmes de diffusion et d'élasticité linéaire. Nous regarderons ensuite une généralisation de la méthode classique qui mènera à la méthode optimisée de Schwarz. De plus, nous proposerons la version discrète de la méthode optimisée. Finalement, quelques résultats numériques seront présentés. Nous mettrons en évidence plusieurs choix optimaux de paramètres pour des domaines homogènes et hétérogènes.

Ce mémoire a pour objectif d’étudier une famille de méthodes pour modéliser de façon conjointe plusieurs séries temporelles. Nous nous servons de ces méthodes pour prédire le comportement de cinq séries temporelles américaines et de ressortir les liens dynamiques qui pourraient exister entre elles. Pour ce faire, nous utilisons les modèles de vecteurs autorégressifs d’ordre p proposés par Sims (1980) qui sont une généralisation multivariée des modèles de Box et Jenkins. Tout d’abord, nous définissons un ensemble de concepts et outils statistiques qui seront utiles à la compréhension de notions utilisées par la suite dans ce mémoire. S’ensuit la présentation des modèles et de la méthode de Box et Jenkins. Cette méthode est appliquée à chacune des cinq séries en vue d’avoir des modèles univariés. Puis, nous présentons les modèles VAR(p) et nous faisons un essai d’ajustement de ces modèles à un vecteur dont les composantes sont les cinq séries. Nous discutons de la valeur ajoutée de l’analyse multivariée par rapport à l’ensemble des analyses univariées / This thesis aims to study a family of methods to jointly model several time series. We use these methods to predict the behavior of five US time series and to highlight the dynamic links that might exist between them. To do this, we use the p-order autoregressive vector models proposed by Sims (1980), which are a multivariate generalization of the Box and Jenkins models. First, we define a set of concepts and statistical tools that will be useful for the understanding of notions used later in this thesis. Follows the presentation of the models and the method of Box and Jenkins. This method is applied to each of the five series in order to have univariate models. Then, we present the VAR(p) models and we test the fit of these models to a vector series whose components are the five aforementioned series. We discuss the added value of multivariate analysis compared to the five univariate analyzes.

P. F. Pickel et J. Roitberg, dans un article qui date de 2000, construisent une paire À'I, N-2 de groupes nilpotents de classe 4 sans torsion de type fini tels que, pour chaque nombre premier p, leurs p-localisations (Ni),p et {N'2)p sont isomorphes, mais pourtant leurs groupes d'automorphismes Aut N} et Aut N2 ne sont pas isomorphes. Notre but premier est donc le suivant : prouver un résultat similaire, mais cette fois-ci avec des groupes dont la classe de nilpotence est 2. Les groupes Y(QK, q) que nous exhibons sont sous-groupes du groupe des ma,trices 3x 3 unitriangulaircs supérieures f/T(3, OK), OÙ OK est l'anneau des entiers d'un corps de nombres K de degré 2 sur Q et q est un idéal de OK qui satisfait certaines conditions. Malheuresement, nous n'atteignons pa,s notre but premier, mais nous formulons tout de même une condition suffisante intéressante.

La copule de Abdelhaq Khoudraji permet de décrire complètement le lien de dépendance qui unit deux variables aléatoires continues. Ce mémoire présente une nouvelle copule basée sur les copules de Khoudraji mais avec plus de propriétés. On a étendu les copules de Khoudraji à des cas multidimen-sionnels tout en proposant quelques exemples. Des simulations ont été introduites dans le but de mieux visualiser ces nouvelles classes de copules. Finalement, des applications ont été réalisées afin de mettre en oeuvre les nouvelles copules trouvées.

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux problèmes de préservation locale. Après un chapitre introductif, on présente les définitions et les principaux résultats sur la théorie spectrale locale. Nous présentons aussi les théorèmes fondamentaux de préservation locale. Dans le chapitre suivant, nous nous intéressons à caractériser les applications surjectives qui conservent le spectre périphérique locale du produit et du produit triple de deux operateurs. Aussi nous établissons la continuité automatiques des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé. De plus, nous présentons une application de ce résultat. Dans le dernier chapitre, soit X un espace de Banach de dimension infini et [symbol] algébre des opérateurs bornés définis sur X, nous caractérisons les applications surjectives qui verifient [symbol] si est seulement si [symbol], pour tout [symbol] et [symbol], où [symbol] est le rayon spectral intérieur local. Enfin, nous déterminons toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé. / In this PhDthesis inOperator theory, we are interested in preserver problems of local spectra. After an introductory chapter, we present the definitions and the main results on local spectral theory. We also present the fundamental theorems of preserver problems of local spectra. In the next chapter, we address two long standing problems in the context of local spectral radius preservers. First, we completely describe the form of maps preserving the peripheral local spectrum of product or triple product of operators. Second, we establish the automatic continuity of linear maps increasing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector. In the last chapter, let [symbol] be the algebra of all bounded linear operators on an infinite dimensional complex Banach space X, and let [symbol] denote the inner local spectral radius of an operator [symbol] at any vector [symbol]. We characterize surjective maps onB(X) satisfying [symbol] if and only if [symbol], for all [symbol] and [symbol]. We also determine the form of all bicontinuous bijective maps on [symbol] preserving the inner local spectral radius of the difference and sumof operators at a nonzero fixed vector.

La thèse présentée ici traite du problème de l'estimation de la taille de la population dans les modèles de capture-recapture. Elle s'intéresse, en particulier, à la question de l'estimation de la taille de la population dans le cadre d'une expérience de capture-recapture à structure d'échantillonnage imbriquée, qui combine les méthodes de population fermée à l'intérieur des périodes primaires (PP) et de population ouverte d'une PP à une autre : le design robuste. Cette thèse propose une méthodologie d'estimation de la taille de la population et de l'incertitude associée aux estimateurs obtenus dans le contexte du design robuste. Dans un premier temps, on aborde le problème de l'estimation des paramètres du design robuste dans le cas d'un nombre suffisamment élevé d'occasions de capture. On généralise le papier fondamental de Jolly (1965) au design robuste en proposant une procédure séquentielle d'estimation des paramètres pour la classe des modèles de design robuste présentés dans Rivest and Daigle (2004) et un estimateur de la variance des paramètres par bootstrap paramétrique. Ces résultats théoriques ont été appliqués à des données d'activation d'applications sur les téléphones intelligents. Les données sont recueillies sur une période d'un an et demi et concernent des utilisateurs de téléphones intelligents qui ont visité un grand concessionnaire automobile basé aux États-Unis. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à l'estimation de la taille de la population à partir de deux sources d'information du design robuste: les données à l'intérieur d'une PP (ou intra-période) et les données d'une PP à une autre (ou inter-période). On démontre que les estimateurs de la taille de la population obtenus avec les informations intra-période et inter-période sont asymptotiquement indépendants pour une large classe de modèles de population fermée à l'intérieur des PP. Ainsi, l'estimateur du maximum de vraisemblance pour la taille de la population dans le cas du design robuste est asymptotiquement équivalent à un estimateur pondéré pour le modèle de population ouverte et le modèle de population fermée. On montre que l'estimateur pondéré diffère de celui donné dans Kendall et al. (1995); on démontre que leur estimateur n'est pas efficace, puis on donne une formule explicite pour son efficacité comparativement à l'estimateur pondéré. La perte d'efficacité est ensuite évaluée dans une étude de simulation, puis à travers un exemple tiré de Santostasi et al. (2016) et qui traite de l'estimation de la taille de la population d'une espèce de dauphins vivant dans le Golfe de Corinthe (Grèce). Enfin, on se propose d'étendre les résultats du problème précédent aux modèles de design robuste présentés dans Kendall et al. (1995) et implémentés dans MARK (White and Burnham, 1999). Dans le contexte du design robuste, on dérive l'estimateur du maximum de vraisemblance pour la taille de la population; on propose également trois méthodes d'estimation de la variance de l'erreur associée à l'estimateur. On démontre ensuite que l'estimateur du maximum de vraisemblance pour la taille de la population est plus efficace que l'estimateur des moments proposé par Kendall et al. (1995); la perte d'efficacité de l'estimateur de Kendall ainsi que la performance des trois méthodes d'estimation de la variance de l'erreur associée à l'estimateur du maximum de vraisemblance sont évaluées via une étude de simulation. / This thesis deals with the capture-recapture estimation of population sizes under a hierarchical study design where a capture-recapture experiment, involving secondary capture occasions, is carried out within each sampling period (SP) of an open population model: the robust design. This thesis proposes a methodology for the estimation of population sizes under the robust design and the uncertainty associated with the estimators. The first problem deals with the estimation of the parameters of a robust design with an arbitrary large number of capture occasions. To do so, we generalize the seminal paper of Jolly (1965) to the robust design and propose a sequential estimation procedure for the class of robust design models presented in Rivest and Daigle (2004). A simple parametric bootstrap variance estimator for the model parameters is also proposed. These results are used to analyze a data set about the mobile devices that visited the auto-dealerships of a major auto brand in a US metropolitan area over a period of one year and a half. The second problem deals with the estimation of population sizes using two sources of information for the robust design: the within and the between primary period data. We prove that the population size estimators derived from the two sources are asymptotically independent for a large class of closed population models. In this context, the robust design maximum likelihood estimator of population size is shown to be asymptotically equivalent to a weighted sum of the estimators for the open population Jolly-Seber model (Jolly 1965; Seber 1965) and for the closed population model. This article shows that the weighted estimator is more efficient than the moment estimator of Kendall et al.(1995). A closed form expression for the efficiency associated with this estimator is given and the loss of precision is evaluated in a MonteCarlo study and in a numerical example about the estimation of the size of dolphin populations living in the Gulf of Corinth (Greece) and discussed by Santostasi et al. (2016). The third problem deals with the estimation of population sizes under the robust design models presented in Kendall et al. (1995) and implemented in MARK (White and Burnham, 1999). We derive the maximum likelihood estimator for the population size and propose three methods of estimation for its uncertainty. We prove that the derived maximum likelihood estimator is more efficient than the moment estimator provided in Kendall et al. (1995). The loss of precision associated with the Kendall estimator and the performance of the three methods of estimation for the variance of the maximum likelihood estimator are evaluated in a MonteCarlo study.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2014-2015 / Ce mémoire porte sur les transformations isoparamétriques quadratiques dans le contexte de la méthode des éléments finis, mais en gardant un point de vue théorique. Le but est de trouver des critères d’inversibilité afin de pouvoir appliquer des techniques d’adaptation de maillage avec des éléments quadratiques (courbes). Le premier chapitre introduit le sujet en présentant les difficultés qui surviennent avec les éléments quadratiques. Le deuxième chapitre présente une revue des principaux résultats sur le sujet et une caractérisation des conditions d’inversibilité en deux dimensions. Finalement, le troisième chapitre étudie ce qui se passe en trois dimensions et tente d’apporter des idées pour l’inversibilité dans un cas particulier.